Differenzial- un Integralrecnung IV Rainer Hauser September 202 Einleitung. Ableitung un Integral Die Ableitung einer Funktion f: R R, f() ist efiniert urc en Differenzialquotienten als f () = f() = f( + ) f() f() = lim 0 un ist wieer eine Funktion. Ist F () eine Stammfunktion von f() un ist somit f() ie Ableitung von F (), so screibt man b [ ] b f() = F () + c f() = F (b) F (a) = F () a für as unbestimmte bezieungsweise bestimmte Integral. (Alle im Folgenen vorkommenen Funktionen sin ifferenzierbar un integrierbar, soass Differenzierbarkeits- un Integrierbarkeitsüberlegungen weggelassen weren.) a.2 Erste Ableitungs- un Integrationsregeln Für Ableitung un Integral gelten ie bereits eingefürten Regeln (r f()) = r f() (r f()) = r f() (f() ± g()) = f() ± g() (f() ± g()) = f() ± g() für beliebige reelle Zalen r un Funktionen f() un g(). Diese Ientitäten eissen Faktorregel bezieungsweise Summen- un Differenzenregel. Potenzfunktionen lassen sic gemäss en Regeln p = p p p = p + p+ für p ableiten bezieungsweise integrieren. Mit iesen un en obigen Regeln lassen sic somit sämtlice Funktionen er Form a p +... + a n pn mit p i ableiten un integrieren. 2 Rationale Funktionen 2. Polynome un Polynomfunktionen Ein Polynom n-ten Graes mit er Variablen ist ein Term von er Form a n n +... + a + a 0 mit reellen Zalen a i un a n 0. Eine Polynomfunktion n-ten Graes ist eine Funktion f(), wobei f() ein Polynom n-ten Graes mit er Variable ist.
Eine algebraisce Gleicung n-ten Graes ist eine Gleicung er Form f() = 0, wobei f() eine Polynomfunktion n-ten Graes ist. Will man beispielsweise ie Nullstellen einer quaratiscen Funktion f() = a 2 + b + c bestimmen, löst man ie algebraisce Gleicung zweiten Graes a 2 + b + c = 0. 2.2 Recnen mit Polynomen Aiert oer subtraiert man zwei Polynome, bekommt man wieer ein Polynom. Aiert man beispielsweise 4 7 zu 3 2 2 + 5, resultiert as Polynom 3 2 + 2 2. Multipliziert man zwei Polynome mit Gra m un n, entstet ein Polynom vom Gra m + n. Das Proukt von 3 2 2 + 5 un 4 7 zum Beispiel ergibt 2 3 29 2 + 34 35. Diviiert man zwei Polynome, so ist as Resultat nict immer ein Polynom. Scon ie einface Division geteilt urc resultiert in, was kein Polynom ist. Teilt man ingegen 2 3 29 2 + 34 35 urc 4 7, erält man wieer 3 2 2 + 5 wie im obigen Beispiel urc Multiplikation gezeigt. Analog wie beim Übergang von en ganzen Zalen Z zu en rationalen Zalen Q erweitert man ie Menge er Polynomfunktionen zur Menge er rationalen Funktionen. Der Quotient von zwei Polynomen ist eine rationale Funktion. Änlic wie bei er Division von Dezimalzalen gibt es einen Divisionsalgoritmus für Polynome. Die nebensteene Abbilung zeigt eine Division, ie one Rest aufget, soass as Resultat wieer ein Polynom ist. Im Allgemeinen get ie Division jeoc nict auf un es bleibt ein Rest, er einen kleineren Gra at als er Divisor. 