3. Vorlesung Systemtheorie für Informatiker Dr. Christoph Grimm Professur Prof. Dr. K. Waldschmidt, Univ. Frankfurt/Main
Letzte Woche: Systemeigenschaften, Superpositionsprinzip Systemklassen: DESS, DEVS, DTSS, hybride Systeme Eigenschaften: Linearität, Zeitinvarianz, Stabilität,... Superpositionsprinzip: 1. Zerlegung von Eingabesignal u(t) in Summe einfacherer Signale u 1 (t),..., u n (t), für die Systemreaktionen y 1 (t),..., y n (t) bekannt sind. 2. Die gesuchte Ausgabe y(t) = T {u(t)} ergibt sich aus der Summe der einzelnen Systemreaktionen y 1 (t),..., y n (t). Allgemein: y(t) = n y i (t) i=1 3. Vorlesung Systemtheorie 1
Heute: Impulsantwort, Sprungantwort, Faltung Lernziele für diese Woche: 1. Impulsantwort und Sprungantwort von DTSS 2. Faltungssumme 3. Impulsantwort und Sprungantwort von DESS 4. Faltungsintegral 3. Vorlesung Systemtheorie 2
Einige Voraussetzungen! Linearität: Sie erlaubt uns die Anwendung des Superpositionsprinzips. Zeitinvarianz: Diese Eigenschaft erlaubt uns die Verschiebung von Signalen. Systeme, die obige Voraussetzungen erfüllen, werden LTI-Systeme genannt (von engl.:linear, Time-Invariant) LTI-Systeme können zeitkontinuierlich (DESS) oder zeitdiskret (DTSS) sein. 3. Vorlesung Systemtheorie 3
Der Einheitsimpuls δ[n] δ[n] sei eine Folge mit: δ[n] = { 1 für n = 0 0 für n 0 δ[n] wird auch als (zeitdiskreter) δ-impuls oder Diracimpuls bezeichnet. 1 n 3. Vorlesung Systemtheorie 4
Die Impulsantwort h[n] Die Ausgabe eines Systems bei Eingabe eines Einheitsimpulses δ[n] wird als Impulsantwort h[n] bezeichnet: h[n] = T {δ[n]} 1 n L T ISystem n 3. Vorlesung Systemtheorie 5
Eigenfunktion von LTI-Systemen Beliebige Folgen f[n] lassen sich als Linearkombination von zeitlich verschobenen Einheitsimpulsen δ[n] darstellen: f[n] = ν= f[ν]δ[n ν] f[ν] ist Wert der Folge f an der Stelle n = ν. δ[n ν] ist Einheitsimpuls an der Stelle n = ν. Summe macht aus den einzelnen skalierten und verschobenen δ-impulsen eine Folge, deren Werte f[n] entsprechen. 3. Vorlesung Systemtheorie 6
Die Faltungssumme (1) Mit Superpositionsprinzip kann Ausgabe y[n] = T {u[n]} für beliebige Eingaben u[n] berechnet werden, wenn Impulsantwort h[n] bekannt ist: y[n] = T { ν= Da das System linear ist, gilt: u[ν]δ[n ν]} y[n] = ν= u[ν]t {δ[n ν]} 3. Vorlesung Systemtheorie 7
Die Faltungssumme (2) von letzter Folie: y[n] = ν= u[ν]t {δ[n ν]} Da System zeitinvariant, ist T {δ[n ν]} = h[n ν]: y[n] = ν= u[ν]h[n ν] (Faltungssumme) 3. Vorlesung Systemtheorie 8
Die Faltungssumme als Operation Faltungssumme bildet zwei Signale u[n], h[n] auf ein Signal y[n] ab. Faltungssumme kann auch als Operation Faltung interpretiert werden. Hierzu wird auch der Faltungsoperator verwendet. Wir notieren dann: y[n] = u[n] h[n] (Faltungsoperator) 3. Vorlesung Systemtheorie 9
Berechnung der Impulsantwort von T := T 2 {T 1 { }} Frage: Was ist die Impulsantwort h[n] zweier Systeme mit h 1 [n], h 2 [n], die in Reihe geschaltet sind (d. h. T := T 2 {T 1 { }}, Bild unten)? System 1 h 1[n] System 2 h 1[n] h 2 [n] h 1[n] * h 2 [n] Antwort: h[n] = h 1 [n] h 2 [n] Die Impulsantwort h[n] zweier in Reihe geschalteter LTI-Systeme ergibt sich aus der Faltung ihrer Impulsantworten h 1 [n], h 2 [n] : h[n] = h 1 [n] h 2 [n]. 3. Vorlesung Systemtheorie 10
Impulsantwort und Sprungantwort als Systembeschreibung Mit Hilfe der Impulsantwort h[n] kann die Systemreaktion für beliebige Eingaben berechnet werden. h[n] beschreibt das Verhalten eines LTI-Systems vollständig! Gleiches gilt übrigens für die Sprungantwort a[n]! Sprungantwort ist zudem meist leichter experimentell zu bestimmen, und man kann häufig direkt die (In)Stabilität eines Systems erkennen. Die Impulsantwort h[n] kann aus der Sprungantwort a[n] durch Ableitung nach der Zeit berechnet werden (Die Differentiation ist ein lineare Fkt.). 3. Vorlesung Systemtheorie 11
