Tutorium: Analysis und lineare Algebra

Tutorium: Analysis und lineare Algebra Vorbereitung der ersten Bonusklausur Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2

Matrizen 3 Matrizen Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen, mit denen man in bestimmter Weise rechnen kann. Matrizen sind ein SchlÄusselkonzept der linearen Algebra und tauchen in vielen Gebieten der Mathematik auf. Matrizen stellen ZusammenhÄange, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, Äubersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und GedankenvorgÄange. Sie werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben. 4

Matrizen Definition II Matrizen werden dargestellt durch eine tabellarische Au istung der Werte, die durch ein gro¼es Klammerpaar umgeben ist. Die FormderKlammernistdabeinichtfestvorgegeben,typischsind aber runde oder eckige Klammern. 0 1 a 11 ::: a 1m B A = (a ij ) = @.... C. A a n1 ::: a nm 2 3 a 11 ::: a 1m 6 A = [a ij ] = 4.... 7. 5 a n1 ::: a nm 5 Matrizen Addition von Matrizen Matrizen werden elementweise addiert. 2 A + B = 4 a 3 2 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 5 + 4 b 3 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 5 a 31 a 32 a 33 b 31 b 32 b 33 2 = 4 a 3 11 + b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 5 a 31 + b 31 a 32 + b 32 a 33 + b 33 6

Matrizen Subtraktion von Matrizen Matrizen werden elementweise subtrahiert. 2 A B = 4 a 3 2 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 5 4 b 3 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 5 a 31 a 32 a 33 b 31 b 32 b 33 2 = 4 a 3 11 b 11 a 12 b 12 a 13 b 13 a 21 b 21 a 22 b 22 a 23 b 23 5 a 31 b 31 a 32 b 32 a 33 b 33 7 Matrizen Skalare Multiplikation Eine Matrix kann mit einen konstanten Faktor 2 K multipliziert werden. Den Wert nennt man ein Skalar. 2 A = 4 a 3 2 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 5 4 a 3 11 a 12 a 13 = a 21 a 22 a 23 5 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 8

Matrizen Multiplikation von Matrizen I Neben der skalaren Multiplikation gibt es noch eine weitere Multiplikation fäur Matrizen. Dabei werden 2 Matrizen miteinander mutlipliziert. Die folgende Formel zeigt dies exemplarisch fäur zwei 3 3-Matrizen: A B = = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 21 b 13 + a 22 b 23 + a 23 b 33 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 32 b 23 + a 33 b 33 9 Matrizen Multiplikation von Matrizen II Die EintrÄage der Ergebnismatrix C sind o enbar die Skalarprodukte der Zeilenvektoren der Matrix A mit den Spaltenvektoren der Matrix B. Daraus läasst sich leicht eine Aussage Äuber eine essentielle Voraussetzung der Matrizenmultiplikation tre en. Damit man zwei Matrizen multiplizieren kann, mäussen die Anzahl der Spalten der ersten Matrix und die Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix Äubereinstimmen. 10

Matrizen Multiplikation von Matrizen III Gegeben seien sei Matrizen A 2 K m n und B = K n p. Das Produkt C der beiden Matrizen A und B ist dann eine m p -Matrix und läasst sich allgemein durch die folgende Formel darstellen: C = A B = a ij bij = c ij mit cij = nx a ik b kj k=1 11 Matrizen Falksches Schema I Das Falksche Schema (1951 von Sigurd Falk vorgeschlagen) ist eine einfache Methode, Matrizenmultiplikation Äubersichtlicher darzustellen. Dazu werden die Matrizen A und B sowie deren Produkt C in eine bestimmte tabellarische Form gebracht, die vor allem eine optische Hilfe bietet. 12

Matrizen Falksches Schema II Gegeben seien die Matrizen A 2 R 3 3 und B 2 R 3 3. Darstellung der Matrizenmultiplikation mit dem Falkschen Schema: 2 b 11 b 12 3 b 13 4b 21 b 22 b 23 5 (= B) b 31 b 32 b 33 2 a 11 a 12 3 a 13 (A =) 4a 21 a 22 a 23 5 a 31 a 32 a 33 2 c 11 c 12 3 c 13 4c 21 c 22 c 23 5 (= C) c 31 c 32 c 33 Die Werte fäur c ij berechnen sich wie zuvor durch c ij = 3 P k=1 a ik b kj. 13 Matrizen Elementare Zeilenumformungen Man darf Matrizen durch elementare Zeilenumformungen in eine andere Matrix ÄuberfÄuhren. Diese Umformungen sind: ² Vertauschen von zwei Zeilen; ² Multiplikation einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Konstanten; ² Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. Diese Operationen däurfen beliebig kombiniert und beliebig oft wiederholt werden. 14

