Geometrie / Lineare Algebra

6 Geometrie / Lineare Algebra Vektoren und Rechenregeln Länge, Winkel, Abstand Darstellung von Geraden und Ebenen Umformungen Abstandsbestimmungen Lage, Schnitte, Schnittwinkel Spiegelungen E-Mail: klaus_messner@web.de, Internet: www.elearning-freiburg.de

Vektoren 6 Was ist ein Vektor? Ein gerichteter Pfeil! Ein Vektor hat eine Länge und eine Richtung. Vektoren, die im Ursprung beginnen, nennt man Ortsvektoren. Notation: In der Ebene z.b. u = a b, im Raum z.b. x = x x x

Rechenregeln 64 Addition und S-Multiplikation a + b = a a + b b = a + b a + b c a = c a a = c a c a mit c R Im Zusammenhang mit Vektoren nennt man eine reelle Zahl auch Skalar. S-Multiplikation ist die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.

Geometrische Deutung 65 Die Addition von Vektoren wird gedeutet als Hintereinanderhängen von Vektoren. Hier wird v an u gehängt. Der Pfeil vom Ursprung zur Spitze von v ist der Ergebnisvektor. Die S-Multiplikation stellt eine Verlängerung (oder Verkürzung) des Vektors dar. Multiplikation eines Vektors mit dreht die Richtung des Vektors um.

Skalarprodukt 66 Zwischen Vektoren wird das Skalarprodukt wie folgt definiert: a b = a a a b b b = a b + a b + a b Verwechsle das Skalarprodukt nicht mit der S-Multiplikation! Das Skalarprodukt wird bei der Berechnung von Längen und Winkeln benötigt.

Linearkombinationen 67 Definition: Ein Ausdruck der Form s v + s v + + s n v n mit s, s,, s n R heißt Linearkombination der Vektoren v, v,, v n. Die Vektoren v, v,, v n heißen genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung s v + s v + + s n v n = nur(!) für s = s = = s n = erfüllt wird. Andernfalls nennt man die Vektoren linear abhängig.

Linear abhängig / unabhängig 68 Besonders einfach ist die Entscheidung bei zwei Vektoren: Sind zwei Vektoren Vielfache voneinander, so sind sie linear abhängig, andernfalls sind sie linear unabhängig. Wozu benötigt man dies? Die Begriffe linear abhängig oder unabhängig helfen bei der Beurteilung der Lage von Geraden oder Ebenen zueinander.

Rechenbeispiel 69 Prüfe die Vektoren u = Abhängigkeit., v = 4 auf lineare Lösung: Es gilt u = v, d.h. u und v sind Vielfache voneinander und somit linear abhängig. Dies bedeutet dass u und v in entgegengesetzte Richtungen zeigen. - -4 x x

Rechenbeispiel 7 Bei der Prüfung von drei oder mehr Vektoren auf lineare Abhängigkeit muss die Definition verwendet werden! Es läuft darauf hinaus, ein LGS zu lösen. Prüfe die Vektoren a = auf lineare Abhängigkeit., b = 4 und c = 4 6

Lösung 7 Setze s + s + s 6 = 4 4 und löse das entstehende lineare Gleichungssystem: s + s 4s = s s + 6s = s + 4s s = s + s 4s = s s = s s = +

Lösung 7 s + s 4s = s s = Ein Parameter ist frei wählbar Vektoren sind l.a. In dieser Situation fällt also die dritte Gleichung weg. Damit kann einer der Parameter, z.b. s frei gewählt werden. Insbesondere kann dieser Parameter gewählt werden. Es gibt somit eine von s = s = s = verschiedene Lösung, d.h. die Vektoren sind linear abhängig.

Aufgaben 7. Überprüfe, ob sich a = Vektoren, 7, 8. Bestimme t so, dass sich a = der Vektoren b = als Linearkombination der darstellen lässt. t 7 und c = als Linearkombination darstellen lässt.

Lösung Aufgabe 74 Setze s + t 7 + u entsprechende LGS auf Lösbarkeit: = 8 und prüfe das s t + u = 8 s t + u = 8 s + t = + s + t = s + 7t u = s + 6t = 9 = Ergebnis: Das LGS ist nicht lösbar ist, d.h. dass der Vektor a nicht durch die anderen dargestellt (linear kombiniert) werden kann.

