M. Knobel S_A5_SB_A5.mc. Schulaufgabe aus er Mathematik SB..5. Gegeben sin ie vom Parameter p R abhängige Funktion f p un ie Funktion g in ihrer maximalen Definitionsmenge. f p : x --> x x p x x p x p g: x --> x x. Bestimmen Sie ie Nullstellen von f (in Abhängigkeit von p) un von g. Für welche Werte von p hat f p Berührpunkte? 9P. Berechnen Sie ie relativen Extrempunkte un ie Wenestellen von f (.h. für p=) 9P. Skizzieren Sie ie Graphen von von f,.h. für p= un g in ein Koorinatensystem. 5P. Berechnen Sie ie Maßzahl er Fläche, ie ie Graphen er Funktionen f (.h. für p=) un g umschließen. Nehmen abei als gegeben an, ass sich f un g in en Punkten A( - ; ) un B( ; ) schneien. 5P.5. Die Parallele zur Orinate mit er Gleichung x = t mit t ] -; [ schneiet f im Punkt C un g im Punkt D. Es entsteht ein von t abhängiges Viereck er Punkte A, C, B un D..5. Skizzieren Sie as Viereck für t = in as Koorinatensystem von. P.5. Bestimmen Sie ie Fläche A(t) es Vierecks in Abhängigkeit von t. (Tipp: Teilen Sie as Viereck geanklich an x = t in zwei Dreiecke) P Ergebnis: A( t) = t t 5 t.5. Bestimmen Sie t so, ass ie Fläche es Vierecks maximal wir. P. Lanwirt Huber kann sein Heu ann einfahren, wenn er rei Tage nacheinaner schönes Wetter (kein Regen) hat. Die Vorhersage für nächsten Montag bis Mittwoch ergibt folgenes: Schönwetter am Montag: Mo = 95%, Schönwetter am Dienstag: Di = 85%, Schönwetter am Mittwoch: Mi = 75%.. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wir as Heu von Lanwirt Huber verregnet? P. Wie kann sich as Wetter entwickeln? Veranschaulichen Sie mit Hilfe eines Baumiagramms alle abei auftretenen Möglichkeiten. Bestimmen Sie anschließen ie Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse ( Nachkommastellen). 6P. Die Zufallsgröße X gibt ie Anzahl er Tage mit schlechtem Wetter an. Ermitteln Sie ie Wahrscheinlichkeitsverteilung (Wertetabelle) er Zufallsgröße X. P. Langjährige Wetterbeobachtungen ergeben Wahrscheinlichkeiten für folgene, er Lanwirtschaft nicht zuträgliche Wetterlagen: Sturm S = % für einen Tag im April, Hagel H = 8% für einen Tag im April. Sturm mit Hagel erleben wir im April an zwei Tagen.. Prüfen Sie, ob ie Ereignisse S un H stochastisch unabhängig sin. P. Beschreiben Sie mit Worten as Ereignis S H. Stellen Sie eine Vierfelertafel auf un bestimmen Sie mit ihrer Hilfe ie Wahrscheinlichkeit, ass es weer stürmt noch hagelt. P. Berechnen Sie: Mit welcher Wahrscheinlichkeit stürmt es an genau 7 Tagen im April? P
Musterlösung:. Gegeben sin ie vom Parameter p R abhängige Funktion f p un ie Funktion g in ihrer maximalen Definitionsmenge. f p : x --> x x p x f( p, x) x p x p g: x --> x x := x x p x x p x p g( x) := x x. Bestimmen Sie ie Nullstellen von f (in Abhängigkeit von p) un von g. Für welche Werte von p hat f p Berührpunkte? 9P f p : x = P x x p x D( p) x ( p) x p x p x ( ) vereinfachen x x x p p p p vereinfachen 6 p 8 p 9 := faktor ( p ) P 6 6 p ( p ) p ( p ) := p P x ( p) := P P Es gibt Berührpunkte für -p = oer -p = an iesen Stellen. P g: D := x := x := P fa( x) faa( x) x f( x) x x := P Extrempunkte: x fa( x) x :=.5P fa( x) = D :=.5P vereinfachen x := x =.57 f( x ) =.7698 x := x =.57 f x = P.5P P.5P faa x faa x ( ).75 ( ).75 faa( x) = = => Maximum P = => Minimum. Berechnen Sie ie relativen Extrempunkte un ie Wenestellen von f (.h. für p=) 9P f( x) := f(, x) x x = x x auflösen, x P faaa( x) ( ).7698 x faa( x) := > => WP existiert! P
