4. Differentialrechnung III Inhaltsverzeichnis Extremalpunkte Wendepunkte 5 Zusammenfassung 7 4 Kurvendiskussion 8
Diff rechnung III 6..6 Theorie und Übungen Differentialrechnung III-Spezielle Punkte auf dem Grafen Extremalpunkte Wir interessieren uns für die Bergespitze und Talsohle des Graphen. P - - x x P - - - - Die Bergspitze bezeichnen wir mit Maximalpunkt, die Talsohle mit Minimalpunkt. Auf dem obigen Grafen haben wir also einen Maximalpunkt an der Stelle x und ein Minimalpunkt an der Stelle x. Minimalund Maximalpunkt werden oft auch mit dem Oberbegriff Extrempunkt bezeichnet. Bem Wir können auch noch unterscheiden zwischen lokalem und globalem Maximalpunkt (Minimalpunkt). Das Wort lokal heisst örtlich. Wenn wir von einem lokalen Maximum im Punkt x sprechen, dann ist damit der höchste Punkt in der Umgebung von x gemeint. Den höchsten aller Maximalpunkte nennen wir dann globalen Maximalpunkt. Wenn wir beim Grafen die Tangente bei einem Extrempunkt an der Stelle x zeichnen, dann ist sie horizontal. Das bedeutet, dass die Steigung und damit die Ableitung an dieser Stelle ist. Mathematisch notiert: Extremalpunkt an der Stelle x f (x ) =. Diese Bedingung ist eine notwendige Bedingung. Sie muss notwendigerweise erfüllt sein, wenn ein Extrempunkt vorliegen soll. Diese Bedingung alleine reicht aber nicht (sie ist nicht hinreichend). Betrachten wir folgendes Beispiel:
Diff rechnung III 6..6 Theorie und Übungen 4 x - - - -4 - - - An der Stelle x = ist die Ableitung zwar, es liegt aber trotzdem kein Extrempunkt vor. Kurz zu hinreichend/notwendig: Es ist hinreichend Schüler der Klasse 4bW zu sein, um Schüler der Kanti Solothurn zu sein, aber nicht notwendig. Man ist z.b. auch Schüler der Kanti Solothurn, wenn man in der Klasse aw ist. Dagegen ist es notwendig, Schüler einer Klasse der Kanti Solothurn zu sein, um Schüler der Kanti Solothurn zu sein (Gleichzeitig ist es auch hinreichend). Übungen. An welchen Stellen besitzt die Funktion f(x) = x + 9x x Extrempunkte? [x = 7,x = ]. Überprüfe, ob die folgenden Funktionen an den angegebenen Stellen horizontale Tangenten besitzen. a) f(x) = 4 x x mit x = [ja] b) f(x) = x x 4x+4 mit x = [nein] Die zweite Bedingung finden wir schnell durch anschauliches Überlegen. Die folgenden Überlegungen sind aus mathematischer Sicht natürlich nicht stichhaltig, reichen aber für uns:
Diff rechnung III 6..6 Theorie und Übungen 4 f(x) f(x) x x x x - - - - - - - - - - f (x) f (x) x x x x - - - - - - - - - - Wir wissen bereits, wie der Graph der Ableitungsfunktion f (x) entsteht. Wir können nun beobachten, dass die Ableitung von f (x) (= f (x)) an der Stelle x negativ ist. Wir können notieren: Maximum bei x f (x ) <. Wir können ebenfalls beobachten, dass die Ableitung von f (x) (= f (x)) an der Stelle x positiv ist. Wir können notieren: Minimum bei x f (x ) >. Wir haben nun je zwei Bedingungen für einen Minimal- und einen Maximalpunkt (die zusammen hinreichend sind, d.h. sind beide erfüllt, dann liegt ganz sicher ein Minimal-/Maximalpunkt vor). Satz Gegeben ist die Funktion f mit der Vorschrift f(x). Dann gilt: f (x ) = und f (x ) < Maximalpunkt bei x. f (x ) = und f (x ) > Minimalpunkt bei x. f (x ) = und f (x ) = keine Aussage möglich, es müssen weitere Ableitungen untersucht werden.
Diff rechnung III 6..6 Theorie und Übungen 5 Beachte, dass die Bedingungen f (x ) < und f (x ) > nicht notwendig sind, d.h. der Graph kann bei x auch einen Maximalpunkt haben, wenn die Bedingung f (x) > nicht gilt. Beispiel Die Funktion f : R R, f(x) = x 4 an der Stelle x = ein Maximum, obwohl die Bedingung f (x ) < nicht erfüllt ist. Übungen. Ermittle mit dem TI-89 die Maximal- und Minimalpunkte. Gib Dein Ergebnis in der Form Ma(....) oder Mi(....) an. a) f(x) = x + 4.5x x+ [Ma( 5 8.5),Mi( )] b) f(x) = x 6x+8 [Ma(. 7.),Mi(. 7.)] c) f(x) = 8x + 4x + 8x+ [Ma(.5 ),Mi(.5 7)] d) f(x) = 4x.5x x [Ma(.5.8),Mi(.6.6)] 4. Bestimme a und b so, dass der Graf von f(x) = ax + in P = ( ) ein Extremalpunkt besitzt. bx Kontrolliere anschliessend Dein Ergebnis. [a =.5 und b = ] 5. Eine Polynomfunktion der Form f(x) = a x +a x +a x+a hat einen Extrempunkt in P = ( ), dazu hat der Graf an der Stelle x = 5 die Steigung /4. Für x = 7 liefert die Funktion den Wert. [a = 8.56,a = 5.9,a =.94,a =.] Wendepunkte Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf dem Grafen, bei dem die Funktion ihre Krümmung wechselt. Anschaulich gesprochen wechselt der Graf dort von einer Links- zu einer Rechtskurve oder umgekehrt. Es gibt zwei Fälle:.Sorte: der Graf ändert sein Krümmungsverhalten und die Ableitung von f(x) ist Sattelpunkt. Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt..Sorte: der Graf ändert sein Krümmungsverhalten und die Ableitung von f(x) ist nicht Wendepunkt. Auf dem linken untenstehenden Graf sehen wir einen Wendepunkt (P ) auf dem rechten Grafen sehen wir einen Sattelpunkt (P ). Wir sehen, dass auf dem linken Grafen f () gilt und dass auf dem rechten Graphen f () = gilt.
