Wiederholung und Plan:

Wiederholung und Plan: Ziel: alle linearen f : V U zu beschreiben, wobei V,U Vektorräume sind, sd dim(v) = n <, dim(u) = m < Wir benutzen: Hauptsatz der linearen Algebra: isomorph V R n, U isomorph R m Die Koordinatenabbildungen CBV : V R n, C BU : U R m sind Isomophismen, wobei B V, B U Basen in V bzw U sind Strategie: Wir haben alle linearen f : R n R m beschrieben (Satz 3) Wir untersuchen jetzt, wie sich die Beschreibung ändert, wenn wir andere Basen B V, B U in V bzw U wählen Def Sei f : V }{{} dim=n U }{{} dim=m eine lineare Abbildung, B V bzw B U Basis-Tupel in V bzw U Dann ist die Abbildung C BU f (C BV ) eine lineare Abbildung von R n nach R m Ihre Matrix heisst die darstellende Matrix der Abbildung f bzgl der Basen B V und B U V f U

Wie findet man die darstellende Matrix? Seien V und U Vektorräume mit dim(v) = n ; dim(u) = m und sei f : V W eine lineare Abbildung Seien B V = (v,,v n ) bzw B U = (u,,u m ) Basis-Tupel in V bzw U Frage Wie findet man die darstellende Matrix von f bzgl B V und B U? Antwort: Mit Hilfe von Satz 3 Nach Definition, müssen wir die Matrix von C BU f (C BV ) : R n R m finden Nach Satz 3 sind die Spalten dieser Matrix die Bilder von e i Wir haben: (C BV ) (e i ) = v i In der Tat, C BV (v i ) ist e i, weil v ++ v i ++ v m = v i, also ist e i der Koordinatenvektor von v i in der Basis B V Dann ist C BU f (C BV ) (e i ) = C BU (f(v i )) Def Koordinatenvektor von f(v i ) in der Basis B U Also, die i te Spalte der darstellenden Matrix ist der Koordinatenvektor von f(v i ) in der Basis B U

Bsp Wir betrachten Mat(2, 2) mit der in Vorl eingeführten Vektorraumstruktur Als Basis in diesem Raum wählen wir die ebenfalls in Vorl eingeführte Basis aus den Matrizen B ij ; wir werden diese Matrizen in einem Basis-Tupel wie folgt anordnen: ( ) B = b := ( ),b2 := ( ),b3 := ( ),b4 := ( ) Frage Was sind die Koordianten von X := ( ) x x 2 x 2 x 22 in dieser Basis? ( Was ist C B (X)) Antwort Die Koordinaten von X sind nach Definiton die Zahlen λ,,λ 4 sodass X = λ i b i In unserem Fall ist ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x 2 x 2 x 22 = x +x2 +x2 +x22, deswegen ist x x 2 x 2 x 22 der Koordiantenvektor von X

Jetzt sei A = ( a c Abbildung b d ) eine fest gewählte Matrix Wir betrachten die F : Mat(2,2) Mat(2,2), F(X) = AX die übliche Matrizenmultiplik Die Abbildung ist linear In der Tat, F(X +Y) = A(X +Y) Distributivität = AX +AY F(λX) = A(λX) Linearität von f A = λax Ermitteln ( wir jetzt die darstellende Matrix der Abbildung bzgl ) der Basis B = b := ( ),b2 := ( ),b3 := ( ),b4 := ( )

Das ist eine 4 4 Matrix Die i te Spalte dieser Matrix ist der Koordinatenvektor von F(b i ) in der Basis B Rechnen wir sie aus: F (b ) = ( ) ( ) ( ) a b c d = a c = ) ) ( ) + ( +c + ( a ( ) Der Koordinatenvektor von F (b ) ist deswegen Spalte der darstellenden Matrix F (b 2 ) = ( ) ( ) ( ) a b c d = a c = ) ) ) ( +a ( + ( +c ( ) Der Koordinatenvektor von F (b 2 ) ist deswegen a c a c ; das ist die erste ; das ist die zweite Spalte Analog bekommen wir die dritte und die vierte Spalte: b d Die darstellende Matrix ist dann a b a b c d c d b d und

