Lösung der Aufgabe a) Nullstelle: : = Ableitungen: f () = : - = : = a f (a) = - e < : ist Stelle eines Maimums f () = : = : = a f (a) = e - : ist Wendestelle b) = e unabhängig von a tan = e ; = 69,8... c) f (a) = - e - ; f(a) = a e - Ansatz für die Wendetangente: y = - + q P(aa e - ) einsetzen. a e - = - a + q also q = für a = : y = - + -.7 + 4.4 y = - + -.7 + 4.4 d) F = = (-a) - = -ab + a(-a) f() = f () = g () = F(b) = -a (a+b) g() = -a + a e = a e
Lösung der Aufgabe a) P( P I A ) = 6 b) P( PIA PAI IPA IAP API AIP ) = c) Einzelwahrscheinlichkeit p =, q = -p P ( mindestens -mal PIA ) = - P( nie, einmal oder zweimal PIA ) : ( ) ( ) 99 ( ) ( ) ( ) 99 P () = =,8... P () = =,87... 99 499 6 ( ) ( ) ( ) 498 P () = =,... Es folgt : P (mindestens -mal PIA) = - [ P ()+P ()+ P () ] = -,99897.. =, ( ) 99 n d) P(mindestens mal PIA ) = - P(nie PIA ) = - >, 99 n log( ) < log(, 4) n > 7,7... PIA müsst das Ziehen 76-mal wiederholen. e) P( Buchstaben) = P( Buchstaben) = P( Buchstabe) = P(kein Buchstabe) = = = 6 6 44 6 44 6 6 6 Werte der Zufallsvariablen X : Gewinn für Pia in Franken X -4-8 - 6 P(X) 6 6 44 6 44 6 6 6 Erwartungswert = E(X) = 6 (6(-4) + 44(-8) + 44(-) + 66) = =,4 Pia erwartet einen Gewinn von,4 Rappen.
Lösung der Aufgabe a) ( sin t sin t) dt = [ ] ( sin st sin t) dt = cost + cos t = - cos + cos + - = -(cos - sin ) + cos - = Umformung nach FoSa cos - cos + = Faktorisieren ( cos - )(cos - ) = cos = dann ist = cos = ½ π π dann ist = oder = b) y = f() = ½ Parabel P(6/) Der Mittelpunkt des (kleinsten) berührenden Kreises liegt auf der Normalen n zur Kurve durch P, senkrecht zur Tangente im Berührungspunkt B(b/½ b ). B ist der zu P am nächsten gelegene Punkt PB der Parabel, also muss die Strecke d = minimal werden: b d = PB = b b. Die Strecke d ist minimal, wenn d minimal ist : d b 6 = ( 6) + ( ) 4 = ; d = b 4 b + ( b 6) + b - = für b = ( geratene ganzzahlige Lösung). Aus geometrischen Gründen muss dies die einzige Lösung sein (Nachweis durch Polynomdivision möglich). Der Berührpunkt ist B(/), Mittelpunkt des Kreises = Mittelpunkt der Strecke PB : M(4 ) Die Gleichung des Kreises lautet k: (-4) + (y-) =.
Lösung der Aufgabe 4 a) ABX : F = / = /4; XCY : F = ½ ( - /) = / - /4 ; YDA : F = ½(-) = ½ - / Dreiecksfläche = Quadratfläche - (F + F + F ) : F() = - /4 - / + /4 - ½ + / = ½ - /4 + /4 b) F() = ½ : ½ - /4 + /4 = ½, also /4 - /4 =, =, = Die Flächen der Dreiecke ABC und ACD haben halbe Quadratfläche (!) c) F () = - ¼ + ½ ; F () = für = ½, wobei f (½) > ist, ist Stelle eines Minimums. d) Lösung mit Trigonometrie tan = /, tan = -, tan = /(-/) Für = folgt: tan = /6; tan = /. und = 9,46..., =,69..., = 9 - (+ ) = 46,84... ; e) tan = /; tan = -, also = arctan / und = arctan (-) (+ )() = arctan / + arctan (-) (+ ) () = = Nullstelle : ( - + ) - (4 + ) = - 4 + 4-4 - = - 4 = 4 = und = 4 ist minimal für = und maimal für = 4; der zweite Wert ist ausserhalb des Definitionsbereiches [,] für, also stellt = ein Randmaimum dar für dieses Etremalproblem. Der Winkel beträgt für = : =, = 4, = 4 und für = : =,6..., =, = 6,4... Lösung der Aufgabe d mit dem Skalarprodukt: Eckpunkte A(), X( ) und Y() Vektoren, und cos = Für = erhält man cos = = = =,68... Analog für den Winkel bei X
Lösung der Aufgabe a) Mittelpunkt M der Kugel ist M( ); sein Abstand MP von einem beliebigen Punkt der Kugeloberfläche ist gleich dem Radius r, also ist MP = y y z r = ( ) + ( ) + ( ) = z Die Tangentialebene in B steht senkrecht zum Radius BM, d.h. die Normale n zur Ebene durch den Mittelpunkt M berührt die Kugel in B. Normalenvektor zur Ebene E ist, also ist n : r = t. Sie schneidet die Ebene E in B: (+t)-(-t)+(+t) = + Man erhält t = - und, eingesetzt in die Gleichung von n, den Berührpunkt B(//). Der Abstand BM ist gleich dem Radius r; er beträgt BM =. b).punkt der Schnittgeraden : = : E: -y + z = : y - z = also y = z.punkt der Schnittgeraden ist also z.b. A(//).. Punkt der Schnittgeraden : y = : E : + z = : - z = also z = und =. Punkt der Schnittgeraden ist B(//). Die Schnittgerade s ist Gerade durch den Ursprung mit Richtungsvektor AB =. c) Die Tangente t durch B liegt natürlich in der Ebene E; da sie parallel zur Ebene liegen muss, liegt sie auch parallel zur Schnittgeraden s von E mit. Die Gleichung dieser Tangenten lautet demnach r = t. + d) Da t und s in der Tangentialebene E der Kugel liegen, ist die Höhe der Pyramide gleich dem Abstand des Mittelpunkts von der Ebene E, nämlich. Die Länge der Quadratseite a ergibt sich als Abstand der beiden Geraden t und s. Dazu schneidet man die Normalebene zu t durch B mit s; der Schnittpunkt S hat von B den gesuchten Abstand a: Die Normalebene zu t durch B hat die Gleichung -y -z + const =, einsetzen der Koordinaten von B ergibt const =. Die Ebene -y - z + = schneiden mit s : -(-t) -(-t) + =, t = -,, was den Punkt S(,,) auf s ergibt. Es folgt a = BS =, =, = =,, Man erhält das Pyramidenvolumen : V = =,.