Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 1 Tipler-Mosca Phsik ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS 30. Die Maxwell'schen Gleichungen - Elektromagnetische Wellen (Maxwell's equation and electromagnetic waves) 30.1 Der Maxwell'sche Verschiebungsstrom (Maxwell's displacement current) 30. Die Maxwell'sche Gleichungen (Maxwell's equations) 30.3 Elektromagnetische Wellen (Electromagnetic waves) 30.4 Die Wellengleichung für elektromagnetische Wellen (The wave equation für electromagnetic waves) Die Maxwell'sche Gleichungen beschreiben den Zusammenhang wischen den Vektoren des elektrischen und des magnetischen Feldes einerseits und den Quellen dieser Felder (elektrische Ladungen und Strömen) andererseits. Universität Salburg Seite 1 08.05.007
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Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 3 Die Maxwell'sche Gleichungen spielen für die klassische Theorie des Elektromagnetismus eine ähnliche Rolle wie die Newton'sche Axiome für die klassiche Mechanik. Aus einer geeigneten Kombination ergibt sich eine Wellengleichung für E und B, d.h. für die elektromagnetische Welle. Alle elektromagnetische Wellen im Valkuum pflanen sich mit 8-1 Lichtgeschwindigkeit c =.9979458 10 m s fort. 30.1 Der Maxwell'sche Verschiebungsstrom (Maxwell's displacement current) Das Ampère'sche Geset (Gl. (7.15)) B d = μ0i sett das Umlaufintegral des Magnetfelds um eine C geschlossene Kurve C u dem Strom I in Beiehung, der durch eine beliebige, von C umschlossene Fläche tritt. Die Abbildung eigt eine Schwäche des Ampère'sches Gesetes: die geschlossene Φ el Kurve C umschließt die Flächen S = A und S = A durch A tritt der Strom I, 1 1 1 durch A tritt kein Strom Problem: Strom nicht kontinuierlich Maxwell: Verallgemeinerung des Ampère'sches Gesetes durch Erweiterung des realen Stromes I mit dem Maxwell'schen Verschiebungsstrom I : elektrischer Fluß durch die von C umschlossene Fläche d Allgemeine Form des Ampère'sches Gesetes, I + I d : verallgemeinerter Strom Universität Salburg Seite 3 08.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 4 Durch sämtliche von C umschlossene Flächen muß der gleiche verallgemeinerte Strom fließen der Nettofluß aus dem Volumen heraus, das A1 und A gemeinsam umschließen, muß null sein dqinnen fließt I hinein, so muß Id herausfließen I = aus dem Gauß'schen Sat dt 1 dqinnen dφel Φ el = End A = qinnen qinnen = ε0φel = ε0 = Id der in das Volumen ε 0 dt dt A hineinfließende reale Strom ist gleich dem aus dem Volumen herausfließende Verschiebungsstrom der verallgemeinerte Strom ist kontinuierlich gilt ohne Ausnahme dφ dφ el mag d Vergleich von Gl. (30.4) B d = μ0i + μ0ε0 mit Gl. (8.5) E d B d A dt = = dt dt C C A Beschränkung auf Induktionsspannungen, die von eitlich veränderlichen Magnetfeldern hervorgerufen werden dφmag Bn somit keine Spannungen, die durch Bewegung induiert werden E d = = d A dt C A Farada'sches Geset: ein veränderlicher magnetischer Fluß ereugt ein elektrisches Feld, dessen Umlaufintegral entlang einer geschlossenen Kurve proportional ur Rate der Änderung des magnetischen Flusses durch jede von dieser Kurve umspannte Fläche ist. Ampère'sches Geset: ein veränderlicher elektrischer Fluß ereugt ein Magnetfeld, dessen Umlaufintegral entlang einer geschlossenen Kurve proportional ur Änderung des elektrischen Flusses ist. Universität Salburg Seite 4 08.