C lektztät 7 lektostatsche Felde De lektostatk befasst sch mt uhenden (statschen) Ladungen. De Kaftwkung zwschen Ladungen wd duch elektsche Felde bescheben. 7. lektsche Ladung In de Mechank gbt es de de unabhänggen Gundgößen Masse, Länge und Zet mt den nheten Klogamm, Mete und Sekunde. lle andeen Gößen we z. B. Geschwndgket weden aus desen Gößen abgeletet. In de lektodynamk wd ene wetee, vete Gundgöße benötgt: De elektsche Stomstäke mt de nhet mpee. W müssen de nhet mpee beets jetzt bestmmen, da se de nhet Coulomb de elektschen Ladungen festlegt. De nhet mpee wd we folgt defnet: Wenn n zwe geadlngen, paallelen, seh langen elektschen Leten mt dem bstand m Stöme gleche Stäke fleßen und wenn zwschen den Leten po nhetslänge ( m) ene Kaft von 7 N/m wkt, dann st de Stom n jedem Lete glech mpee ( ). Ddaktsch gesehen hat dese Festlegung den Nachtel, dass se enesets schon am nfang de lektodynamk benötgt wd, andeesets abe auf magnetsche Käfte zuückgeft, de est vel späte behandelt weden. Von Votel st abe, dass duch dese Festlegung de magnetsche Feldkonstante µ exakt den Wet 4 π 7 N/ ehält und dass de nhet mpee mt en mechanschen Mtteln bestmmt weden kann. lledngs muss de Leteabstand be de expementellen Duchfühung vel klene als m sen. Be konstante Stomstäke I besteht folgende Zusammenhang zwschen de Stomstäke und de geflossenen Ladung : I I t fü konstante Stomstäke t Damt st de nhet Coulomb (abgeküzt C ) de Ladung we folgt festgelegt: Coulomb mpee Sekunde ode abgeküzt C s
7 lektostatsche Felde xpementell wuden folgende ussagen fü elektsche Ladungen gefunden: s gbt postve und negatve elektsche Ladungen. Wllkülch wude das Vozechen so festgelegt, dass de Ladung de lektonen negatv st. Ladungen mt glechem bzw. veschedenem Vozechen stoßen sch ab bzw. zehen sch an. Im Gegensatz zu Gavtatonskaft, de nu anzehend st, gbt es he also anzehende und abstoßende Käfte. s exstet ene klenste Ladungsmenge, de sog. lementaladung 9 e,6 C (7. ) n lekton hat de Ladung e, en Poton de Ladung e. lle Ladungen snd stets ganzzahlge Velfache de lementaladung: n e mt n, ±, ±,... In abgeschlossenen Systemen, d. h. n Systemen, denen wede Ladungen zugefüht noch entzogen weden, st de Summe alle Ladungen konstant: N const n abgeschlossenen Systemen Dese Ladungsehaltungssatz st vo allem n de lementatelchenphysk wchtg. 7. De Coulombkaft De elektsche Ladung enes Köpes wd duch de Käfte nachgewesen, de andee geladene Köpe auf hn ausüben. W betachten zwe Ladungen, mt den Otsvektoen,. De Ladungen seen punktfömg, d. h. he usdehnungen seen vel klene als h bstand. Nach den xpementen, de vo allem de fanzössche Physke Coulomb gegen nde des 8 ten Jahhundets machte, st de sog. Coulombkaft zwschen den Ladungen popotonal zum Podukt de beden Ladungen ndekt popotonal zum uadat ( ) des bstandes paallel zu Vebndungslne de beden Ladungen. bb. 7. De Coulombkaft de Ladung auf de Ladung st paallel zum Vekto, popotonal zum Podukt bede Ladungen und ndekt popotonal zum uadat de ntfenung. In gleche Wese kann de Masse m enes Köpes gemessen weden, ndem man de Gavtatonskaft de de auf hn msst.
De Coulombkaft de Ladung auf de Ladung betägt dahe 7. De Coulombkaft 3 F k ( ) Dese Gl. heßt Coulombsches Gesetz. Fü spätee Rechnungen st es seh votelhaft, de Konstante k n de Fom k /( 4 π ) zu scheben. Daaus folgt: De Coulombkaft de Punktladung auf de Punktladung betägt: F π 4 ( ) (7. ) heßt elektsche Feldkonstante ode Delektztätskonstante des Vakuums ode Influenzkonstante und hat nach den xpementen den Wet 8, 854 C N m (7. ) In de uantenmechank bescheben de Coulombkäfte de Bndung de lektonen an den tomken, de Wechselwkung zwschen tomen und Molekülen und schleßlch auch de zwschenatomaen Käften n Festköpen, Flüssgketen und Gasen. Das Coulombgesetz (7. ) hat de gleche Fom we das Gavtatonsgesetz, das de nzehungskaft zwschen zwe Massen beschebt: F γ m m ) ( mt de Gavtatonskonstanten γ 6,67 m 3 kg s De enzge Untesched besteht dan, dass es nu postve Massen und nu anzehende Gavtatonskäfte gbt. Da Coulombkäfte und Gavtatonskäfte bede ndekt popotonal zum uadat des bstandes snd, hängt h Vehältns ncht vom bstand ab. Das Vehältns de beden Käften st fü Potonen mt m P, 67 7 kg F F C G 9 9 8, 988 N m/c (, 6 C) 7 6, 67 N m / kg (, 67 kg), 4 36 tomkene snd totz de abstoßenden Coulombkäfte zwschen den Potonen stabl, wel Potonen und Neutonen duch de Stake Wechselwkung zusammengehalten weden, auf de w ncht engehen. Bespel 7. Pendel m Glechgewcht Zwe klene Metallkugeln mt Masse m und Ladung hängen an Fäden de Länge l m selben Punkt an de Decke. bb. 7. De Coulombkaft dückt de beden Pendel ausenande.
