Die wichtigsten Lehrbücher bei HD Mathematik - Ein Lehr- und Übungsbuch Band : Arithmetik, Algebra, Mengen- und Funktionenlehre Bearbeitet von Carsten Gellrich, Regina Gellrich 4., korr. Aufl. 006. Buch. 480 S. Hardcover ISBN 978 87 79 Format B L): 6 cm schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. Potenzen mit ganzzahligen Eponenten.. Begriffserklärungen So wie aus der Addition mehrerer gleicher Summanden eine neue Rechenart, die Multiplikation gebildet wurde, lässt sich auch die Multiplikation mehrerer Faktoren zu einer neuen Rechenart zusammenfassen: Definition: Unter der Potenz a n versteht man das Produkt von n gleichen Faktoren a. b = a } a {{ a a} = a n a R, n N\{0} n Faktoren a.) Dabei heißen a die Basis oder die Grundzahl, n der Eponent oder die Hochzahl und b bzw. a n der Potenzwert oder die n-te Potenz von a. Den Rechenvorgang, eine Basis a in eine Potenz zu erheben, nennt man Potenzieren. Beim Potenzieren besteht die Aufgabe darin, aus einer gegebenen Basis a und einem gegebenen Eponenten n den Potenzwert b = a n zu berechnen. Die Definition.) einer Potenz hat zunächst nur Sinn, solange n eine natürliche Zahl und n > ist. Um jedoch Potenzen mit jeder natürlichen Zahl als Eponent, also auch mit n = bilden zu können, wird die Definition der Potenz dadurch erweitert, dass a = a a R.) gelten soll. Ferner lässt sich leicht nachprüfen, dass für alle zulässigen Werte des Eponenten n gilt 0 n = 0 und n =.) Des Weiteren gilt für die Berechnung von Potenzen mit negativen Basen die folgende Regel: Alle Potenzen von negativen Zahlen mit geradem Eponenten sind positiv, ist der Eponent ungerade, so wird die Potenz einer negativen Zahl ebenfalls negativ. a) n = a n a) n+ = a n+.4) Als Spezialfälle von.4) seien die beiden Formeln ) n =+ ) n+ =.) angeführt, die noch häufig Verwendung finden werden. Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
98 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Und schließlich soll noch auf den Unterschied zwischen a) n und a n verwiesen werden, wobei a > 0 sein soll. Hier ist genau die Rangfolge der Rechenoperationen zu beachten. Bei a) n soll die negative Zahl a potenziert werden. Das Ergebnis wird positiv oder negativ sein, je nachdem, ob der Eponent eine gerade oder ungerade Zahl ist. Hingegen ist bei a n vorrangig die Zahl a zu potenzieren, und dann erst ist dem Ergebnis das negative Vorzeichen zuzuordnen. Für die Addition gilt das Kommutativgesetz, nach dem die Summanden in einer Summe vertauscht werden dürfen: a + b = b + a Dieses Gesetz kann nicht auf die Potenzrechnung übertragen werden, denn für Potenzen gilt: Basis und Eponent einer Potenz dürfen im allgemeinen nicht miteinander vertauscht werden. a n n a.6) Es gibt nur sehr wenige Ausnahmefälle, für die a n = n a gilt. Beispiele:. Es ist = = 8. Dagegen ist = = 9. Man überzeuge sich jedoch davon, dass 4 = 4 ist. Gibt es noch weitere Zahlenpaare a, n), für die gilt a n = n a?. Es ist. 4) = 4) 4) =+6, 4) = 64 und 4) 4 =+6. Aber es ist 4 = 4 4 = 6, 4 = 64 und 4 4 = 6.. Es ist ) 6 6) = ) ) ) ) ) ) 6) 6) 6) =+79 6) ) 6 6) =+94. Die ursprüngliche Definition des Potenzbegriffes ist nur für ganzzahlige positive Eponenten sinnvoll, denn eine Zahl a kann wohl mal, aber nicht )mal als Faktor in einem Produkt auftreten. Es erweist sich jedoch für viele Probleme als nützlich, auch Potenzen mit dem Eponenten 0 sowie Potenzen mit ganzzahligen negativen Eponenten zuzulassen. Definition: Für alle a R\{0} und n N gilt a 0 =.7) a n = a n.8) Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