Matrizen Elementare Spaltenumformungen I Ebenso wie durch elementare Zeilenumformungen darf man eine Matrix durch elementare Spaltenumformungen in eine andere Matrix ÄuberfÄuhren. Diese Umformungen sind: ² Vertauschen von zwei Spalten; ² Multiplikation einer Spalte mit einer von Null verschiedenen Konstanten; ² Addition eines Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Spalte. Diese Operationen däurfen ebenfalls beliebig kombiniert und beliebig oft wiederholt werden. 15 Matrizen Elementare Spaltenumformungen II Generell sollten elementare Zeilen- und Spaltenumformungen nicht vermischt werden, da dies meist mehr Chaos als Nutzen bringt. Wir werden uns im Folgenden ausschlie¼lich mit elementaren Zeilenumformungen beschäaftigen. Sollten einmal Umformungen der Spalten notwendig sein, werden wir die zugehäorige Matrix zunäachst transponieren und anschlie¼end die Zeilen der transponierten Matrix umformen. 16

Zeilenstufenform 17 Zeilenstufenform Zeilenstufenform I Durch elementare Zeilenumformungen kann man jede Matrix in die sogenannte Zeilenstufenform bringen. Diese erfäullt die folgenden Eigenschaften: ² Alle Zeilen, die nur Nullen enthalten, stehen in der Matrix ganz unten. ² Wenn eine Zeile nicht nur aus Nullen besteht, so ist die erste von Null verschiedene Zahl eine Eins. Sie wird als fäuhrende Eins bezeichnet. ² In zwei aufeinanderfolgenden Zeilen, die von Null verschiedene Elemente besitzen, steht die fäuhrende Eins in der unteren Zeile stets weiter rechts als in der oberen Zeile. 18

Zeilenstufenform Zeilenstufenform II Besitzt die Matrix Zeilenstufenform und gilt zusäatzlich noch ² Eine Spalte, die eine fäuhrende Eins enthäalt, hat keine weiteren von Null verschiedenen EintrÄage, dann liegt die Matrix in reduzierter Zeilenstufenform vor. 19 Zeilenstufenform Zeilenstufenform III Beispiel 2 8 Es sei A =. 3 5 Bringe die Matrix A in Zeilenstufenform! 20

Zeilenstufenform Zeilenstufenform IV ZunÄachst wird die 1. Zeile mit 1 2 multipliziert: 1 4 : 3 5 Anschlie¼end wird das ( 3)-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile addiert: 1 4 : 0 7 Abschlie¼end wird die 2. Zeile mit 1 7 multipliziert: 1 4 : 0 1 21 Zeilenstufenform Gauß-Jordan-Algorithmus I 1. Bestimme die am weitesten links stehende Spalte der Matrix, die von Null verschiedene Werte enthäalt. 2. Ist der oberste Eintrag der gefundenen Spalte eine Null, so vertausche die oberste Zeile mit einer geeigneten Zeile, die in dieser Spalte keine Null hat. 3. In der bestrachteten Spalte ist nun der oberste Eintrag ein von Null verschiedenes KÄorperelement a. Dividiere die erste Zeile der Matrix durch a und erzeuge so eine fäuhrende Eins. 22

Zeilenstufenform Gauß-Jordan-Algorithmus II 4. Addiere das jeweils passende Vielfache der ersten Zeile zu den anderen Zeilen, so dass alle EintrÄage unter der fäuhrenden Eins der ersten Zeile Null werden. 5. Wende die Schritte 1-4 auf die Matrix an, die man durch Streichen der ersten Zeile erhäalt und iteriere das Verfahren bis die Matrix Zeilenstufenform hat. 6. Mit der letzten nicht verschwindenen Zeile beginnend, addiere geeignete Vielfache dieser Zeile zu den daräuber liegenden Zeilen, um Äuber den fäuhrenden Einsen Nullen zu erzeugen. 23 Zeilenstufenform Aufgabe 1 ÄUberfÄuhre die folgende Matrix A 2 R 4 4 in Zeilenstufenform. 2 3 1 2 1 1 A = 62 1 2 0 7 43 1 3 15 1 3 2 1 ÄUberfÄuhre die Matrix A anschlie¼end in die erweiterte Zeilenstufenform. 24

