Physik für Studierende der Biologie und Chemie Universität Zürich, HS 29, U. Straumann Version 26. April 21 Inhaltsverzeichnis 5.6 Zeitabhängige Ströme in Stromkreisen........................ 5.1 5.6.1 Ein- und Ausschaltvorgänge.......................... 5.1 5.6.2 Auf- und Entladen eines Kondensators:................... 5.2 5.6.3 Ein- und Ausschalten einer Spule:...................... 5.3 5.6.4 Energiedichte von elektrischen und magnetischen Feldern......... 5.4 5.6.5 Wechselspannungen - und Ströme....................... 5.5 5.6.6 Leistung in Wechselstromwiderständen.................... 5.8 5.6.7 Der Thomson sche Schwingkreis....................... 5.8 Inhaltsverzeichnis 5.6 Zeitabhängige Ströme in Stromkreisen Das Faraday sche Induktionsgesetz lehrt uns, dass zeitabhängige magnetische Feldflüsse elektrische Wirbelfelder erzeugen. Die Auswirkungen zeitabhängiger Ströme können deshalb nicht nur mit dem Ohm schen Gesetz beschrieben werden. In diesem Kapitel über veränderliche Ströme müssen wir deshalb auch Effekte behandeln, die durch die Induktion entstehen. Schliesslich werden wir aus diesen Ueberlegungen auch sehen, dass in den elektrischen und magnetischen Feldern Energie gespeichert ist. 5.6.1 Ein- und Ausschaltvorgänge Das Öffnen und Schliessen eines Stromkreises ist ein zeitabhängiger Vorgang. Obwohl der eigentliche Vorgang mit einem geeignetem Schalter sehr schnell geschehen kann, ist die eaktion des Stromkreises im allgemeinen langsamer als der eigentliche Schaltprozess. Obwohl das Einschalten von Kondensatoren nichts zu tun hat mit Induktion, wollen wir es zum Vergleich mit Schaltvorgängen an Spulen ebenfalls dieser Stelle behandeln. Wir verwenden eine Batterie mit konstanter Spannung V (in der Zeichnung mit E m bezeichnet), die wir über einen Schalter an einen einfachen Kreis mit einem Kondensator der Kapazität C, einer Spule mit der Selbstinduktion L und einem Ohm schen Widerstand anlegen. E m S C L 5.1
Die Anwendung der allgemeinen Maschenregel ergibt hier V l = l k V k V L di dt = V + V C = I + Q C. Ersetzen wir I durch dq/dt, so erhalten wir L d2 Q dt 2 + dq dt + Q C = V. Diese Gleichung stimmt mit derjenigen eines gedämpften Oszillators formal exakt überein (Abschnitt 2.5.4.2.4 der Mechanik). Der betrachtete Kreis wird daher Schwingkreis genannt. Man kann in diesem Kreis gedämpfte elektrische Schwingungen erzeugen, bei denen Strom, Spannungsabfälle und Ladungen oszillatorisches Verhalten zeigen. Dies interessiert uns aber im Moment noch nicht. Wir wollen statt dessen die Einschaltvorgänge nur in den speziellen Fällen betrachten, wo entweder die Spule oder der Kondensator fehlt. 5.6.2 Auf- und Entladen eines Kondensators: Ohne Spule lautet die Differentialgleichung für die Ladung Q bzw. für den Strom I wie folgt (S geschlossen): I + Q C = V, dq dt + Q C = V, di dt + I C =. Die zweite und die dritte Form benutzen I = dq/dt. Um die dritte Form zu erhalten muss man die erste Form nach der Zeit differenzieren. Auch diesen Gleichungen sind wir schon begegnet, nämlich bei der viskosen eibung (Abschnitt 2.5.4.2.3 der Mechanik). E m S S' C Geschrieben in der Form di dt = αi, mit α = 1 C, erkennt man, dass die Ableitung des Stroms proportional zum Strom ist, also das für eine exponentielle Zeitabhängigkeit typische Verhalten: I = I e αt, I = V e t C. Der Wert für I ergibt sich aus den Anfangsbedingungen: t =, Q =, I = I, I = V. Analog ergibt sich für die Ladung ( ) Q(t) = Q 1 e t C, Q = CV Die Ladung Q des Kondensators nimmt nach dem Einschalten zu bis zum Endwert Q, der erreicht ist, wenn die Spannung V C = Q /C ihren Maximalwert V erreicht hat. Der Strom nimmt von seinem maximalen Anfangswert I = V / exponentiell ab. Bei aufgeladenem Kondensator fliesst kein Strom mehr. Die charakteristische Zeitkonstante τ C ist die Zeit, nach welcher die Spannung noch um 1/e des Endwerts von diesem abweicht. 5.2