. Skizzieren Sie ie Graphen von von f,.h. für p= un g in ein Koorinatensystem. 5P z:=.. f(, x) g( x) z = - - - f( z) = - -.75.75 g( z) -6 -.5.5 = -.75.5.75 -.5 5 P x. Berechnen Sie ie Maßzahl er Fläche, ie ie Graphen er Funktionen f (.h. für p=) un g umschließen. Nehmen abei als gegeben an, ass sich f un g in en Punkten A( - ; ) un B( ; ) schneien. 5P 6 A:= g( x) f( x) x G( x) := g( x) x x 6 = [ S(x) ] x x P g( x) f( x) F( x) := f( x) x x 6 x 5 x x x 8 x P x S( x) := G( x) F( x) x 5 8 x x 6 x P S( ) 8 gleit, 5 5.65 6 6 A:= S( ) S( ) S( ) A= 5. gleit, 5.78 8 P
.5. Die Parallele zur Orinate mit er Gleichung x = t mit t ] -; [ schneiet f im Punkt C un g im Punkt D. Es entsteht ein von t abhängiges Viereck er Punkte A, C, B un D..5. Skizzieren Sie as Viereck für t = in as Koorinatensystem von. P P S_A5_SB_A5.gxt.5. Bestimmen Sie ie Fläche A(t) es Vierecks in Abhängigkeit von t. (Tipp: Teilen Sie as Viereck geanklich an x = t in zwei Dreiecke) P Ergebnis: A( t) = t t 5 t Dreieck oben: h( t) := t ( ) G( t) g( t) f( t) t 5 t := t P A( t) h( t) G( t) t := t 5 t t Dreieck unten: h( t) := t P Zusammen: A( t) A( t) h( t) G( t) := t G( t) ( h( t) h( t) ) t 5 t := t 5 t t t P.5. Bestimmen Sie t so, ass ie Fläche es Vierecks maximal wir. P Aa( t) t A( t) 5 := t t P D 5 := 6 5 t := t =.66667 t := kommt nicht in Frage P P Aaa( t) := t Aa( t) t Aaa t ( ) = => Maximum P
. Lanwirt Huber kann sein Heu ann einfahren, wenn er rei Tage nacheinaner schönes Wetter (kein Regen) hat. Die Vorhersage für nächsten Montag bis Mittwoch ergibt folgenes: Schönwetter am Montag: Mo = 95%, Schönwetter am Dienstag: Di = 85%, Schönwetter am Mittwoch: Mi = 75%.. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wir as Heu von Lanwirt Huber verregnet? P P ("schön") =.95.85.75 P ("verregnet") =.95.85.75=.98 P. Wie kann sich as Wetter entwickeln? Veranschaulichen Sie mit Hilfe eines Baumiagramms alle abei auftretenen Möglichkeiten. Bestimmen Sie anschließen ie Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse ( Nachkommastellen). 6P P. Die Zufallsgröße X gibt ie Anzahl er Tage mit schlechtem Wetter an. Ermitteln Sie ie Wahrscheinlichkeitsverteilung (Wertetabelle) er Zufallsgröße X. P x P( X = x).656.5p.88.687.87 =.6 P.56.6.56 =.586 P.87.5P. Langjährige Wetterbeobachtungen ergeben Wahrscheinlichkeiten für folgene, er Lanwirtschaft nicht zuträgliche Wetterlagen: Sturm S = % für einen Tag im April, Hagel H = 8% für einen Tag im April. Sturm mit Hagel erleben wir im April an zwei Tagen.. Prüfen Sie, ob ie Ereignisse S un H stochastisch unabhängig sin. P Unabhängig: P( M) P( F) =..8=. P( Beie).5P.5P =.6667..67 => S un H sin stochastisch abhängig P
. Beschreiben Sie mit Worten as Ereignis S H. Stellen Sie eine Vierfelertafel auf un bestimmen Sie mit ihrer Hilfe ie Wahrscheinlichkeit, ass es weer stürmt noch hagelt. P S H beeutet, ass es zwar stürmt, aber nicht hagelt. P Vierfelertafel: S S Σ H.67..8 H.7.87.9 P P(S H) =.87 P Σ..86. Berechnen Sie: Mit welcher Wahrscheinlichkeit stürmt es an genau 7 Tagen im April? P P ("7 Tage" ) = 7.7 (.) 7 P PBinver(,., 7) =.6685 P
P
Binomialkoeffizient: Wahrscheinlichkeit nach Bernoulli: n: Anzahl er Versuche p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer k: Anzahl er Treffer n bk( n, k) := wennk<,, k bk( n, k ) PBinver( n, p, k) := bk( n, k) p k ( p) n k