4 7 lektostatsche Felde Beechne de ntfenung d de Kugeln m Glechgewcht fü d << l. Lösung: n Pendel befndet sch m Glechgewcht, wenn sen Faden paallel st zu esulteenden Kaft m g + F C, d. h. fü ϕ α (sehe bb. 7. 3): sn α sn ϕ tan ϕ d FC l m g 4π d m g d π l m g / 3 bb. 7. 3 Gewchtskaft m g und Coulombkaft F C. Das Coulombgesetz kann lecht auf mehee uhende Ladungen veallgemenet weden: n Punktladungen mt den Otsvektoen üben nsgesamt auf ene Punktladung q an de Stelle de Kaft F( ) π 4 n q ( ) (7. 3) aus. De gesamte Coulombkaft st also enfach de Vektosumme de n enzelnen Coulombkäfte; es glt das Supepostonspnzp. bb. 7. 4 De gesamte Kaft alle Punktladungen auf de Ladung q st de Vektosumme de n nzelkäfte F () de -ten Ladung auf de Ladung q. 7.3 Das elektsche Feld W betachten nochmals bb. 7. 4: n Ladungen mt festen Otsvektoen üben auf ene Pobeladung q am Ot de Kaft F( ) q π 4 n ( ) (7.3 )
7.3 Das elektsche Feld 5 aus. De Kaft F st popotonal zu Pobeladung q und kann dahe n folgende Fom gescheben weden: F( ) q ) (7.3 ) Dese Gl. defnet ene neue physkalsche Göße, das elektsche Feld ), das de n Ladungen am Ot ezeugen: F( ) ) : q π 4 n ( ) (7.3 3) De nhet des elektschen Feldes st N/C. Mt de späte engefühten nhet Volt fü de Spannung lautet de nhet V / m : nhet des elektschen Feldes : N C V m (7.3 4) Das elektsche Feld st unabhängg von de Pobeladung q und hängt nu von de Vetelung de Ladungen ab. Nach dem Supepostonspnzp übelagen sch de elektschen Felde mehee Ladungen lnea. Das elektsche Feld ene postven Punktladung zegt adal nach außen. Bemekung: lektsche Felde lassen sch duch Käfte auf Pobeladungen bestmmen. Dabe muss de Pobeladung q so klen sen, dass se de Vetelung de Ladungen, d. h. de Otsvektoen duch ückwkende Käfte ncht (wesentlch) ändet. ndenfalls wüde sch das zu messende Feld ) be de Messung änden. Bespel 7.3 Feldstäke m Fenfeld enes Dpols n Dpol besteht aus zwe entgegengesetzt glechen Ladungen mt dem bstand d. Betachte enen Dpol, dessen Ladungen übeenande legen und beechne das elektsche Feld m Punkt P, bb. 7.3 Dpol mt elektschen Felden m Fenpunkt P. s gelte: q > De Begff Feld st en zentale Begff n de Physk. llgemen st en Feld ene physkalsche Göße, de vom Ot und von de Zet t abhängt. s gbt zwe ten von Felden: Skalae Felde F F(, t) : n Bespel st das Tempeatufeld T(, t), das de Tempeatuvetelung z. B. enes Gases n de tmosphäe beschebt, ndem es jedem Ot zu jede Zet t ene Tempeatu zuodnet. Vektofelde F F(, t) : Bespele snd das elektsche Feld, t) und das späte engefühte Magnetfeld B(, t ).