Diff rechnung III 6..6 Theorie und Übungen 6 f(x) f(x) P P - x - x - - - - - - - - f (x) f (x) - - - - - - - - - - Wir betrachten wiederum den Graphen der Ableitungsfunktion f (x) an der Stelle x = (weil sich dort der Wendepunkt befindet). Wir stellen fest: an beiden Orten ist die Ableitung von f (x) an der Stelle gleich. Wir können somit notieren: Wendepunkt bei x f (x ) =. Die Bedingung f (x ) = ist notwendig für einen Wendepunkt, aber nicht hinreichend. Beispiel Für die Funktion f : R R, f(x) = x 4 gilt: f () =, in ( ) hat die Funktion aber einen Minimalpunkt. Im folgenden Satz kommt auch noch die dritte Ableitung vor, damit wir eine hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt erhalten. Satz Gegeben ist die Funktion f mit der Vorschrift f(x). Dann gilt: f (x ) = und f (x ) = und f (x ) Sattelpunkt bei x. f (x ) = und f (x ) = und f (x ) = Es müssen weitere Ableitungen untersucht werden. f (x ) und f (x ) = Wendepunkt bei x.
Diff rechnung III 6..6 Theorie und Übungen 7 Übungen 6. Bestimme die Wendepunkte. Prüfe, ob sogar ein Sattelpunkt vorliegt. Gib Dein Ergebnis in der Form W(......) bzw. S(......) an. Überprüfe anschliessend Dein Ergebnis, indem Du den Grafen mit dem TI-89 plottest. a) f(x) = x + x 7 [W( 5)] b) f(x) = x 4 + 6x + 4x [W( 7),W( )] c) f(x) = x 5 [S( )] d) f(x) = x 4 4x [S( ),W( 6)] 7. Bestimme p so, dass der Graf der Funktion f(x) = (x 9) x + p bei x= einen Wendepunkt besitzt. [p = 9, p = ] 8. Gegeben ist ein Polynom der Form a 4 x 4 + a x + a x + a x+a, dessen Graph die folgenden Bedingungen erfüllt: Extremwert in ( ), Wendepunkt in ( ), Tangente am Wendepunkt parallel zur Geraden y=x. Berechne a,a,a,a und a 4. [a =,a =,a =.5,a =.5 und a 4 =.65] Zusammenfassung
Diff rechnung III 6..6 Theorie und Übungen 8 4 Kurvendiskussion Hier geht es darum, von einer gegebenen Funktion den Graphen zeichnen zu können. Es stellt sich die Frage, ob wir nicht einfach ein paar Punkte berechnen und ins Koordinatensystem eintragen können. Bei einfachen Vorschriften ist das kein Problem, aber z.b. bei gebrochen rationalen Funktionen (Brüchen) geht das schon nicht mehr, wie wir sehen werden. Wir berechnen nun die signifikanten Punkte (Minimalunkte,Maximalpunkte,...) und können nachher dank diesen Punkten den Grafen skizzieren. Berechne Definitionsmenge,Pole,Nullstellen,Asymptoten,Extremalpunkte und Wendepunkte bei der Funktion f(x) = x x. Skizziere nachher mit Hilfe dieser Berechnungen den Graphen der Funktion.
Diff rechnung III 6..6 Theorie und Übungen 9 9. Wir kennen für eine Funktion die folgenden Angaben. Skizziere aufgrund dieser Angaben den Grafen. a) D=R Asymptote bei y = für x + und für x Wendepunkte bei (.6.5) und (.6,.5) Nullstellen bei x = und x = Minimum bei ( ) b) D = R\{,} Pole bei x = und bei x = Wendepunkte bei ( ) Nullstelle bei x = Minimum bei (.7.6) und Maximum bei (.7.6). monoton fallend im Intervall ( ).. Berechne Definitionsmenge,Pole,Nullstellen,Asymptoten,Extremas und Wendepunkte. Skizziere nachher den Grafen und überprüfe mit dem Taschenrechner. a) f(x) = x x x [D = R,N(.84 ),Ma(..8),Mi( ),W (..4)] b) f(x) = x 4 x [D = R\{,},y =.5,N ( ),N ( ),Mi( )] c) f(x) = x 4 x [D = [,],N( ),Mi(.8)] d) f(x) = 4 e x x + [D = R\{},Pol bei,y =,Mi(.9.5),Ma(.7.6),W (.48.9),W (.47)]