2.3 Nullstellen, Definitionslücken un Pole Ist f() eine Polynomfunktion, so nennt man ie Lösungen er algebraiscen Gleicung f() = 0 ie Nullstellen von f(). Der Wert 0 ist genau ann eine Nullstelle es Polynoms f(), wenn es ein Polynom g() gibt, soass f() = ( 0 ) g() ist. Im Beispiel in er obigen Abbilung at also as Polynom 6 3 37 2 + 47 + 20 ie Nullstelle 0 = 4, un es gilt (6 3 37 2 + 47 + 20) = ( 4) (6 2 3 5). Bei rationalen Funktionen können aber auc ie Polynome im Nenner Nullstellen aben, was esalb problematisc ist, weil ein Bruc nict efiniert ist, wenn er Nenner 0 ist. Bei einer rationale Funktion sprict man in iesem Fall von einer Definitionslücke. Ist 0 gleiczeitig eine Nullstelle es Polynoms f Z () im Zäler un eine Nullstelle es Polynoms f N () im Nenner, so gibt es zwei Polynome g Z () un g N (), soass f Z () = ( 0 ) g Z () un f N () = ( 0 ) g N () gilt. Für ie rationale Funktion folgt f Z () f N () = ( 0) g Z () ( 0 ) g N () un er Faktor ( 0 ) kann somit gekürzt weren. Eine Definitionslücke 0 ist beebbar, wenn sie auc eine Nullstelle es Zälerpolynoms ist, un wenn sie nac em Kürzen aller Faktoren ( 0 ) keine Definitionslücke mer ist. Sin sämtlice beebbaren Definitionslücken auf iese Weise beoben, aben Zäler- un Nennerpolynom keine gemeinsamen Nullstellen mer. Der Wert 0 eisst Nullstelle er rationalen Funktion, wenn 0 eine Nullstelle es Zälerpolynoms, nict jeoc es Nennerpolynoms ist, wenn also allfällige beebbare Definitionslücken 0 beoben sin. Der Wert 0 eisst Pol er rationalen Funktion, wenn 0 eine Nullstelle es Nennerpolynoms, nict aber es Zälerpolynoms ist. Die nebensteene Abbilung zeigt en Grapen er Funktion, also er rationalen Funktion mit em Zälerpolynom un em Nennerpolynom, für ie 0 = 0 ein Pol ist. 2
2.4 Umgebung eines Pols Falls alle beebbaren Definitionslücken einer rationalen Funktion beoben sin un 0 eine n-face Nullstelle es Nennerpolynoms ist, so nennt man 0 einen Pol n-ter Ornung. Die vertikale Gerae urc 0 eisst vertikale Asymptote. Im Pol selber ist ie rationale Funktion nict efiniert. Kommt man beispielsweise in er obigen Abbilung mit em Grapen von f: von negativen -Werten immer näer zum Wert = 0, er ein Pol erster Ornung ist, so get f() gegen un kommt man von positiven -Werten immer näer zum Pol = 0, so get f() gegen +. Beim Wert = 0 ist f() nict efiniert. Die y-acse ist eine vertikale Asymptote. Näert sic em Pol 0 un at er Pol ie Ornung n, so verält sic ie rationale Funktion wie a ( 0) für ein a 0. Je nac er Ornung n es n Pols un em Vorzeicen von a gibt es ie in er nebensteenen Abbilung gezeigten Fälle für as Veralten er Funktion in er Umgebung es Pols. Die rationale Funktion f() mit em Zälerpolynom 8 2 32 un em Nennerpolynom 3 + 6 2 + 2 + 8 kann als f() = 8 2 32 8( + 2)( 2) 3 + 6 2 = + 2 + 8 ( + 2) 3 gescrieben weren, wobei ie Form rects vollstänig faktorisiert ist. Nac em Kürzen es einen Faktors ( + 2) bleibt f() = 8( 2) ( + 2) 2 übrig. Der Wert 0 = 2 ist also ein Pol zweiter Ornung. In er Näe von = 2 ist er Zäler ungefär 8 (( 2) 2) = 32, wären er Nenner beliebig klein wir, soass sic ie Funktion also wie 32 ( + 2) 2 verält. Mit n = 2 un a = 32 get f() somit nac obiger Abbilung gegen, wenn man sic von links oer von rects em Pol 0 = 2 näert. 