Beispiele:. Potenzen mit ganzzahligen Eponenten 99.4 Es ist 0,00 7) 0 =. Man darf bei der nullten Potenz einer Zahl nicht versuchen, deren Wert mit Hilfe der ursprünglichen Definition.) erklären zu wollen. Hier ist es notwendig, dass man die Definition.7) dieser Potenz kennt und sie sinngemäß anwendet.. Welchen Wert besitzt die Potenz 0,? Lösung: Die Rechnung gestaltet sich besonders einfach, wenn man statt des Dezimalbruches 0, den echten Bruch /4 verwendet: 0, = 4 ) = Ergebnis: 0, = 64. ) = 4 64 = 64.6 Man berechne z = 0 + 0 + +! Lösung: 0 = 0 nach.), 0 = nach.7), = und = / = / nach.8), so dass z = 0 + + + = 6,0 wird... Potenzgesetze... Addition und Subtraktion von Potenzen Für Summen und Differenzen von Potenzen lassen sich keine allgemeingültigen Rechenregeln angeben. Da sich nur gleichartige Glieder addieren bzw. subtrahieren lassen, gibt es für Ausdrücke wie a n +b m, aber auch für a n +b n keine Vereinfachungsmöglichkeiten. So lässt sich beispielsweise 4 + 4 nicht zu +) 4 zusammenfassen, denn es ist 4 + 4 = 6 +8 = 97, dagegen ist + ) 4 = 4 = 6. Umgekehrt ist natürlich auch i. allg. a + b) n a n + b n, was beispielsweise bereits von der binomischen Formel a + b) = a + ab + b her bekannt ist. Der Leser überlege sich, unter welchen Bedingungen a + b) n = a n + b n gilt. Für die Addition und die Subtraktion von Potenzen gilt demnach die Regel: Potenzen lassen sich nur dann addieren bzw. subtrahieren, wenn sie sowohl in ihren Basen als auch in ihren Eponenten übereinstimmen. Beispiele:.7 a n + b n c n + a n 7b n + c n soll vereinfacht werden. Lösung: Nach dem zuletzt Gesagten lassen sich in dieser Summe jeweils nur die Glieder mit a n,diemitb n und die mit c n für sich zusammenfassen, so dass a n + b n c n + a n 7b n + c n = a n b n = a n b n ) wird. Dieses Ergebnis darf jedoch keinesfalls weiter zu a b) n zusammengefasst werden! Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
00 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen.8 Man vereinfache 7 + ) 7 8 + ) 8 7 ) + 8 )! Lösung: Unter Beachtung von.4) wird 7 + ) 7 8 + ) 8 7 ) + 8 ) = 7 7 8 + 8 + 7 8 = 7 8 Man beachte den Unterschied zwischen + ) 8 und + 8 )! Im ersten Falle ist die negative Zahl ) in die achte Potenz zu erheben. Das Ergebnis wird positiv. Bei 8 ) ist nur zu potenzieren, und erst dann ist dieser Potenz das negative Vorzeichen zuzuordnen. Es entsteht also hier ein negatives Resultat.... Multiplikation und Division von Potenzen Für die Multiplikation und Division von Potenzen gibt es vereinfachende Regeln, wenn Potenzen mit gleichen Basen oder aber Potenzen mit gleichen Eponenten multipliziert oder dividiert werden sollen. Soll beispielsweise das Produkt a m a n gebildet werden, so ist dies gleichbedeutend mit a m a n = a } a a {{ a a} a } a a {{ a a} m Faktoren a n Faktoren a Insgesamt entstehen also m + n Faktoren a, so dass a m a n zusammengefasst werden kann zu a m a n = a m+n. Potenzen mit gleichen Basen können dadurch miteinander multipliziert werden, dass man die gemeinsame Basis mit der Summe der Eponenten potenziert. a m a n = a m+n.9) Entsprechend gilt für die Division: Potenzen mit gleichen Basen können dadurch durcheinander dividiert werden, dass man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Eponenten potenziert. a m a = n am n.0) Die Formel.0) kann angewendet werden unabhängig davon, ob m > n, m = n oder m < n ist. Prüfen Sie dies bitte für diese drei möglichen Fälle nach! Soll a m ) berechnet werden, so erhält man bei Anwendung von.9) a m ) = a m a m = a m+m = a m. Verallgemeinert man dies auf beliebige Potenzen von a m, so folgt: Eine Potenz kann potenziert werden, indem man die Basis mit dem Produkt der Eponenten potenziert. a m ) n = a mn.) Genau so wichtig wie die Rechengesetze für Potenzen mit gleichen Basen sind die Rechengesetze für Potenzen mit gleichen Eponenten. Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
Wenn a b berechnet werden soll, dann bedeutet dies a b = a a a) b b b).. Potenzen mit ganzzahligen Eponenten 0 Ordnet man die Faktoren auf der rechten Seite dieser Gleichung um, so kann man dafür auch schreiben. a b = a b a b a b Diese Vorgehensweise lässt sich ohne weiteres verallgemeinern, so dass die folgenden beiden Regeln formuliert werden können: Potenzen mit gleichen Eponenten kann man multiplizieren, indem man das Produkt der Basen mit dem gemeinsamen Eponenten potenziert. a n b n = ab) n.) und Potenzen mit gleichen Eponenten kann man durcheinander dividieren, indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamen Eponenten potenziert. a n a ) n b =.) n b Beispiele:.9 Es soll das Produkt 0, 8 mit möglichst geringem Rechenaufwand ermittelt werden. Lösung: Löst man die Aufgabe ohne Kenntnis der Potenzgesetze, so muss man zunächst die beiden Potenzen 0, und 8 berechnen und die Zwischenergebnisse danach miteinander multiplizieren. Führen Sie diese Rechnung bitte selbständig durch, damit Sie erkennen, wieviel Arbeit zu ihrer Bewältigung erforderlich ist. Beachtet man jedoch, dass sich die Aufgabe nach.9) und.) auch in der Form 0, 8 = 0, 8 8 = 0, 8) 8 schreiben lässt, dann wird 0, 8 = 8 = 64. Dieses Beispiel verdeutlicht erneut, wie wichtig es ist, die mathematischen Gesetzmäßigkeiten nicht nur formal zu kennen, sondern sie zu beherrschen und in ihrer vollen Bedeutung anwenden zu können..0 In den Brüchen a) a m b n c p d q b) + y y sollen die negativen Eponenten beseitigt werden. Lösung: a) Mit Hilfe von.8) können die Potenzen mit negativen Eponenten als Brüche geschrieben werden: a m b n c p d q = a m b n c p. d q Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
