Statistik I Februar 2005 Aufgabe 0 Pukte Ei Merkmal X mit de mögliche Auspräguge 0 ud, das im Folgede wie ei kardialskaliertes Merkmal behadelt werde ka, wird a Merkmalsträger beobachtet. Dabei bezeichet h 0 die absolute Häufigkeit der Ausprägug 0 ud h die absolute Häufigkeit der Ausprägug. a) Ma beweise, dass für die mittlere quadratische Abweichug der Beobachtugswerte gilt: s 2 = h 0 h (h 0 + h ) 2 b) Uterstelle Sie für de Aufgabeteil b), dass 00 Beobachtugswerte x,...,x 00 zu obigem Merkmal X vorliege, wobei 80 der x i gleich sid. Wie groß ist da die relative Häufigkeit der Ausprägug 0, das arithmetische Mittel der x i, die Stadardabweichug der x i? c) Auf Basis eier adere als der i b) betrachtete Urliste wurde für das Merkmal X eie mittlere quadratische Abweichug i Höhe vo 0,25 ermittelt. Bestimme Sie das zugehörige arithmetische Mittel. Aufgabe 2 0 Pukte I eiem Küstedorf auf Sardiie lebe Gaetao, ei Fischer, ud Astrid, eie schwedische Ex-Dozeti. Die beide Freude verbrachte scho viele Abede am Strad. Eies Abeds kam Astrid auf das additive Zeitreihemodell zu spreche. Gaetao, der stets ratlos vor de Schwakuge seier Fagmege stad, war sogleich begeistert. De eier alte Traditio sardischer Fischer folged hatte er bereits seit lägerem füfmal im Jahr, d.h. im Rhythmus vo 73 Tage (Schaltjahre seie außer Acht gelasse), die im jeweilige Jahresfüftel gefagee Mege Fisch otiert. Begied im erste Füftel des Jahres 2002 laute die jeweils i Toe gemessee Mege:
Jahr 2002 2003 2004 Füftel 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 Mege 20,5 5 0 2 5,5 2 5 0 3 6,5 22 5 0 2 7,5 a) Bereche Sie für das dritte Füftel des Jahres 2003 de gleitede Durchschitt der Ordug 2. b) Uterstelle Sie das additive Zeitreihemodell mit kostater Saisofigur ud bereche Sie die zugehörige saisobereiigte Zeitreihe. c) Führe Sie über die 5 Periode hiweg eie lieare Regressio durch mit der Zeit t als uabhägiger Variable ud de beobachtete Fagmege y t als Werte der abhägige Variable. Hiweise: Der Wert 5 ty t = 78,5 ist bereits errechet. t= Bitte rude Sie stets auf 2 Nachkommastelle. Aufgabe 3 0 Pukte A Patiete eier gegebee Populatio wird mittels eies Labortests utersucht, ob eie bestimmte Krakheit vorliegt oder icht. Der Ateil der Krake i der Populatio werde mit p bezeichet. Falls ei Patiet wirklich krak ist, zeigt der Test mit eier Wahrscheilichkeit vo 99 % die Krakheit a (Ergebis positiv); falls er icht krak ist, zeigt der Test mit eier Wahrscheilichkeit vo 2 % die Krakheit a. Der Test werde bei eiem zufällig aus der Populatio ausgewählte Probade durchgeführt. a) Bereche Sie uter Verwedug der Bezeichuge K = Krakheit liegt vor T = Test zeigt Krakheit a die (vo p abhägige) Wahrscheilichkeite P(T) ud P(K T) b) Kläre Sie, ob uter der spezielle Prämisse p = 0,00 die Wahrscheilichkeit, dass ei Probad mit positivem Testergebis wirklich krak ist, uter oder über 5 % liegt. 2