Die darstellende Matrix einer Abbildung f : V U hängt von Wahl der Basen in V und U ab Beispiel Wir betrachten den Endomorphismus f : R 2 R 2 mit f ( ) ( ) x x 2 := x + x 2 x x 2 Wählen wir in beiden Vektorräumen die Standard-Basis B = ( ( ) erhalten wir die Matrix ( Wählen wir( nur im ersten R 2 die Standard-Basis ) B = B = e = ( ),e2 = ( ) und im zweiten R 2 die Basis ( B 2 = ),b2 = ( ) ) ), ( b = ( Dann ist f(e ) = b und f(e 2 ) = b 2 und damit die darstellende Matrix von f bzgl dieser Basen ( ) (Weil der Koordiantenvektor von b = f(e ) in der Basis B 2 gleich ( ist, weil b + b = b = f(e ) ist Also der erste Spalte (der darstellenden Matrix) ist ( ) wie in Id) ) ), )

Wir hatten bereits gesehen, dass die darstellende Matrix einer linearen Abbildung f : V U zwischen zwei Vektorräumen von den gewählten Basen abhängt Auf den ersten Blick scheint es die beste Idee zu sein, stets immer die Standardbasis zu wählen, weil diese eine besonders einfache Gestalt hat Allerdings lässt sich daraus keineswegs folgern, dass dann auch die darstellende Matrix besonders einfach ist Im Bsp oben ist die darstellende Matrix besonders einfach (Einheitsmatrix), wenn wir die Basen günstig gewählt haben Wir werden hier zuerst untersuchen, was genau bei einem Wechsel der jeweils betrachteten Basis eigentlich passiert

Der Vektor x V habe den Koordinatenvektor (v,,v n ), dh, x = x v ++x n v n x x n R n in der Basis Frage Welche Koordinaten hat x in einer anderen Basis B := (b,,b n )? Die Koordinaten des Vektors b i in der Basis (v,,v n ) seien b i b n i Man betrachte die (n n)- Matrix T sd Te i = Spalte von T ist der Vektor b i ): T = b b n b n bn n b i bi n (dh, i te Diese Matrix T heißt Transformationsmatrix (oder Übergangsmatrix) Die Matrix T ist nach Satz 5 nicht ausgeartet, also ist T wohldefiniert Satz 25 Der Vektor x V habe den Koordinatenvektor x x n R n in der Basis (v,,v n ) Dann gilt: Der Koordinatenvektor des Vektors x in der Basis B := (b,,b n ) ist T x x n (Oder: für jedes x gilt: C B (x) = T C (v,,v n)(x) )

Satz 25 Der Koordinatenvektor des Vektors x in der Basis B := (b,,b n ) ist T x x n (oder: C B (x) = T C (v,,v n)(x)) Beweis: nach Definition sind die Koordinaten von x die Skalare y,,y n sd x = y b ++y n b n Wir wenden C (v,,v n) an: Wegen C (v,,v n)(b i ) = Te i gilt x x n Also Linearität = y Te ++y n Te n = T(y e ++y n e n ) x x n = T y y n Wir multiplizieren die beiden Seiten dieser Gleichung von links mit T und bekommen behauptet, y y n = T x x n wie wir

Beweis von Satz 25 anhand eines Beispiels Wir betrachten V = R 2 mit Standardbasis (e = ( ),e2 = ( ) ) Als eine andere Basis nehmen wir (b = ( ),b2 = ( ) ) Bemerkung Wir haben in Vorl7-8 mit Hilfe der Folgerungen aus dem Austauschsatzbewiesen, dass (b,b 2 ) eine Basis ist Mit dem heutigen Wissen können wir dasselbe viel schneller tun Tatsächlich, da R 2 2 dimensional ist, genügend es zu zeigen dass die Vektoren b,b 2 linear unabhängig sind Nach den Folgerungen aus Satz 5/Satz 8/Lemma 2 genügt es zu prüfen, dass die Determinante det[b,b 2 ] = det ( ) nicht ist, was der Fall ist, weil det ( ) = 2 ist