6 7 lektostatsche Felde de m Fenfeld ( >> d ) auf ene hozontalen Geade legt, de de Vebndungslne bede Ladungen n de Mtte senkecht schnedet. Lösung: Im Punkt P snd de Betäge de beden elektschen Felde, de von den beden Ladungen ezeugt weden, glech goß und lauten + q q π 4 q + d De Summe de beden Vektofelde + q cos α π 4 q, st vetkal und hat den Betag + q q d + d + d d q 4 π / ( + d ) 3 ( exakt auch m Nahfeld ) (7.3 5a) nu fü >> d 4 π d q 3 ( nu m Fenfeld) (7.3 5b) De Ladungsabstand d und de Ladung q teten nu als Podukt auf. Da deses gebns fü alle Punkte m Fenfeld glt (also auch fü Punkte, de ncht auf de gestchelten, hozontalen chse n bb. bb. 7.3 legen), können de Ladung q und de bstand d m Fenfeld ncht enzeln gemessen weden, sonden nu das sog. elektsche Dpolmoment p : d q (7.3 6) De asche bfall des Feldes mt 3 st daauf zuückzufühen, dass de beden Ladungen mt zunehmendem bstand sozusagen mme nähe zusammenücken, so dass he Felde ncht nu mme schwäche weden, sonden sch auch mme meh gegenenande aufheben. Wenn n enem Volumen V ncht enzelne Ladungen, sonden ene kontnuelche Ladungsvetelung mt de Ladungsdchte ρ( ) : lm V V volegt, dann lautet das elektsche Feld an de Stelle : an de Stelle (7.3 7) ) π 4 V ρ( ' ) ( ') ' ' dv ' (7.3 8) Bespel 7.3 Feldstäke auf de Symmeteachse ene geladenen Schebe a) Beechne das elektsche Feld x) n enem Punkt P auf de Symmeteachse enes homogen geladenen, dünnen Rnges mt Radus Rng und postve Gesamtladung. b) Beechne das Feld x) auf de Symmeteachse ene geladenen Schebe mt Radus Schebe, postve Gesamtladung und konstante Flächenladungsdchte σ : / ( π ). Schebe
7.3 Das elektsche Feld 7 c) Untesuche de Genzfälle x >> Schebe und x << Schebe. Lösung: a) us Symmetegünden st das elektsche Feld auf de x-chse paallel zu x-chse. Das dunkle Volumenelement n bb. 7.3 ezeugt auf de Symmeteachse m Punkt P en Feld mt dem Betag d d 4 π + Rng x Be de Integaton übe alle Volumenelemente blebt nu de Komponente n x-rchtung übg: bb. 7.3 Das dunkle Volumenelement dv ezeugt auf de Symmeteachse das Feld d. d d x d cosα x 4π Rng + x Rng + x 4π x d ( ) 3/ Rng + x Be de Integaton übe alle Volumenelemente st x konstant, so dass nu das Integal d zu beechnen st. W ehalten x ( x) π + ( Rng x ) Rng 4 3/ (7.3 9) Fü x >> folgt das plausble gebns: ( x) / (4 π x ) Rng Rng b) W nehmen an, dass de Schebe aus velen konzentschen Rngen besteht jewels mt Radus, nfntesmale Rngdcke d und nfntesmale Fläche d π d. Nach Gl. (7.3 9) ezeugen dese Rnge auf de Symmeteachse Felde de Stäke d x d σ x d ( + x ) d σ π d ( + x ) Rng 4π 3/ 3/ Integaton übe alle Rnge egbt das gesamte elektsche Feld Schebe σ x d σ x / Schebe Schebe( x) 3/ ( + x ) ( + x ) σ + ( Schebe / x) (7.3 )
8 7 lektostatsche Felde / c) Fü x >> Schebe ehalten w mt de Tayloentwcklung ( + ) σ Schebe Schebe( x) 4 4 x x π x >> Schebe σ /( π Schebe ) das Feld We ewatet ehalten w n goße ntfenung das Feld ene Punktladung. Fü x << hngegen ehalten w das elektsche Feld ene homogen geladenen, unendlch goßen Platte: Schebe σ Schebe( x) fü homogen geladene, unendlch ausgedehnte Platten (7.3 ) x << Schebe (Sehe auch Bespel (7.4 5.) Das Vektofeld ) kann auf zwe ten gaphsch dagestellt weden: Man zechnet an engen ausgewählten Stellen den Vekto ) auf (sehe bb. 7.3 3a). De Länge de gezechneten Pfele st popotonal zu Feldstäke. Man zechnet de sog. Feldlnen, de we folgt defnet snd: De Tangenten de Feldlnen haben übeall de Rchtung de elektschen Feldstäke. He st de Dchte de Feldlnen popotonal zu Feldstäke. De elektschen Feldlnen begnnen be ene postven Ladung und enden be ene negatven Ladung. Se schneden sch ne. In gleche Wese weden n Untekaptel 8. Gundlagen de Stömungslehe de Stomlnen defnet: De Tangenten de Stomlnen haben de augenblcklche Rchtung de Stömungsgeschwndgket. Nach de Kontnutätsgl. wächst de Dchte de Stomlnen mt zunehmende Stömungsgeschwndgket. Feldlnen egeben übeschtlchee Blde und weden dahe mestens bevozugt. bb. 7.3 4a zegt de Feldlnen enes Dpols, also von zwe entgegengesetzt glech goßen Ladungen. De Dchte de Feldlnen zegt, dass de Feldstäke zwschen den Ladungen am gößten st. bb. 7.3 4b zegt de Feldlnen von zwe glech goßen Ladungen. In de Mtte zwschen beden Ladungen st de Feldstäke exakt Null. Wenn kene negatven Ladungen vohanden snd, enden de Feldlnen m Unendlchen. bb. 7.3 3a De Vekto de elektschen Feldstäke wd an engen Stellen engezechnet. Das Feld läuft von ene postven Ladung weg. bb. 7.3 3b De Tangenten an de Feldlnen haben übeall de Rchtung de Feldstäke. De Feldlnen laufen be ene postven Ladung nach außen.