Aufgabe 4 0 Pukte Zur Zufallsvariable X bereche ma für jede der folgede Fälle a),..., g) die Wahrscheilichkeit P(X 7). a) X ist gleichverteilt im Itervall [; ] b) X ist gleichverteilt im Itervall [0; b], ud es gilt Var(X) = 3 c) X ist expoetialverteilt, ud es gilt E(X) = 0 d) X ist N(7; )-verteilt e) X ist N(8; )-verteilt f) X ist hypergeometrisch verteilt mit N = 0, M = 7 ud = 8 g) X ist Poisso-verteilt, ud es gilt Var(X) = 0. Aufgabe 5 0 Pukte Studet Eddy Eisam plat eie Theaterbesuch mit seier eue Freudi. Eie Stude vor Begi des Schauspiels begit seie Freudi, verschiedee Bluse ud Hose aus ihrem Schrak azuprobiere ud Eddy ach seier Meiug zu frage. Eddys Aussage sid leider i de Auge seier Freudi meist ziemlich uqualifiziert, so dass sie sich mit 80 % Wahrscheilichkeit über eie Kommetar zu eier Bluse ud mit 70 % Wahrscheilichkeit über eie Kommetar zu eier Hose ärger muss. Dabei ist jede ihrer Etscheiduge (jeweils ärger oder icht ärger ) uabhägig vo der vorherige Etscheidug ud uabhägig davo, welches Kleidugsstück sie aprobiert. Die Freudi verfügt über 8 Bluse ud 7 Hose ud probiert jedes dieser Kleidugsstücke geau eimal a. a) Wie oft wird sie sich voraussichtlich (d.h. im Erwartugswert) a diesem Abed über eie Hosekommetar ärger? b) Wie oft wird sie sich voraussichtlich isgesamt a diesem Abed über Eddy ärger? c) Wie groß ist die Variaz der i b) betrachtete Zufallsvariable? d) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sie sich geau 3 Mal ärger muss? e) Eddy beschließt zu Begi der Kleiderprobe, seier Freudi für jedes Mal Ärger ei Glas Prosecco im Theater zu spediere, welches 4,50 kostet. Wie groß ist die Variaz der Zufallsvariable Proseccokoste im Theater? 3
Lösug zu Aufgabe a) Da ur die Beobachtugswerte 0 ud auftrete köe, gilt x 2 i = x i (i =,...,) ud somit: Ferer gilt s 2 = i=x 2 i x 2 = i= x i x 2 = x x 2 = x( x) x = (0 h 0 + h ) = h Nutzt ma u = h 0 + h, so erhält ma isgesamt s 2 = h ( h ) = h h 0 + h h 0 + h h 0 + h b) = 00, h = 80 h 0 = 20 f 0 = h 0 / = 20/00 = 0,2 x = h / = 80/00 = 0,8 s = 20 80/00 2 = 0,4 c) s 2 = 0,25 = x x 2 x 2 x+0,25 = 0 x = ± 4 0,25 2 h 0 h 0 + h = h 0 h (h 0 + h ) 2 = 0,5 Lösug zu Aufgabe 2 a) 2 ( 2 5+0+ 2 3) = 2 b) Zu verwede sid gleitede Durchschitte der Ordug 5. Da: y t 20,5 5 0 2 5,5 2 5 0 3 6,5 22 5 0 2 7,5 y t 4,6 4,7 4,7 4,7 4,9 5, 5,3 5,3 5,3 5, 5,3 y t y t 4,6 2,7 0,8 6,3 0, 5, 2,3,2 6,7 0, 5,3 y i j Ŝ j 4 5 5 4,5 4,5 4,5 5 5 5,5 5,5 5,5 5 5 4,5 6,5 wobei: S = 6,5; S 2 = 0; S 3 = 5; S 4 = 2,5; S 5 = ; 5 c) Regressio über die Zeit, vgl. Übugsaufgabe 4: ȳ = 5 (20,5+ +7,5) = 5 5 6 78,5 2 5 ˆb = = 0,07 2 (53 5) Regressiosgerade: y = 5,56 0,07t â = 5+0,07 6 2 = 5,56 5 S j = 0 Ŝ j = S j, j =,...,5 j= 4
Lösug zu Aufgabe 3 a) P(T) = P(T K) P(K)+P(T K) P( K) = 0,99 p+0,02 ( p) = 0,02+0,97 p P(K T) = P(T K) P(K) P(T) = 0,99 p 0,02+0,97 p b) P(K T) = 0,99 0,00 0,02+0,97 0,00 = 0,047 < 0,05 Lösug zu Aufgabe 4 a) P(X 7) = F(7) = 7 = 0,4 b) Var(X) = (b 0)2 2 = 3 b = 6 < 7 P(X 7) = 0 c) E(X) = λ = 0 λ = 0, P(X 7) = F(7) = ( e 7/0 ) = 0,4966 d) E(X) = 7 P(X 7) = 0,5 e) P(X 7) = F(7) = Φ( 7 8 ) = Φ( ) = ( Φ()) = Φ() = 0,843 f) M = 7 P(X 7) = P(X = 7) = f(7) = ( 7 7 )(3 )(0 8 ) = 0,0667 g) Var(X) = λ = 0 P(X 7) = F(6) = 0,30 = 0,8699 Lösug zu Aufgabe 5 X : Azahl ärgerlicher Blusekommetare B(8;0,8) X 2 : Azahl ärgerlicher Hosekommetare B(7;0,7) a) E(X 2 ) = 7 0,7 = 4,9 b) E(X + X 2 ) = E(X )+E(X 2 ) = 8 0,8+7 0,7 =,3 c) Var(X + X 2 ) = Var(X )+Var(X 2 ) = 8 0,8 0,2+7 0,7 0,3 = 2,75 d) P(X + X 2 = 3) = P(X = 8, X 2 = 5)+P(X = 7, X 2 = 6)+P(X = 6, X 2 = 7) = ( 8 8 )0,88 0,2 0 ( 7 5 )0,75 0,3 2 +( 8 7 )0,87 0,2 ( 7 6 )0,76 0,3 +( 8 6 )0,86 0,2 2 ( 7 7 )0,77 0,3 0 = 0,6037 e) Var(4,5 (X + X 2 )) = 4,5 2 Var(X + X 2 ) = 4,5 2 2,75 = 55,6875 5