Zeilenstufenform Aufgabe 2 ÄUberfÄuhre die folgende Matrix B 2 Z 3 2 5 in Zeilenstufenform. 2 1 4 B = 3 0 1 25 Zeilenstufenform Aufgabe 3 ÄUberfÄuhre die folgende Matrix C 2 R 7 10 in Zeilenstufenform. 2 3 1 2 4 1 7 3 17 85 72 136 1 1 0 2 5 2 11 54 49 92 0 1 4 1 3 1 8 39 31 59 C = 2 6 16 0 21 9 52 260 216 412 6 1 3 8 0 10 2 26 121 102 185 7 4 3 7 16 2 26 13 60 307 261 507 5 1 4 12 1 10 7 28 152 114 224 26

Lineare Gleichungssysteme 27 Lineare Gleichungssysteme Definition Als lineare Gleichungssysteme bezeichnet man in der linearen Algebra Gleichungssysteme der folgenden Art: a 11 x 1 + a 12 x 2 + :::+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + :::+ a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + :::+ a mn x n = b m Das Gleichungssystem besteht dabei aus m Gleichungen mit n Unbekannten.. 28

Lineare Gleichungssysteme Darstellungsformen I Es existieren verschiedene Darstellungsformen fäur lineare Gleichungssysteme: ² die explizite Form; ² die Matrixform; ² die Spaltenform (oder auch Vektorform). 29 Lineare Gleichungssysteme Darstellungsformen II Die explizite Form Bei dieser Form wird das Gleichungssystem als eine Menge von m separaten Gleichungen mit n Unbekannten angegeben. a 11 x 1 + a 12 x 2 + :::+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + :::+ a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + :::+ a mn x n = b m 30

Lineare Gleichungssysteme Darstellungsformen III Die Matrixform Bei dieser Form wird das Gleichungssystem als Produkt einer Koe±zientenmatrix A, einem Spaltenvektor x mit den Unbekannten sowie einem LÄosungsvektor b angegeben. 2 3 2 3 2 3 a 11 a 12 ::: a 1n x 1 b 1 6 a 21 a 22 ::: a 2n 7 6x 2 7 6 7 6 4..... 7. 5 6 4 a m1 a m2 ::: a mn. x n 7 5 = b 2 6 7 4. 5 Die Gleichung läasst sich auch in der folgenden kompakten Form schreiben: Ax = b: b m 31 Lineare Gleichungssysteme Darstellungsformen IV Die Spaltenform Bei dieser Form wird das Gleichungssystem als Summe der Produkte der Unbekannten mit den Spaltenvektoren der Matrix A sowie einem LÄosungsvektor b angegeben: 2 3 2 3 2 3 2 3 a 11 a 12 a 1n b 1 6 a 21 7 6 a 22 7 6 a 2n 7 6 7 x 1 6 4. a m1 7 5 + x 2 6 4. a m2 7 5 + :::+ x n 6 4. a mn 7 5 = b 2 6 7 4. 5 : Verwendet man fäur die Spalten die Schreibweise a i, so ergibt sich die folgende kompakte Schreibweise: x 1 a 1 + x 2 a 2 + :::+ x n a n = b: b m 32

Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren I Das Gau¼-Verfahren bietet eine einfache MÄoglichkeit, lineare Gleichungssysteme zu läosen. Es basiert auf der Matrixform des Gleichungssystems. 2 3 2 a 11 ::: a 1n 6 4....... 7 6 5 4 a m1 ::: a mn x 1.. x n 3 7 5 = 2 b 1... 6 4 b m 3 7 5 33 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren II FÄur die LÄosung des Gleichungssystems Ax = b sind nur die Koe±zientenmatrix A sowie der LÄosungsvektor b von Interesse. Diese fasst man in der sogenannten erweiterten Koe±zientenmatrix zusammen: 2 3 h i a 11 ::: a 1n b 1 6 A b = 4.......... 7 5 : a m1 ::: a mn b m 34

Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren III Das Gau¼-Verfahren basiert auf der Grundidee, zunäachst die erweiterte Koe±zientenmatrix durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform zu ÄuberfÄuhren und anschlie¼end durch RÄuckwÄartseinsetzen schrittweise die LÄosung zu bestimmen. Wichtig: Durch elementare Spaltenumformungen kann sehr leicht die LÄosungsmenge des Gleichungssystems veräandert werden. Aus diesem Grund sind diese beim LÄosen linearer Gleichungssysteme mit dem Gau¼(-Jordan)-Verfahren verboten! 35 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren IV Aufgabe LÄose das folgende Gleichungssystem mit dem Gau¼-Verfahren! 2x 1 +4x 2 =22 3x 1 2x 2 = 7 LÄosung ZunÄachst wird die erweiterte Koe±zientenmatrix erstellt und schrittweise in Zeilenstufenform gebracht. h i 2 4 22 A b = 3 2 7 36

Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren V Multiplikation der ersten Zeile mit 1 2 ergibt 1 2 11 3 2 7 Anschlie¼end wird durch Addition des ( 3)-fachen der ersten Zeile zurzweitendieerstespalteindierichtigeformgebracht: 1 2 11 : 0 8 40 : Multiplikation der zweiten Zeile mit 1 8 Zeilenstufenform her: 1 2 11 : 0 1 5 stellt die gewäunschte 37 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren VI Zur Erinnerung: Die Darstellung durch die erweiterte Koe±zientenmatrix ist lediglich eine andere Schreibweise fäur das Gleichungssystem, das nach den Umformungen wie folgt lautet: x 1 +2x 2 =11 x 2 =5: Nun läost man die Gleichungen von unten nach oben auf. x 2 =5 liegt bereits in der gewäunschten Form vor. Setzt man x 2 nun in dieoberegleichungein,soergibtsich woraus sofort x 1 =1folgt. x 1 +2 5=11; 38

Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren VII Die einzige LÄosung des Gleichungssystems lautet also x 1 =1 und x 2 =5: MankanndiesleichtdurchEinsetzenindieAusgangsgleichungen ÄuberprÄufen. 39 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Jordan-Verfahren I Beim Gau¼-Jordan-Verfahren wird die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform gebracht, d.h., au¼er den fäuhrenden Einsen enthäalt die Matrix A in der erweiterten Koe±zientenmatrix Ajb nur Nullen. Wir hatten beim Gau¼-Verfahren die erweiterte Koe±zientenmatrix bereits in Zeilenstufenform gebracht. 1 2 11 : 0 1 5 40

Lineare Gleichungssysteme Gauß-Jordan-Verfahren II Man muss also nur noch durch Addition des ( 2)-fachen der zweiten Zeile zur ersten die zweite Spalte in die richtige Form bringen: 1 0 1 0 1 5 Hier kann man nun die LÄosungen fäur x 1 und x 2 ohne weiteres Rechnen direkt ablesen. Es folgt wie erwartet : x 1 =1 und x 2 =5: 41 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen I Ein Gleichungssystem kann keine, genau eine oder unendlich viele LÄosungen besitzen. 42

Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen II Eine LÄosung Den Fall genau einer LÄosung haben wir bereits bei unserem Beispiel gesehen. Dieser Fall liegt immer genau dann vor, wenn in der erweiterten Koe±zientenmatrix Ajb die Matrix A nach dem ÄUberfÄuhren in Zeilenstufenform genauso viele vom Nullvektor verschiedene Zeilen besitzt wie das Gleichungssystem Variablen hat. 43 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen III Keine LÄosung Es ist mäoglich, dass ein Gleichungssystem keine LÄosung besitzt. Dies ist immer genau dann der Fall, wenn in der erweiterten Koe±zientenmatrix Ajb (nach dem UberfÄuhren Ä in Zeilenstufenform) eine Zeile der folgenden Art auftritt: h 0 ::: 0 i b (mit b 6= 0): 44

Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen IV Dies wäurde bedeuten, dass 0x 1 + :::+0x n = b (6= 0) gilt, was einen Widerspruch darstellt. Das Gleichungssystem kann folglich keine LÄosung besitzen. 45 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen V Unendlich viele LÄosungen Es ist zudem mäoglich, viele LÄosungen besitzt. dass ein Gleichungssystem unendlich Dieser Fall liegt immer genau dann vor, wenn in der erweiterten Koe±zientenmatrix Ajb (nach dem ÄUberfÄuhren in Zeilenstufenform) die Matrix A weniger vom Nullvektor verschiedene Zeilen besitzt als das Gleichungssystem Variablen hat. Mit anderen Worten: Es gibt mehr Variablen als Gleichungen. 46

Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen VI Aufgabe LÄose das folgende lineare Gleichungssystem. 2x 1 +4x 2 + x 3 =22 3x 1 2x 2 x 3 = 7 LÄosung Auch in diesem Fall wird zunäachst die erweiterte Koef- zientenmatrix erstellt und schrittweise in Zeilenstufenform gebracht. h i 2 4 1 22 A b = 3 2 1 7 47 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen VII Multiplikation der ersten Zeile mit 1 2 ergibt 1 2 1 2 11 3 2 1 7 Anschlie¼end wird durch Addition des ( 3)-fachen der ersten Zeile zurzweitendieerstespalteindierichtigeformgebracht: " # 1 2 1 11 2 : 0 8 5 2 40 : 48

Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen VIII Multiplikation der zweiten Zeile mit 1 8 Zeilenstufenform her: " # 1 2 1 11 2 : 5 0 1 5 16 stellt die gewäunschte Die Spalten mit den fäuhrenden Einsen repräasentieren die fäuhrenden Variablen, die restlichen Spalten stellen die freien Variablen dar. 49 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen IX Um die LÄosung zu erhalten, weist man den freien Variablen Parameter zu. In unserem Beispiel ist die einzige freie Variable. x 3 = t (t 2 R) Die fäuhrenden Variablen rechnet man wie gewohnt durch RÄuckwÄartseinsetzen aus. FÄur die zweite Zeile der Matrix ergibt sich somit x 2 + 5 16 x 3 =5 x 2 =5 5 16 t (t 2 R): 50

Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen X Um x 1 zu berechnen, setzt man nun x 2 und x 3 in die erste Zeile ein. Es folgt x 1 +2x 2 + 1 2 x 3 =11: Umstellen nach x 1 ergibt ³ x 1 =11 2 5 5 t 1 16 2 t =1+ 1 t (t 2 R): 8 51 Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen XI Als GesamtlÄosung haben wir also Folgendes erhalten (t 2 R): x 1 =1+ 1 8 t x 2 =5 5 16 t x 3 = t 52

Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen XII Wir käonnen die LÄosung auch wie folgt darstellen: 0 x = @ x 1 0 1+ 1 1 8 x 2 A B t 1 = @ 5 5 16 t C A x 3 t 0 1 0 1 1 8 = @ 5A B t 1 0 1 0 1 1 1 8 + @ 5 16 t C A = @ 5A B + t @ 5 C A 0 t 0 16 1 (t 2 R): Man nennt dies die Parameterform der LÄosung. 53 Lineare Gleichungssysteme LGS & inverse Matrizen Hat ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige LÄosung, so läasst sich dieses auch mit Hilfe der Inversen der Koe±zientenmatrix A berechnen. Es gilt Ax = b ) x = A 1 b: 54

Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 4 Bestimme die LÄosung des folgenden linearen Gleichungssystems mit dem Gau¼- und mit dem Gau¼-Jordan-Verfahren. x 1 +2x 2 8x 3 =1 3x 1 +7x 2 27x 3 =5 2x 1 +4x 2 15x 3 =1 55 Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 5 Bestimme die LÄosung des folgenden linearen Gleichungssystems. x 1 3x 2 +3x 3 4x 5 = 5 2x 1 6x 2 +6x 3 + x 4 12x 5 = 9 2x 1 6x 2 +6x 3 2x 4 = 12 3x 1 9x 2 +9x 3 x 4 8x 5 = 16 Gib die gefundene LÄosung in Parameterform an! 56

Vektorräume 57 Vektorräume Definition I Gegeben seien eine Menge V, ein KÄorper (K; +; ), eine innere zweistellige VerknÄupfung : V V! V (die Vektoraddition) sowie eine Äau¼ere zweistellige VerknÄupfung : K V! V (die skalare Multiplikation). Man nennt (V; ; ) einen Vektorraum Äuber dem KÄorper K (kurz: K-Vektorraum), wenn es sich bei (V; ) um eine abelsche Gruppe handelt und wenn fäur die skalare Multiplikation sowohl ein neutrales Element existiert als auch die Assoziativ- und Distributivgesetze gelten. 58

Vektorräume Definition II ² Die Vektoraddition ist assoziativ. FÄur alle u; v; w 2 V gilt: u v w = u v w = u v w: ² Es existiert ein neutrales Element 0 V 2 V,sodassfÄur alle v 2 V gilt: v 0 V =0 V v = v: Das Element 0 V wird als Nullvektor bezeichnet. ² Zu jedem Element v 2 V existiert ein Element v, fäur das gilt: v v = v v =0 V : ² Die Vektoraddition ist kommutativ. FÄur alle u; v 2 V gilt: u v = v u: 59 Vektorräume Definition III ² FÄur alle ; ¹ 2 K, v 2 V gilt (Assoziativgesetz): ¹ v = ¹ v : ² Es existiert ein neutrales Element 1 K 2 K, sodassfäur alle v 2 V gilt: 1 K v = v: ² Zusammen mit der Vektoraddition gilt fäur alle 2 K, u; v 2 V das Distributivgesetz: u v = u u : ² Zusammen mit der Addition + im KÄorper K gilt fäur alle ; ¹ 2 K, v 2 V das Distributivgesetz: + ¹ v = v ¹ v : 60