3 Proukt- un Quotientenregel 3. Prouktregel un Folgerungen Ist eine Funktion gegeben als () = f() g(), so ist ie Ableitung nict einfac analog zu Aition oer Subtraktion as Proukt von f () un g (). Das kann man an Beispielen wie () = 2 = sofort seen, enn es gilt () = 2 =. Die Regel für as Proukt zweier Funktionen kann man aus em Differenzialquotienten von f()g() über ie Umformungsscritte f( + )g( + ) f()g() f( + )g( + ) f()g( + ) + f()g( + ) f()g() = = f( + )g( + ) f()g( + ) f()g( + ) f()g() + = f( + ) f() g( + ) g() g( + ) + f() erleiten. Lässt man gegen 0 geen, so gibt as f ()g() + f()g (). Somit folgt ( ) f() g() = f () g() + f() g () () für ie Ableitung es Proukts zweier Funktionen. Diese Regel eisst Prouktregel un erlaubt es zum Beispiel faktorisierte Polynome abzuleiten, one sie erst auszumultiplizieren. Wegen em Kommutativgesetz f()g() = g()f() erwartet man zuem, ass ie Prouktregel symmetrisc bezüglic Vertauscen von f() un g() ist, was offensictlic auc er Fall ist. 3
Ist () = f()g() = 2 mit f() = g() = wie im oben betracteten Beispiel, so ist korrekt () = 2 = +. Mit vollstäniger Inuktion kann man als Folgerung von () ie Regeln ( f() n) = n f() n f () für ie Ableitung un Integration er Potenz einer Funktion beweisen. Ist f() = ( 2 + 2) 5, so ist f () = 5 ( 2 + 2) 4 2 = 0( 2 + 2) 4. ( f () f() n) = n + f()n+ + c für n (2) 3.2 Reziprok- un Quotientenregel Ist g() =, so lässt sic ie Ableitung mit f() g( + ) g() = f(+) f() f( + ) f() = f( + ) f() = f( + ) f() f( + ) f() un em Grenzübergang 0 bestimmen. Die araus folgene Regel ( ) = f () f() f() 2 (3) eisst Reziprokregel. Mit er Reziprokregel kann man für f() = 3 un g() = f() = alternativ zur Ableitung er 3 Potenzfunktion 3 ie Ableitung bestimmen. Es gilt g () = f () f() 2 = 32 6 = 3 4. Aus er Prouktregel () un er Reziprokregel (3) folgt unmittelbar ie Quotientenregel wegen f() g() = f() g(). ( f() ) = f () g() f() g () g() g() 2 (4) Ist f() = 3 + 2 2 +, so ist f () = 3 (2 + ) (3 + 2) 2 ( 2 + ) 2 = 32 4 + 3 ( 2 + ) 2. 4 Diskussion rationaler Funktionen 4. Allgemeines Vorgeen Um eine rationale Funktion zu iskutieren un zu skizzieren, get man wie folgt vor:. Beebbare Definitionslücken beeben: Zäler- un Nennerpolynom weren soweit faktorisiert, wie es nötig ist, um gemeinsame Nullstellen zu finen un zu kürzen. (Ist as Zälerpolynom beispielsweise (+)( ) un as Nennerpolynom (+2)( ) so lässt sic er Faktor ( ) kürzen. Es ist aber zu beacten, ass ie ursprünglice rationale Funktion nict eakt gleic er gekürzten Funktion ist, weil ie ursprünglice Funktion für = nict efiniert ist, wären ie gekürzte Funktion an ieser Stelle efiniert ist. Das ist ein Detail, as im Folgenen ignoriert wir.) 4
2. Pole bestimmen: Die Pole er rationalen Funktion un ire Ornung zeigen, wo ie Funktion vertikale Asymptoten at, un wie sic ie Funktion in er Umgebung es Pols verält. 3. Nullstellen berecnen: Wie bei er Diskussion von Polynomfunktionen zeigen ie Nullstellen, wo er Grap ie -Acse scneiet. 4. Veralten im Unenlicen evaluieren: Das Veralten er Funktion im Unenlicen un weitere Asymptoten neben en vertikalen Asymptoten er Pole zeigen, wie er Grap im Grossen aussiet. Dieser Punkt wir im Folgenen genauer besprocen. 5. Etrema, Terrassenpunkte un Wenepunkte finen: Wie bei er Diskussion er Polynomfunktionen sin Etrema, Terrassenpunkte un Wenepunkte wictige Stellen bei er Analyse einer rationalen Funktion. Sie lassen sic gleic wie bei Polynomfunktionen finen, für ie Ableitungen wir aber ie Quotientenregel (4) benötigt. 6. Grap zeicnen: Hat man Pole, Nullstellen, Etrema, Terrassenpunkte, Wenepunkte un Asymptoten bestimmt, lässt sic er Grap skizzieren. 