Physik A VL32 (1.1.213) Magnetostatik ewegte Ladungen und Magnetfelde Das Magnetfeld eines geaden stomduchflossenen Leites j Das Ampee sche Gesetz ode Duchflutungsgesetz g Ezeugung homogene Magnetfelde Das Helmholtz-Spulenpaa p ewegte Ladungen im Magnetfeld Die Loentzkaft 1
Magnetostatik Magnetfeld eines geaden stomduchflossenen Leites Fage: Wie hängen elektische Ladungen und magnetische Felde zusammen? Hans Chistian Østed entdeckt 182 den Zusammenhang zwischen Stom und Magnetfeld: Stöme (bewegte Ladungen) ezeugen ein Magnetfeld Expeiment: Feldlinien eines stomduchflossenen Leites Hans Chistian i Østed (1777-1851) in einem stomduchflossenen Daht oientieen sich die Eisenspäne beim Einschalten des Stoms keisfömig um den Leite die Magnetfeldlinien i sind in Fom konzentische Keise um den Leite angeodnet. 2
Magnetostatik Magnetfeld eines geaden stomduchflossenen Leites Ein stomduchflossene Leite egibt ein Magnetfeld, dessen Feldlinien keisfömig den Leite umgeben Es gibt geschlossene Magnetfeldlinien (im Gegensatz zum elektischen Feld) Die Feldlinien geben die Kaftwikung (Richtung und Stäke) des Magnetfeldes an Wie die Eisenspäne oientieen sich Kompassnadeln entlang den Magnetfeldlinien. Stomdicht e j A de Stom (die Stomdichte j) steht senkecht zum Magnetfeld, das Magnetfeld ist adial um den Leite oientiet die Richtung de Magnetfeldlinien kann mit de echten Hand demonstiet weden: Rechte Hand-Regel 3
Magnetostatik Magnetfeld eines geaden stomduchflossenen Leites eechnung des Magnetfeldes eines geaden Leites, duch den de Stom fließt die Feldlinien müssen konzentische Keise sein das Feld kann nu vom Abstand vom Leite abhängen Vekto des Magnetfeldes (): Expeimentell findet man fü den etag des Magnetfeldes (): ) μ 2π ( e ( ) ( ) Magnetische Flussdichte eines stomduchflossenen Leites ϕ ( ) µ magnetische Pemeabilität des Vakuums Vs 7 (magnetische Feldkonstante) μ 4 π 1 Am Einheit de magnetischen Flußdichte: e ϕ μ 2π Vs const. ( ) ( ) e ϕ Einheitsvekto in Polakoodinaten [ ] 1T (Tesla) m 2 4
Magnetostatik Magnetfeld eines geaden stomduchflossenen Leites Diskussion de magnetischen Feldkonstanten μ [ ] 1T 2π Vs 2 m [ ] (Tesla) Definition in Analogie zum elektischen Feld: ( ) μ H H ) μ 4π 1 7 Vs Am dielektische Flussdichte / Veschiebung D ε E elektische lk Fld Feldstäke äk eϕ 2π H H 2π H ( Magnetische Feldstäke eines stomduchflossenen Leites Einheit de magnetischen Feldstäke: [ ] eispiel: Magnetfeld eines Leites - Hochspannungskabel! das von eine Hochspannungsleitung ezeugte Magnetfeld nimmt mit 1/ ab -1 kv-übelandleitung mit Stom 2 ka - Wie goß ist die magnetische Flußdichte am oden ( 2 m) 77 μ 4π 1 (Vs/Am) 2 A 5 2 1 T 2 μt 2π 2π 2 m A 1 m 5
Stäke veschiedene Magnetfelde Magnetostatik eispiel Magnetische Flußdichte Weltaum ~1-9 T Edmagnetfeld am Äquato 3,1 1-5 T (31 µt) Goße Hufeisenmagnet 1-3 T (1 mt) Sonnenfleck Stäkstes pemanentes Magnetfeld (National High Magnetic Field Laboatoy, Floida State Univesity, USA) Neutonensten 1 T 45 T 1 6 1 8 T Geophysikalische Einheit: 1 γ (Gamma) 1-9 T 1 nt 6
