Geradengleichungen Thema : Geraden zeichnen Punkte berechnen Ein Lese- und Übungsheft 7 Seiten Einführung und Theorie Seiten Aufgaben mit Lösungen Datei Nr. 000 Stand. Februar 09 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
00 Geraden zeichnen Vorwort Der erste Teil dieser Texte zu Geradengleichungen enthält die Grundlagen: Wie zeichnet man eine Gerade, deren Gleichung gegeben ist? Wie berechnet man Geradenpunkte? Wie stellt man fest, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt? Welche besonderen Lagen von Geraden gibt es und wie erkennt man sie? Inhalt. Die Gleichung y mx n Die Punktprobe machen Eine fehlende Punktkoordinate berechnen Eine Gerade zeichnen ohne Punkte zu berechnen Bedeutung des Absolutgliedes n Bedeutung der Steigungszahl m Steigungsdreiecke 6 Besondere Geradengleichungen 9 Ursprungsgeraden, Parallelen zur x- oder y-achse 9 Übungsaufgaben 0 Lösungen
00 Geraden zeichnen. Beispiele zum Einstieg Beispiel Die Gleichung y x Die Gleichungen y=mx+n enthält Unbekannte. Wenn man Lösungen berechnen will, muss man für x eine Zahl wählen, diese einsetzen und so den zugehörenden y-partner berechnen. Berechnung: Zu x erhält man y Zu x erhält man y 7 Zu x 0 erhält man y 0 Zu x erhält man y Usw. Ergebnis: Lösungspaar 0 usw. L 7 L L L Die Gleichung y=x- besitzt somit unendlich viele Lösungspaare. Stellt man sie graphisch als Punkte A, B, C und D dar, stellt man fest, dass sie alle auf einer Geraden liegen. Das Paar stellt keine Lösung der Gleichung dar. Der zugehörende Punkt Q liegt nicht auf der Geraden. Das erkennt man, wenn man die Punktprobe mit Q macht. Hinweis: Man nennt y=x- die Gleichung der Geraden. Die Schreibweise als Funktion: Man kann statt y x auch schreiben: f x x Mit f berechnet man dann die Funktionswerte zu den eingesetzten x-werten. Diese kann man als y-koordinaten für die Kurvenpunkte verwenden, mit denen man die Paare darstellen kann. Man nennt eine solche Funktion auch eine lineare Funktion (weil x nur mit dem Exponenten vorkommt). Diese Formulierung sollte man sich merken: Das Schaubild einer linearen Funktion ist eine Gerade. Das Schaubild der Funktion f x x ist die gerade mit der Gleichung y x Das Arbeiten mit der Funktion gehört zur Algebra, denn dann werden Funktionswerte berechnet. Das Arbeiten mit der Geradengleichung gehört eher in die Geometrie, weil dann die Lösungspaare der Geradengleichung als Punkte im Koordinatensystem dargestellt werden.
00 Geraden zeichnen Beispiel Die Funktion f x x bzw. die Gerade mit der Gleichung y x Berechnung einiger Punkte für das Schaubild (für die Gerade).. Methode für Lösungspaare. Methode: Funktionswerte Lösungspunkte x 0 y 0 f 0 0 A 0 f B x y x y 0 f 0 f D C 0 x y Man kann beliebig lange weiter machen. Für das Schaubild (die Gerade) braucht man in der Regel nur Punkte, die möglichst weit auseinander liegen sollen, damit das Schaubild genauer wird. Rechts wurden die vier Lösungspunkte, man sagt besser Geradenpunkte eingetragen worden. Grundaufgabe : Die Punktprobe machen Überprüfe, ob ein gegebener Punkt auf der Geraden liegt, deren Gleichung gegeben ist. Gegeben sind A 6, B und g: y x. Punktprobe mit A: Einsetzen der Koordinaten des Punktes Der Punkt Für y wird 6 und für x wird eingesetzt: y x 6 also 6 6 A 6 : A 6 liegt auf g, was man so schreiben kann: A g. Punktprobe mit B Weil dies eine falsche Aussage ist, liegt B Grundaufgabe : : y x also 6 nicht auf g. Man schreibt auch B g. Bestimme die fehlende Koordinate, damit A auf der Geraden g liegt (a) Gegeben ist g: y x 7 und A? Man setzt x = in die Geradengleichung ein. y x 7 y 7 Ergebnis: A A (b) Gegeben ist g: y x 7 und A? Man setzt die y = in die Geradengleichung ein: y x 7 x 7 x 0, xa Ergebnis: A.
