6.4 Stetige Funktionen Eine Funktion f heißt stetig im Punkt a, falls sie dort definiert ist und folgende Gleichung erfüllt: lim /a f = f a Ist dies für alle Punkte des Definitionsbereichs A erfüllt, so nennt man f eine (auf A) stetige Funktion. Anschaulich erkennt man solche Funktionen daran, dass man sie "in einem Zug" durch zeichnen kann, ohne abzusetzen. Entsprechend sind linkseitige und rechtsseitige Stetigkeit eindimensionaler Fuktionen definiert. Wie man sofort sieht, bedeutet für eine Funktion in einer Variablen Stetigkeit im Punkt a, daß sie dort sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig ist. Gehört ein Punkt a nicht zum Definitionsbereich von f und gilt lim /a f = c, so sagt man, f sei im Punkt a stetig ergänzbar (durch f a = c). Bei der konkreten Überprüfung der Stetigkeit arbeitet man meist mit dem Folgenkriterium Eine Funktion f ist genau dann stetig in einem Punkt a des Definitionsbereichs, wenn für jede gegen a konvergente Folge n die Bildfolge f n gegen f a konvergiert. Besonders geeignet ist das Folgenkriterium zum Nachweis, dass eine Funktion in bestimmten Punkten a nicht stetig ist: Dazu muss man nur eine einzige gegen a konvergente Folge angeben, deren Bildfolge nicht gegen f a konvergiert. Wir betrachten zunächst Funktionen in einer Variablen. Beispiel : Die Gaußklammer ordnet jeder reellen Zahl die größte unter liegende ganze Zahl zu. Diese Funktion ist in allen nicht ganzzahligen Punkten stetig; in den ganzzahligen Punkten ist sie rechtsseitig, aber nicht linksseitig stetig.
Beispiel : Die Diracsche Sprungfunktion d = 0 für s 0 und d = für = 0 ist im Nullpunkt weder linkseitig noch rechtsseitig stetig, da sowohl der links- als auch der rechtsseitige Grenzwert bei Annäherung an 0 gleich 0, also verschieden vom Funktionswert ist. Beispiel 3: Die Signum-Funktion hat für negative Argumente den Wert -, für positive den Wert, und an der Stelle 0 den Wert 0. Hier eistiert der links- und der rechtsseitige Grenzwert bei 0, aber diese beiden Grenzwerte stimmen nicht überein. Wenn man 0 aus dem Definitionsbereich wegläßt, ist diese Funktion also bei 0 nicht stetig ergänzbar.
Beispiel 4: Oszillation in der Nähe des Nullpunkts Auch die für s 0 definierte und stetige Funktion f = sin ist an der Stelle 0 nicht stetig ergänzbar, da sie in deren Nähe immer stärker zwischen - und oszilliert. Konkret nimmt man zur Widerlegung der stetigen Ergänzbarkeit z.b. die Nullfolge n = n C und bekommt die divergente Bildfolge f n = sin nc = K n.,0 0,5 K3 K K 3 K0,5 Beispiel 5: Stetigkeit trotz Oszillation K,0 Im Gegensatz zum vorigen Beispiel ist sowohl die Funktion sin als auch die Funktion sin stetig an der Stelle 0 ergänzbar, und zwar im ersten Fall durch den Funktionswert 0 und im zweiten Fall durch. Beide Funktionen sind auf dem gesamten Definitionsbereich stetig. Bei Annäherung an N ergibt sich: lim /N sin = 0, lim /N sin Zum Beweis der zweiten Gleichung beachte man =. lim /N sin = lim y/0c sin y y,0 0,6 0,. sin()/ sin(/) K4 K3 K K K0, 3 4
Die Einsetzregel sichert, daß man Grenzprozesse ineinander einsetzen darf: lim /a f = c und lim y/c h y = d impliziert lim /a h f = d, sofern entweder h c = d gilt, also h an der Stelle c stetig ist, oder c gar nicht im Definitionsbereich von h liegt. Insbesondere ist die Hintereinanderschaltung von stetigen Funktionen wieder stetig: Ist f stetig in a und h stetig im Bildpunkt f a, so ist h + f wieder stetig in a. Wir wollen die Einsetzregel wegen ihrer großen Wichtigkeit kurz beweisen: Zu jeder Umgebung W von d gibt es eine Umgebung V von c, die durch h in W abgebildet wird; und zu diesem V gibt es eine Umgebung U von a, so daß U ohne a von f in V, also von h + f in W abgebildet wird. (Dabei meinen wir mit "f bildet U in V ab", daß für jedes zum Definitionsbereich gehörige aus U das Bild f in V liegt.) Wir haben die Einsetzregel intuitiv schon mehrfach angewandt, zum Beispiel bei der Vertauschung von Grenzwerten mit Produkten Was Inge mit der Abschätzung beim Ausmessen der Platte bewiesen hatte, ist die Gleichung lim f, y = a b., y / a, b Nach Umbenennung der Variablen wird daraus lim y, z / c, d f y, z = c d und nun liefert die Einsetzregel, angewandt auf die Funktionen die Implikation F = f, g und h y, z = y z, lim /a f = c und lim /a g = d => lim /a f g = cd.
