r Methode der f initen Elemente Eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung der Rechenpraxis Von Dr. sc. math. Hans Rudolf Schwarz ord. Professor an der Universität Zürich 3., neubearbeitete Auflage Mit 170 Figuren, 59 Tabellen und zahlreichen Beispielen B. G. Teubner Stuttgart 1991
Inhalt 1 Mathematische Grundlagen 11 1.1 Typische Problemstellungen 11 1.1.1 Stationäre Feldprobleme 11 1.1.2 Zeitabhängige, instationäre Feldprobleme 15 1.1.3 Probleme der Elastomechanik 19 1.2 Extremalprinzipien 22 1.2.1 Stationäre Feldprobleme 22 1.2.2 Statische elastomechanische Probleme 27 1.2.3 Dynamische elastomechanische Probleme 38 1.3 Der klassische Ritz-Ansatz 41 1.4 Die Methode von Galerkin 45 1.5 Generelle Beschreibung der Methode der finiten Elemente 56 2 Elemente und Elementmatrizen 62 2.1 Eindimensionale Elemente 62 2.1.1 Linearer Ansatz 63 2.1.2 Quadratischer Ansatz 64 2.1.3 Kubischer Ansatz 67 2.1.4 Ergänzungen und Anwendungen 69 2.2 Zweidimensionale Elemente 76 2.2.1 Vorbereitung 77 2.2.2 Linearer Ansatz im Dreieck 81 2.2.3 Quadratischer Ansatz im Dreieck 84 2.2.4 Bilinearer Ansatz im Parallelogramm 86 2.2.5 Quadratischer Ansatz der Serendipity-Klasse im Parallelogramm 88 2.2.6 Quadratischer Ansatz der Langrange-Klasse im Parallelogramm 91 2.2.7 Übersicht über weitere Elementtypen 92 2.2.8 Kubische Ansätze mit partiellen Ableitungen als Knotenvariablen 94 2.3 Formfunktionen für zweidimensionale Elemente 100 2.3.1 Natürliche Koordinaten im Dreieck 101 2.3.2 Zusammenstellung von Formfunktionen 103 2.3.3 Direkte Berechnung von Elementmatrizen 106 2.3.4 Direkte Bestimmung von Formfunktionen 109 2.4 Krummlinige Elemente 113 2.4.1 Krummlinige Dreieckelemente 114 2.4.2 Krummlinige Viereckelemente 117
8 Inhalt 2.4.3 Berechnung der Elementmatrizen 118 2.4.4 Randintegrale für krumme Randstücke 123 2.4.5 Einige spezielle Elemente 124 2.5 Ebene elastomechanische Elemente 128 2.5.1 Geradlinige Scheibenelemente 129 2.5.2 Krummlinige Scheibenelemente 136 2.5.3 Berechnung der Spannungen in Scheibenelementen 137 2.5.4 Ebener Verzerrungszustand 139 2.6 Plattenelemente 141 2.6.1 Konforme Elemente 141 2.6.2 Nichtkonforme Elemente 145 2.6.3 Zur Berechnung der Elementbeiträge 146 2.7 Ausblick auf dreidimensionale Elemente 151 2.7.1 Tetraederelemente 151 2.7.2 Parallelepipedelemente 153 2.7.3 Prismenelemente 154 2.7.4 Isoparametrische Elemente 155 3 Das Gesamtproblem 156 3.1 Aufbau der algebraischen Gleichungen 156 3.1.1 Allgemeine Vorbereitungen 156 3.1.2 Kompilation der Gesamtmatrizen 158 3.1.3 Die Berücksichtigung der Randbedingungen 161 3.1.4 Grundsätzlicher Aufbau eines Computerprogramms... 