Lösung Aufgabe 75 Setze u u + v = u v = t u + v = 7 + v + = Es folgt t = ( ) = 8. t 7 und löse das LGS: u + v = u v = t Ergebnis: Der gesuchte Vektor ist a = 5v = v = 8 7. u =

Längen und Winkel 76 Länge für Vektoren: u = u u = u + u -dim. u = u u u = u + u + u -dim. Der Winkel zwischen zwei Vektoren u und v ist gegeben durch: cos α = u v u v

Orthogonale Vektoren 77 Aus der Winkelformel lässt sich ein Spezialfall ableiten. Für α = 9 ist cos (α) =. Damit bekommen wir ein Kriterium mit dem sich feststellen lässt, wann zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen, d.h. wann sie orthogonal sind. Kriterium für orthogonale Vektoren: Zwei Vektoren u, v sind genau dann orthogonal, wenn u v = ist, d.h. wenn das Skalarprodukt ist.

Rechenbeispiel 78 Bestimme die Längen der Vektoren a = den Winkel dazwischen. 4 und b = und Lösung: a = + + 4 = 5 = 5 b = + + = 4 a b = + + 4 = 6 cos α = a b a b = 6 5 4,7 α 7,

Abstand zwischen zwei Punkten 79 Der Abstand zwischen P und Q ist die Länge von v. Es gilt: d = v = PQ = q q p p Somit gilt in der Ebene d = q p + q p bzw. im Raum d = q p + q p + q p

Rechenbeispiel 8 Bestimme den Abstand zwischen a = Lösung: 4 und b =. d = b a = + + 4 = 7 5,

Darstellungsformen von Geraden und Ebenen 8 Parameterform Normalenform Koordinatenform Hesse sche Normalenform klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de

Parameterform einer Geraden 8 Eine Gerade bekommt man, indem man zu einem Punkt P auf der Geraden beliebige Vielfache eines Vektors addiert, der dieselbe Richtung wie die Gerade hat. Parameterform: g: x = p + tu t R p nennt man den Stützvektor und u den Richtungsvektor. Beispiel: g: x = + t t R

Parameterform einer Ebene 8 Bei Ebenen hat man ebenfalls einen Stützvektor aber zwei (linear unabhängige) Richtungsvektoren. Parameterform: E: x = p + su + tv s, t R Stützvektor Richtungsvektoren Beispiel: E: x = + s + t s, t R

Normalenform einer Ebene 84 Eine besonders einfache Darstellung ergibt sich mit Hilfe eines Normalenvektors. Jeder Vektor u = x p innerhalb der Ebene liegt senkrecht zu n. Daraus erhält man die Normalenform: E: x p n = Stützvektor Normalenvektor Beispiel: E: x =

Koordinatenform der Ebene 85 Durch Ausmultiplizieren der Normalenform erhält man die Koordinatenform: E: ax + bx + cx = d Aus der Koordinatenform kann man den Normalenvektor der Ebene direkt ablesen (blau dargestellt). Beispiel: E: x x + x = 4 Der Normelenvektor von E ist dann n =.

Aufgaben 86. Ermitteln Sie eine Parameterform der Ebene, die durch die Punkte A( 6 4), B( ) und C( 4 4) geht.. Gegeben sei die Ebene E durch E: x = Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung von E. Liegt der Punkt P(7 ) auf E?

Lösung Aufgabe A( 6 4) B( ) C( 4 4) 87 Wähle einen beliebigen Punkt, z.b. A, als Stützvektor. Gewöhnlich wählt man nun AB und AC als Richtungsvektoren. AB = 6 4 = 4 6 und AC = 4 4 6 4 Damit lässt sich nun die Parameterform der Ebene angeben. = 6 8 Ergebnis: E: x = 6 4 + s 4 6 + t 6 8 s, t R

Lösung Aufgabe x = 88 Die Koordinatenform lässt sich auf zwei Arten bestimmen. Methode : Ausmultiplizieren der Normalenform (aufwändig) x x x = x x x = x + x + x = x + x + x 6 = E: x + x + x = Keine Sorge, es geht auch einfacher!

Lösung Aufgabe x = 89 Methode : Die Koordinaten des Normalenvektors sind die Koeffizienten in der Koordinatenform: E: x + x + x = d Setze nun einfach den Stützvektor ein und erhalte d. Somit gilt: Das war schon alles! + + = = d E: x + x + x =

E: x + x + x = Lösung Aufgabe 9 Liegt der Punkt P(7 ) auf E? Setze einfach die Koordinaten von P ein und prüfe, ob die Koordinatengleichung erfüllt wird: 7 + + = 8 Ergebnis: Der Punkt P liegt nicht in E.