Die Transformationsmatrix haben wir definiert als diejenige Matrix deren Spalten die Koordinatenvektoren von b i in der Basis (e,e 2 ) sind; also in unserem Bsp T = ( ) Diese Matrix hat nach Konstruktion die Eigenschaft Te = b ; Te 2 = b 2 Sei jetzt v = ( ) x y ein Vektor in R 2 Frage Welche Koordinaten hat der Vektor in der Basis (b,b 2 )? Antwort Nach Definition sind die Koordinaten die Zahlen λ,λ 2 sodass λ b +λ 2 b 2 = v ( ) Nach Konstruktion von T ist b = Te ; b 2 = Te 2 Wir setzen dies in ( ) und bekommen λ Te +λ 2 Te 2 = v Umformung gibt T(λ e +λ 2 e 2 ) = v Wir multiplizieren diese Gleichung von links mit T und bekommen (λ e +λ 2 e 2 ) = T v, wie wir im Satz 25 }{{} ( ) λ λ 2 behauptet haben Rechnen wir jetzt das Transformationsgesetz in diesem Beispiel bis zum Ende aus Wir berechnen T, zb mit Leibnitz--Cramer Formeln: ( ) = 2 ( ) ( 2 = 2 2 ) 2 Wir setzen T und v = ( ) x y in die Formel oben ein und bekommen ( ) ( ) 2 (x ) ( 2 λ λ 2 = 2 y, also ist x + ) 2 y der Koordinatenvektor des 2 2 2 x + 2 y Vektors ( ) x y in der Basis (b = ( ),b2 = ( ) )

T U AT V }{{} A Folgerung: Sei f : V U eine lineare Abbildung Die darstellende Matrix von f bzgl der Basen B V (in V) und B U (in U) sei A Mat(m,n) Seien B V, B U andere Basen in V bzw U, T U, T V die Transformationsmatrizen Dann gilt: Die darstellende Matrix von f bzgl der Basen B V, B U ist A := T U AT V Beweis: A ist darstellende Matrix für alle x R n gilt Ax = C BU f (C BV ) (x) TV }{{ x = T U } C B U f (C ) BV (T V }{{}}{{} y C B U (T V C B V ) Also, y R n gilt A y = C B U f (C B V ) (y), T V }{{ x) } y Wir Multiplizieren von links mit T und U benutzen, dass T V T = Id V

Beweis der Folgerung aus Satz 25 in Worten Seien f : V U linear, B V und B V zwei Basen in V mit der Transformationsmatrix T V sowie B U und B U zwei Basen in U mit der Transformationsmatrix T U Wir nehmen an, dass dim(v) = n, dim(u) = m Ferner sei A Mat(m,n) die darstellende Matrix von f bzgl B V und B U, dh, x x n R n gilt: Ax = C BU f (C BV ) (x) ( ) Außerdem wissen wir nach Satz 25, dass v V und u U gilt: C B V (v) = T V C B V (v) und C B (u) = T U U }{{} C B U (u) ( ) }{{} R n R m Wir invertieren (nach Coxeter) die Formel in ( ) und bekommen ( ) (x) x R n : C B V = (CBV ) (T V x) ( )

Jetzt benutzen wir ( ),( ) und ( ) um die darstellende Matrix von f bzgl B V und B U zu basteln Nach Definition ist die Matrix A Mat(m,n) eine Matrix, sodass x R n gilt: A x = C B U f (C B V ) (x) Wir setzen die Formeln für C B U und (C B V ) aus ( ) und ( ) ein und bekommen: (T V A x = T U C B }{{ U f (C ) BV x) }}{{} C B (C B ) U V Jetzt benutzen wir, dass nach ( ) die Abbildung C BU f (C BV ) Vektoren mit der Matrix A multipliziert Dh x R n gilt A x = T U AT Vx wie behauptet

Satz 26 Sei f : V U eine lineare Abbildung; dim(v) = n, dim(u) = m Dann gilt: es gibt eine( Basis B V in) V und B U in U, sodass Idk,k die Matrix der Abbildung die Form k,p = r,k r,p k -te Zeile bezüglich dieser Basen hat (Automatisch muss k +r = m und k +p = n gelten) Beweis Der Beweis wiederholt einen wesentlichen Teil des Beweises von Satz 2(c) ( Dimensionsformel) Kern f ist ein Untervektorraum des endlichdimensionalen Vektorraums V und ist deswegen auch nach Folgerung (d) aus Satz endlichdimensional Sei {v,,v n k } eine Basis von Kern f Nach Folgerung (c) können wir die Basis {v,,v n k } zu einer Basis in V ergänzen: es gibt b := v n k+,,b k := v n so dass {v,,v n } eine Basis in V ist In Beweis von Satz 2(c) haben wir gezeigt, dass {f(v n k+ ),,f(v n )} eine Basis in Bild f U ist Wir wiederholen die Schritte des Beweises

