Musterlösung Probeklausur Physik I, FS 8 May 7, 8 Schaukel Es soll betont werden, dass wir nur Rotationen der Unterschenkel am Knie betrachten. Vereinfacht kann man ansetzen, dass es sich um ein gekoppeltes Pendel der folgenden Art handelt: wobei S den Schwerpunkt der beiden Massen m und m bezeichnet. Dabei sei m m. Wird das untere Pendel (Beine) genügend schnell ausgelenkt und anschliessend mit θ festgehalten ist der Schwerpunkt S, welcher auf l liegt, nicht mehr im Lot. Dies ist möglich, weil l l und m m dazu führt, dass über die Masse m nicht unmittelbar ein Ausgleich des Schwerpunkts ergibt. Das Schwerefeld der Erde mit der Beschleunigung g bringt das gesamte System mit ω S = g l zum Schwingen, wobei l die Länge vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt bezeichnet. Durch geschicktes ändern von θ kann die Amplitude gezielt erhöht (oder auch erniedrigt) werden. Ohne Schwerefeld wirkt keine rücktreibende Kraft und somit entsteht auch keine Schwingung. Es gibt wegen der Impulserhaltung lediglich eine Rotation des Systems um den stabilen Schwerpunkt S des Gesamtsystems (Schaukel und Person), solange θ geändert wird. Für eine genauere Behandlung des Problems muss man zusätzlich den Drehimpuls des Oberkörpers und der Beine betrachten, welche beide im Prinzip keine Massenpunkte, sondern starre, ausgedehnte Körper sind.
Drehpendel Es wirken 3 Kräfte auf die Masse m, deren Summe im stationären Fall (θ = const.) null ist: F Z + F G + F S = () Die Kräft sind gegeben durch: F Z = mω r, r = l sin θ () F G = mg (3) wobei F G nach unten und F Z horizontal nach aussen zeigt. Die Komponenten von F Z und F G parallel zum Stab heben sich mit F S auf. Die senkrechten Komponenten sind entgegengesetzt und heben sich auf für θ = const.: F Z = mω l sin θ cos θ (4) F G = mg sin θ = l cos θ = g ω (5) Die Höhe h ist gegeben durch h = l cos θ. Einsetzen ergibt: Damit ist h nicht von l abhängig, wzbw. h = g ω (6) 3 Trapezkünstler Die Winkelgeschwindigkeit muss hoch genug sein, damit sich der Trapezkünstler innerhalb des vorgebenen Zeitraums von.87 s viermal um seine Achse drehen kann. Um die Winkelgeschwindigkeit ω soweit wie möglich zu steigern, zieht der Artist die Arme und Beine eng an den Körper. Während des freien Flugs wirkt kein äusseres Drehmoment auf den Artisten. Sein Drehimpuls bezüglich des Schwerpunkts ist deshalb konstant. Aufgrund der Drehimpulserhaltung ergibt sich eine Beziehung zwischen den Winkelgeschwindigkeiten am Anfang und während der gehockten Phase: ω J = ω J = ω = J J ω (7) Das Verhältnis der beiden Winkelgeschwindigkeiten ist bestimmt durch das Verhältnis der zu durchlaufenden Drehwinkel und der hierfür zur Verfgung stehenden Zeiten. Es gilt: ω i = θ i t i. Zu Beginn und am Ende des vierfachen Saltos fhrt der Artist zwei Vierteldrehungen, somit θ =.5 π, in gestreckter Haltung aus. Dazu benötigt er die Zeit t. In gehockter Haltung durchläuft er die restlichen θ = 3.5 π in der Zeit t. Damit erhalten wir als Ausdruck fr die gesamte Flugzeit des Artisten: t = t + t = θ ω + θ ω (8) Einsetzen von ω ergibt: t = θ J + θ = ( ) θ J ω J ω ω J + θ (9) Daraus ergibt sich: ω = t ( ) θ J J + θ Dieser Wert entspricht 3.3 Umdrehungen pro Sekunde. ()