0 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Nach Beseitigung der Doppelbrüche folgt hieraus a m b n c p d q = cp d q a m b n. b) Auch hier werden zuerst die Potenzen mit negativen Eponenten in Brüche umgeschrieben: + y y = + y + y = y y y y Durch Beseitigung der Doppelbrüche erhält man + y y = y + ) y y ). Aus den letzten beiden Beispielen ist die folgende Regel für die Vereinfachung von Brüchen, in denen Potenzen mit negativen Eponenten auftreten, erkennbar: Kommen im Zähler im Nenner) eines Bruches Potenzen mit negativen Eponenten als Faktoren vor, so dürfen diese Potenzen mit dem entsprechenden positiven Eponenten in den Nenner in den Zähler) gebracht werden. Für Potenzen mit negativen Eponenten, die in Brüchen als Summanden auftreten, lässt sich keine ebenso einfache Rechenregel angeben. Beispiel: a ) m. Wie lassen sich Ausdrücke der Form vereinfachen? b Lösung: Nach.) ist a m a = b) m b m, wofür nach der zuletzt formulierten Vereinfachungsregel a m b = b) m ) m b a m = a geschrieben werden kann. Aus Beispiel.) folgt die Regel: Wenn ein Bruch mit einem negativen Eponenten potenziert werden soll, dann kann man auch den Kehrwert des Bruches mit dem entsprechenden positiven Eponenten potenzieren. Beispiele: y ) 7. Der Bruch u 4 ν n soll so vereinfacht werden, dass keine negativen Eponenten mehr auftreten. Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
. Potenzen mit ganzzahligen Eponenten 0 Lösung: Es bieten sich mehrere Lösungswege an. So kann man zunächst den negativen Eponenten 7 beseitigen, indem man den Kehrwert des Bruches mit 7 potenziert. Auf diese Weise entsteht y ) 7 u 4 ν n ) +7 u 4 ν n = y. Nach.) wird daraus y ) 7 u 4 ν n = 7 4 ν 7n 7 u 8 y. Anderer Lösungsweg: y ) 7 u 4 ν n = 7 4 y 7 u 8 ν 7n = 7 4 ν 7n 7 u 8 y. Vollziehen sie diesen zweiten Lösungsweg nach, und überlegen Sie bei jedem einzelnen Schritt, welche Potenzgesetze bzw. Vereinfachungsregeln angewendet worden sind. Vielleicht finden Sie weitere Möglichkeiten, den gegebenen Bruch der Aufgabenstellung entsprechend umzuformen.. Der Ausdruck {[a 0 + b ) ] 0 } 6 soll so weit wie möglich vereinfacht werden. Lösung: Man kann die ineinander geschachtelten Klammern von innen nach außen auflösen, aber auch von außen nach innen. Würde man von innen nach außen gehen, so müsste man zuerst das Binom a 0 + b in die dritte Potenz erheben, um danach von diesem Zwischenergebnis die nullte Potenz bilden zu können. Unabhängig davon, was vorher berechnet worden ist, als Ergebnis wird man erhalten vgl..7)!). Hätte man dagegen sofort erkannt, dass hier von einem komplizierter aufgebauten Ausdruck die nullte Potenz berechnet werden soll Vorgehensweise von außen nach innen), so hätte man sofort das Ergebnis {[a 0 + b ) ] 0 } 6 = 6 = notieren können. Fazit: Es lohnt sich, zuerst eine Weile darüber nachzudenken, welcher wohl der günstigste Lösungsweg sein könnte, statt sofort darauf loszurechnen, wie es einem gerade in den Sinn kommt. Aufgaben:. Die folgenden Sätze sind mit den Variablen a,b,m und n a,b R\{0},m,n N) zuschreiben. a) Eine Potenz mit der Basis a und negativem Eponenten m ist eine andere Schreibweise für den reziproken Wert der Potenz mit positivem Eponenten:... b) Faktoren, die mit negativen Eponenten im Zähler Nenner) auftreten, können mit entsprechenden positiven Eponenten in den Nenner Zähler) gebracht werden:... c) Die nullte Potenz jeder von 0 verschiedenen) Zahl hat den Wert :... d) Potenzen mit gleicher Basis a werden multipliziert, indem man die Eponenten addiert:... e) Potenzen mit gleicher Basis b werden dividiert, indem man die Eponenten subtrahiert:... f) Potenzen werden potenziert, indem man die Eponenten multipliziert:... g) Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden einzelnen Faktor potenziert:... h) Ein Bruch wird potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert:... Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