Einheitsvektoren 9 Was ist ein Einheitsvektor? Teile einen Vektor einfach durch seine Länge. Das Ergebnis ist ein Vektor der Länge, ein Einheitsvektor. Einheitsvektoren werden mit einer als Index gekennzeichnet. Rechenbeispiel: Bilde zu v = 4 einen Einheitsvektor. Lösung: v = + 4 = 5 v = v v = 5 4 =,6,8

Hesse sche Normalenform 9 Wenn man in der Normalenform einen Einheitsnormalenvektor verwendet, bekommt man die Hesse'sche Normalenform (HNF): HNF E: x p n = Dabei ist n = n n ein Einheitsnormalenvektor. Otto Hesse *.4.8 4.8.874 (Quelle: Wikipedia) Wofür braucht man dies? Unter Verwendung der HNF kann später der Abstand eines Punktes zu einer Ebene sehr bequem berechnet werden!

HNF in Koordinatenschreibweise 9 Die Hesse'sche Normalenform (HNF) einer Ebene kann auch in Koordinatenschreibweise notiert werden. In der Koordinatenform E: n x + n x + n x = d ziehe d auf beiden Seiten ab und teile anschließend durch die Länge des Normalenvektors: HNF E: n x +n x +n x d n +n +n = Dies ist die HNF in Koordinatenschreibweise.

Übersicht der Darstellungsformen 94 Typ Bezeichnung Darstellungsform Ebene Parameterform: x = p + su + tv Ebene Koordinatenform: ax + bx + cx = d Ebene Normalenform: x p n = Ebene Ebene Hesse sche Normalenform (HNF): Vektorielle Schreibweise Hesse sche Normalenform (HNF): Koordinatenschreibweise Gerade Parameterform: x = p + tu x p n = mit n = n n ax + bx + cx d a + b + c = Fürs Abitur müssen Sie in der Lage sein, aus der Aufgabenstellung heraus die Gleichung einer Geraden oder Ebene zu entwickeln.

95 Umwandlungen von Darstellungsformen für Ebenen Das Vektorprodukt Parameterform in Normalenform Normalenform in Koordinatenform Parameterform in Koordinatenform Koordinatenform in Parameterform klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de

Das Vektorprodukt 96 Wir definieren erneut eine Multiplikation zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt, nicht zu verwechseln mit dem Skalarprodukt. Schreibe hierzu die Vektoren zweimal untereinander und streiche die obere und untere Zeile. a a a a a a Bilde Produkte entlang der blauen und roten Linien und berechne blaue Produkte minus rote Produkte. b b b b b b = a b a b a b a b a b a b

Eigenschaften des Vektorprodukts 97 Im Vergleich zum Skalarprodukt ist das Ergebnis des Vektorprodukts ein Vektor, nicht ein Skalar! Der Ergebnisvektor steht senkrecht auf den beiden ursprünglichen Vektoren! Die Länge des Ergebnisvektors entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren u und v aufgespannt wird. Wozu braucht man das Vektorprodukt? Das Vektorprodukt ist häufig hilfreich, wenn man die Darstellungsform einer Ebene in eine andere umwandeln muss.

Rechenbeispiel 98 Zu a =, b = 4 bestimme das Vektorprodukt. Lösung: 4 4 = 4 ( ) ( ) 4 = 4 9

Rechenbeispiel 99 Gegeben ist eine Ebene mit E: x = Bestimme einen Normalenvektor zu E. + r 4 + s 5 Lösung: Bilde das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: 4 4 5 5 n = u v = 4 5 4 5 = 5

Parameterform in Normalenform Gegeben sei E in Parameterform: E: x = p + su + tv Bestimme mit dem Vektorprodukt aus den beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor n. Verwende den Stützvektor p der Parameterform als Stützvektor für die Normalenform.

Rechenbeispiel Wandle um in Normalenform! E: x = Lösung: + r + s Berechne zuerst den Normalenvektor mit dem Vektorprodukt. 5 7 5 7 5 7 n = u v = 7 5 5 7 = 9 9

Rechenbeispiel Der Stützvektor von E ist p = wir soeben berechnet mit n = 9 9 Damit erhalten wir die Normalenform für E:, den Normalenvektor haben. E: x 9 9 =

Normalenform in Koordinatenform Gegeben sei E in Normalenform: x p n = In E: ax + bx + cx = d ersetze a, b, c durch die Einträge n, n, n des Normalenvektors n. Setze die Koordinaten des Stützvektors für x, x, x ein und erhalte d.

Rechenbeispiel 4 Wandle um in Koordinatenform! E: Lösung: Stützvektor einsetzen: x 9 9 E: 9x x + 9x = d 9 + 9 = 5 Nun ist die Koordinatenform vollständig: E: 9x x + 9x = 5 bzw. schöner: E: 9x + x 9x = 5 =

Parameterform in Koordinatenform 5 Gegeben sei E in Parameterform: E: x = p + su + tv Bestimme mit dem Vektorprodukt aus den beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor. Dieser habe die Koordinaten n, n, n. In E: ax + bx + cx = d ersetze a, b, c durch n, n, n. Setze die Koordinaten des Stützvektors für x, x, x ein und erhalte d.