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 5 Beispiel 30.1: Berechnung des Verschiebungsstroms Kondensator mit parallelen, kreisrunden Platten mit Radius R. Ladung q fließt mit Rate I = dq dt =.5 A ur positiv geladenen Platte hin und von der negativ geladenen ab. Gesucht: Verschiebungsstromdurch die Fläche S = A dφel aus Gl. (30.3) IV = ε 0 mit Gl. (.15) Φ el = EA und mit dt dem elektrischen Feld eines Planntenkondensators, siehe Gl. (.0) bw. Teil 4., E I dφ = ε = ε dt el V d ( EA) σ q A = = ε ε d E d q A d = ε0a = ε q 0A = = I =.5 A dt dt dt ε 0 dt Beispiel 30.: Berechnung des Magnetfelds aus dem Verschiebungsstrom mögliches Prüfungsbeispiel Universität Salburg Seite 5 08.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 6 30. Die Maxwell'sche Gleichungen (Maxwell's equations) Gauss'scher Sat für das elektrische Feld Gauss'scher Sat für das Magnetfeld es gibt keine magnetische Pole Farada'sches Geset für das elektrische Feld verallgemeinerte Form des Ampère'schen Gesetes Universität Salburg Seite 6 08.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 7 30.3 Elektromagnetische Wellen (Electromagnetic waves) Vektoren des elektrischen und magnetischen Feldes einer elektromagnetischen Welle, E B, an jedem Ort im Raum und u jedem Zeitpunkt: E = cb 1 wobei c =, εμ Richtung der elektromagnetische Welle Das elektromagnetische Spektrum Das Verhalten von Wellen hängt entscheidend vom Verhältnis der Wellenlänge ur Dimension eines phsikalischen Objektes ab, auf das die Welle trifft (siehe Teil 15.4). Von der Wellenlänge bw. Frequen der elektromagnetischen Strahlung hängt ab, inwieweit diese mit Materie in Wechselwirkung tritt. E B Elektromagnetisches Spektrum, c = λν Quellen elektromagnetischer Strahlung Beschleunigte oder abgebremste elektrische Ladungen, Übergänge von Elektronen in Atomen und Molekülen, Osillationen makroskopischer Ströme; Begriffe: Bremsstrahlung (siehe auch Teil 36.7), Snchrotronstrahlung (siehe auch Teil 6.), thermische Strahlung (siehe auch Teil 0.4) Universität Salburg Seite 7 08.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 8 Elektrische Dipolstrahlung Schema einer Dipolantenne ur Aussendung elektromagnetischer Wellen: Osillationen der Ladungen Osillationen des elektrischen Feldes, die sich mit Lichtgeschwindigkeit im Raum ausbreiten; der Strom durch die Stäbe bewirkt ein osillierendes Magnetfeld (senkrecht u E ) Linien des elektrischen Feldes (rot) und des magnetischen Feldes (blau), ereugt von einem osillierenden elektrischen Dipol. Die Magnetfeldlinien bilden geschlossene Kreise, auf deren Achse sich das Dipol befindet. E B eigt in allen Punkten des Raumes vom Dipol weg. Universität Salburg Seite 8 08.