Test 1: Grundrechenarten incl. Bruchrechnung und Vorzeichenregeln 1. a) Welche algebraischen "Vorfahrtsregeln" müssen Sie bei der Berechnung des folgenden Terms T beachten? T = 12x + 3 7x - 2 (x + 3) + 18x:9 b) Wie lautet das Ergebnis? 2. a) Ist der folgende Term T eine Summe, eine Differenz, ein Produkt, ein Quotient oder eine Potenz? Begründen Sie Ihre Antwort! T = 3 (a + b) 2 : (a 2 - b 2 ) b) Untersuchen und beschreiben Sie exakt den Aufbau des Terms T und benennen Sie alle Teile mit den korrekten Fachbegriffen! (Beispiel: T = (2a + b) a 2 T ist ein Produkt aus zwei Faktoren. Der erste Faktor ist eine eingeklammerte Summe, deren erster Summand das Produkt aus der Zahl 2 und der Variablen a ist und deren zweiter Summand die Variable b ist. Der zweite Faktor ist eine Potenz mit der Basis a und dem Exponenten 2.) 3. Vereinfachen Sie so weit wie möglich: 3x(x -7) + 4x² - 10 + 2(x² + x - 4) = 4. Berechnen Sie bzw. schreiben Sie mit nur einem Bruchstrich: a) b) 5. Wie lauten die Vorzeichenregeln beim Multiplizieren oder Dividieren zweier Zahlen bzw. Terme? 6. Berechnen Sie: 7. a) Welchen Wert darf der Divisor eines Quotienten bzw. der Nenner eines Bruches niemals annnehmen? b) Welche Zahl darf man für die Variable x im folgenden Term nicht einsetzen? Begründung! 8. Dividieren Sie und kürzen Sie das Ergebnis so weit wie möglich: 9. Kürzen Sie so weit wie möglich: (Haben Sie beachtet: Aus Summen kürzen nur die D...?)
Test 2: Algebraische Gesetze und Regeln, höhere Rechenarten 1. a) Was sagt das Kommutativgesetz aus? Bilden Sie je ein Beispiel für die Addition und die Multiplikation! b) Drehen Sie die Reihenfolge der Summanden in der folgenden algebraischen Summe um, ohne dass sich dabei der Summenwert ändert und machen Sie die Probe durch Einsetzen von Zahlenwerten: 5x + 3y - 2z = 2. a) Das Assoziativgesetz regelt das Setzen von Klammern in Summen und Produkten. Was sagt es aus? b) Ändern Sie die folgende algebraische Summe, ohne dass sich ihr Wert ändert, so ab, dass die mittleren beiden Summanden von Klammern umschlossen werden. Machen Sie die Probe durch Einsetzen von Zahlenwerten! x - y + z - u = 3. Wenden Sie das Distributivgesetz an und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich: (5a - 3b) (a + 2b) = 4. Geben Sie ein Beispiel für eine Potenz an und benennen Sie die Bestandteile mit den zutreffenden Fachbegriffen! 5. Was gibt der Exponent einer Potenz an? 6. Berechnen Sie (ohne Taschenrechner): a) 2³ = c) 2² = b) (-2)³ = d) (-2)² = Welche allgemein gültige Aussage über das Vorzeichen des Potenzwertes bei Potenzen mit negativer Basis können Sie machen? 7. Berechnen Sie (ohne Taschenrechner): a) 100 O = c) 100-1 = b) 100 1 = d) 100 ½ = 8. Ergänzen Sie die folgenden Potenzregeln: a m a n = a m : a n = a n b n = a n : b n = (a m ) n = 9. Berechnen Sie: a) 4x² 3x³ = b) 4(x²)³ = c) (4x²)³ = d) 5x 6 : 10x³ = 10. a) Zeigen Sie an einem Zahlenbeispiel. dass gilt: b) Berechnen Sie:
11. Wie lauten die drei binomischen Formeln? 12. a) Berechnen Sie mit Hilfe einer binomischen Formel: (5x - 2y)² = b) Verwandeln Sie mit Hilfe der zuständigen binomischen Formel in eine Potenz: 9x² + 30xy + 25y² = c) Benutzen Sie die dritte binomische Formel und verwandeln Sie in ein Produkt: 1 - x² = 13. a) Was ist ein Logarithmus? Was gibt der Logarithmus von b zur Basis a an? b) Berechnen Sie x: x = log 2 16
Test 3: Zahlenmengen 1. Wodurch unterscheiden sich die Zahlenmengen! und " und welcher Zusammenhang besteht zwischen ihnen? 2. a) Wie lautet die Gegenzahl zur Zahl 5 und was haben Zahl und Gegenzahl gemeinsam? b) Was versteht man unter dem Betrag einer Zahl? Welches Symbol verwendet man? 3. Wie liegen die Zahlen x und y relativ zueinander auf der Zahlengeraden, wenn gilt: a) x < y, b) x > y? c) Setzen Sie zwischen die Zahlen -6 und -4 das richtige Relationszeichen (größer bzw. kleiner), so dass eine wahre Aussage entsteht! 4. Welch Arten von Zahlen werden in der Zahlenmenge # zusammengefasst? Wie heißt diese Zahlenmenge? 5. Stellen Sie die Bruchzahlen 3/8 und 2/3 jeweils als Dezimalbruch dar! Welcher grundsätzliche Unterschied besteht zwischen diesen Dezimalbrüchen? 6. Was versteht man unter einer Irrationalzahl? 7. Wie nennt man die Menge der Zahlen, die durch Zusammenfassung der irrationalen und der rationalen Zahlen entsteht? Wie lautet der Mengenbuchstabe? 8. Zeichnen Sie ein Mengenbild, aus dem die Teilmengenbeziehung zwischen den Zahlenmengen!, ", # und $ hervorgeht! Beispiel: Die Menge K aller Katzen ist eine Teilmenge der Menge S aller Säugetiere:
