Angewandte Mathematik und Programmierung

Angewandte Mathematik und Programmierung Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu mathematischen Rechnens WS 2012/13

Inhalt Fourier reihen Fourier Transformation Laplace Transforamation 2

Fourier Reihen Definition: Die Fourieranalysis beschäftigt sich mit dem Problem Funktionen in Kosinus und Sinus zu entwickeln. Diese Darstellung sind in der Mathematik sowie in der Physik und Elektronik von großer Bedeutung und finden in vielen Bereichen Anwendung. In Folgenden setzen wir voraus, dass f(x) Riemen-intergrierbar ist, auf jedem beschränkte Intervall. Wir wollen nun wissen, welche Funktionen eine Reihendarstellung der Form besitzen. Dazu schauen wir uns zunächst einige grundlegende Eigenschaften Programmierung und Angewandte Mathematik 3

Fourier Reihen Steckbrief der Funktion x sin x Steckbrief der Funktion x cos x Gerade/ungerade Funktionen(Symmetrie und Antisymmetrie) Stetigkeit von Funktionen Darstellung einer periodischen Funktion Fourierreihe Berechnung der Koeffizienten ai und bi Beispiele Programmierung und Angewandte Mathematik 4

Steckbrief der Funktion x sin x Definitionsbereich: R Wertebereich: das Invervall 1 x 1 Monotonie: im Bereich π/2 x π/2 streng monoton wachsend; im Bereich π/2 x 3π/2 streng monoton fallend; Monotonie-Bereiche wiederholen sich periodisch Periodizität: kleinste Periode = 2π Positivität: im Bereich 0 < x < π positiv; im Bereich π < x <2π negativ; Bereiche wiederholen sich periodisch Nullstellen: bei jedem ganzzahligen Vielfachen von π Nullstelle erster Ordnung Asymptoten: keine Unendlichkeitsstellen: it t ll keine Programmierung und Angewandte Mathematik 5

Steckbrief der Funktion x cos x Definitionsbereich: R Wertebereich: das Invervall 1 x 1 Monotonie: im Bereich 0 x π streng monoton fallend; im Bereich π x 2π streng monoton wachsend; Monotonie- Bereiche wiederholen sich periodisch Periodizität: kleinste Periode = 2π Positivität: im Bereich π/2 < x < π/2 positiv; im Bereich π/2 < x <3π/2 negativ; Bereiche wiederholen sich periodisch Nullstellen: bei jedem (n + 1/2)π mit ganzzahligem n Nullstelle erster Ordnung Asymptoten: keine Unendlichkeitsstellen: keine Programmierung und Angewandte Mathematik 6

Gerade/ungerade Funktionen Programmierung und Angewandte Mathematik 7

Gerade/ungerade Funktionen Symmetrie und Antisymmetrie : Wir nennen eine Funktion f : R R gerade(manchmal auch symmetrisch), wenn für alle x R f ( x) = f (x) gilt. Der Graph einer symmetrischen Funktion ist symmetrisch bezüglich der y-achse (d.h. er geht unter einer Spiegelung an der y-achse in sich selbst über). Weiteres nennen wir eine Funktion f : R R ungerade(manchmal auch antisymmetrisch), wenn für alle x R f ( x) = f (x) gilt. Programmierung und Angewandte Mathematik 8

Stetigkeit von Funktionen(Wiederholung) Eine in einem Intervall A definierte Funktion f : A R wird als stetig bezeichnet, wenn kleine Änderungen von x innerhalb von A kleine Änderungen von f (x) zur Folge haben. Der Graph einer stetigen Funktion ist eine zusammenhängende Kurve (die sozusagen mit dem Bleistift nachgezogen werden kann, ohne ihn abzusetzen). Der Begriff der Stetigkeit macht nur für Intervalle, in denen eine Funktion definiert ist, Sinn. Eine unstetige Funktion ist dadurch charakterisiert, dass die Forderung nach einem zusammenhängenden Graphen im Definitionsbereich nicht erfüllt ist, dass also beispielsweise eine Sprungstelle existiert (an der die Funktion definiert ist, an der der Graph aber "auseinandergerissen" ist). Eine Funktion, die voneinander isolierten Stellen unstetig, dazwischen aber stetig ist, heißt stückweise (oder abschnittsweise) stetig. Es gibt aber auch Funktionen, die auf ganz R definiert und an jeder Stelle unstetig sind Programmierung und Angewandte Mathematik 9

