MATHEMATIK & WIRTSCHAFT 2 MATHEMATIK & WIRTSCHAFT 2 MATHEMATIK & WIRTSCHAFT Timischl Prugger 2 Kompetenzliste
Inhaltsverzeichnis / Impressum Inhaltsverzeichnis Inhalts- und Handlungsbereiche des Kompetenzmodells in den durchgerechneten Beispielen der Mathematik & Wirtschaft 2 3 Handlungsbereiche des Kompetenzmodells in den Aufgaben der Mathematik & Wirtschaft 2 7 Notizen 10 1. Auflage, 2012 Alle Drucke sind im Unterricht parallel verwendbar. Satz, Grafik: imprint, Zusmarshausen Gesamtherstellung: Verlag E. DORNER GmbH, Wien Timischl, Prugger Mathematik & Wirtschaft 2 Kompetenzliste Verlag E. DORNER GmbH Ungargasse 35, 1030 Wien Tel.: 01 533 56 36, Fax: 01 533 56 36-15 E-Mail: office@dorner-verlag.at www.dorner-verlag.at ISBN 978-3-7055-1607-6 2
Inhalts- und Handlungsbereiche des Kompetenzmodells in den durchgerechneten Beispielen der Mathematik & Wirtschaft 2 Zur Kennzeichnung der Inhaltsbereiche: 1: Zahlen und Maße 2: Algebra und Geometrie 3: Funktionale Zusammenhänge 4: Analysis 5: Stochastik Beispiel 1 Potenzfunktionen 1.1 Potenzrechnung 4 2 4 1.2 Rechnen mit Wurzeln 5 2 4 1.3 Graphen von Potenzfunktionen 7 3 4 4 1.4 Auftreten von Potenzfunktionen 9 3 4 4 4 1.5 Einführendes Beispiel 11 2, 3 4 4 4 1.6 Lösbarkeit einer Wurzelgleichung 13 2 4 4 1.7 Wurzelgleichung 13 2 4 4 2 Exponential- und Logarithmusfunktionen 2.1 Einführendes Beispiel 15 3 4 4 2.2 Die Zahl e mit dem Rechner 16 2 4 2.3 Beschreibung von Wachstumsvorgängen 18 3 4 4 2.4 Logarithmieren 21 2 4 4 2.5 Berechnung von Logarithmen 22 2 4 2.6 Logarithmen mit dem Rechner 22 2 4 Seite Inhaltsbereich(e) A Modellieren und Transferieren B Operieren und Technologieeinsatz C Interpretieren und Dokumentieren 2.7 Anwendung der Logarithmengesetze von links nach rechts 23 2 4 2.8 Anwendung der Logarithmengesetze von rechts nach links 24 2 4 2.9 Logarithmus zur Basis 2 24 2 4 4 2.10 Umwandlung in eine Potenz mit der Basis e 25 2 4 4 2.11 Einfache Exponentialgleichungen 27 2 4 4 2.12 Graphische Lösung von Beispiel 2.11 c) 28 3 4 4 2.13 Weitere Exponentialgleichungen 28 2 4 3 Folgen 3.1 Endliche Zahlenfolgen 30 3 4 3.2 Graphische Darstellung einer Folge 31 3 4 3.3 Termdarstellung und rekursive Darstellung 31 3 4 3.4 Arithmetische und geometrische Folgen 33 3 4 3.5 Arithmetische Folge 34 3 4 4 3.6 Geometrische Folge 34 3 4 4 3.7 Summe einer arithmetischen Reihe 35 3 4 4 3.8 Summe einer geometrischen Reihe 36 3 4 4 3.9 Einführende Beispiele 40 3 4 4 4 3.10 Weitere Beschreibungen von ökonomischen Prozessen 41 3 4 4 3.11 Lösung des Beispiels 3.10 c) 43 4 4 4 D Argumentieren und Kommunizieren 3