Koordinatenform in Parameterform 6 Vorgabe E: ax + bx + cx = d. Finde drei Punkte A, B, C, die alle in der Ebene aber nicht auf einer Geraden liegen. Verwende hierfür die Spurpunkte von E. In x = p + su + tv ist dann p = a, u = AB = b a und v = AC = c a.

Rechenbeispiel 7 Wandle E: x + 8x + 4x = 6 um in Parameterform. Lösung: Die Spurpunkte von E sind A 8, B und C 4. Damit ist: p = 8, u = AB = 8 und v = AC = 8 4 also E: x = 8 + r 8 + s 8 4 ; r, s R

Aufgaben 8. Zur Ebene E mit E: x = Koordinatenform gesucht. + s + t ist eine. Gegeben sind die Punkte A 4, B, C 8. Bestimme die Parameterform der Ebene, welche durch diese Punkte geht und daraus die Koordinatenform.. Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, die durch die Punkte A 8, B und C geht. Notieren Sie die Spurpunkte und veranschaulichen Sie die Ebene mit Hilfe ihrer Spurgeraden in einem Koordinatensystem. Zusammen mit dem Ursprung bilden die Punkte A, B und C eine Pyramide. Bestimmen Sie deren Volumen.

Lösung Aufgabe x = + s + t 9 Berechne zuerst einen Normalenvektor mit dem Vektorprodukt aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene. n = u v = = Da es auf die Länge des Normalenvektors nicht ankommt können wir noch durch teilen, was die Zahlenwerte vereinfacht. Wir haben somit n =.

Lösung Aufgabe Damit stellen wir die Koordinatengleichung der Ebene auf und erhalten zunächst E: x + x x = d mit einem noch unbekannten d. Da der Punkt ( ) in E liegt (das ist der Stützvektor), können wir den diesen einsetzen und erhalten d: + = = d. Damit ist die Koordinatenform komplett: E: x + x x =

Lösung Aufgabe Unter den Punkten A 4, B, C 8 wählen wir A als Stützvektor (wir könnten auch jeden anderen Punkt nehmen!). Als Richtungsvektoren nehmen wir die Verbindungsvektoren AB und AC. Dann ist AB = 4 = und AC = Damit haben wir die Parameterform der Ebene: 8 4 = 8 4. E: x = 4 + s + t 8 4 Stützvektor Richtungsvektoren

Lösung Aufgabe Berechne einen Normalenvektor mit dem Vektorprodukt aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene, wie in Aufgabe. 8 4 8 4 u v = 4 4 Division durch vereinfacht die Zahlenwerte: n = = 5 7 5 4 9.

Lösung Aufgabe 5 n = 4 9 A 4 Damit stellen wir die Koordinatengleichung von E auf: E: 5x 4x + 9x = d Da der Punkt A( 4) in E liegt setzen wir A ein und erhalten d: 5 4 + 9 4 = = d. Damit ist die Koordinatenform komplett: E: 5x 4x + 9x =

Lösung Aufgabe 4 Koordinatenform: Unter den Punkten A 8, B und C wählen wir AB und AC als Richtungsvektoren. AB = 8 = 6, AC = Wir bilden das Vektorprodukt: 6 6 7 6 7 6 u v = 6 8 6 4 = 7 6 =. 5 5

Lösung Aufgabe 5 Division durch 5 liefert: n = 4 und damit E: x + x + 4x = d Da der Punkt A 8 in E liegt setzen wir A ein und erhalten d: 8 + + 4 ( ) = = d. Damit ist die Koordinatenform komplett: E: x + x + 4x =

Lösung Aufgabe 6 Darstellung im Koordinatensystem Für die Zeichnung bestimmen wir zunächst die Spurpunkte von E: x + x + 4x =. Hierzu werden jeweils zwei Koordinaten Null gesetzt und die dritte berechnet: x = x = x = 4 S 4 x = x = x = 4 S 4 x = x = x = S Einzeichnen im Koordinatensystem und Verbinden der Spurpunkte verdeutlicht die Lage der Ebene. S S S

Lösung Aufgabe 7 Volumen der Pyramide Es gilt V = G h, wobei G die Grundfläche und h die Höhe der Pyramide ist. G ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel bei O, daher gilt G = OS OS = 4 4 = 8. h Mit h = OS = folgt V = 8 = 8 VE.

