Hans Stephani / Gerhard Kluge Theoretische Mechanik Punkt- und Kontinuumsmechanik Mit 139 Abbildungen Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford
Punktmechanik 1 1. Mechanik eines freien Massenpunktes 3 1.1. Kinematik 3 1.1.1. Bahnkurve, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten 4 1.1.2. Geschwindigkeit und Beschleunigung in natürlichen Koordinaten 5 1.1.3. Bahnkurve, Geschwindigkeit und Beschleunigung in ebenen Polarkoordinaten 7 1.1.4. Geschwindigkeit und Beschleunigung in Zylinder- und Kugelkoordinaten 8 1.1.5. Einfache Beispiele zur Kinematik 10 1.2. Die Newtonschen Axiome - die Grundgesetze der Dynamik 11 1.3. Einfache eindimensionale Bewegungen 13 1.3.1. Vorbemerkungen 13 1.3.2. Kräftefreie Bewegung 14 1.3.3. Freier Fall (Wurf) im homogenen Schwerefeld 15 1.3.4. Reibung 16 1.3.5. Freier Fall mit Reibung 16 1.3.6. Harmonischer Oszillator 17 1.3.7. Freie gedämpfte Schwingung 18 1.3.8. Erzwungene Schwingung 19 1.3.9. Beliebige ortsabhängige Kraft 21 1.4. Allgemeine Sätze und Begriffe 23 1.4.1. Vorbemerkungen 23 1.4.2. Impulssatz 24 1.4.3. Drehimpulssatz, Drehimpulserhaltungssatz und Flächensatz 24 1.4.4. Energiesatz und Energieerhaltungssatz 27 1.4.5. Das Potential 29
VIII Inhalt 1.4.6. Einfache Beispiele für Energie-und Drehimpulssatz... 31 1.4.7. Erhaltungssätze und Integration der Bewegungsgleichungen 33 1.5. Die Planetenbewegung 34 1.5.1. Ableitung des Kraftgesetzes aus den Keplerschen Gesetzen 34 1.5.2. Ableitung der Planetenbewegung aus dem Gravitationsgesetz 36 1.5.3. Anschauliche Diskussion der Bewegungstypen im Potential U = -ymm/r 39 1.6. Inertialsysteme und beschleunigte Bezugssysteme.... 41 1.6.1. Inertialsysteme und Galilei-Transformationen 41 1.6.2. Bewegungen auf einem rotierenden Karussell 42 1.6.3. Beliebig beschleunigte Bezugssysteme 43 1.6.4. Bewegungen auf der rotierenden Erde 46 1.7. Fragen und Aufgaben 48 2. System freier Massenpunkte 51 2.1. Bewegungsgleichungen 51 2.2. Schwerpunktsatz 52 2.3. Drehimpulssatz 53 2.4. Energiesatz 55 2.5. Allgemeine Sätze und Integration der Bewegungsgleichungen 57 2.6. Elastischer Stoß zweier Massenpunkte 57 2.7. Zweikörperproblem der Himmelsmechanik 59 2.8. Gekoppelte Schwingungen zweier Massenpunkte.... 60 2.9. Virialsatz 62 2.10. Raketengleichung 63 2.11. Fragen und Aufgaben 65 3. Massenpunkt mit eingeschränkter Bewegungsfreiheit 67 3.1. Problemstellung 67 3.2. Typen der Bedingungsgleichungen 68 3.3. Das d'alembertsche Prinzip 68 3.4. Zwei Beispiele zum d'alembertschen Prinzip 70 3.5. Lagrange-Gleichungen I. Art 71 3.6. Gültigkeit der Erhaltungssätze 72 3.7. Lösungsmethode für die Lagrange-Gleichungen I. Art.. 73 3.8. Beispiele 75 3.8.1. Statik 75 3.8.2. Kräftefreie Bewegung auf einer Kugel 76 3.8.3. Kreispendel (mathematisches Pendel) 77 3.8.4. Massenpunkt auf einer rotierenden Stange 78 3.9. Einseitige Bindungen 80 3.10. Fragen und Aufgaben 81
