Trigonometrie Sachaufgaben Vektor Man kann die trigonometrischen Beziehungen direkt für die Vektorrechnung heranziehen, indem man die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks als Komponenten eines Vektors auffasst, der entlang der Hypotenuse orientiert ist, und den Satz des Pythagoras anwendet: geg.:a und θ ( Theta, achter Buchstabe) = = geg.: Ax und Ay also ist Ax = A cos θ also ist Ay = A sin θ = + Kräfte sind Vektoren Die Maßeinheit für Kräfte ist in der Regel Newton (N). Schreibt man also F = 6 N, dann ist dies lediglich die Angabe des Betrages der Kraft, oder der Stärke der Kraft. Um die Vektoreigenschaft einer Kraft zu erkennen, lassen wir an einem punktförmigen Körper zwei Kräfte der Stärke 6 N angreifen. Nur der ahnungslose Laie wird dann meinen, dass insgesamt 12 N auf den Körper wirken. Man diese insgesamt wirkende Kraft die resultierende Kraft, und deren Richtung und Betrag hängt davon ab, in welche Richtung die beiden Einzelkräfte wirken. und welchen Winkel sie zueinander bilden. Überlagerung zwei gleichgroßer Kräfte (1) F 1 und F 2 sollen rechtwinklig zueinander sein. Man bildet ein Parallelogramm aus F1 und F2, das in diesem Fall zu einem Quadrat wird. Die resultierende Kraft ist die Diagonale. Mit Hilfe der Trigonometrie berechnet man: Oder mittels Pythagoras:
(2) Nun sollen die Kräfte mit 120 wirken. Dadurch entsteht ein Parallelogramm, das durch die Diagonale FR in zwei gleichseitige Dreiecke zerlegt wird. d.h. F R hat Betrag wie F 1 und F 2 (3) Nun verwenden wir ALPHA = 100 zwischen F 1 und F 2 und F 1 = F 2 = 6 N. Die Berchnung der resiltierenden Kraft sieht dann so aus: Weil F 1 = F 2 ist, liegt eine Raute vor (Eigenschaft: Diagonalen halbieren sich orthogonal (senkrecht)). Die beiden Diagonalen zerlegen die Raute in rechtwinklige Dreiecke Im Dreieck ABC gilt: Zerlegung in zwei gleichgroße Kräfte (1) Zwei gleich große Kräfte greifen unter einem Winkel von 140 ab n einem Massenpunkt an. Ihre resultierende Kraftwirkung hat die Stärke von 50 N. Wie groß sind beiden ursprünglichen Kräfte? Der hier gezeichnet Pfeil AB stellt die Kraft F 1 dar. Man zeichnet nun die zweite Diagonale BC ein sodass man das rechtwinklige Teildreieck ABE erhält. Darin kann man F 1 so berechnen: (2) Zwei gleich große Kräfte der Stärke 40 N greifen an einem Massenpunkt an. Die resultierende Kraftwirkung hat die Stärke 50 N. Berechne den Winkel zwischen den beiden
ursprünglichen Kräften. Die Rechnung erfolgt wie gehabt in dem rechtwinkligen Teildreieck ABE 2 Rechtwinklige Überlagerung zwei Kräfte Es sind F 1 = 3 N und F 2 = 5 N. Dann gilt nach Pythagoras: Berechne den Winkel αzur Angabe, in welche Richtung von aus die resultierende Kraft wirkt und den Betrag von N Den Winkel α berechnet man im rechtwinkligen Teildreieck mit Tangens: Berechnung der Richtungsablenkung Ein Auto fährt von Start bis Ziel entlang des Vektors r. Eigentlich wollte er in Richtung x mit 80 km/h fahren, wurde aber durch den Seitenwind von 20 km/h abgelenkt. mit welchem Winkel muss er gegenlenken, damit der Wagen die Spur hält? Übungsaufgabe Der Ball ist von der Feldmitte fast in die Ecke geflogen. Das ist also die tatsächliche Strecke d. Um an den Punkt zu gelangen, wo der Ball aufgeprallt ist, hätte man ihn auch erst einmal nach rechts schießen können (dx) und dann erst nach vorne (dy). Dies geschieht auch bei einem entsprechenden Seitenwind entlang der Torlinie, wenn der Fußballer genau auf das Tor zielt. Berechne Geschwindigkeit und Ablenkungswinkel über dem Grund, wenn der Ball zwei Sekunden in der Luft war.