Vektorräume Definition IV In der Mathematik ist es Äublich, sowohl die Addition im KÄorper K als auch die Addition im Vektorraum V mit demselben Operator + zu bezeichnen, obgleich es sich um verschiedene Operationen handelt. Analog werden die Multiplikation im KÄorper K und die skalare Multiplikation im Vektorraum V mit bezeichnet. In der Praxis besteht im Allgemeinen keine Gefahr, die Additionen bzw. Multiplikationen zu verwechseln. 61 Vektorräume Untervektorraum Gegeben sei ein Vektorraum (V;+; ) Äuber einem KÄorper K. Man nennt eine Teilmenge U μ V genau dann einen Untervektorraum von V,wennU nichtleer und bezäuglich der Vektoraddition + und der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist, d.h., falls die folgenden Eigenschaften gelten: ² U 6= ;; ² u; v 2 U ) u + v 2 U; ² u 2 U; 2 K ) u 2 U. 62

Vektorräume Aufgabe 6 Entscheide fäur die folgenden Mengen U 1 ;:::;U 5,obessichum einen Unterraum des R 4 handelt: n x1 o a) U 1 = ;x 2 ;x 3 ;x 4 x1 + x 2 3x 3 0 ; n x1 o b) U 2 = ;x 2 ;x 3 ;x 4 x1 +2x 2 x 4 =2 ; n x1 o c) U 3 = ;x 2 ;x 3 ;x 4 2x 1 + x 2 5x 4 6= x 3 ; n x1 o d) U 4 = ;x 2 ;x 3 ;x 4 x 4 = x 1 + x 2 2x 3 ; n x1 o e) U 5 = ;x 2 ;x 3 ;x 4 x1 = x 2 3. 63 Vektorräume Aufgabe 7 a) Es sei V = R 3. Gib eine Menge U μ V an, die bezäuglich der Vektoraddition abgeschlossen ist, bezäuglich der skalaren Multiplikation jedoch nicht abgeschlossen ist. b) Es sei V = R 3. Gib eine Menge U μ V an, die bezäuglich der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist, bezäuglich der Vektoraddition jedoch nicht abgeschlossen ist. 64

Vektorräume Aufgabe 8 Gegeben seien ein Vektorraum V Äuber einem KÄorper K sowie zwei UntervektorrÄaume V 1 μ V und V 2 μ V. Zeige, dass es sich bei der Schnittmenge V 1 \ V 2 ebenfalls um einen Untervektorraum von V handelt. 65 Vektorräume Linearkombination Gegeben seien ein Vektorraum V Äuber einem KÄorper K, endlich viele Vektoren v 1 ;:::;v n 2 V sowie Skalare 1;:::; n 2 K. Einen Vektor v, der sich durch v = 1 v 1 + :::+ n v n = nx i v i darstellen läasst, nennt man Linearkombination von v 1 ;:::;v n.die Skalare 1;:::; n werden Koe±zienten der Linearkombination genannt. i=1 66

Vektorräume Lineare Hülle Gegeben seien ein Vektorraum V Äuber einem KÄorper K sowie eine Teilmenge A μ V. Man nennt die Menge Lin A = 1 a 1 + :::+ n a n j 1;:::; n 2 K; a 1 ;:::;a n 2 A ª die lineare HÄulle von A. Die lineare HÄulle ist folglich die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren a i 2 A. 67 Vektorräume Lineare Unabhängigkeit I Gegeben sei ein Vektorraum V Äuber einem KÄorper K. Die Vektoren v 1 ;:::;v n 2 V hei¼en ² linear abhäangig, wenn neben der trivialen LÄosung 1 = :::= n =0 K noch mindestens eine weitere LÄosung fäur die Gleichung 1 v 1 + :::+ n v n =0 V existiert. In diesem Fall besitzen nicht alle Skalare i den Wert 0 K. Gilt beispielsweise 1 6= 0 K, so kann durch Umstellen der Gleichung eine Linearkombination fäur den Vektor v 1 gefunden werden: v 1 = 2 v 2 ::: n v n : 1 1 68