Beispiel 6: Grenzwert einer zusammengesetzten Funktion Mehrfache Anwendung der Einsetzregel liefert K K4 lim /0 3 C C = 9, lim / K K4 3 C C In kleineren Bereichen sieht die Funktion folgendermaßen aus: =.,0,5 y,0 0,5 0 0 3 4 5 Der Schein trügt: Für große Argumente strebt diese Funktion nicht gegen 0, sondern gegen N! Denn wächst viel schneller als jede Potenz von. Also: 0 8 lim /N K K4 3 C C =N. y 6 4 0 0 4 6 8 0 Daß man die Einsetzregel nicht bedingungslos ohne die genannten Voraussetzungen anwenden darf, zeigt folgendes Beispiel:
Beispiel 7: Eine unstetige Grenzwertbetrachtung Die Funktion f mit f = sin für s 0 und f 0 = 0 ist überall stetig (siehe Beispiel 5) und erfüllt insbesondere lim f = 0. /0 Für die Diracfunktion d (siehe Beispiel ) mit d = 0 für s 0 und d 0 = gilt ebenfalls lim /0 d = 0. Aber d ist unstetig in 0, und d + f konvergiert überhaupt nicht bei Annäherung an 0: Denn für n = n aber für y n = n C0.5 ist f n = 0, also h f n =, ist f y n = y n, also h f y n = 0. h(sin(/)) sin(/) h(sin(/)) Zusammenfassung Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte gilt: Summe, Differenz, Produkt, Quotient und Verknüpfung (Hintereinanderschaltung) stetiger Funktionen sind (soweit definiert) wieder stetig. Mit diesen Regeln kann man aus einfachen stetigen Funktionen viele neue zusammensetzen. Z.B. ist jedes Polynom und jede rationale Funktion (d.h. jeder Quotient zweier Polynome) stetig. Beachten Sie, daß z.b. die Funktion in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist, obwohl der Grenzwert bei 0 nicht eistiert (dort ist die Funktion aber gar nicht definiert).
Beispiel 8: Die trigonometrischen Funktionen Sinus sin, Cosinus cos, Tangens tan, Cotangens cot sind in ihrem jeweiligen Definitionsbereich stetig. 6 cot 4 tan cos sin K6 K4 K 0 4 6 K K4 K6 Daß z.b. die Sinusfunktion überall stetig ist, sieht man mit der trigonometrischen Summenformel sin Ksin a = cos Ca Ka sin und den Abschätzungen cos Ca % und sin Ka % Ka. Zusammen liefern sie sin Ksin a % Ka, so daß man mit = arbeiten kann. Ähnlich geht es mit dem Cosinus, und wegen tan = sin cos und cot = cos sin sind dann auch Tangens und Cotangens in ihrem Definitionsbereich stetig: tan() ist für s nc definiert, cot() für s n.