7.4 Gaußsche Satz 9 bb. 7.3 4a Feldlnen enes Dpols. bb. 7.3 4b Feldlnen von zwe glech goßen Ladungen. bb. 7.3 5 zegt de Feldlnen von zwe vescheden goßen Ladungen. In goße ntfenung zu den Ladungen sehen de Feldlnen ähnlch aus we de Feldlnen ene Ladung +. 7.4 Gaußsche Satz De Beechnung elektsche Felde mt Gl. (7.3 3) ode mt Gl. (7.3 8) st zwa mme möglch, kann abe mühsam sen. W weden nun mt dem Gaußschen Satz ene Beechnungsmethode kennen lenen, vescheden goßen Punktladungen. bb. 7.3 5 Feldlnen von zwe de zwa vel enfache und vo allem elegante st, de dafü abe nu n wengen symmetschen Fällen angewendet weden kann. De Gaußsche Satz emöglcht abe ncht nu de Beechnung elektsche Felde, sonden gbt vo allem auch tefee nschten n de lektostatk. Vo de nfühung n den Gaußschen Satz müssen w den Fluss Φ enes belebgen Vektofeldes F( ) duch ene Fläche defneen. W begnnen mt dem enfachsten Fall: Das Vektofeld st konstant und de Fläche st eben. ne ebene Fläche wd duch hen Nomalenvekto bescheben, de laut Defnton senkecht auf de Fläche steht (be enem Köpe zegt e mme nach außen) und dessen Länge glech dem Flächennhalt st. De Fluss duch de ebene Fläche wd als Skalapodukt defnet: Φ : F fü konstante Vektofelde und ebene Flächen (7.4 ) Beachte, dass de Fluss en Skala st und dahe kene Rchtung hat. Das folgende Bespel aus de Stömungslehe macht deutlch, waum das Skalapodukt aus enem Vektofeld und ene Fläche Fluss heßt selbst dann, wenn (we n de lektostatk) Nchts stömt.
7 lektostatsche Felde Bespel 7.4 De Fluss des Geschwndgketsfeldes ene stömenden Flüssgket ne Flüssgket ode en Gas stömt n hozontale Rchtung statonä und homogen, d. h. de Stömungsgeschwndgket v hängt wede vom Ot noch von de Zet ab. Beechne den Fluss duch ene ebene Fläche und ntepetee de Bedeutung des Flusses n de Stömungslehe. Lösung: Das Skalapodukt v v cos ϑ st das Podukt aus de Stecke, de das Flud po Sekunde zuücklegt, und de Fläche ˆ cosϑ, de senkecht duchstömt wd. De Fluss v st dahe de Volumenstom n m 3 / s, d. h. das Volumen, das po Sekunde duch de Fläche stömt. bb. 7.4 De Fluss enes Fluds duch ene Fläche st glech v mal de dunkle, pojzete Fläche $. W betachten nun den allgemenen Fall: Das Vektofeld F( ) st ncht konstant ode de Fläche st ncht eben. In desem Fall wd de Fläche n n klene Telflächen mt Nomalenvektoen d zelegt (sehe bb. 7.4 ). De Telflächen snd so klen, dass se näheungswese eben snd und das Vektofeld auf jede Telfläche ungefäh konstant st. Nach Gl. (7.4 ) betägt de Fluss n Φ F d bb. 7.4 ne gekümmte Fläche st aus velen klenen, näheungswese ebenen Flächenelementen zusammengesetzt. Wenn de Telflächen mme klene weden, dann geht de Summe n en Integal übe und w ehalten de allgemene Defnton enes Flusses: De Fluss enes belebgen Vektofeldes F( ) duch ene Fläche st defnet als Flächenntegal Φ : F ( ) d (7.4 ) Demnach st de Fluss des elektschen Feldes Φ ( ) d (7.4 3)
7.4 Gaußsche Satz Bespel 7.4 Fluss des elektschen Feldes ene Punktladung ne postve Punktladung uht m Koodnatenuspung. Beechne den Fluss duch ene Kugel mt Radus und Kugelmttelpunkt m Koodnatenuspung. Lösung: Φ ) d d 4π 3 Kugel Kugel d 4 π 3 Kugel st be de Integaton konstant paallel zu d 4 π 4 π 3 Kugel (7.4 4) De Fluss des elektschen Feldes st de von de Kugel engeschlossene Ladung dvdet duch de elektsche Feldkonstante. Deses gebns st aus zwe Günden bemekenswet: De Fluss hängt ncht vom Kugeladus ab, da mt zunehmendem Radus das elektsche Feld mt / fällt und de Kugelfläche mt wächst. Be de Coulombkaft wude n Untekaptel 7. de Popotonaltätskonstante k duch /( 4 π ) esetzt, um das gebns n Gl. (7.4 4) so enfach zu machen. Man kann mathematsch bewesen, dass de Gl. (7.4 4) auf belebge Ladungsvetelungen und belebge Flächen veallgemenet weden kann; man ehält so den Gaußschen Satz: Gaußsche Satz De Fluss des elektschen Feldes duch ene belebge, geschlossene Fläche st glech de Summe de engeschlossenen Ladungen dvdet duch : d (7.4 5) Ladungen außehalb de geschlossenen Fläche, übe de nteget wd, tagen ncht zum Fluss be. De Gaußsche Satz lefet enen Zusammenhang zwschen dem elektschen Fluss duch ene geschlossene Fläche 3 und de engeschlossenen Ladung. In velen ufgaben mt symmetsche Ladungsvetelung kann das Feld ) mt enfachen Flächenntegalen beechnet weden. Dabe hat de Integatonsfläche de gleche Symmete we de Ladungsvetelung, so dass das Feld ) entwede paallel ode senkecht zu den Flächennomalen d st. 3 ne Fläche heßt geschlossen, wenn se en Volumen vollständg enschleßt. De Obeflächen alle Köpe snd geschlossen; ebene Flächen snd ne geschlossen.