Magnetostatik Das Ampee sche Gesetz ode Duchflutungsgesetz Das Resultat fü das Magnetfeld eines geaden Leites, duch den ein Stom fließt, lässt sich veallgemeinen: ein Stom uft ein Magnetfeld hevo d μ Ampee sches Gesetz ode Duchflutungsgesetz g jede elektische Stom ezeugt einen Wibel im Magnetfeld: d Das Wegintegal ist gleich dem Stom duch die von dem geschlossenen Weg eingeschlossenen Fläche Vegleich mit dem elektostatischen t ti Fld Feld: ein Umlauf übe E ändet nichts! iht! 2 1 E d U 1 2 2 U1 E d geschlossene Weg im E-Feld Anfangspunkt Endpunkt 7
Magnetostatik Das Ampee sche Gesetz ode Duchflutungsgesetz magnetisches Feld eine Leiteschleife und eine langen Spule d μ eechnung des Feldes eine Spule de Länge l Näheungsweise gilt: - innehalb de Spule const. - außehalb: Anwendung des Ampèe schen Gesetzes: d d + d innehalb 14 außehalb 42 4 l μ N μ 43 8
Magnetostatik Das Ampee sche Gesetz ode Duchflutungsgesetz d homogenes Magnetfeld im nneen eine stomduchflossenen Spule (l, N) μ d l μ N μ N l magnetische Feldstäke eine langen Zylindespule fü dicht gewickelte Spulen mit N >>1 gilt seh genau: Feld des Stabmagneten! Spule Stabmagnet 9
Magnetostatik Das Ampee sche Gesetz ode Duchflutungsgesetz eispiel: Ezeugung eines seh homogenen Magnetfelds benötigt man ein seh homogenes Magnetfeld, das besse zugänglich ist als eine lange Spule, läßt sich dies duch Kombination zweie Spulen eeichen: Helmholtz-Spule eechnetes Magnetfeld de Helmholtzspule (Quelle: Wikipedia) duch Übelageung de Magnetfelde de beiden Spulen ist das Magnetfeld in de Mitte homogen ideales Magnetfeld: Helmholtz-Spulen: Radius Abstand 1
ewegte Ladungen im Magnetfeld Magnetostatik Eine Ladung q bewegt sich mit de Geschwindigkeit v im Magnetfeld Hie: Elektonenstahl zwischen Helmholtz-Spulen die Ladungen (hie: Elektonen) weden duch eine Kaft auf eine Keisbahn gelenkt Weitee eobachtung: Radius de Keisbahn hängt von de eschleunigungsspannung, d.h. de Geschwindigkeit de Elektonen, ab! Die Kaft auf die Ladung hängt von de Geschwindigkeit de Ladung ab 11
ewegte Ladungen im Magnetfeld Magnetostatik Eine Ladung q bewegt sich mit de Geschwindigkeit v im Magnetfeld ewegung gde Ladung auf Keisbahn, Radius abhängig ggvon Geschwindigkeit Die wikende Kaft heißt Loentz-Kaft. Sie wikt nu auf ein bewegtes Teilchen! F L qv Loentz-Kaft auf ein bewegtes geladenes Teilchen im Magnetfeld Rechte-Hand-Regel : Richtung de technischen Stomichtung, d.h. entgegen de ewegungsichtung de Elektonen (siehe Fomel, neg. Vozeichen fü Elektonen Kaftwikung in Gegenichtung! Ei Einneung Vkt Vektopodukt: Vkt Vektoen a, b a b c mit c a und c b c a b a b sinα 12
ewegte Ladungen im Magnetfeld Magnetostatik Fage: Wie hängen die Loentz-Kaft und das zweite Newton sche Axiom zusammen? F m a d v m dt qv mit q, m, const. die Richtung de Geschwindigkeit v ändet sich im Magnetfeld, de etag bleibt konstant! i eispiel il1: eechnung des ahnadius aus dem Gleichgewicht zwischen Loentz-Kaft und Zentifugalkaft: q v 14243 Loentzkaft 2 v m 123 R Zentifugalkaft f v 1 R q m v R q m v R R m q v 13
ewegte Ladungen im Magnetfeld Magnetostatik eispiel 2: Elektonenstahl duchquet ein äumlich begenztes Magnetfeld. st l die ahnlänge im Magnetfeld und R de ahnadius, dann ist de Ablenkwinkel α (in Radiant): α l R ishe: Geschwindigkeitsvekto senkecht zum Magnetfeld Weitee Fälle: Geschwindigkeitsvekto schäg zum Magnetfeld nhomogenes Magnetfeld Keisbahn Spialbahn, Spialbahn, const. R const. const. R const. 14