Zur Kennzeichnung der Inhaltsbereiche: 1: Zahlen und Maße 2: Algebra und Geometrie 3: Funktionale Zusammenhänge 4: Analysis 5: Stochastik Beispiel 4 Wachstumsprozesse 4.1 Wachstumsrate und -faktor bei diskreter Beschreibung 47 3 4 4 4 4.2 Wachstumsrate und -faktor bei kontinuierlicher Beschreibung Seite Inhaltsbereich(e) A Modellieren und Transferieren B Operieren und Technologieeinsatz C Interpretieren und Dokumentieren 48 3 4 4 4.3 Kontinuierliches lineares Wachstum 50 3 4 4 4 4.4 Diskretes lineares Wachstum / Diskrete lineare Abnahme 50 3 4 4 4 4.5 Kontinuierliches exponentielles Wachstum 53 3 4 4 4 4.6 Halbwertszeit bei kontinuierlicher exponentieller Abnahme 4.7 Wachstumsrate bei kontinuierlichem exponentiellen Wachstum 4.8 Diskretes exponentielles Wachstum und diskrete exponentielle Abnahme 54 3 4 4 55 3 4 4 55 3 4 4 4 4.9 Diskretes beschränktes Wachstum 61 3, 4 4 4 4 4.10 Kontinuierliches beschränktes Wachstum 63 3 4 4 4 4.11 Diskretes Modell des logistischen Wachstums 65 3 4 4 4 4.12 Kontinuierliches Modell des logistischen Wachstums 66 3 4 4 5 Finanzmathematik 5.1 Einfache Zinsrechnung 1 70 2 4 4 5.2 Einfache Zinsrechnung 2 71 2 4 5.3 Einfache Zinsrechnung bei Spareinlagen 72 2 4 4 4 5.4 Einreichung eines Wechsels vor seiner Fälligkeit 74 2 4 4 5.5 Einfacher Zins bei langfristigen Kapitalanlagen? 77 2 4 4 5.6 Zinseszinsen 77 2 4 4 4 5.7 Einfacher Zins und Zinseszins (Fortsetzung Beispiel 5.6) 79 2, 3 4 4 5.8 Die vier Grundaufgaben der Zinseszinsrechnung 80 2 4 4 4 5.9 Sparbuch und Kapitalertragssteuer 81 2 4 5.10 Verdopplungszeit beim Zinssatz i = p % 81 2 4 4 5.11 Vorübung 82 2 4 4 5.12 Äquivalenzprinzip 83 2 4 4 4 5.13 Kontostand bei unregelmäßigen Zahlungen 84 2 4 4 4 5.14 Effektivsatz eines Kredits 85 2 4 4 4 5.15 Vergleich von Angeboten 86 2 4 4 4 5.16 Wem nützt die antizipative Verzinsung? 87 2 4 4 4 5.17 Unterjährige Verzinsung 93 2 4 5.18 Effektivzinssatz bei unterjähriger Verzinsung 94 2 4 4 4 5.19 Konformer unterjähriger Zinssatz 94 2 4 4 4 5.20 Gemischte Verzinsung 96 2 4 4 5.21 Theoretische Verzinsung 96 2 4 4 5.22 Gemischte Verzinsung bei unterschiedlichem Verzinsungsbeginn 97 2 4 4 4 D Argumentieren und Kommunizieren 4
Zur Kennzeichnung der Inhaltsbereiche: 1: Zahlen und Maße 2: Algebra und Geometrie 3: Funktionale Zusammenhänge 4: Analysis 5: Stochastik Beispiel 5.23 Gemischte Verzinsung beim Sparbuch (bei der Sparcard) 98 2 4 4 4 5.24 Endwert und Barwert einer nachschüssigen Rente 102 2 4 4 4 4 5.25 Endwert und Barwert einer vorschüssigen Rente 102 2 4 4 4 4 5.26 Berechnung der Rate einer Rente 104 2 4 4 5.27 Berechnung der Laufzeit einer Rente 104 2 4 4 5.28 Berechnung des Zinssatzes einer Rente 105 2 4 4 Seite