Test 4: Gleichungen und Ungleichungen 1. Was versteht man unter einem Term und wann nennt man Terme gleichartig? 2. Terme können Variable enthalten. Was ist eine Variable? 3. a) Bilden Sie je ein Beispiel für eine Gleichung und eine Ungleichung! b) Wann nennt man eine Gleichung oder Ungleichung eine Aussageform? 4. Wann heißen zwei Gleichungen (oder Ungleichungen) äquivalent? 5. Um eine Gleichung (oder Ungleichung) in eine äquivalente Gleichung (oder Ungleichung) zu verwandeln, sind vier grundsätzliche "Äquivalenzumformungen" möglich. Welche sind dies? 6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 3(x + 5) = 2x - 4(x-1) a) in der Grundmenge #, b) in der Grundmenge!! 7. Für Ungleichungen gelten dieselben Äquivalenzumformungen wie für Gleichungen. Woran müssen Sie jedoch denken, wenn Sie die beiden Seiten einer Ungleichung mit einem negativen Term multiplizieren oder durch einen negativen Term dividieren? (Diese Regel heißt auch Inversionsregel.) 8. Lösen Sie die Ungleichung in der Grundmenge #! 5-2x < 8 9. a) Wann ist eine Gleichung eine Bruchgleichung? b) Welche Werte darf x in der folgenden Bruchgleichung nicht annehmen, und wie lautet die Menge der "erlaubten" Einsetzungen (= Definitionsmenge), wenn die Grundmenge # ist? c) Wie lautet die Lösungsmenge? 10. a) Wann ist eine Gleichung eine quadratische Gleichung? b) Wie lautet die "Normalform" einer quadratischen Gleichung? 11. Bestimmen Sie die Lösungsmenge in der Grundmenge $ mit Hilfe der "quadratischen Ergänzung"! 2x² + 10x + 12 = 0 12. a) Wie lautet die "Lösungsformel" (p-q-formel) für quadratische Gleichungen? b) Lösen Sie Aufgabe 11 noch einmal, jedoch mit der Lösungsformel! 13. a) Was versteht man unter einem linearen Gleichungssystem? b) Wie lässt sich ein lineares Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen grafisch darstellen, und wie erscheint dann in der Grafik die Lösung des Gleichungssystems? c) Welche drei Rechenverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme unterscheidet man?
14. Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme rechnerisch und benutzen Sie dabei jeweils ein anderes Verfahren (gemäß Aufg. 13 c ) : a) I x - 2y = -3 II 2x + y = 4 b) I -2x + y = 3 II 3x + 2y = 1 c) I 2x + 3y =13 II 3x - 2y = 0
Test 5: Geometrie 1. a) Eine Bodenfliese hat einen Flächeninhalt von 8,5 dm². Welchen Umrechnungsfaktor müssen Sie verwenden, wenn Sie diese Flächengröße in die nächst kleinere oder größere Flächeneinheit umrechnen wollen? b) Geben Sie den Flächeninhalt der Fliese in m², cm² und mm² an! c) Was versteht man grundsätzlich unter dem Umfang einer beliebigen Fläche? 2. Ein rechteckiges Baugrundstück ist 30 m lang und 15 m breit. Es soll einen vollständig umlaufenden Bauzaun erhalten, der pro Meter 10,- DM kostet. Der Quadratmeterpreis für das Bauland beträgt 200,- DM/m². a) Was muss der Bauherr für die Grundstücksfläche bezahlen? b) Was kostet der Bauzaun? c) Der Bauherr möchte sein rechteckiges Grundstück evtl. gegen ein flächengleiches quadratisches im selben Baugebiet eintauschen. Der Grundstückspreis ist natürlich derselbe. Gilt das auch für den Bauzaun? Die Antwort ist rechnerisch zu begründen! 3. a) Welchen Flächeninhalt hat das abgebildete Dreieck, wenn die Seite x = 2 dm und die Seite z = 4 dm lang ist? b) Formulieren Sie für das obige Dreieck den Satz des Pythagoras und berechnen Sie die Seite y! c) Wie groß ist der Winkel γ, wenn α = 26,6 beträgt? d) Formulieren Sie mit den allgemeinen Seitenbezeichnungen x, y und z des obigen Dreiecks: sin α = cos α = tan α = 4. Wie lautet die Flächeninhaltsformel für ein Trapez? 5. Welchen Flächeninhalt und welchen Umfang hat ein Kreis mit dem Durchmesser 5 m? 6. Ein Ziegelstein ist 20 cm lang, 10 cm breit und 5 cm hoch. a) Welches Volumen hat er? b) Wie lautet der Umrechnungsfaktor für Volumeneinheiten von einer Stufe zur nächsten? c) Geben Sie das Volumen des Steins in dm³, m³ und mm³ an! d) Wie groß ist die Oberfläche des Ziegelsteins? e) Welche Kantenlänge müsste ein volumengleicher würfelförmiger Stein haben und wie groß wäre dessen Oberfläche? 7. Wie lautet jeweils die gemeinsame Volumenformel für a) alle regelmäßigen Körper mit gleicher Grund- und Deckfläche (Prismen und Zylinder), b) alle regelmäßigen Körper mit Spitze (Pyramiden, Kegel)?