Übungen zur T: Theoretische Mechani, SoSe24 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 425 4. Drehimpulserhaltung und Streuung Dr. Reine Sven Isermann Reine.Isermann@lmu.de Übung 4.: Noch einmal der Kegel... Ein Teilchen bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerraft auf der Innenseite eines Kegelmantels r = z. Die Koordinaten r, θ und z sind zylindrische Polaroordinaten. Die z-achse zeigt senrecht nach oben. Das Teilchen startet auf der Höhe z = a mit der Geschwindigeit v in Richtung θ. a) Beweisen Sie unter Nutzung der Drehimpuls- und Energieerhaltung, dass gilt. ż 2 + a2 v 2 2z 2 + gz = 2 v2 + ga b) Zeigen Sie, dass das Teilchen sich zu allen Zeiten zwischen den beiden Höhen h min und h max befindet (h min h h max ). Finden Sie diese beiden Höhen. Lösung von Übung 4. a) Der Koordinatenursprung wird so gewählt, dass er bei z = a liegt. Wir verwenden folgende Energie und die z-komponente des Drehimpulses: Energie: E = 2 m v(t) 2 + mgz Drehimpuls: J = mr(r θ) = mr 2 θ = mz 2 θ Außerdem drücen wir die Geschwindigeit in zylindrischen Polaroordinaten aus. v(t) = ṙ = ṙe r + rė r + że z = ṙe r + r θe θ + że z v(t) 2 = ṙ 2 + r 2 θ2 + ż 2 Die Energie mit der das Teilchen startet beträgt 2 mv2 + mga. Der Energieerhaltungssatz führt zu 2 m v(t) 2 + mgz = 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 + ż 2 ) + mgz = 2 mv2 + mga Das Teilchen bewegt sich auf dem Kegelmantel, somit gilt ż = ṙ und wir erhalten ż 2 + 2 r2 θ2 + gz = 2 v2 + ga. () Der Drehimpuls mit dem das Teilchen startet beträgt mav. Die Drehimpulserhaltung führt zu mr 2 θ = mav θ = av r 2. Nun ombinieren wir dieses Ergebnis mit der Gleichung () und erhalten ż 2 + 2 r2 ( av r 2 )2 + gz = 2 v2 + ga ż 2 + a2 v 2 2z 2 + gz = 2 v2 + ga. (2)
b) Da die Höhe eine rein reelle Größe ist, muss gelten ż 2 a2 v 2 2z 2 + gz 2 v2 + ga. Diese Gleichung ist genau dann gelöst, wenn die z in dem Intervall [z min, z max ] befindet. Die Intervallgrenzen z min und z max sind a und eine Lösung der Gleichung a 2 v 2 2z + gz = 2 2 v2 + ga ( ) 2 a2 v 2 + gz 3 = 2 v2 + ga gz 2 (z a) = 2 v2 (z 2 a 2 ) = 2 v2 (z + a)(z a) So ergibt sich als Lösung, entweder z = a oder { gz 2 = 2 v2 (z + a) z ± = v 2 4 g ± z 2 4 v4 + 2v 2 ag d dz (a2 v 2 /2z 2 + gz) > wenn v 2 /a < g an z = a und d dz (a2 v 2 /2z 2 + gz) < wenn v 2 /a > g an z = a z [z +, a] wenn v 2 /a < g So hat Gleichung (2) eine Lösung, wenn z [a, z + ] wenn v 2 /a > g z [a, a] wenn v 2 /a = g z immer leiner, d.h. hier unphysialisch (wäre Teilchen in der Erde ). Übung 4.2: Streuung in einer zentralen Kraft Ein Teilchen mit der Masse m bewegt sich aus der Unendlicheit mit der Geschwindigeit auf ein festes Objet im Ursprung zu. Durch dieses Objet wirt auf das Teilchen eine Kraft F = /r 2 e r. Wenn das Teilchen durch die Kraft F nicht beeinflusst werden würde, würde es das Objet im Ursprung mit einem Abstand b passieren. a) Wie große ist der geringste Abstand zum Kraftzentrum den das Teilchen auf seiner Flugbahn erreicht? b) Welche Winelablenung Θ tritt auf? 2g } Lösung von Übung 4.2 2