{f(v n k+ ),,f(v n )} ist eine Basis in Bild f U {f(v n k+ ),,f(v n )} erzeugend in Bild f ist weil {f(v ),,f(v n )} ist erzeugend, und f(v ) = = f(v n k ) = {f(v n k+ ),,f(v n )} ist linear unabhängig, weil sonst für bestimmte (λ n k+,,λ n ) (,,) gilt λ n k+ f(v n k+ )++λ n f(v n ) = ( ) Wegen der Linearität von f ist dann f(λ n k+ v n k+ ++λ n v n ) =, folglich λ n k+ v n k+ ++λ n v n Kern f Dann hat der Vektor w := λ n k+ v n k+ ++λ n v n zwei Darstellungen als Linearkombination von paarweise verschiedenen Basisvektoren der Basis {v,,v n }: w = v ++ v n k +λ n k+ v n k+ ++λ n v n nach Definition w = µ v ++µ n k v n k + v n k+ ++v n weil w Kern f Da die Darstellung von w als Linearkombination von paarweise verschiedenen Basisvektoren nach Satz 7(b) eindeutig ist, ist λ n k+ = = λ n =, also sind die Vektoren {f(v n k+ ),,f(v n )} linear unabhängig

Also ist {f(v n k+ ),,f(v n )} eine Basis in Bild f U Insbesondere gilt, dass {f(v n k+ ),,f(v n )} U linear unabhängig ist Dann kann man {f(v n k+ ),,f(v n )} zu einer Basis ergänzen (Folg (c) aus dem Austauschsatz): es gibt Vektoren u,,u m k, sodass das m Tupel B U = (f(v n k+ ),,f(v n ),u,,u m k ) ein Basis-Tupel ist }{{}}{{} k Vektoren m k Vektoren Als Basis-Tupel in V nehmen wir B V := (b := v n k+,,b k := v n, v,v n k ) Ich behaupte, dass die }{{}}{{} k Vektoren n k Vektoren darstellende Matrix von f bzgl dieser Basis gleich ( Idk,k k,p r,k r,p ) = k -te Zeile In der Tat, die erste Spalte der Matrix ist nach Satz 3 der Koordinatenvektor von f(b ) in der Basis B U = (f(v n k+ ),,f(v n ),u,,u m k ) Aber b = v n k+ und f(b ) = f(v n k+ ) = f(v n k+ )+ f(v n k+2 )+ Dann ist e R m der Koordinatenvektor von f(b ), also ist die erste Spalte der Matrix wie wir behaupten ist

B V := (b := v n k+,,b k := v n, v,v n k ) }{{}}{{} k Vektoren m k Vektoren B U = (f(v n k+ ),,f(v n ),u,,u m k ) }{{}}{{} k Vektoren m k Vektoren Dasselbe für b 2 = v n k+2 : wir haben f(b 2 ) = f(v n k+2 ) = f(v n k+ )+ f(v n k+2 )+, also ist e 2 R m der Koordinatenvektor von f(b 2 ), wie wir behauptet haben Dasselbe für alle i von bis k: die Spalten von bis k sind wie wir behaupten Jetzt die Spalten ab k: der k + te Basisvektor ist v ; dann ist die k + te Spalte unserer Matrix der Koordinatenvektor von f(v ) Aber v Kern f Deswegen ist f(v ) = und R m der Koordinatenvektor von f(v ) Dann ist die k + te Spalte unserer Matrix eine Spalte, wie wir behaupten Dasselbe gilt für alle Basisvektoren ab k Also ist die darstellende Matrix wie wir behaupten Bemerkung Man bemerke auch, dass die Zahl k (in Id k,k ) einen geometrischen Sinn hat: Sie ist die Dimension des Bildes Bild f (V)

Satz 26 sagt uns, dass wir für eine beliebige lineare Abbildung f : V U (wobei dim(v) = n und dim(u) = m sind) Basen B V in V und B U in U so wählen können, dass die Matrix der Abbildung die folgende einfache Form hat: k -te Zeile Der einzige wesentliche Parameter hier ist die Zahl k, weil man die Zahlen p und r aus k +r = m und k +p = n bekommt Wie wir oben gesehen haben, ist k = dim(bild f ) Frage Wie bestimmt man die Zahl k = dim(bild f )? Zum Beispiel in dem Fall wenn die Abbildung f gleich f A (=Multiplikation mit einer (m n) Matrix A) ist?