Inhaltsbereich(e) A Modellieren und Transferieren B Operieren und Technologieeinsatz C Interpretieren und Dokumentieren 5.29 Kapitalaufbau durch regelmäßige gleiche Zuflüsse (Sparplan) 105 2 4 4 5.30 Kapitalabbau durch regelmäßige gleiche Entnahmen 106 2 4 4 5.31 Kreditrückzahlung als Schuldabbau 107 2 4 4 4 5.32 Veranlagung zur Vorsorge 108 2 4 4 4 5.33 Kapitalaufbau durch eine vorschüssige Rente 110 2 4 4 5.34 Umwandlung einer Rente in eine andere Rente 111 2 4 4 4 5.35 Unterbrochene Rente 112 2 4 4 4 5.36 Ewige Rente 112 2 4 4 4 5.37 Unterjährige Rente 113 2 4 4 4 5.38 Kreditrückzahlung in unterjährigen Raten 115 2 4 4 4 5.39 Leibrente 116 2 4 4 4 5.40 Rückzahlung einer Schuld 125 2 4 4 4 5.41 Gestundete Schuld (gesamtfällige Schuld mit Zinsansammlung) 127 2 4 4 4 5.42 Zinsschuld (gesamtfällige Schuld ohne Zinsansammlung) 127 2 4 4 4 5.43 Ratenschuld 128 2 4 4 4 5.44 Effektivzins bei einer Ratenschuld mit Disagio 128 2 4 4 4 5.45 Annuitätenschuld ohne Rest 130 2 4 4 5.46 Annuitätenschuld mit Rest 131 2 4 4 5.47 Tilgungsstreckung 132 2 4 4 4 5.48 Zinssatzänderung bei einer Ratenschuld 133 2 4 4 4 5.49 Zinssatzänderung bei einer Annuitätenschuld 133 2 4 4 4 5.50 Zinssatz- und Laufzeitänderung bei einer Annuitätenschuld 135 2 4 4 4 5.51 Unterjährige Tilgung bei vorgegebenem Periodenzinssatz 136 2 4 4 5.52 Unterjährige Tilgung nach der ISMA-Methode 136 2 4 4 5.53 Realwert bei Inflation 143 2 4 4 4 5.54 Inflationsbereinigung 144 2 4 4 4 5.55 Ansparen bei Berücksichtigung der Inflation 144 2 4 4 4 5.56 Skonto oder Lieferantenkredit? 146 2 4 4 4 5.57 Effektivzinssatz eines Verbraucherkredits 147 2 4 4 4 5.58 Berechnung der Leasingrate 148 2 4 4 4 D Argumentieren und Kommunizieren 5
Zur Kennzeichnung der Inhaltsbereiche: 1: Zahlen und Maße 2: Algebra und Geometrie 3: Funktionale Zusammenhänge 4: Analysis 5: Stochastik Beispiel 5.59 Effektivzinssatz beim Leasing 149 2 4 4 4 5.60 Effektivzinssatz bei einem Ratengeschäft 150 2 4 4 4 5.61 Bausparen mit fixem Zinssatz 151 2 4 4 4 5.62 Staatlich geförderte Zukunftsvorsorge / Effektivzinssatz 152 2 4 4 4 6 Trigonometrie 6.1 Heron sche Flächenformel 159 2 4 6.2 Ähnliche rechtwinklige Dreiecke 159 2 4 4 6.3 Berechnungen an einem rechtwinkligen Dreieck 160 2 4 6.4 Winkelfunktionswerte für einen besonderen Winkel 162 2 4 4 6.5 Der Winkel ist gegeben, der Funktionswert ist gesucht 162 2 4 6.6 Der Funktionswert ist gegeben, der Winkel ist gesucht 163 2 4 6.7 Steigung einer Straße 163 2 4 4 6.8 Berechnung fehlender Bestimmungsstücke 163 2 4 4 6.9 Raumdiagonale eines Würfels 164 2 4 4 6.10 Winkelfunktionswerte verschiedener Winkel 166 2 4 4 6.11 Winkel zu einem gegebenen