Abstandsbestimmungen 8 Abstand Punkt Gerade Abstand paralleler Geraden Abstand Punkt Ebene Abstand paralleler Ebenen Abstand windschiefer Geraden klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de

Abstand Punkt Gerade 9 Bestimmen Sie zuerst die Gleichung der Ebene E, welche orthogonal zu g steht und den Punkt P enthält. Hierfür brauchen Sie den Richtungsvektor von g, den Sie als Normalenvektor von E verwenden.

Abstand Punkt Gerade Mit dem Normalenvektor stellen Sie die Koordinatengleichung auf. E: n x + n x + n x = d Da P auf E liegt können Sie die Koordinaten von P für x, x, x einsetzen und erhalten d. Berechnen Sie den Schnittpunkt S von E mit g. Wenn g in Parameterform gegeben ist, setzen Sie die Koordinaten einfach in E ein und lösen nach dem Parameter t auf. Diesen Wert setzen Sie wieder in g ein und erhalten einen konkreten Wert für den Schnittpunkt S.

Abstand Punkt Gerade Der Ausdruck d = PS = s p liefert dann den Abstand zwischen den Punkten P und S. Dies ist dann der gesuchte Abstand von P zu g.

Rechenbeispiel Gegeben seien g: x = + t 4, t R, und P 4 Bestimme den Abstand von P zu g. Lösung: Bestimme Ebene E, senkrecht zu g. Der Richtungsvektor von g ist der Normalenvektor von E. Das liefert: E: x + x 4x = d P soll auf E liegen. Setze also P ein: 4 + 4 = = d E: x + x 4x =

Rechenbeispiel g: x = + t 4 Ermittle den Schnittpunkt von g und E. Nimm dazu die Koordinatengleichungen von g: x = + t, x = t und x = 4t Einsetzen in E: + t + t 4 4t = 8t 7 = t = t eingesetzt in g liefert den Schnittpunkt: x = + 4 = S

Rechenbeispiel P 4 S 4 Der Abstand zwischen P und S ist dann der gesuchte Abstand zwischen P und der Geraden g. Abstand zwischen P und S: d = PS = s p = 4 = + + = 9 = Ergebnis: Der Abstand zwischen P und S beträgt LE. =

Abstand paralleler Geraden 5 Wählen Sie einfach einen Punkt auf der einen Geraden (z.b. den Punkt der durch den Stützvektor beschrieben wird) und bestimmen dann den Abstand zur anderen Geraden mit dem soeben vorgestellten Verfahren.

Rechenbeispiel 6 Bestimme den Abstand der folgenden beiden Geraden: g : x = + s, s R und g : x = 4 + t Lösung: Wähle z.b. den Stützvektor von g als ein Punkt P auf g und berechne dann den Abstand von P zu g. Als nächstes stellen wir wieder die Gleichung der Ebene E auf, welche senkrecht zu g steht und P enthält. Der Richtungsvektor von g dient dabei als Normalenvektor für E., t R

Rechenbeispiel 7 Es folgt E: x x + x = d. P liegt auf E, also + = = d. Die Gleichung für E lautet daher: E: x =. Jetzt berechnen wir wieder den Schnittpunkt von g mit E, durch Einsetzen der Koordinaten von g : t = t = Der Schnittpunkt S von g mit E, ergibt sich durch Einsetzen von t in g : s = 4 + = 4 S 4

Rechenbeispiel 8 Der Abstand zwischen P und S ist dann der gesuchte Abstand zwischen den Geraden g und g. d = PS = 4 = = + + =,4 Ergebnis: Der Abstand zwischen g und g beträgt,4 LE.

Abstand Punkt Ebene 9 Gesucht ist der Abstand des Punktes R zur Ebene E. Konstruiere eine Gerade g senkrecht zu E, auf der R liegt. Verwende den Normalenvektor von E als Richtungsvektor für g und R für den Stützvektor. Dies liefert die Geradengleichung für g. Berechne nun den Schnittpunkt S von g mit E. Die Länge der Strecke RS ist dann der gesuchte Abstand von R zu E.

Abstand Punkt Ebene Die formale Umsetzung dieser Idee mündet in der Formel d = r p n Dabei ist p der Stützvektor von E und r der Ortsvektor des Punktes R. Den Einheitsnormalenvektor n erhält man wie üblich durch n = n, also indem man den Normalenvektor durch seine n Länge teilt.