Sei A = a a n a m a mn Mat(m,n) Def ({ Rang der Matrix A (Bezeichnung: rk) ist die Dimension von }) span a a m,, a n a mn in R m Bsp: Rang der -Matrix ist gleich (weil span( ) = { }) Bsp: Rang der (n n) Id-Matrix ist gleich n Tatsächlich,die Spalten sind,,, und damit die Standard-Basisvektoren ( des ) R n Idk,k Bsp A := k,p, wobei Id r,k k,k die (k k)-einheits-matrix ist r,p und k,p, r,k, r,p (k p)- bzw (r k)- bzw (r p)-matrizen sind, deren Einträge alle gleich sind A := k -te Zeile Dann ist rk(a) = k (Weil die ersten k Spalten die Standard-Basisvektoren e,,e k, und die anderen sind)

Geometrische Bedeutung des Rangs Lemma 22 rk(a) = dim(bild fa ) Beweis Bild fa = {Av wobei v R n } = {A(λ e +λ n e n ) wobei λ i R } = {λ Ae +λ n Ae n wobei λ i R} Aber Ae i ist die i te Spalte von A Dann ist Bild fa = span rk(a) ({ a a n,, a m a mn weil jedes v in der Form λ e +λ n e n darstellbar ist }) und dessen Dimension ist

Lemma 23 Seien B Mat(m,m), C Mat(n,n) nicht ausgeartet Dann gilt rk(ba) (i) = rk(a) (ii) = rk(ac) für jedes A Mat(m,n) In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nicht ausgearteten Matrizen ändert den Rang nicht Ich gebe zwei Beweise Beweis : Wir beweisen zuerst (i) Wir zeigen: Kern fba = Kern fa Tatsächlich, falls x Kern fa, dann Multipl mit B Ax = = BAx =, also x Kern fba Ähnlich, falls x Kern fba, dann BAx =, dann B BAx = B, also Ax =, also x Kern fa Dann ist dim(kern fba ) = dim(kern fa ) Nach der Dimensionsformel ist dim(r n ) = dim(bild fa ) +dim(kern fa ) dim(r n ) = dim(bild fba ) +dim(kern fba ) Dann ist dim(bild fa ) = dim(bild fba ) und deswegen rk(a) = rk(ba)

Wir beweisen jetzt (ii): rk(a) (ii) = rk(ac) für jedes A Mat(m,n) Bild fa := {Av wobei v R n } Bild fac := {ACu wobei u R n } Da C nicht ausgeartet ist, gibt es für jedes v R n ein u R n mit Cu = v, nämlich u = C v, und deswegen {ACu wobei u R n } = {Av wobei v R n } und schließlich Bild fa = Bild fac Lem 22 Lem 22 Also dim(bild fa ) = rk(a) = rk(ac) = dim(bild fac )

Beweis 2 von Lemma 23 Lemma 23 Seien B Mat(m,m), C Mat(n,n) nicht ausgeartet Dann gilt rk(ba) (i) = rk(a) (ii) = rk(ac) für jedes A Mat(m,n) Beweis 2 Wir zeigen, dass rk(bac) = rk(a) (Die Aussage (i) bekommt man, wenn man C = Id setzt Die Aussage (ii) bekommt man wenn man B = Id setzt) Wir betrachten Basen B V = (v,,v n) (in V) und B U (u,,u m) (in U), sodass die Transformationsmatrizen von der Standardbasis in R n bzw R m zu B V bzw B U gerade C bzw B sind Solche Basen existieren: die Vektoren von B V sind die Spalten der Matrix C, die Vektoren von B U sind die Spalten der Matrix B Ausserdem betrachten wir die Abbildung f = f A Dann ist nach der Folgerung aus Satz 25 die darstellende Matrix von f bzgl der neuen Basen gleich BA(C ) = BAC Nach Lemma 22 ist rk(a)=dim(bild f ) Da die Abbildung f in den Basen B U, B V die Matrix BA(C ) = BAC hat, gilt auch rk(bac)=dim(bild f )