Vektorräume Lineare Unabhängigkeit II Gegeben sei ein Vektorraum V Äuber einem KÄorper K. Die Vektoren v 1 ;:::;v n 2 V hei¼en ² linear unabhäangig, wenn neben der trivialen LÄosung 1 = :::= n =0 K keine weiteren LÄosungen fäur die Gleichung 1 v 1 + :::+ n v n =0 V existieren. In diesem Fall ist es nicht mäoglich, einen der Vektoren v 1 ;:::;v n als Linearkombination der anderen Vektoren darzustellen. 69 Vektorräume Aufgabe 9 Entscheide fäur die folgenden Vektoren, ob sie linear abhäangig oder linear unabhäangig sind. Gib jeweils eine BegrÄundung. a) v 1 =(1; 3; 5), v 2 =(2; 1; 1) und v 3 =( 2; 15; 23). b) v 1 =(1; 0; 1; 2), v 2 =(0; 2; 3; 1), v 3 =(4; 3; 2; 0) und v 4 = (2; 1; 2; 3). c) v 1 =(1; 5; 7; 6), v 2 =( 9; 1; 0; 3), v 3 =(8; 4; 4; 2), v 4 = (1; 3; 3; 7) und v 5 =(42; 23; 0; 1). 70

Vektorräume Aufgabe 10 Wir betrachten den Vektorraum R[x] der Polynome mit Koef- zienten aus den reellen Zahlen R. Die Operationen seien die Polynomaddition sowie die Multiplikation mit Skalaren. Entscheide, ob die die folgenden Polynome lineare abhäangig oder linear unabhäangig sind. p 1 (x) =x 2 + x p 2 (x) =x 2 +3x 1 p 3 (x) =4x 2 71 Vektorräume Basis Gegeben seien ein Vektorraum V Äuber einem KÄorper K sowie die Vektoren ª b 1 ;:::;b n 2 V. Man nennt eine Teilmenge B = b1 ;:::;b n μ V eine Basis des Vektorraums V, falls die folgenden Eigenschaften gelten: ² Die Vektoren b 1 ;:::;b n sind linear unabhäangig. ² Die Vektoren b 1 ;:::;b n erzeugen den Vektorraum V. FÄur alle Elemente v 2 V existieren Koe±zienten 1;:::; n, so dass gilt: v = 1b 1 + :::+ nb n : 72

Vektorräume Basis Zum Bestimmen einer Basis eines durch Vektoren v 1 ;:::;v n 2 V erzeugten Unterraums kann der Gau¼-(Jordan-)Algorithmus verwendet werden. ZunÄachst werden die Vektoren v 1 ;:::;v n als Zeilen einer Matrix geschrieben 2 3 6 4 v 1. v n Wird diese anschlie¼end in Zeilenstufenform ÄuberfÄuhrt, so bilden die Nichtnullzeilen v1 0 ;:::;v0 r der entstandenen Matrix eine Basis des durch die urspräunglichen Vektoren v 1 ;:::;v n aufgespannten Unterraums. 7 5 73 Vektorräume Aufgabe 11 Gegeben seien die folgenden Vektoren des R 3 : v 1 =(1; 2; 3); v 2 =( 1; 4; 2); v 3 =( 1; 10; 1) und v 4 =( 4; 22; 7): a) Bestimme eine Basis von Lin (v 1 ;v 2 ;v 3 ;v 4 ). b) Gib die Dimension von Lin (v 1 ;v 2 ;v 3 ;v 4 )an. c) Um welchen Raum handelt es sich bei Lin (v 1 ;v 2 ;v 3 ;v 4 )? 74

Vektorräume Aufgabe 12 n x1 Es sei U = ;x 2 ; 0 o x1 ;x 2 2 R ein Unterraum des R 3.Zeige, dass es sich bei den Vektoren b 1 =(1; 1; 0) und b 2 =(2; 1; 0) um eine Basis des Unterraums U handelt. 75 Vektorräume Aufgabe 13 Bestimme eine Basis des folgenden Untervektorraums U: n o U = (x 1 ;x 2 ;x 3 ) j 2x 1 + x 2 =0^x 1 x 3 =0 76

Lineare Abbildungen 77 Lineare Abbildungen Lineare Abbildung I Gegeben seien zwei VektorrÄaume V und W Äuber einem KÄorper K. Eine Abbildung f : V! W hei¼t lineare Abbildung, wennfäur alle x; y 2 V und 2 K die folgenden Eigenschaften gelten: ² f ist homogen: ² f ist additiv: f( x) = f(x) f(x + y) =f(x)+f(y) Die beiden Bedingungen käonnen zusammengefasst werden: f( x + y) = f(x)+f(y) 78