7 lektostatsche Felde De Gaußsche Satz st ene de ve Maxwell-Gln., de ene fundamentale Bedeutung fü de lektodynamk haben veglechba mt de Wchtgket de Newtonschen xome fü de Mechank. Oben wude gesagt, dass de Gaußsche Satz mathematsch aus dem Coulombschen Gesetz (7. ) abgeletet weden kann. Umgekeht kann auch das Coulombsche Gesetz aus dem Gaußschen Satz und enfachen Symmeteübelegungen hegeletet weden (sehe das folgende Bespel 7.4 3). De Gaußsche Satz (7.4 5) st dahe äquvalent zum Coulombschen Gesetz (7. ). W beantwoten nun zwe wchtge Fagen: We sehen elektostatsche Felde m Innen und m ußenaum von letenden Köpen aus? ) Felde und Ladungen m Letenneen: Weden Ladungen auf ode n enen belebg gefomten, letenden Köpe gebacht, dann teten seh kuzzetg elektsche Felde m Köpennen auf. Se vescheben de Ladungen solange, bs de elektschen Felde m Köpenneen veschwnden. (Den schwegen mathematschen Bewes dese ussage können w he lede ncht ebngen.) Dahe glt: Letende Köpe snd n de lektostatk m Innen feldfe: nnen Dese ussage glt nu fü statsche elektsche Felde, also nu, wenn kene Stöme fleßen. W beechnen nun den elektsche Fluss Φ fü ene geschlossene Integatonsfläche, de dcht unte de Obefläche des Letes legt (sehe bb. 7.4 3). us nnen folgt Φ, so dass de Integatonsfläche kene Ladungen umschleßt. Dahe glt: In de lektostatk st das Innee enes letenden Köpes ncht nu feldfe, sonden auch ladungsfe: nnen bb. 7.4 3 Das Innen enes letenden Köpes st n de lektostatk feld- und ladungsfe. Im ußenaum stehen elektostatsche Felde senkecht auf de Obefläche. bb. 7.4 4 De elektsche Fluss wd fü ene klene Dose beechnet, deen Stnflächen paallel zum elektschen ußenfeld snd. De Gaußsche Satz lefet σ /.
7.4 Gaußsche Satz 3 uch Hohläume mt ene geschlossenen, letenden Obefläche snd feldfe. Dahe schmt ene Metallhülle enen Raum sche gegen äußee elektostatsche Felde ab. be auch en engmaschges Metallnetz ode -gtte, en sog. Faaday-Käfg lefet n de Paxs mest ene ausechende bschmung. ) Felde auf Leteobeflächen: Statsche elektsche Felde stehen m ußenaum senkecht auf den Leteobeflächen. Hätten de Felde ene Komponente paallel zu Leteobefläche, so wüden sch de Ladungen unte de Obefläche solange vescheben, bs de elektschen Felde übeall senkecht auf den Leteobeflächen stehen. De Betag de elektschen Felde kann mt dem Gaußschen Satz emttelt weden. Um de Flächenntegaton möglchst enfach zu machen, sollte de Integatonsfläche de Rchtung des elektschen Feldes m ußenaum angepasst und dahe so gewählt weden, dass de Nomalenvektoen de Integatonsfläche entwede paallel ode senkecht zum elektschen Feld m ußenaum snd. Das st de Fall, wenn man (n Gedanken) ene seh klene Dose so wet n de Obefläche hnen schebt, dass ene Stnfläche nnehalb und de andee außehalb de Letefläche st (sehe bb. 7.4 4). De Dose st so klen, dass de elektsche Feldstäke auf de äußeen Stnfläche und de ötlche Flächenladungsdchte σ : lm mt Ladung unte de Obefläche (7.4 6) auf de engeschlossenen Leteobefläche fast konstant snd. De Fluss duch de Dose st Φ d d Daaus folgt Dose d d Gaußsche Satz nnen äußee Stnfläche paallel d const außen Mantelfläche σ d σ an de Obefläche enes Letes (7.4 7) De elektostatsche Feldstäke an de Obefläche enes Letes st popotonal zu ötlchen Flächenladungsdchte σ unte de Leteobefläche. 4 De folgenden de Bespele beechnen elektsche Felde wchtge Ladungsvetelungen. Bespel 7.4 3 lektsche Felde von geladenen Kugeln ne letende Kugel mt Radus Kugel wd mt de Ladung aufgeladen. De lementaladungen sammeln sch dcht unte de Kugelobefläche, so dass das Innee de Kugel ladungsfe st. 4 De elektschen Felde n Gl. (7.3 ) und (7.4 7) untescheden sch um enen Fakto,5. De Gund dafü wd n ufgabe 7 7 genannt.