Entladen wir den Kondensator über einen gleichgrossen Widerstand, so sind vom Zeitpunkt des Umschaltens (S auf, S zu) aus gerechnet, die Ladung und der Strom gegeben durch Q(t ) = CV e t C, I = dq dt = V e t Wird nur S geöffnet und S nicht geschlossen, so bleibt die Ladung Q auf C konstant. Die Zeitabhängigkeit des Stromes im Kreis und der Spannung über dem Kondensator zeigt Abbildung 5.1. C. Einschaltvorgänge: Widerstand, Kondensator, Spule Ausschaltvorgänge: Widerstand, Kondensator, Spule Abbildung 5.1: Zeitabhängigkeit des Stroms und der Spannung beim Ein- bzw. Ausschalten eines einfachen Stromkreises mit einem Widerstand, mit Widerstand und Kondensator sowie Widerstand und Spule. 5.6.3 Ein- und Ausschalten einer Spule: Wir betrachten den ursprünglichen Kreis, und eliminieren C. Aus der Maschengleichung folgt nun die Differentialgleichung für den Strom (S geschlossen): 5.3
L di dt + I = V, di dt + αi = V L. Dies ist dieselbe Gleichung für den Strom I, wie wir sie eben für die Ladung Q gelöst haben, bzw. die inhomogene Form der Differentialgleichung, die wir oben für den Strom hatten (mit α = /L statt α = 1/C). E m S S' L Die Lösungsmethode für die inhomogenen Gleichungen (Variation der Konstanten) haben wir ebenfalls schon im Abschnitt 2.5.4.2.3 der Mechanik diskutiert. Wir erhalten ( ) I(t) = I 1 e t L. Der Endwert I des Stroms wird erreicht, wenn die Stromänderung und damit die induzierte Spannung in der Spule verschwindet, d. h. die Spule nur noch als kleiner, vernachlässigbarer Ohm scher Widerstand wirkt: t : V = I = V, I = V. Die charakteristische Zeitkonstante ist nun τ L/. Versuchen wir die Spule abzuschalten, indem wir S öffnen, so müsste der Strom abrupt auf Null springen, die Ableitung di/dt und damit die selbstinduzierte elektromotorische Kraft werden so gross, dass über den Schalter ein Funke springt. Es muss daher ohne Unterbruch des Kreises auf S umgeschaltet werden. Wie vorher für die Ladung Q finden wir jetzt für den Strom I I(t ) = V e L t. Die Zeitabhängigkeit des Stromes im Kreis und der induzierten Spannung in der Spule zeigt Abbildung 5.1. 5.6.4 Energiedichte von elektrischen und magnetischen Feldern Um Ladungen zu trennen, z. B. beim Aufladen eines Kondensators, und um Ströme fliessen zu lassen, muss die Spannungsquelle Arbeit leisten. Dies bedeutet, dass in einem aufgeladenen Kondensator oder in einer stromführenden Spule Energie gespeichert ist. Bei stromführenden Widerständen ist dies nicht der Fall; die von der Spannungsquelle gelieferte Energie, wird da laufend in Wärme umgesetzt. Wir berechnen die gespeicherte Energie aus dem über die Zeit integrierten Leistungsverbrauch beim Entladen. Es gilt W = P dt = I V dt = V ( ) e t C V e t C dt == 1 2 CV 2 Ein Plattenkondensator der Fäche A mit dem Plattenabstand d hat eine Kapazität C = ɛ A/d. Zwischen den Platten erzeugt eine Spannungsdifferenz V = V ein elektrisches Feld E = E = 5.4