IX 4. Massenpunktsysteme mit eingeschränkter Bewegungsfreiheit 83 4.1. Typen der Nebenbedingungen 83 4.2. D'Alembertsches Prinzip und Lagrange-Gleichungen I. Art 85 4.3. Schwerpunktsatz, Drehimpulssatz, Energiesatz 87 4.4. Beispiele 89 4.4.1. Wellrad 89 4.4.2. Hantel auf einer Eisfläche 90 4.5. Um eine Achse frei drehbarer starrer Körper...... 92 4.5.1. Modell 92 4.5.2. Energiesatz 93 4.5.3. Drehimpulssatz 96 4.5.4. Steinerscher Satz 98 4.5.5. Analogie zwischen Translations- und Rotationsbewegung. 99 4.6. Fragen und Aufgaben 100 5. Lagrange-Gleichungen IL Art und Hamilton-Prinzip 101 5.1. Aufgabenstellung 101 5.2. Generalisierte Koordinaten und Ableitung der Lagrange-Gleichungen IL Art 102 5.3. Die Erhaltungssätze in der Sprache der Lagrange-Funktion 105 5.3.1. Energiesatz und Zeitverschiebung 105 5.3.2. Schwerpunktsatz und räumliche Translation 106 5.3.3. Drehimpulserhaltungssatz, zyklische Koordinaten.... 107 5.4. Beispiele 109 5.4.1. Massenpunkt auf einem Kreiskegel im Schwerefeld... 109 5.4.2. Bewegte schiefe Ebene 111 5.4.3. An einer Wand abgleitender Stab 112 5.4.4. Weitere Beispiele für Lagrange-Funktionen 113 5.5. Lagrange-Funktion eines Elektrons im elektromagnetischen Feld 114 5.6. Beschleunigung in beliebigen orthogonalen Koordinatensystemen 115 5.7. Hamilton-Prinzip 117 5.7.1. Formulierung des Prinzips 117 5.7.2. Ableitung der Lagrange-Gleichungen II. Art aus dem Hamilton-Prinzip 118 5.7.3. Allgemeine Bemerkungen zum Hamilton-Prinzip.... 119 5.8. Fragen und Aufgaben 120 6. Starrer Körper und Kreiseltheorie 123 6.1. Kinematik des starren Körpers 123 6.2. Die Eulerschen Winkel 125 6.3. Allgemeines zur Dynamik des starren Körpers 127
6.4. Der Trägheitstensor 128 6.4.1. Die kinetische Energie eines starren Körpers 128 6.4.2. Der Trägheitstensor und seine Eigenschaften 129 6.4.3. Drehimpuls und Trägheitstensor 131 6.5. Die Eulerschen Gleichungen 133 6.6. Rotation um freie Achsen 134 6.7. Der kräftefreie symmetrische Kreisel 135 6.8. Der schwere symmetrische Kreisel 138 6.9. Der schnell rotierende schwere symmetrische Kreisel... 140 6.10. Fragen 143 Vollendung der klassischen Punktmechanik 145 7.1. Vorbemerkung 145 7.2. Generalisierte Impulse, Hamilton-Funktion und kanonische Gleichungen 146 7.3. Beispiele 148 7.3.1. Eindimensionaler harmonischer Oszillator 148 7.3.2. Kepler-Problem in Kugelkoordinaten 149 7.3.3. Elektron im elektromagnetischen Feld 149 7.4. Poisson-Klammern 150 7.5. Kanonische Transformationen 151 7.6. Hamilton-Jacobi-Theorie 154 7.7. Physik im Phasenraum - Chaos und integrable Systeme.. 157 7.7.1. Das Problem 157 7.7.2. Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung.... 157 7.7.3. Hamiltonsche Systeme 160 7.7.4. Integrable Hamiltonsche Systeme 162 7.7.5. Deterministisches Chaos 164 7.8. Gültigkeitsgrenzen der klassischen Punktmechanik.... 164 7.9. Fragen und Aufgaben 165 Mechanik der Speziellen Relativitätstheorie 167 8.1. Vorbemerkung 167 8.2. Galilei- und Lorentz-Transformationen 167 8.2.1. Die Galilei-Invarianz der klassischen Mechanik 167 8.2.2. Lichtausbreitung in bewegten Koordinatensystemen und Lorentz-Transformationen 170 8.2.3. Eigenschaften der Lorentz-Transformationen 172 8.3. Unsere Welt als Minkowski-Raum 173 8.3.1. Das Konzept des Minkowski-Raumes 173 8.3.2. Längen- und Zeitmessung im Minkowski-Raum 175 8.3.3. Addition von Geschwindigkeiten; Überlichtgeschwindigkeiten und Kausalitätsfragen 178