00 Geraden zeichnen Super: Gerade zeichnen ohne Punkte zu berechnen. Das Absolutglied n der Geradengleichung y=my+n: Hier folgen vier Gleichungen, rechts sehen wir vier Geraden. g : y x g : y x g : y x g : y x Welche dieser Geraden gehört zu welcher Gleichung? Die Lösung ist ganz eion fach, wenn man erkennt, wo die durch ihre Gleichungen gegebenen Geraden die y-achse schneiden. Alle Punkte der y-achse haben x-koordinate 0. Für den Sc hnittpunkt setzt man für x die 0 in eine Geradengleichgung ein. Bei g : ys 0 S 0 Bei g : ys 0 S 0 Bei g : ys 0 S 0 y 0 S 0 Bei g : Allgemein bei y m x n S : x 0 y m 0 n also y n S 0 n. Das Aboslutglied n (die Zahl ohne x) sagt uns also mit einem Blick. wo eine Gerade die y-achse schneidet: Bei y = n. Dies hilft uns dann auch sofort weiter, wenn wir eine Gerade zeichnen sollen: Man liest das Absolutglied ab und kennt den Schnittpunkt mit der y-achse. Doch wir benötigen einen zweiten Punkt. Und da hilft uns die zweite Zahl, die in der Geradengleichung steht, die sogenannte Steigung oder Steigungszahl m.. Die Bedeutung der Steigung m der Geradengleichung y=my+n Am Beispiel der Gleichung y x erfahren wir es. Dazu schreibe ich die Gleichung so um: y x Für x = 0 liefert sie y 0 Für x = liefert sie y Für x = liefert sie y 0 usw. Beobachtung: Wenn x um zunimmt, dann nimmt y immer um zu. Daher nennt man hier die Zahl die Steigung von g. Allgemein: Die Gerade y mx n hat die Steigung m. Das bedeutet: Wenn x um zunimmt, dann nimmt y um die Zahl m zu. (bzw. ab wenn m negativ ist, denn dann fällt die Gerade.) S
00 Geraden zeichnen 6 Einschub für die Interessierten: Steigungsdreiecke. Man kann ein solches Steigungsdreieck von jedem Punkt aus zeichnen, nicht nur vom Schnittpunkt A mit der y-achse aus. Das ist vor allem dann wichtig, wenn der Schnittpunkt mit der y-achse keine ganze Zahl ist, sondern, etwa bei y = liegt. 7 Dann beginnt man bei einem Punkt mit ganzzahligen Koordinaten. Die Abbildung zeigt einen ungünstigen Fall, nämlich die Gerade mit y x. Die Steigungszahl m ist ungünstig zum Zeichnen. In so einem Fall streckt man das Dreieck z. B. um das Vierfache, dann lässt es sich günstiger zeichnen: Dahinter steckt folgendes: Man kann die Steigung einer Strecke auch durch den Tangens des Steigungswinkels definieren. In den beiden kleinen Dreiecken von Abb. erhält man dann und im großen Dreieck der Abbildung 6: m tan m. m tan m Beide Dreiecke führen also zum gleichen Steigungswinkel m, den man hier so berechnen kann: Aus O tan tan 6,9. Dazu gleich noch eine kleine Aufgabe: Welche Steigung hat eine Strecke AB mit A, B y Lösung: m tan x Aufgabe: und der Steigungswinkel hat O. bzw. die Gerade durch A und B? Zeichne die folgenden Geraden durch einen Punkt und ein Steigungsdreieck: a) y x b) y x c) y x d) y x e) y x f) y x 7