Beispiel 9: Die natürliche Eponentialfunktion ist definiert als Grenzfunktion e => k= 0 N k k! =lim n/n s n mit s n => k= 0 n k k! = + + +... + n n!. Die Konvergenz dieser Reihe folgt unmittelbar aus dem Quotientenkriterium: Die Quotienten nc n! nc! n = nc konvergieren gegen 0. Definitionsgemäß ist e 0 = und e = e, die Eulersche Zahl. Die Eponentialfunktion wird uns noch viel beschäftigen (siehe insbesondere 4.4). Wir nehmen hier eine ihrer wichtigsten Eigenschaften vorweg, die Funktionalgleichung e Cy = e e y. Aus ihr folgt induktiv die Gleichung e = e für alle natürlichen Eponenten und dann auch für alle rationalen Eponenten, was den Namen "Eponentialfunktion" rechtfertigt. Aus der Dreiecksungleichung erhält man für 0 < % die Abschätzung e K % >k= N k k! N < k= > k! = ek und damit schon einmal die Stetigkeit im Nullpunkt. Für beliebiges a ergibt sich nun lim /a e Ka K = 0 und daraus mit der Funktionalgleichung die Stetigkeit in jedem Punkt a: lim /a e Ke a = lim /a e a e Ka K = 0. 5 4 e() s4() e() s() 3 s() K4 K3 K 3 s3() K K
Die Eponentialfunktion ist also in jedem Punkt stetig. Daher sind auch alle aus Eponentialfunktionen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zusammengesetzten Funktionen stetig, insbesondere die sogenannten "hyperbolischen" Funktionen (die trotz des Namens keine Hyperbeln darstellen): e Ke K der Sinus hyperbolicus sinh =, der Cosinus hyperbolicus der Tangens hyperbolicus cosh = e Ce K tanh = sinh cosh der Cotangens hyperbolicus coth = cosh sinh,., 3 cosh sinh coth tanh K3 K K 0 3 K coth K K3 Für die Prais besonders nützlich ist der Zwischenwertsatz Eine auf dem Intervall [a,b] stetige reellwertige Funktion f nimmt jeden Wert zwischen f a und f b an. Er stellt z.b. sicher, daß eine stetige Funktion mindestens eine Nullstelle hat, falls sie sowohl positive als auch negative Werte annimmt. Insbesondere ist das für jedes Polynom ungeraden Grades der Fall. Auch die Eistenz n-ter Wurzeln aus positiven Zahlen c ist damit gesichert, denn die Monome n sind stetig, haben den Wert 0 für = 0 und werden für große beliebig groß, insbesondere größer als c.
5 4 3 5 0 0 0,5,0,5,0 5 5 = 3 <=> = 3 Das Halbierungsverfahren liefert für jede auf einem Intervall [a,b] stetige Funktion f und jedes c zwischen f a und f b gute Näherungen für die Lösung der Gleichung f = c, und zusätzlich einen konstrukiven Beweis für den Zwischenwertsatz: Ist f a! c < f b, so stellt man fest, ob der Funktionswert f m in der Mitte m = acb größer oder kleiner als c ist (im dritten Fall f m = c hat man eine Lösung gefunden). Im ersten Fall beschränkt man sich nun auf das Intervall [a,m], im zweiten auf das Intervall [m,b] und setzt das Verfahren mit dieser halbierten Strecke fort. Eine gegen die gesuchte Lösung konvergente Folge m n liefert das Halbierungsverfahren durch folgende rekursive Festsetzung: a 0 := a, b 0 := b, m 0 := a 0 Cb 0,... a nc := m n und b nc := b n, falls f m n % c, a nc := a n und b nc := m n, falls f m n > c, m nc := a n Cb n Dann ist a n monoton wachsend, b n monoton fallend, und wegen a n % m n, m n % b n und b n Ka n = bka n konvergieren alle drei Folgen gegen den gleichen Grenzwert. Nun ist aber f a n % c und c% f b n, also f = lim n/n f a n = lim n/n f b n = lim n/n f m n = c.. Der Fall f b! f a geht analog.