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 9 Elektrische Dipolantenne um Empfang elektromagnetischer Wellen. Das alternierende elektrische Feld der ankommenden Wellen ereugt in der Antenne ein Wechselstrom. Ringantenne um Empfang elektromagnetischer Wellen. Das eitlich veränderliche Magnetfeld der Strahlung ereugt einen alternierenden magnetischen Fluss durch den Ring, wodurch in diesem ein Wechselstrom induiert wird. Intensität der elektromagnetischer Strahlung einer Dipolantenne (elektrische Dipolstrahlung) in Abhängigkeit von θ Intensität maximal bei θ =90 (senkrecht ur Antenneachse, parallel ur x--ebene), minimal bei θ=0 oder 180 (in Richtung der Antenneachse, parallel ur -Achse). In einer Richtung, die mit der -Achse den Winkel θ einschließt, ist θ die Intensität sin. Universität Salburg Seite 9 08.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 10 Beispiel 30.3: In einer Ringantenne induierte Spannung Gegeben: Ringantenne, bestehend aus einelnen Drahtschleife mit Radius r elektromagnetische Strahlung mit ektiver Feldstärke E Gesucht: ektive Induktionsspannung U Energie und Impuls einer elektromagnetischen Welle = 0.15 V/m. = 10 cm, empfängt in der Schleife bei Frequen ν a) 600 kh, b) 60 MH dφmag Farada'sches Geset Gl. (30.5) bw. (30.6c) Uind = mit Φ mag = BA = π r B dt dφmag B B Uind = = πr bw. U = πr, wobei el dt t t ektromagnetische Welle mit ν = 600 kh λ = 500 m bw. ν = 60 MH λ = 5 m B in guter Näherung homogen innerhalb der Ringantenne B sinusförmiger Verlauf B = B0sin( kx ωt) = ωb0cos( kx ωt) = = = ω = πν c c c B ( cos( ω )) 0 1 B ωb0 mit ( cos( kx ωt) ) = ( cos( kx ωt) ) =, siehe Teil 9. ωb = = E B E E aus Gl. (30.7) E cb B Teil a) U = π r ( ) ( ) ( -1 B E ) 0.15 V m r 8-1 t π πν π π c ( 3 10 m s ) ( ) ( ) ( -1 B E ) 0.15 V m π π πν π π t c ( 3 10 m s ) = ωb kx t = = 0.1 m 6.00 10 H = 5.9 10 V = 59. μv 5 5 Teil b) U = r = r = 0.1 m 6.00 10 H = 5.9 10 V = 5.9 mv 7 3 8-1 Elektromagnetische Wellen führen Energie und Impuls mit Energie Intensität = mittlere Leitung pro Flächeneinheit senkrecht ur Ausbreitungsrichtung, Impuls Strahlungsdruck = Impuls pro Zeit- und Flächeneinheit Universität Salburg Seite 18.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 11 Die Intensität Betrachtung einer elektromagnetischen Welle, die sich von links nach rechts ausbreitet mit Lichtgeschwindigkeit c in einem lindrischen Bereich des Raumes mit Länge und Querschnittfläche A mittlere elektromagnetische Energie E = w A = w V wobei w mittlere Energiedichte am em em em em Eem wem A rechten Ende austretende mittlere Leistung Pem = = = wem Ac mittlere Intensität Δt c Eem 1 Iem = = wem c wem = ε A B magnetischen Energiedichte Gl. (8.0) wmag = usammen da für eine elektromagnetische Welle μ E sett sich aus der elektrischen Energiedichte Gl. (4.13) wel 0E und der B E 1 1 = cb siehe Gl. (30.7) wmag = = = ε 0E = wel da c = Gl. (30.1) μ μ c ε μ em = el + mag = ε0 = = μ0 μ0 w w w E B EB c 0 EB E B E B E B 1 1 mittlere Intensität I = w c = c = c = = wobei E = E und B = B em em 0 0 μ0c μ0c μ0 μ0 Universität Salburg Seite 11 08.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 1 Strahlungsdruck Elektromagnetische Welle trifft auf eine u Beginn ruhende Punktladung Die elektrische Kraft qe beschleunigt die Ladung nach oben eigt die Geschwindigkeit v nach oben, so beschleunigt die magnetische Kraft qv B die Ladung in die Ausbreitungsrichtung der Welle Sei E = Ee in -Richtung und B = Be in -Richtung orientiert, die Zeitabhängigkeit der Felder sei vernachlässigt qe durch elektrische Kraft Fel = qe Geschwindigkeit v = at = t wobei nach kurem Zeitpunkt t1 kinetische m 1 1 qe 1q E kin 1 1 Energie E = mv = m t t m = m qe q EB durch magnetische Kraft Fmag = qv B = qv Bex = q tbex = t ex ex Impulsübertragung auf die Ladung m m während Zeit t : 1 p x = t1 t1 qeb 1qEB E 1qE Ekin Fx dt = td t = t1 mit Gl. (30.7) E = cb B = px = t1 = m m c mc c em = gan allgemein für eine elektromagnetische Welle p E c Universität Salburg Seite 1 08.