00 Geraden zeichnen 7 Lösung der Aufgabe a) y x Steigung: m y-achsenabschnitt: S 0 Die Steigung m kann man durch ein großes Steigungsdreieck realisieren. (Je größer, desto genauer! In der Abbildung habe ich als Basis x 6 gewählt und dann y als Höhe des Steigungsdreiecks. y 6 Die Formel m x bestätigt dieses Vorgehen. b) y x Steigung: m y-achsenabschnitt: S 0 Startpunkt sei der Schnittpunkt S 0 mit der y-achse. Die Gerade hat die Steigung m=-. Wenn x um x zunimmt, dann nimmt y um D y =- zu, d.h. man geht um nach unten. Oder man geht um x nach rechts und dann um y 6 nach oben, d.h. um 6 nach unten. Hier empfiehlt es sich, noch ein Dreieck nach links oben zu verwenden. Man geht etwa um nach links und dann um nach oben. c) y x Steigung: m 7 y-achsenabschnitt: S 0 Startpunkt sei der Schnittpunkt S Die Gerade hat die Steigung m. 0 mit der y-achse. Wenn x um x zunimmt, dann nimmt y um D y =- zu. Die Steigung m realisiert man jedoch so, 7 dass man gleich das Siebenfache nimmt: Zu x 7 gehört dann y. 7 S 7 7 S x 6 A x 7 N y S B Hier hilft diese Veranschaulichung: - Dy m = 7 Dx y A
00 Geraden zeichnen 8 d) y x Steigung: m y-achsenabschnitt: S6 0 Startpunkt sei der Schnittpunkt S 6 0 mit der y-achse. m = Dy Dx Die Gerade hat die Steigung m. Wenn x um x zunimmt, dann nimmt y um zu. Günstiger ist es, gleich von beidem das Fünffache zu nehmen. Wir verwenden also D x = und dazu D y =. Ich habe nach links ein zweites Steigungsdreieck eingezeichnet. Dort ist x und y e) y x Steigung: m y-achsenabschnitt: S 0 7 Da S 7 als Startpunkt wenig geeignet ist, berechne ich mit x = einen neuen Geradepunkt: P. Von ihm aus zeichne ich ein Steigungsdreieck. f) y x Steigung: m Für das Steigungsdreieck: x-achsen-abschnitt: S0 m = - =Dy = Dx S D x = D y = D y = -
00 Geraden zeichnen 9. Ursprungsgeraden Besondere Geradengleichungen Wenn eine Gerade durch den Ursprung geht, dann schneidet sie die y-achse bei 0, sie hat daher eine Gleichung der Form Beispiele dazu:. Parallelen zur x-achse y=m x Haben keine Steigung bzw. die Steigung 0 und daher eine Gleichung der Form: y=n Beispiele dazu: Die Gerade in Abb. 7 hat die Gleichung y=, denn ihre Punkte haben die y-koordinate. Die Gerade in Abb. 8 hat die Gleichung y=-, denn ihre Punkte haben die y-koordinate. Parallelen zur y-achse Diese Geraden haben eine unendlich große Steigung. Sie haben daher keine Gleichung der Form y mx n. Vielmehr haben Sie in Analogie zur. eine Gleichung der Form x=c. Beispiele dazu: Die Gerade in Abb. 9 hat die Gleichung x=, denn ihre Punkte haben die x-koordinate. Die Gerade in Abb. 0 hat die Gleichung x=-, denn ihre Punkte haben die x-koordinate MERKE: Eine Geradengleichung kann entweder die Form y=mx+b oder x=c haben. y n ist eine Parallele zur x-achse, x c ist eine Parallele, zur y-achse. Übungsaufgaben
00 Geraden zeichnen 0 Aufgabe (Lösung Seite ) Lösung: y x y x y x Berechne Lösungspaare zu den Gleichungen a) y x b) y x c) y x Verwende für x dazu die Zahlen aus der Wertetafel. Stelle dann die Lösungspaare als Punkte in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar und zeichne die zugehörenden Geraden ein. x x x 0 x x x x x
00 Geraden zeichnen Aufgabe (Lösung Seite ) Zeichne jeweils Geraden in die Achsenkreuze. Berechne zu jeder Geraden zwei Punkte, mit deren Hilfe die Geraden gezeichnet werden. a) g: y x und h: y x sowie k: y x und l: y x n) g: y x und h: y x sowie k: y x und l: y x