Stetigkeit von Funktionen(Wiederholung) Beispiel für (un)stetige Funktionen Programmierung und Angewandte Mathematik 10

Beispiel: Unstetiger Sägezahn Programmierung und Angewandte Mathematik 11

Darstellung einer periodischen Funktion Programmierung und Angewandte Mathematik 12

Darstellung einer periodischen Funktion Dirichlet hat die notwendigen Voraussetzungen für die Existenz einer Fourier-Spektren für jedes Signal. Jede Funktion, die die Dirichlet-Bedingungen erfüllt: 1. Die Anzahl der Unstetigkeiten innerhalb einer Periode ist endlich 2. Die Anzahl der Maxima und Minima innerhalb einer Periode ist endlich 3. Die Funktion ist in jeder Periode integrierbar (d.h., die Fläche unter dem Betrag der Funktion ist in jeder Periode endlich) läßt sich als Summe von Kosinus- und Sinusfunktionen darstellen. Programmierung und Angewandte Mathematik 13

Darstellung einer periodischen Funktion Beispiele Programmierung und Angewandte Mathematik 14

periodischen Funktion Fourierreihe Die Fourier-Reihe in spektraler Darstellung Jede 2π-periodische Funktion, die die Dirichlet-Bedingungen erfüllt, läßt sich als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen Fourier-Reihe. Eine Funktion f(x) ist 2π-periodisch wenn sich für alle x-werte des Definitionsbereichs die Funktionswerte nach einer Verschiebung um 2π nicht ändern. Für solche Funktionen gilt dann f(x) = f(x + 2π). Programmierung und Angewandte Mathematik 15

2π-periodische Funktion cos(0)=1 und sin(0)=0 vereinfacht sich diese Gleichung zu: Fourierreihe Um für eine konkrete periodische Funktion die Fourrierreihe bilden zu können, müssen die Koezienten a k, b k bestimmt werden, die Fourierkoeffizenten. Muss nicht immer k sein. Kann auch n oder andere Buchstabeln sein. Also: Fourier-Reihenentwicklungen stellen eine Möglichkeit der Transformation vom Zeitin den Frequenzbereich dar. Voraussetzung hierfür ist, dass die zu transformierende Funktion periodisch ist. Programmierung und Angewandte Mathematik 16

2π-periodische Funktion Ist f(x) eine stetige monotone Funktion und im Intervall π x π integrierbar, so kann die Funktion als trigonometrische Reihe in Form einer unendlichen Funktionenreihen geschrieben werden, und a k und b k die Fourierkoeffizienten lassen sich so berrechnen. Programmierung und Angewandte Mathematik 17

2π-periodische Funktion 18

Beispiele Programmierung und Angewandte Mathematik 19

Rechteck-Schwingung. Beispiel 1 Programmierung und Angewandte Mathematik 20

Berechnung der Koeffizienten ai und bi Rechteck-Schwingung Diese Rechteckschwingung ist eine ungerade Funktion. Allgemein: Für gerade Funktionen sind alle b n = 0, für ungerade Funktionen alle a n = 0. OOP und Angewandte Mathematik 21

Rechteck-Schwingung Programmierung und Angewandte Mathematik 22

Beispiel 2 Reelle Fourierreihe einer abschnittsweise definierten Funktion Gegeben sei die 2π-periodische Funktion f(x) = x² x Є [0..π] und π = 2π - x x Є [π..2π] 1. Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) Programmierung und Angewandte Mathematik 30

Reelle Fourierreihe: Beispiel 2 Programmierung und Angewandte Mathematik 31

Reelle Fourierreihe Die Funktion wird dadurch als Funktionsreihe oder Fourier-Reihe dargestellt. Die Koeffizienten a n, an und b n werden Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) genannt. Bei der harmonischen Analyse einer periodischen Funktion werden diese Koeffizienten bestimmt. Je mehr Glieder bei der Fourieranalyse errechnet werden, desto genauer kann die Funktion f(x) durch entsprechende Sinus- und Cosinusfunktionen beschrieben werden. Mit Hilfe der Fourierreihen ih kann jedes ungedämpfte periodische Signal durch eine lineare Überlagerung, d.h. Addition oder Subtraktion, einfacher harmonischer Teilschwingungen (Sinus- und Cosinusfunktionen) beschrieben werden.