Beispiel Gegeben sei System mit h[n]: h[n] = { 0 für n < 0 (1/2) n für n 0 = s[n](1/2) n Frage: T {s[n]} = a[n]? Für n > 0 ist: y[n] = = u[ν]g[n ν] = ν= ν= n ν 1 = 1 (1/2)n+1 ν=0 2 1 1/2 s[ν]s[n ν] 1 2 = 2 (1/2) n n ν bzw. allgemein: y[n] = s[n](2 (1/2) n ) 3. Vorlesung Systemtheorie 12
... und für zeitkontinuierliche Systeme? Bisher: Impulsantwort/Sprungantwort als Systembeschreibung. Faltungssumme zur Berechnung der Ausgabe. für zeitdiskrete Systeme. Jetzt: Dasselbe Spiel nochmal für zeitkontinuierliche Systeme. 3. Vorlesung Systemtheorie 13
Die zeitkontinuierliche Impulsfunktion (Eigenschaften) Das Signal δ(t) sei Signal mit den folgenden Eigenschaften: 1. δ(t) = { 0 t 0 t = 0 2. δ(t)dt = 1 auch: Impulsfunktion, Dirac-Impuls, δ-impuls, Nadelimpuls. Dirac-Impuls δ(t) ist streng genommen keine Funktion, sondern eine verallgemeinerte Funktion oder Distribution (vgl. Unbehauen, Anhang). 3. Vorlesung Systemtheorie 14
Die zeitkontinuierliche Impulsfunktion 1/e t 3. Vorlesung Systemtheorie 15
Darstellung beliebiger Signale f(t) durch Impulsfunktion Eine weitere wichtige Eigenschaft ist das Ausblendintegral. Es gilt: f(t) = f(τ)δ(t τ)dτ Mit Ausblendintegral kann Funktion f(t) mit Hilfe von unendlich vielen Dirac-Impulsen darstellen. Damit hat er für die Herleitung der Faltung genau die gleichen Eigenschaften, wie der zeitdiskrete Einheitsimpuls δ[n]. Hinweis: Vergleichen Sie mit der Ausblendsumme: f[n] = ν= f[ν]δ[n ν] 3. Vorlesung Systemtheorie 16
Das Faltungsintegral (1) Wir stellen zunächst das Eingabesignal u(t) als Superposition unendlich vieler Einheitsimpulse dar: u(t) = u(τ)δ(t τ)dτ Da Integration und Multiplikation mit u(τ) lineare Operationen sind: y(t) = T {u(t)} = u(τ)t {δ(t τ)}dτ 3. Vorlesung Systemtheorie 17
Das Faltungsintegral (2) Da System zeitinvariant ist, gilt: T {δ(t τ)} = h(t τ). Damit ergibt sich die Ausgabe y(t) eines linearen, zeitinvarianten Systems mit der Impulsantwort h(t) bei einer Eingabe u(t) zu: y(t) = u(τ)h(t τ)dτ (Faltungsintegral) 3. Vorlesung Systemtheorie 18
Eigenschaften der zeitkontinuierlichen Faltung Wie zuvor für zeitdiskrete Systeme motiviert gilt: 1. Die Faltung kann als Operation verstanden werden: y(t) = h(t) u(t). 2. Die Faltung berechnet die Ausgabe eines Systems bei Eingabe einer Impulsfunktion. 3. Die Faltung berechnet die Impulsantwort einer Reihenschaltung von zwei Systemen. 3. Vorlesung Systemtheorie 19
Einige Eigenschaften der Faltung (LTI-DESS+DTSS) Einige Eigenschaften der Faltung : Operation *, die zwei Signale auf ein Signal abbildet. x(t) h(t) = h(t) x(t) (Kommuntativität). x(t) [h 1 (t) h 2 (t)] = [x(t) h 1 (t)] h 2 (t) (Assoziativität). x(t) [h 1 (t) + h 2 (t)] = [x(t) h 1 (t)] + [x(t) h 2 (t)] (Distributivität). 3. Vorlesung Systemtheorie 20
Einige Eigenschaften der Faltung (Graphisch/Blockdiagramm) u(t) h 1 (t) u(t)*h (t) 1 + y(t) u(t) h(t) y(t) h (t) 2 u(t)*h (t) 2 h(t) = h 1 (t) + h 2 (t) u(t) h 1 (t) u(t)*h (t) 1 h (t) 2 y(t) u(t) h(t) y(t) h(t) = h 1 (t) * h 2 (t) 3. Vorlesung Systemtheorie 21
Zusammenfassung Heute kennengelernt: Sprungantwort als charakteristisches Merkmal von LTI (DESS + DTSS). Impulsantwort als charakteristisches Merkmal von LTI (DESS + DTSS). Faltungssumme, Faltungsintegral. Die Faltung als Operation. Eigenschaften der Faltung. 3. Vorlesung Systemtheorie 22
Nächste Woche Frequenzgang Übertragungsfunktion H(jω) Darstellung der Systemfunktion im Bode-Diagramm 3. Vorlesung Systemtheorie 23