165 3.1.5 Zur Struktur der Matrizen 165 3.2 Optimale Numerierung der Knotenvariablen 171 3.2.1 Der Algorithmus von Cuthill-McKee 171 3.2.2 Varianten des Algorithmus von Cuthill-McKee 178 3.3 Elimination von inneren Freiheitsgraden, Kondensation 186 3.3.1 Statische Kondensation 187 3.3.2 Konstruktion von zusammengesetzten Elementen 189 3.3.3 Kondensation bei Eigenwertaufgaben 191 4 Behandlung der linearen Gleichungssysteme 203 4.1 Klassische Eliminationsmethoden 204 4.2 Rechentechniken für Bandmatrizen 212 4.3 Hüllenorientierte Rechentechniken 219 4.4 Band- und Frontlösungsmethode 226 4.5 Blockeliminationsmethoden 238
Inhalt 9 4.6 Iterative Methoden 248 4.6.1 Die Methode der konjugierten Gradienten 249 4.6.2 Gesamtschrittverfahren und Methode der Überrelaxation 253 4.6.3 Vorkonditionierung 257 4.6.4 Datenstrukturen und Rechentechniken 267 5 Behandlung der Eigenwertaufgaben 279 5.1 Die Eigenwertaufgabe mit vollbesetzten Matrizen 280 5.1.1 Reduktion auf ein spezielles symmetrisches Eigenwertproblem 280 5.1.2 Das zyklische Jacobi-Verfahren 283 5.1.3 Die Methode von Householder 287 5.1.4 Die Eigenwertberechnung für tridiagonale Matrizen 291 5.1.5 Berechnung der Eigenvektoren von tridiagonalen Matrizen 294 5.1.6 Vergleich des Rechenaufwandes 296 5.2 Vektoriteration 297 5.2.1 Die einfache Vektoriteration 297 5.2.2 Die simultane Vektoriteration 301 5.2.3 Praktische Durchführung der Vektoriteration 304 5.2.4 Indefinite Matrix A 308 5.3 Bisektionsmethode 309 5.3.1 Die Reduktion einer quadratischen Form 310 5.3.2 Lokalisierung der Eigenwerte 312 5.3.3 Der Reduktionsalgorithmus für Bandmatrizen 314 5.3.4 Der Reduktionsalgorithmus für Matrizen mit Hüllenstruktur 317 5.3.5 Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren 323 5.4 Das Verfahren von Lanczos 326 5.4.1 Grundlagen des Verfahrens 326 5.4.2 Eigenschaften des Lanczos-Algorithmus 332 5.4.3 Praktische Variante des Lanczos-Verfahrens 334 5.5. Rayleigh-Quotient-Minimierung 338 5.5.1 Der Grundalgorithmus 338 5.5.2 Vorkonditionierung des Minimierungsalgorithmus 340 5.5.3 Neuformulierung des Algorithmus 344 5.5.4 Höhere Eigenwerte und Vorkonditionierung 346 5.5.5 Simultane Rayleigh-Quotient-Minimierung 351 6 Anwendungen mit Resultaten 357 6.1 Stationäre Probleme 357 6.1.1 Stationäre Temperaturverteilung 357 L
r 10 Inhalt 6.1.2 Räumliche Fachwerke 367 6.1.2.1 Einfache Rundkuppel 367 6.1.2.2 Radarkuppel 368 6.1.3 Räumliche Rahmenkonstruktionen 372 6.1.3.1 Radarkuppel aus Balkenelementen 372 6.1.3.2 Belasteter Hochspannungsmast 373 6.1.4 Scheibenprobleme 377 6.1.4.1 Testscheibe 377 6.1.4.2 Gabelschlüssel 382 6.1.5 Plattenbeispiele 386 6.1.5.1 Testplatte 386 6.1.5.2 Brückenplatte 391 6.2 Schwingungsaufgaben 396 6.2.1 Akustische Eigenfrequenzen eines Autoinnenraumes 396 6.2.2 Maschinentisch mit Maschinengruppe 403 6.2.3 Schwingende Stimmgabel 405 6.2.4 Eigenschwingungen einer Dreieckplatte 408 6.2.5 Eigenschwingungen eines Hochspannungsmastes 413 6.3 Instationäre Temperaturverteilung 417 Literatur 422 Sachverzeichnis 432