Lineare Abbildungen Lineare Abbildung II Eine lineare Abbildung f : V! W läasst sich eindeutig beschreiben durch ² die Bilder einer Basis des Vektorraums V ; ² eine Abbildungsmatrix A. 79 Lineare Abbildungen Lineare Abbildung III Gegeben sei eine lineare Abbildung f : R 2! R 3.Esgelte f(e 1 )=f(1; 0) = (1; 2; 3) f(e 2 )=f(0; 1) = (0; 1; 2) Die Spalten der Abbildungsmatrix A sind die Bilder der Einheitsvektoren. Es gilt 2 A = 4 1 0 3 2 15 3 2 Handelt es sich bei der gegebenen Basis des Vektorraums V nicht um die Einheitsvektoren, so mäussen beim Erstellen der Abbildungsmatrix zunäachst die Bilder der Einheitsvektoren bestimmt werden. 80

Lineare Abbildungen Aufgabe 14 Gegeben seien eine lineare Abbildung f : R 2! R 3 sowie die Bilder der Basisvektoren b 1 =(1; 2) und b 2 =(0; 2) des R 2 : f(b 1 )=f(1; 2) = (2; 5; 4) f(b 2 )=f(0; 2) = (1; 0; 3) Bestimme die zur linearen Abbildung f gehäorende Abbildungsmatrix A. 81 Matrizen II 82

Matrizen II Die Fundamentalräume einer Matrix I Gegeben sei eine m n -MatrixA. ² Der Zeilenraum Z(A) ist der durch die m Zeilenvektoren der Matrix A aufgespannte Vektorraum: Z(A) =Lin(z 1 ;:::;z m ) n o = c 1 z 1 + :::+ c m z m j c 1 ;:::;c m 2 R : ² Der Spaltenraum S(A) ist der durch die n Spaltenvektoren der Matrix A aufgespannte Vektorraum: S(A) =Lin(s 1 ;:::;s n ) n o = c 1 s 1 + :::+ c n s n j c 1 ;:::;c n 2 R : 83 Matrizen II Die Fundamentalräume einer Matrix II Gegeben sei eine m n -MatrixA. ² Der Nullraum N(A) istdieläosungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0: n o N(A) = x j Ax =0 : ² Der Nullraum der Transponierten N(A T ) ist die LÄosungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems A T x =0: N A n o T = x j A T x =0 : 84

Matrizen II Die Fundamentalräume einer Matrix III Gegeben sei eine m n -MatrixA. Es gelten die folgenden ZusammenhÄange: ² Z(A) =S(A T ) ² S(A) =Z(A T ) ² dim (Z(A)) = dim (S(A)) ² dim (Z(A)) + dim (N(A)) = n ² dim (S(A)) + dim (N(A T )) = m ² rg(a) =dim(z(a)) = dim (S(A)) 85 Matrizen II Zusammenhänge mit Determinanten Im Folgenden sei eine quadratische n n -MatrixA betrachtet: ² det (A) =0() rg (A) <n ² det (A) =0() dim (N(A)) > 0 ² det (A) 6= 0() rg (A) =n ² det (A) 6= 0() dim (N(A)) = 0 ² det (A) =0() A 1 existiert nicht ² det (A) 6= 0() A 1 existiert 86

Matrizen II Zusammenhänge mit LGS Im Folgenden sei eine quadratische n n - Matrix A betrachtet: ² rg (A) 6= rg(a j b) =) Ax = b ist nicht läosbar ² rg (A) =rg(a j b) =n =) Ax = b ist eindeutig läosbar ² rg (A) = rg(a j b) < n =) Ax = b hat unendlich viele LÄosungen 87 Matrizen II Aufgabe 15 Gegeben seien die Vektoren z 1, z 2, z 3 und z 4 des R 4,diedieZeilen einer 4 4MatrixA bilden. Es gelte dim Z(A) =2. Wahroder falsch? (Mit kurzer BegrÄundung!) a) Das Gleichungssystem Ax = b besitzt eine eindeutige LÄosung. b) Es gilt dim N(A T ) =2. c) Eine Aussage Äuber det (A) ist nur dann mäoglich, wenn A vollstäandig bekannt ist. d) Die inverse Matrix A 1 existiert nicht. e) Die Spaltenvektoren s 1 ;:::;s 4 der Matrix A sind linear abhäangig. 88