V/d. Setzt man diese Beziehungen in den Ausdruck für die gespeicherte Energie ein, so ergibt sich: W = 1 2 CV 2 = 1 2 ɛ A d d2 E 2 = 1 2 ɛ E 2 (Ad) Dividiert man die Energie durch das Volumen des Kondensators, so erhält man die Energiedichte: w elek = 1 2 ɛ E 2 Dieser hier für den Spezialfall des elektrischen Feldes zwischen den Platten eines Kondensator hergeleitete Ergebnis gilt allgemein für jedes elektrische Feld. Ein ähnlichen Ausdruck können wir für die Energiedichte des Magnetfeldes erhalten, wenn wir wieder aus dem integrierten Leistungsverbrauch beim Entladen einer Spule die Energie berechnen, und dann diese Energie mit dem Magnetfeld und dem Volumen der Spule in Verbindung setzen. W = P dt = I V dt = V t e L V e t V 2 L dt = 1 L 2 = 1 2 2 LV 2 = 1 2 LI2 Das Magnetfeld und die Selbstinduktion einer Spule der Länge l und Querschnittsfläche A mit N Windungen, in der ein Strom I = V / fliesst, sind gegeben durch: B = µ NI l, L = µ N 2 A l, LI 2 = µ N 2 A l B 2 l 2 N 2 µ 2 = B2 Al µ. Man erhält also für die Energiedichte w magn = W Al = 1 2µ B 2. Dieses hier für den Spezialfall des Magnetfeldes einer Spule hergeleitete Ergebnis gilt allgemein für jedes Magnetfeld. Bei zeitlich veränderlichen Feldern treten immer elektrische und magnetische Felder gleichzeitig auf. Man kombiniert daher die beiden obigen esultate zu einem Ausdruck für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes: w = w elek + w magn = ɛ 2 E2 + 1 2µ B 2. Später werden wir sehen, dass die in diesen Feldern gespeicherte Energie durch elektromagnetische Wellen transportiert werden kann. 5.6.5 Wechselspannungen - und Ströme Das Hausnetz liefert keine Gleichspannung, sondern eine Wechselspannung. Das Vorzeichen der elektromotorischen Kraft (Abbildung 5.2) ändert sich periodisch: V = E sin ωt, mit E = 325 V, ω = 2πν, ν = 5 s 1. 5.5
Abbildung 5.2: Zeitabhängigkeit der Netzspannung im Haushalt. Der Strom im Verbraucherkreis hat die gleiche Frequenz und Periode wie die Spannung, ist aber gegenüber letzterer phasenverschoben. Wir untersuchen nun das Verhalten von Stromkreisen, die neben einer Wechselstromquelle Ohm sche Widerstände, Kondensatoren und Spulen enthalten. Die Kreisfrequenz ω und die Amplitude E werden zunächst noch nicht festgelegt. Wir finden in allen Fällen, wo eine harmonische Wechselspannung angelegt wird, den Zusammenhang: V = E sin ωt I = I (ω) sin (ωt + ϕ(ω)) Der Strom hat die gleiche Frequenz wie die elektromotorische Kraft, ist aber eventuell phasenverschoben gegenüber der letzteren. Die Amplitude des Stroms und die Phasenverschiebung können von der Frequenz ω abhängen. Beide Grössen sollen jetzt für die einfachsten Kreise, die nur je ein Element, einen Widerstand, eine Kapazität C oder eine Selbstinduktion L enthalten, berechnet werden. Der Quotienten E /I wird auch effektiver Widerstand eff genannt. Widerstand: Anwendung der Maschenregel ergibt V = V = I, I = E sin ωt, Kondensator: Anwendung der Maschenregel ergibt V = V C = Q C, dv dt = 1 dq C dt = 1 C I C, I C = ωe C cos ωt = ωe C sin(ωt + π 2 ), ~ E sin ωt eff =, ϕ =, I = E. ~ E sin ωt C eff = 1 ωc, ϕ = π 2, I = ωce. 5.6
Spule: Anwendung der Maschenregel ergibt V V ind = V L di dt =, I L = E L I L = E ωl cos ωt = E ωl sin(ωt π 2 ), sin(ωt)dt, ~ E sin ωt L eff = ωl, ϕ = π 2, I = E ωl. Die Amplitude des Stroms ist beim Widerstand frequenzunabhängig, nimmt beim Kondensator mit der Frequenz zu, und bei der Spule mit der Frequenz ab. Beim Widerstand sind Strom und Spannung in Phase, beim Kondensator ist der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus, bei der Spule eine Viertelperiode hintendrein. Tabelle 5.1 fasst die esultate zusammen, die Zeitabhängigkeit zeigt Abbildung 5.3. Strom, Spannung und Leistung für einfache Wechselstromkreise Abbildung 5.3: Strom (gestrichelt), Spannung (durchgezogen) und Leistung P (gepunktet) in Funktion der Zeit für einfache Wechselstromkreise mit je einem Widerstand, einer Kapazität oder einer Selbstinduktion. P AV = P ist die über eine Periode gemittelte Leistung. C L eff 1/ωC ωl ω Gleichstrom Unterbrecher Kurzschluss ω Hochfrequenz Kurzschluss Unterbrecher ϕ +π/2 π/2 Tabelle 5.1: Effektive Wechselstromwiderstände und Phasenverschiebung für einen Ohm schen Widerstand, einen Kondensator und eine Spule. Effektive Wechselstromwiderstände können, wenn man sie in Kreisen parallel oder in Serie schal- 5.7