Rechenbeispiel Bestimme den Abstand des Punktes R zur Ebene E mit E: x Lösung: =. Bilde zunächst n und setze n und R ein in die Abstandsformel: n = d = n = n n = = + 5 + = = 4

Abstand Punkt-Ebene mit der HNF Mit Hilfe der HNF in Koordinatenschreibweise kann nun der Abstand eines Punktes R a b c von der Ebene E einfach durch Einsetzen berechnet werden. Es gilt: Abstand = n a + n b + n c d n + n + n

Rechenbeispiel Bestimme den Abstand zwischen E: x x + 4x = und R 6. Lösung: Wandle zunächst um in HNF. n = 4 n = E: x x + 4x = Für x, x, x wird jetzt einfach R eingesetzt und man erhält den Abstand: d = 6 + 4 = 4,87

Abstand paralleler Ebenen 4 Wähle einfach einen Punkt auf F und bestimme mit der zuvor beschriebenen Formel der Abstand dieses Punktes zu E. Als Punkt nimmt man am einfachsten den Stützvektor von F. Man erhält dadurch diese Abstandsformel: d = q p n Hierbei ist p der Stützvektor von E, q der Stützvektor von F und n der Einheitsnormalenvektor, der senkrecht zu beiden Ebenen steht.

Abstand windschiefer Geraden 5 Gesucht ist der Abstand zweier Geraden g und g im Raum, also zweier windschiefer Geraden. Die beiden Geradengleichungen sollten in Parameterform vorliegen. Es seien u bzw. v die Richtungsvektoren von g bzw. g. Außerdem seien p bzw. q die Stützvektoren von g bzw. g.

Abstand windschiefer Geraden 6 Konstruiere zwei parallele Ebenen E und F, so dass g in E und g in F liegt. Als Stützvektoren für E und F verwende diejenigen der jeweiligen Geraden. Der Normalenvektor beider Ebenen ergibt sich durch n = u v. Nun kann man den Abstand paralleler Ebenen mit dem vorher beschriebenen Verfahren bestimmen.

Abstand windschiefer Geraden 7 Statt das Verfahren zu durchlaufen, kann man auch eine Formel verwenden: d = p q n Hierbei muss ein Einheitsnormalenvektor n bestimmt werden. Mit n = u v folgt n = n n. p und q sind die Stützvektoren der Geraden g bzw. g. u und v sind die Richtungsvektoren der Geraden g bzw. g.

Rechenbeispiel 8 g : x = 4 + s 4 g : x = Gesucht ist der Abstand zwischen g und g. + t s, t R Lösung: Wir berechnen zunächst n mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: 4 4 n = u v = 6 4 8 = 8 8 4

Rechenbeispiel 9 Daraus ergibt sich n : n = 8 + 8 + 4 = n = n n = 8 8 4 = Folglich ergibt sich der Abstand der beiden Geraden zu: d = 4 = = 4 + 4 + = 9

4 Lage, Schnitte und Schnittwinkel von Geraden und Ebenen Schnitt zweier Geraden Schnitt Gerade / Ebene Schnitt zweier Ebenen Die Lage einer Ebene im Koordinatensystem klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de

Schnitt zweier Geraden 4 Geraden in der Ebene sind entweder parallel oder sie schneiden sich. Geraden im Raum, die nicht parallel sind, müssen sich nicht zwingend schneiden. Sie können windschief sein.

Schnitt zweier Geraden 4 Um den Schnitt zwischen zwei Geraden zu bestimmen geht man so vor: Je nachdem in welcher Form die Gleichungen vorliegen, setzt man gleich oder man setzt die Koordinaten ineinander ein. Nun bestimmt man die Parameter. Zuletzt setzt man einen der Parameter in die zugehörige ursprüngliche Geradengleichung ein und bestimmt damit den Schnittpunkt. Es läuft darauf hinaus, ein lineares Gleichungssystem zu lösen und die Lösung zu deuten.

Schnitt zweier Geraden 4 Falls beim Bestimmen der Parameter ein Widerspruch entsteht, so gibt es keinen Schnittpunkt. Falls die Parameter eindeutig bestimmbar sind, so gibt es genau einen Schnittpunkt. Falls ein Parameter frei wählbar ist, so ergibt sich eine Schnittgerade, d.h. dass die beiden Geraden identisch sind.

Rechenbeispiel 44 Bestimmen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der beiden folgenden Geraden: Lösung: g : x = + s Geradengleichungen Gleichsetzen und g : x = + t + s = + t s t =

Rechenbeispiel s t = 45 Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem: I. s t = II. t = III. s t = s = Mit t = und s = ist III. ebenfalls erfüllt (immer mitprüfen!) und es ergibt sich kein Widerspruch. Einsetzen von s = in g liefert den Schnittpunkt: x = + P 6

46 Rechenbeispiel g : x = g : x = + s + t Schnittwinkel: Der Schnittwinkel ergibt sich aus dem Winkel α zwischen den beiden Richtungsvektoren von g und g. Es gilt cos α = u v. Mit u v u v = und v = folgt cos α = u v u v =,95 =, u = α 7,55 (mit dem GTR über ND cos - )

Rechenbeispiel 47 Untersuchen Sie die beiden folgenden Geraden auf Schnittpunkte und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. Lösung: g : x = 4 + s 5 6 und g : x = 4 8 + t,5 5 Die Richtungsvektoren sind linear abhängig, d.h. g und g sind entweder parallel oder identisch. Falls ein Punkt von g auf g liegt, so sind die Geraden identisch. Wir testen dies, indem der Punkt P 4 8 (dies ist der Stützvektor) von g in g eingesetzt wird.