Folgerung Elementare Zeilen- und Spaltenumformungen ändern den Rang einer Matrix nicht Beweis Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizieren von links mit einer Elementarmatrix, nach Lemma 23 ändert dies nicht den Rang Multiplizieren von rechts mit einer Elementarmatrix ist dasselbe wie eine elementare Spaltenumformung (Man kann das direkt nachrechnen) Nach Lemma 23 ändert dies den Rang nicht

Wie berechnet man den Rang einer Matrix? Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, bringt man diese mit Hilfe von elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen in eine Form, bei der die von verschiedenen Spalten linear unabhängig sind Die Anzahl der Spalten die ungleich sind entspricht dann dem Rang der Matrix Bsp 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 2 3 Also Rank=2 2 3 4 2 3 2 3 4 5 2 3 2 3 4 2 3 2 3

Bemerkung Mit Elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen kann man die Matrix in der Form ( ) Idk,k k,p = r,k r,p k -te Zeile bringen Die Zahl k ist dann der Rank der Matrix Folgerung rk(a) = rk(a t ) ( ) t ( ) Idk,k Beweis k,p Idk,k = k,r r,k r,p p,k p,r Folgerung 2 Anzahl von linear unabhängigen Spalten einer Matrix ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Zeilen der Matrix Beweis Transponieren ändern den Rank nicht, macht aber aus Spalten Zeilen und aus Zeilen Spalten

Rank der Matrix ist die grosste Dimension der quadratischen nichtausgearten Untermatrix Man betrachte eine Matrix A = a a n a m a mn Mat(m,n) Seien i < i 2 < < i m {,,m}, j < j 2 < < j n {,,n} Dann die zu i,,i m, j,,j n zugeordnete Untermatrix von A ist die (m n ) Matrix, deren (p,q) Eintrag ist gleich a ipj q 2 3 4 5 6 7 8 5 6 7 8 2 3 4 Bsp A=, i =, i 2 = 3, j = 2, j 2 = 4 Dann die ( ) 2 4 zugehörige Untermatrix ist die (2 2)- Matrix 6 8 Folgerung 3 Rank der Matrix ist gleich die höchste Dimension einer quadratischen nichtausgearteten Untermatrix Beweis Zz: (i) rk(a) die höchste Dimension einer quadratischen nichtausgearteten Untermatrix (ii) rk(a) die höchste Dimension einer quadratischen nichtausgearteten Untermatrix

Folgerung 3 Rank der Matrix ist gleich die höchste Dimension einer quadratischen nichtausgearteten Untermatrix (i) rk(a) die höchste Dimension einer quadratischen nichtausgearteten Untermatrix Beweis (i): Wir müssen Existenz einer quadratischen Untermatrix der Dimension rk(a) von A, deren Determinante nicht ist, beweisen Sei rk(a) = k Da nach Folgerung 2 rk(a) = dim(span({[a ],,[a m ]})), kann man aus {[a ],,[a m ]} nach Satz 8 k linear unabhängige Zeilen [a i ],[a i2 ],[a ik ] auswählen Bsp In A= 2 3 4 5 6 7 8 5 6 7 8 2 3 4, kann man zb i =, i 2 = 3 setzen Sei A die (k n)-untermatrix, deren Zeilen i,,i k sind (bzw Spalten j =,j 2 = 2,,j n = n) (Im Bsp: A = ( ) 2 3 4 5 6 7 8 )Nach Konstruktion ist rk(a ) = k = rk(a)

Da k = rk(a ) = dimspan a a n,, a k a kn, kann man aus den Spalten von A nach Satz 8 k linear unabhängige Spalten (mit Nummern meinetwegen j,,j k ) auswählen Die entsprechende (quadratische) Untermatrix bezeichnen wir mit A (Im Bsp: A = ( 2 4 6 8 ) Nach Konstruktion ist rk(a ) = k = rk(a) ) Wir zeigen: det(a ) Tatsächlich, die Spalten von A sind linear unabhängig Dann ist A nichtausgeartet, folglich det(a ) (i) ist bewiesen