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 13 Intensität da Intensität = Energie pro Flächen- und Zeiteinheit = von der Welle übertragener Lichtgeschwindigkeit Impuls pro Flächen- und Zeiteinheit = von der Welle übertragene Kraft pro Flächeneinheit = Strahlungsdruck Beispiel 30.4: Strahlungsdruck einer Glühlampe Gegeben: Glühlampe mit Emissionslesitung P = 50 W; gesucht: a) Strahlungsintensität I, em b) Strahlungsdruck p, c) elektrische Feldstärke E und magnetische Feldstärke B in r = 3 m Entfernung von der Lampe S Pem P em 50 W - Teil a) Intensität Iem = für eine Glühlampe A = 4 π r Iem = = = 0.44 W m, A 4π r 4π 3 m - em 9 Teil b) aus Gl. (30.14) Strahlungsdruck ps = = = 1.47 10 Pa, 8-1 ( ) I 0.44 W m c 3 10 m s B0 7-1 9 8 Teil c) aus Gl. (30.15) ps = B0 = μ0ps = ( 4π 10 T m A )( 1.47 10 Pa) = 6.08 10 T μ 0 ( )( ) 8-1 8-1 aus Gl. (30.7) = 0 = 0 = 3 10 m s 6.08 10 T = 18. V m also im 3 m Entfernung -1 8 E = E sin ωt mit E = 18. V m und B = B sin ωt mit B = 6.08 10 T E cb E cb em Beispiel 30.5: Eine Rakete mit Laserantrieb mögliches Prüfungsbeispiel Universität Salburg Seite 13 08.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 14 Funktionsschema der Laserpinette der von einer elektromagnetischen Welle mitgeführte Impuls wird ur Manipulation von Proben molekularer Dimensionen ausgenutt: 30.4 Die Wellengleichung für elektromagnetische Wellen (The wave equation für electromagnetic waves) Die Maxwell'schen Gleichungen Gl. (30.6) lassen darauf schließen, daß E und B einer Wellengleichung genügen: Beschränkung der Betrachtungen auf Vakuum frei von Ladungen und Strömen, im weiteren E und B nur von Zeit und von der Koordinate x abhängig ebene Welle ausgebildet als Transversalwelle E = 0, B = 0 x x Herleitung der Wellengleichung Anwendung des Farada'schen Gesetes (Gl. (30.6c)) und des Ampère'schen Gesetes (Gl. (30.6d)) auf geeignet gewählte Wege im Raum. Universität Salburg Seite 14 08.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 15 B n aus Gl. (30.6c) E d = d A E d = ( Exex + Ee + Ee) ( dxex + de + de) = C A C C E E ( x) Δ E ( x1) Δ = ( E ( x) E ( x1) ) Δ da Ex = 0 Δx sehr klein E ( x) E ( x1) = Δx x E Bn B E B E E d = ΔxΔ mit E d d A x x x B x = Δ Δ Δ Δ = Δ Δ = x x C C A n aus Gl. (30.6d) unter der Voraussetung 0 d με d C A C B d = B e + B e + B e dxe + de + de = B x Δ B x Δ = B x B x Δ da B = 0 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ( ) ( 1) ) C E I = B = A x x x x B Δ sehr klein B ( x) B ( x1) = Δx x B E E n B E B d = ΔxΔ mit B d = με d A με ΔxΔ ΔxΔ = με ΔxΔ x x C C A B x E = με Universität Salburg Seite 15 08.