4.2 Veralten im Unenlicen un Asymptoten Polynomfunktionen mit Gra n geen für grosse immer gegen ±. Rationale Funktionen ingegen können sic, wie er nebensteene Grap für ie Funktion 2 zeigt, im Unenlicen aners + veralten. Der Grap näert sic für grosse er -Acse, ie somit eine orizontale Asymptote ist. Ist er Gra m es Zälerpolynoms kleiner oer gleic em Gra n es Nennerpolynoms, so näert sic er Grap für grosse einer orizontalen Asymptote. Etwas scwieriger ist er Fall, wenn er Gra es Zälerpolynoms grösser als er Gra es Nennerpolynoms ist, weil so kompliziertere asymptotisce Kurven entsteen. Das asymptotisce Veralten einer rationalen Funktion in en rei möglicen Fälle m < n, m = n un m > n wir im Folgenen an je einem Beispiel besprocen. 8 6 Ist m < n wie bei 2 + 4 + 4, so lässt sic ie rationale Funktion zu 2 ( 8 6 8 ) 2 2 ( + 4 + 4 ) = 6 2 + 4 2 + 4 umformen. Man siet, ass er Zäler für ± in iesem Beispiel gegen 0 un er Nenner gegen 2 get. Allgemein lässt sic sagen, ass für eine rationale Funktion f() mit m < n ie Gerae y = 0 eine orizontale Asymptote ist, un ass somit f() = 0 gilt. lim ± Für m = n kann man analog vorgeen un bekommt für ie Funktion 2 zum Beispiel 2 ( ) = 2, was für ± gegen 2 get. Allgemein gilt für m = n, ass eine Gerae y = c für ein c 0 eine orizontale Asymptote ist, un ass somit f() = c gilt. lim ± Die nebensteene Abbilung zeigt en Grapen er Funktion 3 mit em Pol =, er als vertikale Asymptote punktiert eingezeicnet ist. Diviiert man 3 urc, bekommt man 2 + + un en Rest, er für grosse verscwinet, soass sic ie Funktion asymptotisc wie ie eller eingezeicnete Parabel 2 + + verält. Diese Parabel ist eine asymptotisce Kurve, wie sie im Fall m > n allgemein as Veralten er Funktion für ± bescreibt. 5
4.3 Beispiel einer rationalen Funktion Diskussion er Funktion f() = 2 + : Die Funktion f() at keine beebbare Definitionslücke, aber en Pol = erster Ornung un ie oppelte Nullstelle = 0. Man kann f() urc Division mit Rest zu f() = + + umformen. Somit weiss man, ass f() für > positiv un für < negativ ist, ie -Acse bei = 0 berürt, bei = eine vertikale Asymptote at un weiter als asymptotisce Kurve ie Gerae y = besitzt. Diese Information über en Grapen von f() bekommt man one Ableiten. Die Ableitung f () = 2 ( + ) 2 ( + 2) ( + ) 2 = at ie beien ( + ) 2 Nullstellen = 2 un = 0. In en Punkten mit en Koorinaten ( 2, 4) un (0, 0) at er Grap von f() also ie Steigung 0. Betractet man Werte f() in er Näe er beien Nullstellen von f (), siet man, ass f() bei = 2 ein Maimum un bei = 0 ein Minimum at. Mit en beien Etrema von f() un en Asymptoten kann man en Grapen von f() scon rect genau skizzieren. Die Abbilung rects zeigt en Grapen von f() zusammen mit er vertikalen Asymptote bei = un er asymptotiscen Geraen y =. 4.4 Uneigentlice Integrale Ist ie -Acse eine orizontale Asymptote einer Funktion, kann es sein, ass sic ie Funktion für grosse so scnell er -Acse näert, ass ie Fläce einen enlicen Wert at un man as Integral mit er Obergrenze berecnen kann. Allgemein nennt man ein bestimmtes Integral ein uneigentlices Integral, wenn minestens ein Grenze nict efiniert ist. Eine Grenze kann beispielsweise ± sein. [ 2 = ] = lim c [ ] c ( = lim ) = c c Von uneigentlicen Integralen sprict man auc, wenn eine Funktion für einen enlicen -Wert nict efiniert ist, weil ie Funktion ort einen Pol at. 0 = [ 2 ] = 2 0 6