Beispiel 0: Berechnung der fünften Wurzel aus 3 Auf 0 Stellen genau gibt MAPLE dafür den Wert.45730940 an. Wir beginnen mit dem Intervall [,.3] und führen 0 Halbierungsschritte mit der Funktion 5 durch: n =, f m n =.035788, a n =.50000000, b n =.300000000 () n =, f m n =.758547354, a n =.5000000, b n =.300000000 n = 3, f m n = 3.07483, a n =.5000000, b n =.6500000 n = 4, f m n =.976300, a n =.43750000, b n =.6500000 n = 5, f m n = 3.090095997, a n =.43750000, b n =.535000 n = 6, f m n = 3.0373950, a n =.43750000, b n =.48437500 n = 7, f m n = 3.0043790, a n =.43750000, b n =.46093750 n = 8, f m n =.99070599, a n =.449875, b n =.46093750 n = 9, f m n =.9973455, a n =.455078, b n =.46093750 n = 0, f m n = 3.00084063, a n =.455078, b n =.4580078 Umkehrfunktionen Zur Erinnerung: Eine Funktion f : A / B heißt injektiv, surjektiv, wenn zu jedem y aus B bijektiv, höchstens mindestens ein aus A mit f = y eistiert. genau Im dritten Fall gibt es eine einzige Funktion g : B / A mit f = y 5 = g y. Diese Funktion g heißt Umkehrfunktion zu f und wird gelegentlich mit f K bezeichnet. Man sollte sie nicht verwechseln mit der durch h = /f gegebenen Funktion h. Jede streng monoton wachsende (bzw. fallende) Funktion ist injektiv, und die Umkehrfunktion ist (soweit definiert) wieder streng monoton wachsend (bzw. fallend). Denn für die Umkehrfunktion g mit f = y 5 = g y bedeutet! 5 f! f das Gleiche wie g y! g y 5 y! y. Sehr nützlich ist die keineswegs selbstverständliche Tatsache, daß die Umkehrfunktion einer stetigen Funktion (soweit sie eistiert) wieder stetig ist. Dies folgt aus dem
Satz über monotone Funktionen Für eine Funktion f zwischen zwei Intervallen [a,b] und [c,d] mit f a = c und f b = d (bzw. f a = d und f b = c) sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend: () f ist surjektiv und streng monoton wachsend (bzw. fallend) () f ist bijektiv und monoton wachsend (bzw. fallend) (3) f ist injektiv und stetig und falls diese Bedingungen erfüllt sind, hat auch die Umkehrfunktion diese Eigenschaften. Die Äquivalenz von () und () ist klar, da "streng monoton" das Gleiche wie "injektiv und monoton" bedeutet. () => (3) ergibt sich aus der Tatsache, daß für jede monotone Funktion in allen Punkten aus dem Definitionsbereich der linkseitige und der rechtsseitige Grenzwert eistiert (mit Ausnahme von a und b, wo natürlich nur die Eistenz des rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerts verlangt wird). Für (3) => () nutzt man mehrfach den Zwischenwertsatz aus. stetig,surjektiv, nicht injektiv, nicht monoton Potenzfunktionen f = n unstetig, injektiv, nicht surjektiv, streng monoton wachsend sind auf jedem Intervall rechts von 0 stetig und streng monoton wachsend (Beweis durch Induktion).
Beispiel : Dritte Potenz und Wurzel Die Funktion f : 0, / 0, mit f = K 3 C ist stetig, streng monoton wachsend und hat wegen y = K 3 C <=> yk = K 3 <=> yk die stetige und streng monoton wachsende Umkehrfunktion g y = yk 3 C.,0,5,0 0,5 g f 3 = K <=> yk 3 C = 0 0 0,5,0,5,0 Die zuvor diskutierten Funktionen sind allesamt stetig und zumindest auf bestimmten Intervallen streng monoton. Dort eistieren also Umkehrfunktionen, und diese sind wieder stetig und streng monoton. Wir stellen sie in einer kleinen Liste zusammen. Tabelle zu Umkehrfunktionen Funktion a e a sin cos tan cot sinh cosh tanh coth Umkehrfunktion a ln log a arcsin arccos arctan arccot Arsinh Arcosh Artanh Arcoth Beispiel : Arcustangens und Tangens hyperbolicus Diese beiden Funktionen sehen recht ähnlich aus, haben aber verschiedenes Grenzverhalten: lim /N arctan =, lim /N tanh =, lim arctan =K /KN, lim tanh =K /KN,0 arctan tanh K4 K 4 K,0