Winkelfunktionswert 168 2 4 4 4 6.12 Umrechnungen zwischen den Winkelfunktionen 170 2 4 4 6.13 Umwandlung zwischen Gradmaß und Bogenmaß 172 2 4 6.14 Graph einer allgemeinen Sinusfunktion 174 3 4 4 6.15 Einführendes Beispiel Sinussatz 175 2 4 4 6.16 Einführendes Beispiel Kosinussatz 176 2 4 4 6.17 Trigonometrische Flächenformel 177 2 4 6.18 Länge einer unzugänglichen Strecke 178 2 4 4 4 6.19 Ermittlung einer Höhe 179 2 4 4 4 7 Diskrete Mathematik 7.1 Restbestimmung modulo n 184 4 7.2 Anwendung der Kongruenz-Regeln 186 4 7.3 Square-And-Multiply-Verfahren 187 4 4 7.4 Prüfziffern-Codierung 189 4 4 4 7.5 Prüfziffern-Codierung mit Gewichten 190 4 4 4 Seite Inhaltsbereich(e) A Modellieren und Transferieren B Operieren und Technologieeinsatz C Interpretieren und Dokumentieren D Argumentieren und Kommunizieren 7.6 Berechnung der IBAN aus Bankleitzahl und Kontonummer 192 4 4 4 7.7 Einfache symmetrische Verschlüsselung 195 4 4 7.8 RSA-Algorithmus 197 4 4 4 6
Handlungsbereiche des Kompetenzmodells in den Aufgaben der Mathematik & Wirtschaft 2 1 Potenzfunktionen 1.1 B 1.5 B 1.9 B 1.13 B C 1.17 B D 1.2 B 1.6 B 1.10 C 1.14 C 1.18 B D 1.3 B 1.7 B 1.11 B C 1.15 B 1.19 B D 1.4 B 1.8 B 1.12 B C 1.16 B D 2 Exponential- und Logarithmusfunktionen 2.1 B 2.6 B C 2.11 D 2.15 D 2.19 B 2.2 B C 2.7 B 2.12 D 2.16 B 2.20 B 2.3 B C 2.8 B C 2.13 B 2.17 B 2.21 B 2.4 D 2.9 D 2.14 B 2.18 B 2.22 B 2.5 D 2.10 D 3 Folgen 3.1 B 3.7 B 3.13 A B 3.19 B C 3.25 A B C 3.2 B 3.8 B 3.14 A 3.20 A B 3.26 A B C 3.3 B C 3.9 D 3.15 B 3.21 A B 3.27 B 3.4 B 3.10 A B 3.16 B 3.22 D 3.28 A 3.5 B 3.11 B 3.17 B 3.23 B C 3.29 A C 3.6 B 3.12 B C 3.18 B 3.24 B C 3.30 A B C 4 Wachstumsprozesse 4.1 B 4.14 A B C 4.27 A B C 4.39 D 4.51 B C 4.2 B 4.15 A B C 4.28 A B C 4.40 A B C 4.52 A B C 4.3 B 4.16 A B C 4.29 B C 4.41 A B C 4.53 A B C 4.4 B 4.17 A B C 4.30 B 4.42 A B C 4.54 A B C 4.5 A B 4.18 A B C 4.31 A B C 4.43 A B 4.55 A B C 4.6 A B 4.19 A B C 4.32 A B C 4.44 A B 4.56 A B C 4.7 B 4.20 A B C 4.33 A B C 4.45 B C 4.57 A B C 4.8 B 4.21 A B C 4.34 A B C 4.46 A B C 4.58 A B C 4.9 B 4.22 A C 4.35 A B 4.47 B C 4.59 A B C 4.10 B C 4.23 D 4.36 A B 4.48 A B C 4.60 A B C 4.11 A B C 4.24 D 4.37 A B 4.49 A B C 4.61 A B C 4.12 A B C 4.25 B C 4.38 D 4.50 A B C 4.62 A B C 4.13 A B C 4.26 A B C 7