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 16 E E E E mit mit x x x t t x x x B B B B = = = = με = με B B entsprechende Ableitung für B = με x sowohl das elektrische Feld E wie auch das Magnetfeld B befolgen eine Wellengleichung für elektromagnetische Wellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten c = 1 ähnliche Argumentation liefert, daß auch E und B der Wellengleichung genügen. με,0 ( ω ) Das elektrische und magnetische Feld der Welle sind in Phase: mit E = E sin kx t E B B E in Gl. (30.18) = eingesett = = ke,0 cos ( kx ωt) integriert x x B k B = dt = ke,0 cos( kx ωt ) dt = E,0 sin ( kx ω t ) + f ( x ), ω B E B E in Gl. (30.3) = με eingesett = με = ωμε E,0cos ( kx ωt) integriert x x B ωμ0ε0 B = dx = ωμ0ε0 E,0 cos( kx ωt) dx = E,0 sin ( kx ωt) + g( t) gleichseten x k k ωμ E 0ε 0 ω 1, 0 sin ( kx ωt ) + f ( x) = E,0 sin ( kx ωt ) + g( t) mit c = und = μ 0ε0 ω k k c E sin kx ωt + f( x) = E sin kx ωt + g( t) f( x) = g( t) = konstant kann null gesett werden, da die ( ) ( ),0,0 k Konstante in diesem Fall keine phsikalische Rolle spielt aus Gl. (30.4) B = E,0 sin kx ωt = B,0 sin kx ωt ω wobei B = k ω E = 1 c E die elektrische und die magnetische Feldkomponente der ( ) ( ),0,0,0 elektromagnetischen Welle osillieren mit gleicher Frequen und Phase E = cb E ( ) ( ) Universität Salburg Seite 16 08.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 17 Beispiel 30.6: Das Magnetfeld einer linear polarisierten ebenen Welle Gegeben: elektrisches Feld einer elektromagnetischen Welle (, ) cos( ). Ext = E0 kx ωte Gesucht: a) Ausbreitungsrichtung der Welle, b) Richtung des Magnetfelds um Zeitpunkt t = 0 in der --Ebene, c) Ausdruck für das Magnetfeld der Welle, d) E B Teil a) aus cos( kx ωt) Ausbreitungsrichtung = Richtung, in der x unimmt ex Teil b) B und E in Phase, B E und ex B( x, t) = ± B0 cos( kx ωte ) mit E B = E0cos( kx ωt) ( ± B0cos( kx ωt) )( e e ) = E0( ± B0) cos ( kx ωt) ( ex) Wahl des Voreichens so, daß E B ex E B = E0( B0) cos ( kx ωt) ( ex) B( x, t) = B0cos( kx ωt) e für t = 0 und x = 0 B(0,0) = B0cos(0 0) e = B0e, E Teil c) Bxt (, ) = B0 cos( kx ωte ) Teil d) E B = E B cos ( kx ωt) e x x als linear polarisiert beeichnet man eine elektromagnetische Welle, deren elektrisches und magnetisches Feld jeweils nur in einer Raumrichtung eine von null verschiedene Komponente besiten (siehe auch Teil 31.7); Beispiel 30.7: Das Magnetfeld einer irkular polarisierten ebenen Welle mögliches Prüfungsbeispiel Universität Salburg Seite 17 08.05.007
Musso: Phsik II Teil 30 Elektromagn. Welllen Seite 18 Alonso-Finn 30. Wechselwirkung von elektromagnetischer Strahlung mit Materie: Photonen 30.1 Einführung 30. Strahlungsemission durch Atome, Moleküle, und Kerne 30.3 Absorption von elektromagnetischer Strahlung durch Atome, Moleküle, und Kerne 30.4 Streuung von elektromagnetischen Wellen durch gebundene Elektronen 30.5 Streuung von elektromagnetischer Strahlung durch ein freies Elektron: der Compton-Effekt 30.6 Photonen 30.7 Zusätliches über Photonen: der photoelektrische Effekt in Metallen 9. Elektromagnetische Wellen 9.1 Einführung 9. Ebene elektromagnetische Wellen 9.3 Energie und Impuls einer elektromagnetischen Welle 9.4 Strahlung aus elektrischen Dipolen 9.5 Strahlung aus einer beschleunigten Ladung 9.6 Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in Materie; Dispersion 9.7 Der Doppler-Effekt in ekeltromagnetischen Wellen 9.8 Das Spektrum elektromagnetischer Wellen Universität Salburg Seite 18 08.05.007