00 Geraden zeichnen Aufgabe (Lösung Seite ) Gegeben ist die Gerade g durch die Gleichung y x. a) Prüfe nach, welche der Punkte auf g liegen: A, B 6 und C b) Berechne die fehlenden y-koordinaten von D6?, F?, wenn sie auf g liegen. c) Berechne die fehlenden x-koordinaten von G? 8,. E0? und H? und wenn sie auf g liegen. d) Trage Punkte von g in das Koordinatensystem ein und zeichne g. Aufgabe (Lösung Seite ) Gegeben ist die Gerade g durch y x. a) Prüfe nach, welche der Punkte auf g liegen: A, B b) Berechne die fehlenden y-koordinaten von D?, wenn sie auf g liegen. c) Berechne die fehlenden x-koordinaten von wenn sie auf g liegen. Aufgabe (Lösung Seite ) Gegeben ist die Gerade g durch y x. a) Prüfe nach, welche der Punkte auf g liegen: wenn sie auf g liegen. G? 7, I?. C. und E0? und F?. H? und I? 9 A, B und. C. b) Berechne die fehlenden y-koordinaten von D?, E0? und F9?. wenn sie auf g liegen. c) Berechne die fehlenden x-koordinaten von G?, H? 9 und I?. 6
00 Geraden zeichnen Aufgabe 6 (Lösung Seite 6) Berechne einige Punkte und zeichne dann die Geraden. a) y x b) y x y c) y x d) y x Aufgabe 7 (Lösung Seite 7) Welche Steigungen haben diese Geraden und wo schneiden die Geraden die y-achse? a) y x 6 b) y x c) y x 7 d) x y e) x y 8 f) x y 6 0
00 Geraden zeichnen Aufgabe 8 (Lösung Seite 8) Zeichne die Geraden mit diesen Gleichungen: g : y x g : y x g : y x g : y x g : y 6 x g 6 : y x g 7 : x y g 8 : y, 7
00 Geraden zeichnen Aufgabe 9 (Lösung Seite 9) Zeichne die Geraden mit diesen Gleichungen: g : y x g : y x g : y x g : y x g : y x g 6 : y
00 Geraden zeichnen 6 Aufgabe 0 (Lösung Seite 0) Zeichne die Geraden mit diesen Gleichungen: g : y x g : y x g : y x 7 6 g : y x g : x g 6 : y 8
00 Geraden zeichnen 7 Aufgabe (Lösung Seite ) Berechne hier zuerst einen geeigneten Startpunkt für die Zeichnung. ( geeignet soll heißen: der auf dem Zeichenblatt liegt oder exakt ablesbare Koordinaten hat.) Beide Achsen von 6 bis 6. g : y x 8 g y x 0 g : y x 7 7 8 9 9 g : y x g : y x g 6 : y x
00 Geraden zeichnen 8 Aufgabe (Lösung Seite ) Stelle die folgenden Gleichungen um und zeichne die Geraden in ein gemeinsames Achsenkreuz: g : x y 6 0 g : x y 0 g : x y 0 g : y 7 0 g : x 0
00 Geraden zeichnen 9 Aufgabe (Lösung Seite ) Es geht jetzt um das Erkennen dieser Eigenschaften Geraden sind parallel zueinander Geraden schneiden die y-achse an derselben Stelle Geraden sind Ursprungsgeraden Geraden sind parallel zur x-achse Geraden sind parallel zur y-achse Geraden sind parallel zur. oder.winkelhalbierenden Welche der genannten Eigenschaften haben die folgenden 9 Geraden? a) g : y x g : y x g : y x g y x 6 g : y x g 6 : y g 7 : y x g 8 : y x g 9 : y x Welche der genannten Eigenschaften haben die folgenden 9 Geraden? b) g : y x g : x g : y x g y x g : y x g 6 : y x g 7 : y g 8 : y x g 9 : y x Welche der genannten Eigenschaften haben die folgenden 9 Geraden? c) g : x y g : x 8 0 g : x y 0 g x y g : y x g 6 : x y g 7 : x y 0 g 8 : 6 y 0 g 9 : x y
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