Beweis (ii) (ii): rk(a) die höchste Dimension einer quadratischen nichtausgearteten Untermatrix Sei A eine quadratische nichtausgeartete Untermatrix der Dimension k von A, i,,i k bzw j,,j k seien die Nummern der ersprechanedne Zeilen bzw Spalten Zz: rk(a) k Angenommen, rk(a) < k Dann sind jede k von Zeilen linear abhängig Dann gibt es (λ,,λ k ) (,,)mit λ [a i ]++λ k [a ik ] = Dann sind die Zeilen von A linear abhängend,was widerspricht, dass die Matrix A nichtausgeartet ist

Weitere Beispiele unabhängige Spalten; Rang = 3 Wir sehen 3 linear

Rechnen Sie bitte selbst rk(a) Rang= 3

Wir betrachten ein lineares Gleichungssystem ( In Matrixform: Ax = b, wobei A = a a n a m a mn a x + +a n x n = b a m x + +a mnx n = b m Wiederholung Die (m n) Matrix A heißt die Koeffizientenmatrix des Systems Die (m (n+))-matrix ) a a n b a m a mn b m heißt die erweiterte Matrix Bezeichnung Die erweiterte Matrix für die Gleichung Ax = b werden wir mit (A, b) bezeichnen Satz 27 Man betrachte das lineare Gleichungssystem Ax = b Dann gilt: (a) (Lösbarkeitskriterium) Das System ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist (b) (Die Menge der Lösungen) Sei x eine Lösung des Systems Dann liegt für jede Lösung x der Vektor x x in Kern fa und für jedes v Kern fa ist x +v auch eine Lösung In anderen Worten,die Menge der Lösungen ist { x +v, wobei x eine Lösung ist und v Kern f }

Hilfsaussage vor dem Beweis Hilfsaussage rk(a) = rk((a, b)) b ist eine Linearkombination der Spalten von A Beweis der Hilfsaussage = Sei b eine Linearkombination der Spalten, a a n dh b = µ + + µn Dann besteht a m a ({ mn }) a a n span,,,b aus allen Vektoren der Form a m a mn a a n λ + + λn + λ n+ b = a m a mn a a n a a n λ + + λn + λ n+ µ + + µn a m a mn a m a mn a a n = (λ + λ n+ µ ) + + (λn + λ n+µ n) Dann ist a m a ({ mn }) ({ a a n a a n span,,,b = span,, a m a mn a m a mn rk(a) = rk((a,b)) }), also

Hilfsaussage rk(a) = rk((a, b)) b ist eine Linearkombination der Spalten von A Beweis der Hilfsaussage = Die Spalten von A bilden}) eine erzeugende Menge in span ({ a n,, a mn a a m A eine Basis B von span Nach Satz 9 kann man aus den Spalten von ({ a a m a n,, a mn }) auswählen, nach Def ist die Anzahl der Elemente in der Basis gleich rk(a) Es genügt zu zeigen: b ist eine Linearkombination der Basiselemente aus B Widerspruchsbeweis Angenommen b ist keine Linearkombination der Basiselemente Dann ist die Menge B {b} linear unabhängig, weil in der Linearkombination λ b ++λ rk(a) b rk(a) +µb = dann µ = ist (sonst kann man b als eine Linearkombination von Elementen aus B darstellen), und dann sind alle λ i =, weil die b i linear unabhängig sind Dann ist die Dimension von span rk(a) + Widerspruch ({ a n,, a mn a a m,b }) mindestens

Beweis des Satzes 27: (a): Ax = b ist lösbar existiert ein x R n mit a a n x a = a m a mn x n a m x ++ a n a mn x n = b b n b ist eine Linearkombination der Spalten Hilfsaussage rk(a) = rk((a,b)) Beweis von (b): Seien x,x Lösungen von Ax = B Dann ist A(x x) = Ax A x = b b =, also x x Kern fa Ferner gilt: ist v Kern fa, so ist A( x +v) = A x +Av = b+ = b, also ist x +v auch eine Lösung