v f F 2θ θ b a) Anfangsenergie: 2 mv2 Energie bei geringstem Abstand zum Zentrum 2 m v 2 + R Wir bezeichnen den geringsten Abstand zum Zentrum den das Teilchen auf seiner Flugbahn erreicht mit R. Wenn das Teilchen diesen Abstand einnimmt gilt ṙ = v = R θ. Aus der Drehimpulserhaltung und dem Anfangsdrehimpuls erhalten wir J = m b = m v R v = b R. Nutzen wir nun auch noch die Energieerhaltung so ergibt sich 2 mv2 = R + b 2 2 mv2 R 2 = R 2 2R b 2 = R = + ( ) 2 + b 2. b) Wir definieren in weiser Voraussicht Θ = 2θ und v = v f v i, wobei v i die Anfangsund v f die Endgeschwindigeit ist. Die durch das Objet im Zentrum hervorgerufene Impulsänderung beträgt m v = Fdt. Es herrscht Energieerhaltung und somit gilt v f = v i =. Identität önnen wir die Gleichung Unter Nutzung dieser mv i v = m(v f v i v 2 ) = m(v 2 cos2θ v 2 ) = m (cos2θ ) = 3 v i Fdt F cosθ dt F cosθ dt F cosθ dt dθ dθ
ableiten. Die vom Zentrum ausgeübte Kraft beträgt F = und für den Drehimpuls gilt r 2 J = mr 2 θ. Setzen wir diese beiden Größen ein, so ergibt sich das Ergebnis m (cos2θ ) = m (cos2θ ) = r 2 cosθ θ dθ m J cosθ dθ m (cos2θ ) = m sin(π 2θ) J J (cos2θ ) = sin2θ J ( 2sin2 θ) = 2sinθcosθ cotθ = J Übung 4.3: Streuung an der Kugeloberfläche Man betrachte ein abstoßendes Kraftfeld F = ( mv 2 2 = mv2 b. ) δ(r a)e r, wobei a ein fester Radius ist und v als onstant angenommen wird. Ein Teilchen der Masse m bewegt sich mit der Geschwindigeit auf das Kraftfeld zu. Wenn es nicht abgelent werden würde, würde es die Mitte des Kraftfeldes im Abstand s passieren. m r a s a) Berechnen Sie die potentielle Energie des Teilchens. b) Zeigen Sie, dass das Teilchen die Kugeloberfläche nicht durchdringt wenn < v gilt. Zeigen Sie außerdem, dass in diesem Fall das Teilchen nach dem Reflexionsgesetz (Einfallswinel = Ausfallswinel) von der Kugeloberfläche abprallt. c) Sizzieren Sie den Weg des Teilchens für > v und s = a 2. Lösung von Übung 4.3 a) Zunächst berechnen wir das Potenzial r V (r) = F(r ) dr = 2 mv2 { = 2 mv2 wenn r < a wenn r > a. r δ(r a)dr 4
b) Nun verwenden wir die Energieerhaltung 2 mv2 = 2 mv 2 + 2 mv2, (3) wobei v die Geschwindigeit des Teilchens im inneren der Kugel r a bezeichnet. Damit das Teilchen überhaupt in die Kugel eindringen ann, muss v real sein, also muss die Bedingung > v erfüllt sein. Das Reflexionsgesetz Einfallswinel = Ausfallswinel ist eine Folge der Symmetrie des Potentials. c) Für > v und s = a, wird das Teilchen mit einem Winel von θ 2 = arcsin( a/2 ) = a 3o auf die Kugel treffen und in diese eindringen. 3 o v θ 3 o θ a Der Impuls bleibt an der Stelle r = a in der Richtung tangential zur Kugel erhalten. Zusammen mit (3) führt das zu sin3 o = v sinθ ( θ = arcsin 2 v 2 v 2 Da V (r) innerhalb der Kugel onstant ist, bewegt sich das Teilchen auf einer geraden Linie, bis es wieder die Kugelhülle berührt. Der Winel θ, unter dem das Teilchen die Kugel verlässt, ergibt sich auf die gleiche Weise wie der Eintrittswinel (siehe Sizze). ) 5