4 Schallwellen Beweglicher Sender, stehender Empfänger: f ± = f ± v c () wobei + für einen sich entfernenden und - für ein sich annähernder Sender steht. Die Änderung k = (f f + )/f sei k =.5. f f + = + v c v c () Da k kann man schreiben: k = (f f )/f sowie k = (f f + )/f Daraus ergibt sich das Verhältnis f = + k f + k (3) = k = v c (4) = v = k/c = 8.5 m/s = 3.6 km/h (5) Die ungenäherte, analytische Lösung ergibt erwartungsgemäss nur geringfügige Abweichungen für v. Damit man das Auto erst hört, wenn es schon da ist, bedingt v c. Natürlich erreichen nur Flugzeuge solche Geschwindigkeiten. Für v = c würde man einen lauten Knall zur Zeit der Ankunft hören, vorher ist es still. Beim wegfahren mit c hört man den Schall mit halber Frequenz, und die Intensität nimmt kontinuierlich ab. Breitet sich der Schall in 3 Dimensionen aus, nimmt die Schallintensiät ab mit /r, wenn r der Abstand zum Fahrzeug bezeichnet. 5 Kondensator (a) Die elektrischen Felder in dem Dielektrikum (E D ) und in dem Vakuum (E V ) sind jeweils (b) E D = Q ɛ κa E V = Q Die Spannung zwischen den Kondensatorplatten ist U = d = E(x)dx = d/ E V dx + = Q C = Q U C = { w = Q C d d/ (6) (7) (8) E D dx (9) d ( + κ ) () d ( + κ )} () = 4.85 pf. () (3) Q = V C w = CV (4) =.86 8 J. (5) 3
(c) Wenn man die Platten auseinanderzieht, bleibt Q erhalten, aber die Kapazität ändert sich, und deshalb auch die gespeicherte Energie w. Wie bezeichnen den Abstand zwischen der unteren Platte und dem Dielektrikum als die Variable s. Aus (a) und (b) folgt: C(s) = ( d + s) (6) κ Q w(s) = C(s) dw = F ds F = dw ds = dw d( ( C ) C ) ds = Q Mit Q = C(s = d/)v finden wir F = 3. 6 N. (7) (8) (9) (3) (d) Am Anfang befindet sich die Ladung Q = C(s = d/)v an den Platten. Nachdem die Schaltung geschlossen ist, ist die zeitabhängige Ladung gegeben durch Wo C = C(s = d/ + s). Die Wärmeleistung ist: Q(t) = Q e t RC (3) i(t) = Q(t) = Q RC e t RC (3) P (t) = iu R = i R = Q t e RC RC (33) = 7.9 mw e t.77 µs (34) 6 Strom und Magnetfeld (a) Die gesamte Kraft Man kann sich die gebeugte Schleife als zwei rechtförmige Schleifen abef und bcde vorstellen, durch die jeweils der Strom I fliesst. Da die beiden Ströme durch eb dann gegenseitig gerichtet sind, fliesst kein Strom durch eb. Die Kraft auf die Schleifen abef und bcde ist jeweils Null, da die Richtungen der Kräfte auf gegenüberliegende Seiten der Schleifen etngegengesetzt sind und deren Beträge gleich sind. Es folgt, dass die gesamte Kraft auf die Schleife Null ist. (b) Das magnetische Dipolmoment p Man stelle sich die Schleife wieder als zwei Schleifen abef und bcde vor. Das gesamte magnetische Moment p ist die Summe von den Dipolmomenten p und p der beiden Schleifen. p = p + p = sli ẑ + hli ( ŷ sin α + ẑ cos α) (35) LI((s + h cos α) ẑ h sin α ŷ) (36) = 4.9 Am ẑ.8 Am ŷ. (37) (c) Das Drehmoment D Das Drehmoment ist gegeben durch 4
= LI = LI h sin α s + h cos α (s + h cos α).6 h(sin α).4 = D = p B (38).6 T (39).4.3 (d) Das Gleichgewicht p Das Drehmoment wegen der Gravitationskraft ist gegeben durch: D G = gρ( s + Ls h T (4) A T m. (4) cos α Lh cos α)ˆx (4) Im Gleichgewicht ist die Summe der magnetischen und gravitationalen Drehmomente gleich Null: ρ = D G = D M (43) LI((s + h cos α).6 T h sin α.4 T ) g( s h + Ls cos α Lh cos α) (44) = 5.9 g cm. (45) 5