Physikalische Beispiele Die schiefe Ebene Wir betrachten einen Körper, der auf einer schiefen Ebene liegt (in Ruhe oder in Bewegung). In der Regel wirkt nur die Erdanziehungskraft (Gravitationskraft), die sich uns als Gewichtskraft äußert. Doch diese Kraft könnte nur in ihre Richtung wirken, wenn darunter keine Unterlage wäre. Die schiefe Ebene sorgt dafür, dass sich zwei Wirkungen herausbilden. Von der Gewichtskraft ausgehend beobachten wir zwei Kraftwirkungen: zum einen ist eine Abwärtsbewegung möglich, zum anderen wird der Körper gegen die Unterlage gedrückt. Um die Größe dieser beiden Kraftwirkungen zu berechnen, zerlegt man die Gewichtskraft in zwei Komponenten. Die erste Komponente heißt Hangabtriebskraft. Sie verursacht eine Bewegung abwärts, falls die bremsende Reibungskraft dies zuläßt. Die zweite Komponente heißt Normalkraft. (Dieser Begriff kommt aus der Mathematik, wo normal auch senkrecht bedeuten kann. Die Normalkraft drückt den Körper senktecht gegen die Unterlage, was die Reibung verursacht. Der Neigungswinkel der Ebene tritt bei der Zerlegung noch einmal auf. Das Kräfteparallelogramm wird zum Rechteck, so dass wir mit der Trigonometrie berechnen können. (1) Gegeben sind der Neigungswinkel α und die Gewichtskraft (2) Gegeben sind Neigungswinkel α und Normalkraft (3) Gegeben sind Neigungswinkel α und Hangabtriebskraft (4) Gegeben sind Gewichtskraft und Normalkraft (5) Gegeben sind Gewichtskraft und Hangabtriebskraft (6) Gegeben sind Normalkraft und Hangabtriebskraft oder oder!" oder ² oder Übungen: Aufgabe: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Neigungswinkel α 30 20 17 Gewichtskraft 50 N 200 N 56 N Normalkraft 50 N 80 N 20 N Hangabtriebskraft 33 N 7 N 10 N
Beispiel: Berechnungen an der schiefen Ebene Gegeben sind die Gewichtskraft des Gegenstandes:.und die Länge der schiefen Ebene: bei einem Höhenunterschied von 40 cm. Berechne Neigungswinkel und Hangabtriebskraft sowie Normalkraft. Beispiel Zugkraft: Die Ausfahrt aus einer Kellergarage soll auf einer Länge von s = 10 m einen Höhenunterschied von h = 4 m überwinden. Welche Zugkraft muss der Motor eines Wagens der Masse m = 1,2 t aufbringen, wenn von Reibung abgesehen werden darf? Die Gewichtskraft des Gegenstands wird in zwei Komponenten zerlegt: die Hangabtriebskraft in Richtung längs der schiefen Ebene; die Normalkraft senkrecht zur schiefen Ebene. Lampenprobleme: Ausleger und Seile
Beispiel: Straßenlaterne Zwischen zwei Häusern hängt eine Straßenlaterne; ihre Gewichtskraft beträgt 80 N. Der Winkel zwischen den Seilstücken beträgt 155. Mit welcher Kraft werden die Seilstücke gespannt? Die Kraft, die von den Seilstücken aufgebracht werden muss, hält der Gewichtskraft der Laterne das Gleichgewicht:. Diese Kraft ist in zwei Komponenten zu zerlegen. Da nach der Kraft in den Seilstücken gefragt ist, sind die physikalisch sinnvollen Richtungen der Komponenten die Seilrichtungen. Bei dem Kräftemaßstab ergibt sich so. Beispiel: Lastaufhängung Die Kraft, die auf den Aufhängepunkt der Last wirkt, spannt das waagerechte Seil und drückt die Stange schräg gegen die Wand. Man zerlegt Kraft Kraft daher in eine waagerechte in Richtung des Seils und in eine in Richtung der Stange. Die Daten der Anordnung sind: F = 200 N; α = 48 Die gesuchten Komponenten ergeben sich zu F 1 = 220 N, F 2 = 300 N.
Das schwingende Fadenpendel Das Kreispendel Strömungsablenkung - Kurs über Grund Berechnung der Resultierenden Ein Jogger läuft 145 m in eine Richtung 20 östlich in Bezug auf Norden (Vektor ), dann 105 m 35 südlich in Bezug auf Osten (Vektor ). Bestimme Länge und Richtung des resultierenden Vektors C! Der Ball ist von der Feldmitte fast in die Ecke geflogen. Das ist also die tatsächliche Strecke d. Um an den Punkt zu gelangen, wo der Ball aufgeprallt ist, hätte man ihn auch erstmal nach rechts schießen können (dx) und dann erst nach vorne (dy)
Berechnung Geschwindigkeit über Grund Ein Luftschiff, das eine Eigengeschwindigkeit von 50 km/h über Grund entwickelt, soll bei einem Südwestwind der Stärke 20 km/h exakt von Nord nach Süd fliegen. Fertige zu der Aufgabe eine Skizze an und berechne dann a) den Winkel, den der Pilot sein Luftschiff gegen den Wind drehen muss b) die Geschwindigkeit, die das Luftschiff über Grund besitzt. Er muss den Winkel 16,43 nehmen. Die Geschwindigkeit über Grund beträgt33,16 km/h Ausblicke nichtrechtwinkliger Problemstellungen: Ein Kraft F = 480 N ist in zwei Komponenten zu zerlegen, deren Richtung mit der Richtung der gegebenen Kraft die Winkel ALPHA = 10 20 und BETA gleich 36 59 bildet. Wie groß sind die Beträge der Komponenten?