Rechenbeispiel 48 4 8 = 4 + s 5 6 6 = s 5 6 In der ten Koordinate liest man 6s = also s = ab. Setzt man dies in die zweite Koordinate ein, so erhält man den Widerspruch 6 = =. Der Widerspruch zeigt: g und g sind parallel.

Schnitt von Gerade und Ebene 49 Schneidet eine Gerade eine Ebene, so nennt man den Schnittpunkt auch den Durchstoßpunkt. Diesen bestimmt man z.b. durch Gleichsetzen. Man löst das lineare Gleichungssystem und interpretiert die Lösung. Dabei gibt es verschiedene Fälle. Entweder es gibt keinen, genau einen oder unendlich viele Schnittpunkte. Kein Schnittpunkt g ist parallel zu E. Unendlich viele Schnittpunkte g liegt komplett in E.

Winkel Gerade / Ebene 5 Verwende die Winkelformel, um den Winkel zwischen g und dem Normalenvektor n zu ermitteln: cos β Mit β = 9 α und cos 9 α = n u n u = sin α folgt: u sin α = n u n u

Winkel zwischen Ebenen 5 Um den Winkel zwischen zwei Ebenen zu bestimmen, verwenden Sie einfach die übliche Winkelformel und setzen Sie die Normalenvektoren der beiden Ebenen ein: α cos α = n n n n

Rechenbeispiel 5 Gesucht ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden g: x = 4 + r 5 und der Ebene E: x = 4 + s Lösung: Wir berechnen zunächst n mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: + t. n = u v = 6 6 9 6 = 4

Rechenbeispiel sin α = n u n u, n = 4, u = 5 5 Es gilt n u = 5 + 4 = 4, n = 9 + 9 + 6 = 4 und u = 5 + + = 7. Einsetzen in die Winkelformel liefert: 4 sin α = 4 7,46 Es folgt α 7,5 (mit dem GTR über ND sin - )

Rechenbeispiel 54 Gesucht ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden g: x = 4 + r 4 und der Ebene E: x = 4 + s Lösung: Wir berechnen zunächst n mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: + t. n = u v = 6 4 = 5

Rechenbeispiel sin α = n u 5 n u, n =, u = 4 55 Es gilt n u = 5 =. Die Längen n und u brauchen wir nun nicht mehr auszurechnen, denn sin α = n u = Es folgt α (mit dem GTR über ND sin - ). Dies bedeutet, dass g parallel zu E verläuft oder komplett in E liegt.

Rechenbeispiel 56 Gesucht ist der Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen E : x = + r + s und E : x 4 =. Lösung: Wir berechnen zunächst einen Normalenvektor für E : n = u v = =

Rechenbeispiel 57 Nun wird n = und n = in die Winkelformel cos α = n n n n eingesetzt: n n = 4 + =, n = + 4 + = 6, n = 4 + 4 + 9 = 7 cos α = 6 7,99 Es folgt α 84, (mit dem GTR über ND cos - )

Lage von Ebenen im Koord.system 58 Spurpunkte sind die Punkte, an denen eine Gerade oder Ebene die Koordinatenachsen schneidet. Verwende die Spurpunkte um Ebenen in einem Koordinatensystem zu zeichnen. Die Spurpunkte erhält man, indem man in einer Koordinatengleichung jeweils zwei Koordinaten Null setzt und nach der dritten Koordinate auflöst. E: ax + bx + cx = d S d a S d b S d c

Lage von Ebenen im Koord.system 59 Wenn in einer Koordinatengleichung Koordinaten wegfallen, so liegt die Ebene parallel zu den weggefallenen Koordinatenachsen. - E: x x = E ist parallel zu x E: x = E ist parallel zu x und x

Wahlteil 5 Geometrie II 6 g: x = 5 5 + r ; r R, A( ), B( 5 ) Der Punkt T liegt auf der Geraden g und bildet zusammen mit den Punkten A und B ein bei T rechtwinkliges Dreieck. Bestimmen Sie die Koordinaten von T. Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck ABT? Bestimmen Sie einen Punkt, der von A, B und T den gleichen Abstand hat