XI 8.4. Die Grundgleichungen der Mechanik der Speziellen Relativitätstheorie 179 8.4.1. Kinematik 180 8.4.2. Die Bewegungsgleichungen 181 8.4.3. Das Hamilton-Prinzip für ein geladenes Teilchen.... 184 8.4.4. Bemerkungen zur Mechanik wechselwirkender Teilchen. 184 8.5. Fragen und Aufgaben 185 Mechanik der Continua 187 9. Kinematik deformierbarer Körper 189 9.1. Das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit 189 9.1.1. Lagrangesche und Eulersche Darstellungsweise 189 9.1.2. Bahnkurven und Stromlinien 190 9.1.3. Lokale und substantielle Zeitableitung 191 9.1.4. Quellen und Wirbel 192 9.1.5. Zweidimensionale Potentialströmungen 194 9.2. Der Deformationszustand 199 9.2.1. Das Verschiebungsfeld 199 9.2.2. Der Deformationstensor 200 9.2.3. Physikalische Bedeutung der einzelnen Komponenten des Deformationstensors 202 9.2.4. Der Tensor der Deformationsgeschwindigkeit 205 9.3. Fragen und Aufgaben 206 10. Bilanzgleichungen 209 10.1. Die Kontinuitätsgleichung 209 10.2. Die Impulsbilanz und der Spannungstensor 211 10.3 Die Drehimpulsbilanz 216 10.4. Die Energiebilanz 217 10.5. Fragen und Aufgaben 220 11. Materialgleichungen 221 11.1. Vorbemerkungen 221 11.2. Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm 221 11.3. Das Hookesche Gesetz 223 11.4. Zustandsgieichungen 227 11.5. Das Reibungsgesetz 229 11.6. Fragen und Aufgaben 230
XII Inhalt 12. Lineare Elastizitätstheorie 233 12.1. Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie.. 233 12.2. Torsion eines Zylinders 235 12.3. Biegung eines Balkens 238 12.4. Elastische Wellen 243 12.5. Eigenschwingungen 247 12.5.1. Dickenscherschwingungen 248 12.5.2. Dickenschwingungen 249 12.6. Das Hamilton-Prinzip 251 12.7. Biegeschwingungen von Platten und das Variationsverfahren von Ritz 254 12.8. Fragen und Aufgaben 260 13. Hydrodynamik 263 13.1. Die Grundgleichungen der Hydrodynamik 263 13.1.1. Reibungsfreie Flüssigkeiten 264 13.1.2. Stationäre Strömungen 265 13.1.3. Inkompressible Strömungen 265 13.1.4. Strömungen mit räumlich homogener Dichte 265 13.1.5. Wirbelfreie Strömungen 265 13.1.6. Linearisierung der Grundgleichungen 266 13.2. Die Bernoullische Gleichung 267 13.2.1. Prandtlsches Staurohr 268 13.2.2. Kavitation 269 13.2.3. Die Hugoniot-Gleichung 269 13.2.4. Die barometrische Höhenformel 270 13.3. Die Kraft auf einen umströmten Zylinder 271 13.4. Thomsonscher Zirkulationssatz und Helmholtzsche Wirbelsätze 273 13.5. Hydrodynamische Ähnlichkeitsgesetze 275 13.6. Laminare Strömungen 277 13.6.1. Die Hagen-Poiseuillesche Strömung 277 13.6.2. Das Stokessche Widerstandsgesetz 279 13.7. Die Prandtlsche Grenzschichttheorie 283 13.8. Turbulente Strömungen 287 13.8.1. Vorbemerkungen 287 13.8.2. Die Reynolds-Gleichungen 288 13.8.3. Mit Geschwindigkeitsfluktuationen verbundene Effekte.. 289 13.8.4. Phänomenologische Ansätze für die Reynolds-Spannungen 291 13.9. Fragen und Aufgaben 292
14. Verallgemeinerungen der Kontinuumsmechamk 295 14.1. Vorbemerkungen 295 14.2. Rheologische Gleichungen 295 14.3. Versetzungen 300 14.4. Cosserat-Kontinuum 303 14.5. Fragen und Aufgaben 305 Mathematischer Anhang 307 A.l. Vektoralgebra 307 A.2. Vektoranalysis und Tensoranalysis 308 A.3. Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung.... 311 Hinweise zur Lösung der Übungsaufgaben 313 Literatur 321 Sachverzeichnis 323