Magnetostatik ewegte Ladungen im Magnetfeld Die Ede Geladene Teilchen bewegen sich auf Spialbahnen entlang de Feldlinien Polalicht (Nodlicht, Auoa boealis) Leuchtescheinung beim Aufteffen geladene Teilchen des Sonnenwindes auf die Edatmosphäe in den Polagebieten de Ede. Sonneneuptionen: Emission geladene Patikelstahlen seh stake onenstöme in Richtung Ede Veändeung des Edmagnetfeldes 15
ewegte Ladungen im Magnetfeld Anwendung 1: Zykloton Magnetostatik Ein Zykloton ist ein Teilchenbeschleunige, ein sogenannte Keisbeschleunige Einneung: de etag de Geschwindigkeit ändet sich im magnetischen Feld nicht! Ladungen können allein mit Magnetfelden nicht beschleunigt weden. m Zykloton wid dafü ein elektisches Feld wiedeholt duchlaufen. m v qr R v const. q m Zykloton in de Abteilung fü Nukleamedizin (Uniklinikum Regensbug) techn. Daten: Magnetische Fluss 1.9 Tesla, 1.5 m Duchmesse, Gewicht 11.5 t, Enegie de austetenden Potonen 11 MeV 16
ewegte Ladungen im Magnetfeld Anwendung 2: Massenspektomete Magnetostatik Die geladenen Teilchen weden duch U b beschleunigt und ehalten die Geschwindigkeit v : 1 2 2qU q U mv b { v 2 m VL29 W m Spektomete: Käf Käftegleichgewicht lih ihzwischen Loentzund Zentifugalkaft: 2 mv mv qv R R q q m 2 U b m( R) 2 2 R 2qU 2 b R 2 Pinzip de estimmung de Elementaladung elativ zu Elektonenmasse Massenbestimmung chemische Vebindungen zu Analyse/Qualitätskontolle 17
Magnetostatik Magnetische und elektische Käfte - Vegleich elektische Kaft ist paallel zum elektischen Feld und ezeugt eine iegung de Teilchentajektoie in eine Ebene (hie: hoizontale Ebene) magnetische Kaft ist senkecht zum magnetischen Feld und zu Geschwindigkeit und ezeugt eine Ablenkung in die ditte Dimension (hie: vetikale Ebene) Elektische Feldlinien zeigen in Richtung de Kaft auf eine positive Ladung Magnetische Feldlinien velaufen senkecht zu Richtung de Kaft 18
Magnetostatik Magnetische und elektische Käfte - Übelageung Die Loentz-Kaft auf eine bewegte Ladung q im Magnetfeld ist: F L qv Die Kaft auf eine Ladung q im elektischen Feld ist: qe F E Sind sowohl magnetisches als auch elektisches Feld vohanden, wikt die Gesamtkaft: F q ( E + v ) Käfte auf ein mit annähend mit Lichtgeschwindigkeit c bewegtes Teilchen: konstante t Geschwindigkeit it F : F q E + qc E c Elektisches und magnetisches Feld sind popotional zueinande! 19
Zusammenfassung Magnetfeld eines geaden stomduchflossenen Leites: Magnetfeldlinien sind in Fom konzentische Keise um den Leite angeodnet μ Magnetische Flussdichte eines stomduchflossenen Leites ( ) e 2 2ππ 7 Vs µ magnetische Pemeabilität des Vakuums μ 4π 1 (magnetische Feldkonstante) Am Vs m Magnetische Feldstäke eines stomduchfl. Leites: ( ) μ H H ( ) ein Stom uft ein Magnetfeld hevo: d μ magnetische Feldstäke eine langen Zylindespule (N Windungen): ϕ [ ] 1T (Tesla) 2 e 2π ϕ Ampee sches Gesetz ode Duchflutungsgesetz g Auf eine Ladung q, die sich mit de Geschwindigkeit v im Magnetfeld bewegt, g, wikt die Loentzkaft: F L Anwendungen: z.. Zykloton und Massenspektomete qv sowohl magnetisches als auch elektisches Feld vohanden Gesamtkaft μ etachtung de Käfte auf ein mit annähend mit Lichtgeschwindigkeit c N l F q ( E + v ) bewegtes Teilchen: Elektisches und magnetisches Feld sind popotional zueinande! 2