Mthemtik Einführung Ws edeutet ds Wort und mit ws eschäftigt sich die? Eine kleine Wortkunde: tri edeutet 'drei' Beispiel: Trithlon,... gon edeutet 'Winkel'/'Eck' Beispiel: Pentgon ds Fünfeck mit 5 Winkeln metrie edeutet 'Messung' Beispiel: Geometrie die Erdvermessung Ds Wort impliziert lso die 'Dreiwinkelmessung' oder llgemein die 'Dreieckserechnung'. Während die Plnimetrie die Konstruktion eines Dreieckes us gegeenen Stücken lehrt, ei der die Genuigkeit der Resultte verhältnismässig gering ist, liefert die uf rechnerischem Weg exktere Ergenisse. Erklärung der trigonometrischen Funktionen: In einem rechtwinkligen Dreieck ABC seien und die Ktheten, c die Hypothenuse, die spitzen Winkel entsprechend α und β, woei gilt: α + β = 90 o. Mn nennt die Gegenkthete und die Ankthete des Winkels α. (Anlog nennt mn die und die des Winkels β.) Zieht mn in einem rechtwinkligen Dreieck ABC zur Kthete Prllelen wie B 1 C 1, B 2 C 2 usw., so entstehen rechtwinklige Dreiecke AB 1 C 1, AB 2 C 2 usw., die einnder ähnlich sind. 1 2 Drus folgt (Strhlensätze!): = = =... c c c 1 2 D durch ds Verhältnis zweier Seiten ds rechtwinklige Dreieck in seiner Gestlt festgelegt ist, ist uch die Grösse des Winkels α (und dmit ntürlich uch β ) eindeutig estimmt. Umgekehrt ist ds Seitenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck durch den Winkel α estimmt. Mn ezeichnet ein solches Streckenverhältnis ls eine Funktion des Winkels α und zwr ls trigonometrische Funktion von α. Ddurch ist die Möglichkeit gegeen, gesuchte Winkel durch Streckenverhältnisse uszudrücken. Auf diese Weise kommt mn üer die metrische Geometrie der Eene, die huptsächlich nur Beziehungen zwischen Strecken kennt, hinus mn denke n die Stzgruppe des Pythgors, die nur Aussgen üer Beziehungen zwischen Strecken mcht zur ls neuen Wissenszweig. A5100- B. Willimnn Seite 1 / 6 Einführung 28.09.2006
Mthemtik Definition der trigonometrischen Funktionen Definition der trigonometrischen Funktionen Ds Seitenverhältnis Gegenkthete zu Hypothenuse wird ls der G Sinus des Winkels α ezeichnet: sinα= = Ds Seitenverhältnis Ankthete zu Hypothenuse wird ls der A Cosinus des Winkels α ezeichnet: cosα= = Ds Seitenverhältnis Gegenkthete zu Ankthete wird ls der G Tngens des Winkels α ezeichnet: tn α= A = (Steigung) Ds Seitenverhältnis Ankthete zu Gegenkthete wird ls der A Cotngens des Winkels α ezeichnet: cotα= = G Ds Seitenverhältnis Hypothenuse zu Ankthete wird ls der Secns des Winkels α ezeichnet: secα= = A Ds Seitenverhältnis Hypothenuse zu Gegenkthete wird ls der Cosecns des Winkels α ezeichnet: cosecα= = G Anmerkungen: 1. Die letzten eiden trigonometrischen Funktionen sind seit längerem nicht mehr geräuchlich. 2. In früheren Lehrmitteln wren uch noch die Akürzungen t g ctg α= für α= für tn cot α= und α= zu finden heute ülich sind durchgehend dreistellige Bezeichnungen für die Winkelfunktionen: sin, cos, tn, und cot. A5100- B. Willimnn Seite 2 / 6 Definition der trigonometrischen Funktionen 28.09.2006
Mthemtik Üung: Konstruktive Ermittlung der Werte der trigonometrischen Zeichnen Sie mit Hilfe des Trnsporteurs Winkel der Grösse α = 10 o, 20 o,..., 80 o, fällen Sie von einem elieigen Punkt uf dem einen Schenkel ds Lot uf den nderen, messen Sie in dem entstndenen rechtwinkligen Dreieck die Ktheten und und die Hypothenuse c und estimmen Sie dnn rechnerisch in der folgenden Telle für diese Winkel die Seitenverhältnisse des Sinus, Kosinus, Tngens und Kotngens - uf 2 Stellen nch dem Komm: A5100- B. Willimnn Seite 3 / 6 Üung: Konstruktive Ermittlung der 28.09.2006 trigonometrischen
Mthemtik Üung: Konstruktive Ermittlung der Werte der trigonometrischen Messen Sie für jeden Winkel die ngegeenen Strecken in mm und ilden Sie die Verhältnisse für die Winkelfunktionen: (Telle 1) α α c α sinα= cosα= tnα= c c 0 o cotα= 10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o Üertrgen Sie nun die Verhältnisse in diese Telle und rechnen Sie rückwärts den Winkel us: (Telle 2) 0 o 10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o sinα= α c cosα= α c tnα= α cotα= α A5100- B. Willimnn Seite 4 / 6 Üung: Konstruktive Ermittlung der 28.09.2006 trigonometrischen
Mthemtik Üung: Die Grphen der trigonometrischen Zeichnen Sie nun mit den Dten us Telle 1 die Grphen der Winkelfunktionen von 0 o is 90 o : A5100- B. Willimnn Seite 5 / 6 Üung: Die Grphen der trigonometrischen 28.09.2006
Mthemtik Üung: Die Grphen der trigonometrischen Lösung: Der Verluf der trigonometrischen Funktionen sinα, cosα, tnα und cotα von 0 o is 90 o : A5100- B. Willimnn Seite 6 / 6 Üung: Die Grphen der trigonometrischen 28.09.2006