4 7 lektostatsche Felde Beechne das elektsche Feld ) mt dem Gaußschen Satz a) außehalb de letenden Kugel ( Kugel ) b) nnehalb de letenden Kugel ( < Kugel ). c) Jetzt wd ene nchtletende, massve Kugel mt de Ladung homogen aufgeladen. De Ladungstäge snd jetzt mt konstante Ladungsdchte ρ m ganzen Kugelvolumen vetelt. Beechne auch he das elektsche Feld außehalb und nnehalb de nchtletenden Kugel. Lösung: a) De Ladungen de letenden Kugel vesammeln sch dekt unte de Kugelobefläche. Ihe Vetelung muss kugelsymmetsch sen, da andenfalls ene Rchtung m Raum ausgezechnet wäe. Dahe muss auch das elektsche Feld kugelsymmetsch sen: ) ) e mt e nhetsvekto n adale Rchtung. Im Pnzp kann de Integatonsfläche zu Beechnung des Flusses Φ belebg gewählt weden. De Integaton st abe nu dann enfach duchzufühen, wenn de Integatonsfläche de Symmete des elektschen Feldes wedegbt. Dahe muss ene konzentsche Kugel als Integatonsfläche gewählt weden. Int d Int Int ) e d ) 4 π { Kugelfömge Integatonsfläche const auf de Integatonsfläche bb. 7.4 5 Um de negatv geladene Metallkugel wd ene konzentsche, kugelfömge Integatonsfläche gelegt. ) m ußenaum ene letenden Kugel (7.4 8) 4 π Wchtg st de Feststellung, dass das elektsche Feld außehalb de letenden Kugel genauso goß st we das elektsche Feld ene Punktladung m Kugelmttelpunkt. Dese ussage kann sofot veallgemenet weden: lle kugelsymmetschen Ladungsvetelungen haben m ußenaum das elektsche Feld nach Gl. (7.4 8), wobe de Gesamtladung st. De Bewes dese ussage seht wegen ) ) e genauso aus we de Bewes von Gl. (7.4 8). b) ls Integatonsfläche wählen w eneut ene konzentsche Kugel; de Radus st jetzt abe klene als Kugel. Int d Int ) e d const auf de Integatonsfläche ) 4 π De Integatonsfläche enthält kene Ladung. ) m Innen ene letenden Kugel (7.4 9) Das Innee ene letenden Kugel st also ncht nu ladungsfe, sonden auch stets feldfe n Übeenstmmung mt allgemenen, füheen Übelegungen.
7.4 Gaußsche Satz 5 bb. 7.4 6 lektsches Feld ene letenden Kugel m bstand vom Kugelmttelpunkt. bb. 7.4 7 lektsches Feld ene homogen geladenen, nchtletenden Kugel. c) Das ußenfeld de homogen geladenen, ncht letenden Kugel wd ebenfalls duch Gl. (7.4 8) bescheben. Das Innenfeld wd ebenfalls mt ene konzentschen Kugel beechnet: Int d Int ) e d const auf de Integatonsfläche ) 4 π 3 3 Kugel ( ) 4 π m Innen ene homogen geladenen Kugel 3 Kugel (7.4 ) Im Innen ene homogen geladenen Kugel stegt das elektsche Feld lnea an. Nu de Ladungen, deen bstand zum Kugelmttelpunkt klene als st, tagen zum Feld ) be. Bemekung: Coulombkaft und Gavtatonskaft haben de gleche Fom. Dahe nmmt de danzehungskaft lnea mt de ntfenung zum dmttelpunkt ab, wenn man n Gedanken enen Tunnel zum dmttelpunkt gäbt. (Dabe wd ene homogene Massendchte m dnnen voausgesetzt.) Dese ussage haben w n de Mechank n ufgabe 7 Schwngung nach ustalen und zuück benötgt. Bespel 7.4 4 lektsches Feld enes langen, geladenen Letes Beechne das elektsche Feld enes langen, geaden Letes, de homogen mt konstante Längenladungsdchte λ : / l geladen st. Hnwes: De Lete soll seh lang sen, damt de Inhomogentäten des elektschen Feldes an den Leteenden venachlässgt weden können. Lösung: us Symmetegünden muss das elektsche Feld otatonssymmetsch um den Lete sen: bb. 7.4 8 Lange, homogen geladene Lete und zylndsche Integatonsfläche mt Länge l und Radus. ) ) e mt e nhetsvekto n adale Rchtung. Dahe st es snnvoll, de Obefläche enes Zylndes mt Radus und Länge l, dessen Symmeteachse auf dem Lete legt, als Integatonsfläche zu wählen. Zylnde d Zylnde ) e d steht senkecht auf den Nomalen- vektoen de Gundflächen Mantel ) e d