Bereichvergleich Zeitbereich und Frequenzbereich Vergleich: In der Zeitbereich können wir mit den Geräuschen gar nicht anfangen, aber in der Frequenzbereich, erkennen wir die Geräusche werden bei 50Hz und 120Hz erzeugt, und es gibt auch weitere Geräusche. 35

Fourier Transformation Definition: Die Fourier-Transformation erlaubt es ein Zeitsignal einer aperiodischen Funktion f(x) in ein Spektrum F(w) zu zerlegen. Dabei gibt f(x) den Zeitbereich an und F(w) den Frequenzbereich. Demnach kann angenommen werden, dass x = Zeit ist und w= Frequenz. Die Fourier Transformation sieht iht wie flt folgt aus: bezeichnet die Fourier Transformation von f. Dabei stellt <x,w> das Skalarprodukt dar. Die Fourier-Transformation ist also eine Abbildung der Form: f(x)->f(w, x).. 36

Fourier Transformation beziehungsweise stellen den Integrationskern der Fourier- Transformation dar. Eigenschaften: F(w) ist linear F(w) ist beschränkt: Für die komplex konjugierte Fourier Transformation gilt mit 37

Fourier Transformation Skizzieren Sie 38

Fourier Transformation Beispiel Skizzen 39

Fourier Transformation Beispiele: 48

Fourier Transformation Lösung 1 a.) Probe Klausur (15.01.2014) 05Punkte 49

Fourier Transformation Aufgabe 2 50

Fourier Transformation Lösung 3 53

Fourier Transformation Lösung 4 a.) Probe Klausur (15.01.2014) 05Punkte Daraus folgt 55

Fourier Transformation Lösung 6 59

Fourier Transformation Lösung 6 weiter 60

Laplace Transformation 61

Laplace Transformation 62

Laplace Transformation Weil die Untersuchung eines Problems in dem Bildbereich sehr viel einfacher als im Originalbereich ist, oder Weil die Untersuchung des Problems im Originalbereich nicht möglich ist. Formel für Laplace Transformation 63

Laplace Transformation Wichtige sei Eigenschaften: F(s) L f (t) und G(s) L g(t) Linearität: Ableitung: Integral: Verschiebung: Faltung: Streckungssatz: 64

Laplace Transformation Eine einfache Korrespondenztabelle 65

Laplace Transformation-rote rote Pfad in Mathe III DGL Lösen weiter : Manchmal ist es praktisch, eine Differentialgleichung in ein anderes Problem zu transformieren, das wir leichter lösen können und dann zurück transformieren. So kann man mit Probleme umgehen, die keine Lösungsansatz haben. Die Laplace Transformation erweist sich als nützlich zur Lösung von linearen Dgln. mit konstanten Koeffizienten. Dabei werden die Anfangsbedingungen auch gleich mit berücksichtigt. Die Laplace Transformation gehört zur Klasse der so genannten Integraltransformationen. Diese ordnen einer vorgegebenen Funktion f = f(t) in eindeutiger Weise eine transformierte Funktion der Form zu. Wird auch so geschrieben: K(s, t) heißt Kern der Integraltransformation. α =0 oder zumeist: α = und/oder β =+, d.h. das Integral in ist ein uneigentliches Integral. 66

Laplace Transformation Beispiele für solche Integraltransformation sind: 67

Laplace Transformation Gegeben sei eine Funktion f (t) für 0 t < (Originalfunktion) (Bildfunktion) s ist ein (vorerst) reeller Parameter Schreibweise: F(s) () = L( f ()) (t)) Der Zusammenhang oben wird mitunter auch durch das so genannte Doetsch Symbol f(t) F(s) ausgedrückt. Die praktische Anwendbarkeit solcher Transformationen beruht im Wesentlichen darauf, dass Differentialausdrücke in algebraische Ausdrücke transformiert werden, die meist einfacher zu behandeln sind. In den Ingenieurwissenschaften wird diese Technik häufig zur Lösung linearer Differentialgleichungen l i verwendet, in denen unstetige ti oder impulsartige Terme auftreten. Beispiele: [Hinweis: bitte hochgeladene Korrespondenzen Tabelle anschauen] 68

Rücktransformation Laplace Transformation(Inverse) Mittels Expand in Partialbrüche zerlegen Umformung Nachschalgen in Transformationstabelle 69