Lösung g: x = 5 + r 5 A( ), B( 5 ) 6 Bestimmung von T Der Punkt T auf g und hat somit die Koordinaten t t t = 5 + r 5 siehe Geradengleichung. Die Seiten AT und BTsind rechtwinklig, somit gilt AT BT =. Es folgt: A g T B AT = 5 + r 5 = + r und BT = 5 + r 5 5 = + r

Lösung t 5 + r t = t 5 A( ), B( 5 ) 6 + r + r = + r + r + + = + r = r = Daraus ergibt sich T konkret mit T 5. Flächeninhalt des Dreiecks ABT A g T B A = AT = AT BT AT = 8 und BT = Es folgt: A = 8 8 = 4 BT = 8

Lösung t 5 + r t = t 5 A( ), B( 5 ) 6 Punkt mit gleichem Abstand von A, B und T Das Dreieck ATB ist gleichschenklig und A T rechtwinklig. Somit ist die Seite AB die Diagonale M eines gedachten Quadrates. Der Mittelpunkt M B dieser Diagonalen hat zu jedem Eckpunkt denselben Abstand. Zu berechnen ist daher der Mittelpunkt der Seite AB. Es gilt: m = a + b also m = Ergebnis: Der gesuchte Punkt ist M. + 5 = g.

Abi-Aufgaben 64 Unter anderem behandeln die folgenden Abi-Aufgaben die Themen Lage, Schnitte, Winkel : Abi Wahlteil Geometrie - Aufgabe II. a) Abi 9 Wahlteil Geometrie - Aufgabe II. a) Abi 7 Pflichtteil - Aufgabe 7 a), b)

Spiegelungen 65 Punkt an Gerade Punkt an Ebene Gerade an Ebene klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de

Spiegelung Punkt an Gerade 66 Voraussetzung: Der zu spiegelnde Punkt A darf nicht selbst auf der Geraden liegen! Test: A in die Geradengleichung für g einsetzen. Falls sich ein Widerspruch ergibt, liegt A nicht auf g und kann gespiegelt werden.

Spiegelung Punkt an Gerade 67 Das Verfahren: Bilde eine Hilfsebene H die A enthält und senkrecht zu g steht. Der Richtungsvektor von g ist dabei der Normalenvektor von H. Stützvektor ist a. Bestimme den Schnittpunkt F von H mit g. Mit Hilfe des Vektors AF erhalten Sie den Spiegelpunkt A. Formal: a = a + AF.

Spiegelung Punkt an Ebene 68 Voraussetzung: Der zu spiegelnde Punkt A darf nicht auf der Ebene E liegen. Verfahren: Bestimme die Gerade g durch den Punkt A und senkrecht zu E. Verwende a als Stützvektor und den Normalenvektor n der Ebene als Richtungsvektor von g. Ermittle den Schnittpunkt S von g mit E. Die Koordinaten des Spiegelpunkts A ergibt sich aus a = a + AS.

Spiegelung Gerade an Ebene 69 Fall : Die Gerade g liegt komplett in E. In dem Fall gibt es nichts zu spiegeln. Sie können dies feststellen, indem Sie zwei verschiedene Punkte, z.b. den Stützvektor von g und einen beliebigen anderen Punkt in E einsetzen. Falls in beiden Fällen die Ebenengleichung erfüllt ist, liegt g vollständig in E. Fall : g geht senkrecht durch E. Auch hier gibt es nichts zu spiegeln. Ob g senkrecht zu E steht, erkennen Sie daran, dass der Richtungsvektor u von g und der Normalenvektor n von E linear abhängig sind, d.h. dass u = k n für ein k R gilt.

Spiegelung Gerade an Ebene 7 Fall : g ist parallel zu E. Mit dem vorher beschriebenen Verfahren spiegeln Sie einfach zwei beliebige Punkte A und B von g an E und erhalten die Spiegelpunkte A und B. Mit diesen beiden Punkten stellen Sie nun die Geradengleichung auf und erhalten somit die Spiegelgerade. Fall 4: g ist schneidet E (aber nicht senkrecht). Bestimme den Schnittpunkt S von g mit E. Mit dem oben beschriebenen Verfahren spiegeln Sie einen beliebigen Punkt A von g, z.b. den Stützvektor, an E und erhalten den Spiegelpunkt A'.

Abi-Aufgaben 7 Das Thema Spiegelungen wird u.a. in den folgenden Abi- Aufgaben behandelt: - Pflichtteil Aufgabe 8 - Wahlteil Geometrie II Aufgabenteile a) und b) - Wahlteil Geometrie II Aufgabe. a) 9 - Pflichtteil Aufgabe 8