6 7 lektostatsche Felde ) d ) { π l Mantel Mantelfläche λ l ) λ m ußenaum enes langen, homogen geladenen Zylndes (7.4 ) π Bespel 7.4 5 Feld ene homogen geladenen, goßen, ebenen, dünnen Platte ne ebene, seh goßflächge, dünne Platte st homogen mt konstante Flächenladungsdchte σ : / geladen. Beechne das elektsche Feld mt dem Gaußschen Satz. Hnwes: De Platte soll seh goßflächg sen bzw. das Feld soll n ene ntfenung von de Platte beechnet weden, de wesentlch klene st als Bete und Höhe de Platte. Dann können de Inhomogentäten des elektschen Feldes an den Plattenänden venachlässgt weden. Lösung: Nach füheen Übelegungen n desem Untekaptel 7.4 muss das elektsche Feld senkecht zu Platte stehen. Wegen de homogenen Flächenladung und de (theoetsch) unendlchen usdehnung de Platte st ken Punkt auf de Platte ausgezechnet. Dahe daf sch das elektsche Feld ncht änden, wenn w uns vo de Platte bewegen mt konstantem bstand zu Platte. Das Feld kann also nu von de ntfenung zu Platte abhängen. W wählen als Integatonsfläche de Obefläche enes uades mt den Maßen a, b,. De beden Stnflächen de Göße a b haben denselben bstand von de geladenen Platte, damt de Betag ) auf beden Flächen mt Schehet glech goß st. n Fluss ttt nu n den beden Stnflächen a b auf. uade ) d steht senkecht auf den Setenflächen Stnfläch en ) d bb. 7.4 9 Homogen geladene, goße, ebene Platte st paallel zu den Flächennomalen de Stnflächen Stnflächen ) d vone hnten ) a b σ a b σ ( ) fü ene dünne, homogen geladene Platte (7.4 ) Bemekung: In ufgabe 7 7 wd anschaulch eklät, waum de Feldstäke he nu halb so goß st we n Gl. (7.4 7).
7.4 Gaußsche Satz 7 De letzten de Bespele zegen de veschedene bstandsgesetze: ) ~ be ene homogen geladenen Kugel ) ~ be enem homogen geladenen, langen Lete ) const be ene homogen geladenen, goßflächgen Platte Mt dem Gaußschen Satz lassen sch dese bstandsgesetze lecht begünden: De Integatonsflächen, de n den de Bespelen enen Betag zum Fluss lefen, snd popotonal zu, und. W kommen nochmals kuz auf Bespel 7.4 3 zuück. Danach betägt de elektsche Feldstäke auf de Obefläche ene Kugel mt Radus R, de kugelsymmetsch mt de Ladung aufgeladen st, π 4 R d. h. auf de Obefläche von kugelsymmetsch geladenen Kugeln wächst de Feldstäke mt abnehmendem Kümmungsadus R stak an. Dese ussage kann veallgemenet weden: Be letenden Köpen mt belebg gefomte Obefläche snd de Feldstäke und damt nach Gl. (7.4 7) auch de Flächenladungsdchte σ an Stellen stake Kümmung besondes goß. Vo allem an Letesptzen mt klenen Raden teten hohe elektsche Feldstäken auf. Hohe Feldstäken können lektonen aus Letesptzen heauszehen ; man spcht von Feldemsson. (Genaugenommen st de Feldemsson en quantenmechansche Tunneleffekt.) Be Metallsptzen mt enem Kümmungsadus von etwa µm kann schon ene Spannung von engen hundet Volt lektonen aus dem Metall heauszehen. So entstehen nahezu punktfömge lektonenquellen. nwendungen de Feldemsson: Duch de Feldemsson weden n Rastetunnelmkoskopen seh fene lektonenstahlen ezeugt, de duch magnetsche Lnsen noch wete gebündelt weden. Daduch lassen sch z. B. Kstallfehle und Obeflächenstuktuen m Nanomete-Beech untesuchen. Industelle Foschungslabos abeten an Feldemssonsdsplays (FD s), de flach snd sowe be gengem negevebauch seh hell und kontastech mt hevoagende uflösung abeten. We be de hekömmlchen Kathodenstahlöhe wd ene fluoeszeende Schcht auf dem Bldschm duch aufteffende lektonen zum Leuchten gebacht. Be den FD s geht abe ncht en enzge lektonenstahl von ene Glühkathode aus; velmeh weden duch Feldemsson außeodentlch vele lektonenstahlen aus Slzumkegeln ausgelöst, de enen Kümmungsadus von etwa nm und enen gegensetgen bstand von ungefäh 6 µm haben. De Spannung zwschen den Kegeln und hen Gateelektoden steuet de Stahlstäke. Hohe Feldstäken können abe ncht nu lektonen aus Leten heauszehen, sonden n de Luft ab etwa 3 MV/m (n andeen Stoffen telwese be wesentlch höheen Feldstäken) enen Duchschlag auslösen. Luft enthält mme ene klene Menge von Ionen, de z. B. duch kosmsche Stahlung ezeugt weden. In staken elektschen Felden weden de Ionen stak beschleungt. Bem heftgen Zusammenstoß mt Luftmolekülen können lektonen aus den tomen heausgeschlagen weden, so dass zahleche wetee Ionen entstehen, de den Pozess vestäken. lektonen können abe auch auf höhee Bahnen gehoben weden, so dass de tome bem Rückspung de lektonen Lcht abstahlen.