5 Finanzmathematik 5.1 B 5.46 A B C 5.91 A B C 5.135 B C 5.179 A B C 5.2 B 5.47 B C 5.92 B C 5.136 B C 5.180 A B C 5.3 B 5.48 B C 5.93 B C 5.137 B C 5.181 A B C 5.4 B 5.49 A B C 5.94 B C 5.138 A B C 5.182 B C 5.5 B 5.50 B 5.95 B C 5.139 A B C 5.183 B C 5.6 B 5.51 B 5.96 A B C 5.140 B C 5.184 B C 5.7 A B 5.52 B 5.97 B C 5.141 A B C 5.185 A B C 5.8 A B 5.53 B C 5.98 B C 5.142 B C 5.186 B C 5.9 A B 5.54 B C 5.99 A B C 5.143 A B C 5.187 B C 5.10 A B 5.55 B 5.100 A B C 5.144 A B C 5.188 B C 5.11 A B 5.56 A B 5.101 A B C 5.145 B C 5.189 A B C 5.12 A B 5.57 B 5.102 B C 5.146 A B C 5.190 A B C 5.13 B 5.58 B 5.103 A B C 5.147 A B C 5.191 A B C 5.14 B 5.59 B 5.104 A B C 5.148 A B C 5.192 A B C 5.15 B 5.60 B C 5.105 A B C 5.149 A B C 5.193 A B C 5.16 B 5.61 B 5.106 B C 5.150 A B C 5.194 B C 5.17 B 5.62 B 5.107 A B C 5.151 B C 5.195 B C 5.18 A 5.63 B C 5.108 A B C 5.152 B C 5.196 B C 5.19 B 5.64 A B 5.109 A B C 5.153 B C 5.197 B C 5.20 B 5.65 B 5.110 A B C 5.154 B C 5.198 B C 5.21 B C 5.66 B C 5.111 A B C 5.155 B C 5.199 B C 5.22 B C 5.67 B 5.112 A B C 5.156 B C 5.200 B C 5.23 B 5.68 B 5.113 A B C 5.157 B C 5.201 B C 5.24 B 5.69 B C 5.114 A B C 5.158 B C 5.202 B C 5.25 B 5.70 B C 5.115 A B C 5.159 B C 5.203 B C 5.26 B 5.71 B C 5.116 A B C 5.160 B C 5.204 B C 5.27 B 5.72 B 5.117 B C 5.161 B C 5.205 B C 5.28 B 5.73 B C 5.118 B C 5.162 A B C 5.206 B C 5.29 B 5.74 B C 5.119 B C 5.163 A B C 5.207 B C 5.30 B C 5.75 B C 5.120 B C 5.164 C D 5.208 B C 5.31 A B C 5.76 B C 5.121 A B C 5.165 B C 5.209 B C 5.32 A B C 5.77 B C 5.122 B C 5.166 B C 5.210 B C 5.33 A B C 5.78 B C 5.123 B C 5.167 B C 5.211 B C 5.34 A B C 5.79 B C 5.124 B C 5.168 A B C 5.212 B C 5.35 A B C 5.80 C 5.125 B C 5.169 A B C 5.213 B C 5.36 A B C 5.81 B 5.126 B 5.170 B C 5.214 A B C 5.37 A B C 5.82 B 5.127 B C 5.171 B C 5.215 B C 5.38 B C 5.83 B C 5.128 B C 5.172 A B C 5.216 A B C 5.39 A B C 5.84 B C 5.129 B C 5.173 A B C 5.217 A B C 5.40 B C 5.85 B C 5.130 B C 5.174 A B C 5.218 A B C 5.41 A B C 5.86 B C 5.131 B C 5.175 A B C 5.219 A B C 5.42 A B C 5.87 A B C 5.132 A B C 5.176 A B C 5.220 B C 5.43 B C 5.88 B C 5.133 A B C 5.177 A B C 5.221 A B C 5.44 B C 5.89 A B C 5.134 A B C 5.178 A B C 5.222 A B C 5.45 A B C 5.90 B C 8
6 Trigonometrie 6.1 B 6.12 B 6.23 D 6.34 B 6.45 A B 6.2 A B 6.13 B 6.24 B 6.35 A B 6.46 A B 6.3 A B 6.14 B 6.25 D 6.36 A B 6.47 A B 6.4 B 6.15 B 6.26 D 6.37 A B 6.48 A B 6.5 B 6.16 B 6.27 B D 6.38 A B 6.49 A B 6.6 A B 6.17 B 6.28 A B 6.39 A B 6.50 A B 6.7 A B 6.18 A B 6.29 B 6.40 A B 6.51 A B 6.8 B 6.19 A B 6.30 B 6.41 A B 6.52 A B 6.9 B 6.20 A B 6.31 B 6.42 A B 6.53 A B 6.10 A B 6.21 A B 6.32 B 6.43 A B 6.54 A B 6.11 B 6.22 B C 6.33 B C 6.44 A B 7 Diskrete Mathematik 7.1 D 7.5 B 7.9 B D 7.13 A B 7.17 A B 7.2 B 7.6 B 7.10 B D 7.14 A B 7.18 A B 7.3 B 7.7 B D 7.11 B D 7.15 A B 7.19 A B D 7.4 B 7.8 B D 7.12 B D 7.16 A B 7.20 A B 9
Notizen 10
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Timischl, Prugger Mathematik & Wirtschaft 2 Kompetenzliste Verlag E. DORNER GmbH, Wien ISBN 978-3-7055-1607-6