tet wie normale Widerstände behandelt werden. n parallel geschaltete Plattenkondensatoren haben die n fache Fläche und damit auch die n facche Kapazität: C tot = nc eff,tot = 1 = 1 ωc tot nωc = eff Analog gilt für n parallele Spulen: L tot = L n eff,tot = ωl n = 1 eff n 1 n 5.6.6 Leistung in Wechselstromwiderständen Wie steht es nun mit der Leistung, die in den oben diskutierten Kreisen verbraucht wird? Mit P = V I und V (t) = E sin ωt ergibt sich für die momentane Leistung P (t) = V I = E I sin ωt sin(ωt + ϕ), P (t) = 1 2 E I (cos ϕ cos(2ωt + ϕ)). Zur über eine Periode gemittelten Leistung P trägt der zweite Term in P (t) nichts bei (Blindleistung): P = 1 T T P (t)dt, P = 1 2 I E cos ϕ. Setzt man I eff = I / 2 und V eff = E / 2, so gilt schliesslich für die Wirkleistung Es gilt zu beachten: P = I eff V eff cos ϕ. Die effektive Spannung des städtischen Netzes beträgt V eff = 23 V. Die Spannungsamplitude ist daher E = 2V eff = 325 V (ν = 5 Hz, d. h. ω = 314 s 1 ). L = ωl und C = 1/ωC sind wattlose Widerstände. Die Wirkleistung ist Null, nicht aber die momentane Blindleistung. Dies ist in Abbildung 5.3 illustriert. Ein Haushaltsstromzähler misst die mittlere Leistung. Der Strom, der in einer Spule oder einem Kondensator fliesst, die wir an das Netz hängen ist daher gratis. Er nützt allerdings nicht viel, da wir keine Arbeit damit leisten. Wir empfangen 5-mal pro Sekunde Strom und schicken ihn ebenso oft an das Elektrizitätswerk zurück. Da aber in den Zuleitungen zwar keine grossen, aber doch nicht vernachlässigbare Ohm sche Widerstände vorliegen, in denen Joule sche Wärme entsteht, die der Verbraucher nicht bezahlt, sind solche Kreise beim Elektrizitätswerk unerwünscht. Leuchtröhren mit hohen Induktivitäten enthalten daher zusätzlich Kondensatoren als Phasenschieber. 5.6.7 Der Thomson sche Schwingkreis Enthalten die Stromkreise verschiedene Elemente mit verschiedenen Phasenverschiebungen, so genügt es nicht die effektiven Wechselstromwiderstände zu addieren, sondern man muss auch die Phasen berücksichtigen. 5.8
Die soll am Beispiel des schon erwähnten Schwingkreises gezeigt werden, der eine Spule (Selbstinduktion L), einen Kondensator (Kapazität C), und eine Widerstand in Serie enthält und für den wir daher der Maschengleichung die Differentialgleichung erhalten: E sin ωt L di dt = Q C + I. Differenziert man diese Gleichung nach der Zeit und benützt den Ansatz I = I sin(ωt + ϕ), di dt = ωi cos(ωt + ϕ), d 2 I dt 2 = ω2 I sin(ωt + ϕ), so ergibt sich schliesslich: ωe cos ωt = L d2 I dt 2 + di dt + 1 C I eff = E = I 2 + ( 1 ωc ωl)2, tan ϕ = 1 ( 1 ωc ωl) Der effektive Widerstand des Schwingkreises hängt von der Frequenz der äusseren elektromotorischen Kraft ab und wird minimal für den esonanzwert 1 ω = ω = LC, eff =, tan ϕ =. Bei der esonanz- oder Eigenfrequenz des Schwingkreises wird die Amplitude des Stroms I maximal. Einen speziellen Fall erhält man, wenn die anregende Spannung E zu null wird. Ist auch der Widerstand sehr klein, so erhält man = L d2 I dt 2 + 1 C I Die Lösung ist dann eine selbständige Schwingung mit der Eigenfrequenz gleich der esonanzfrequenz. I = I cos ω t V L = LωI sin ω t mit ω = 1 LC Dies nennt man den Thomson schen Schwingkreis. Da niemals ganz null ist, ist die Schwingung gedämpft, wie bei einem Pendel. Beim Thomson schen Schwingkreis ist die Energie abwechslungsweise im elektrischen Feld des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule gespeichert. 5.9