8 7 lektostatsche Felde nwendungen des Duchschlags: Duchschläge mt klenen Funken können aufteten, wenn man n seh tockenen Räumen übe enen Teppch läuft und danach z. B. ene metallsche Tüklnke beüht. (Feuchte Luft letet Ladungen, de sch auf hohem Potental befnden, ab und vehndet so das unangenehme egns.) n den sptzen nden von Bltzableten teten bem Gewtte hohe Feldstäken auf, so dass de Bltz dot enschlägt. Zu Vemedung von Duchschlägen düfen Hochspannungsanlagen kene schafen Kanten und kene Sptzen enthalten. 7.5 Kopee und Laseducke * ne seh wchtge, dekte nwendung haben de elektostatschen Käfte m Kopeen und Laseducken. Das Vefahen baset ganz wesentlch auf fotoelektschen genschaften manche Halblete 5 (z. B. Selen) sowe auf de elektostatschen bschedung von postv geladenem Staub (Tonepatkeln) auf negatv geladenen Flächen. De wchtgste Tel des Kopees st en oteende, mt Selen beschchtete lumnumzylnde, de geedet st und Fototommel ode Bldtommel heßt. Selen st en lchtelektsche Halblete, also en Festköpe, de be Dunkelhet en elektsche Isolato und be Lcht elektsch letend st. De Lchtquanten (Photonen) weden m Halblete absobet und übegeben he nege an lektonen, de be höhee nege fe beweglch snd. De Kopepozess läuft n acht Schtten ab, de n bb. 7.5 dagestellt weden:. ufladung: Im Dunkeln weden lektonen z. B. duch ene Koonaentladung um enen dünnen Daht, an dem de negatve Pol ene Hochspannung legt auf de Selenschcht de Fototommel gebacht 6. De Selenschcht wd negatv geladen mt Ladungsdchten von etwa 7 C/cm. Da de Halblete Selen m Dunkeln ncht letet, können de lektonen ncht abfleßen. 7. Optsche bbldung: Mt Hlfe von Lnsen und Spegeln wd de Halbletemantel de Fototommel mt dem Bld des Ognaldokumentes belchtet. Wchtg st, dass helle (dunkle) Punkte auf dem Ognal als helle (dunkle) Punkte auf de Tommel abgebldet weden. n den belchteten Stellen wd de Selenschcht auf de Tommelobefläche elektsch letend, so dass de lektonen he auf den lumnumzylnde abfleßen. n den dunklen Stellen letet de Selenschcht ncht und hält de aufgetagenen lektonen fest. 5 Wd enem Halblete nege n Fom elektomagnetsche Stahlung m kuzwellgen ode (be manchen Halbleten) m schtbaen Beech zugefüht, so können lektonen de Photonenege absobeen und dabe n das enegeechee sog. Letungsband gelangen. Im Letungsband snd de lektonen fe beweglch und fühen deshalb zu ene guten elektschen Letfähgket. 6 In manchen Kopeen wd de Fototommel postv geladen. Dann st de Ladung de Tonepatkel negatv. 7 De Ladungen m nnen legenden, geedeten lumnumzylnde können sch bewegen. Dahe baut sch duch Influenz (sehe Untekaptel 8.3 Influenz ) ene betagsmäßg glech goße, abe postve Ladung am äußeen Rand des lumnumzylndes auf. Dese Ladung st n bb. 7.5 ncht engezechnet.
7.5 Kopee und Laseducke * 9 bb. 7.5 De oteende Fototommel st mt ene dünnen Halbleteschcht bedeckt. De lchtelektsche genschaft des Halbletes st ganz wesentlch fü den Kopepozess: Im Dunkeln snd Halblete nchtletend. Be ene Bestahlung abe geben de absobeten Photonen he nege an lektonen ab, de danach aufgund he höheen nege fe beweglch snd. Be Bestahlung weden lchtelektsche Halblete also elektsch letend. Nach de Belchtung st das Ladungsmuste auf de Tommel en bbld des Ognaldokumentes. 3. Tonpatkel auf Tommel: Tonepatkel, bestehend aus Haz, Ruß und sentelchen weden postv aufgeladen und auf de Obefläche de ntwcklewalze gebacht. De Walze ollt unte Duck übe de Fototommel. Duch elektostatsche Käfte weden de postven Tonepatkel von den lektonen, de auf den unbelchteten Stellen de Selenschcht stzen, auf de Fototommel gezogen. De ntwcklewalze vewandelt das Ladungsmuste auf de Tommel n en Schwaz- Weß-Muste. 4. ufladung des Papes: Das Schwaz-Weß-Muste muss nun von de Fototommel auf en Blatt Pape übetagen weden. Dazu wd de Rücksete des Papes duch ene Koonaentladung so stak negatv aufgeladen, dass das Blatt de Tonepatkel von de Tommel zu sch heübe zeht. Nun befndet sch das Schwaz-Weß-Muste auf dem zu beduckenden Pape.