04 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Bei den Aufgaben. bis.4 sind die gegebenen Terme bzw. die Ergebnisse mit positiven Eponenten darzustellen.. a) a b) c) a d) b. a) a b b) b c c) 4 4 y d) 6 y.4 a) a + b) b) + y) c) + y) d) + y. a) a b) b c) 4 d) y.6 a) 0 4y b) 4 y c) 7a b + y) a,b N) d) b a 4.7 a) b) a 0 a c) b s b s s N) d) 6 4.8 a).9 a) 6 4.0 a) b) a a c) b s b s s N) d) 4 6 b) ab a b c) 6 y 4 y d) 0 y y y z 4 a b c y z 4 b) a 6 b 4 c c) y 0 z 4 y z d) 440 y z 6 y 4 z 7. a) 0 4 6 6 b) ) 0 6) 6) c) ) 4 ) 4 d) ) 7 0 8 6) 0. a) a b a : b b b) abc a b : 0ab c c) a b : 4 b a a 4 6 d) y : 9 y 8 y. a) a ) 0 b) a 0 ) c) b ) d) ab ).4 a) ) b) y) 4 c) ) d) ). a) ab) b) y) c) y ) d) 0 y ).6 a) a b) a b) y ) z c) 4 4 y ) y d) y ) 4 4.7. a) y ) y ) b) a ) a ) c) ) ) d) s ) s ).8 a ) ) ) ) a) b) c) d) b 4 y.9 a) 0, b) 0, c) 0, d) 0,06 [ ) ] [.0 a) [0,) ] b) [ 0,) ] c) d) ) ]. ) ) 9 a) b) ) ) ) 4 ) 4 c) d) 4 ) 0 4 9 6. ) y ) ) a ) ) 6 ) ) a) b) y a c) d) 4 y y ) ) Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
. Potenzen mit ganzzahligen Eponenten 0. a) [ ) ] : a ) b.4 a) y :. a) ) b) ) y ab 4a ) 4 : 6 y) 9 a 7 b ) b) a ) c) a b) ) ab a b ) : a b ) ) 7y 4 : y a + b)0 a + b a + b) b) a + b c) y ) d) y + y { [ y) a.6 a) a b ) a b) b) a b ) 4 a + b) 4 c) ) ) b b ab 4.7.8 [ 8 ) ] : [ b ] : a y) [ 4 9 4 ] ) + ) [ a b ) y) 4 : 9a b ] + y) ] } 7.9.0....4 [ a + b ) b 4 a 4 ) a b ) ] + a b a 4 b 6 a b [ + y ) y ) 4 y 4 ) ] + + y { [ y a b) y y ] } a b ) 6 y) + y) a + b) 6 : y) 4 { [ p q p q ] } [a b ) ] a + b) a b) p + q) :a + b) 4 { [9a + b) y ) ] } a) a y ) a b) : y) [a + b)a b) ] y) b { [ a + ab + b ] [ ) 8a ] } + y)a b) 4a y) : 9b a b ) 0 8[b y )] aa b ) 4. Die gegebenen Terme sind als Produkt darzustellen a) a b b) y y c) 4 a b d) a + b a b.6 Die Zahlen 999, 99 9,9 99,9 9 ) 9,9 9)9 sind der Größe nach zu ordnen. Dabei sollen keine technischen Rechenhilfsmittel Taschenrechner, Computer) verwendet werden. Wo dies möglich ist, soll auch abgeschätzt werden, wieviele Ziffern nötig wären, wenn man die Zahl vollständig niederschreiben wollte. Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
06 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. Potenzen mit gebrochenen Eponenten.. Die Umkehrungen der Potenzrechnung Kennt man von einer Additionsaufgabe a + b = c nur einen der beiden Summanden, also a oder b, jedoch die Summe c, so führt die Bestimmung des zweiten Summanden stets auf eine Subtraktionsaufgabe, unabhängig davon, ob der erste oder der zweite Summand gegeben ist: b = c a a = c b. bzw. Genauso liegen die Verhältnisse bei der Multiplikation. Sind bei a b = c einer der beiden Faktoren a oder b sowie das Produkt c bekannt, so führt dies a; b 0 vorausgesetzt) bei der Berechnung des fehlenden Faktors in jedem Falle auf eine Divisionsaufgabe: b = c : a a = c : b bzw. Addition und Multiplikation besitzen demnach jeweils nur eine Umkehrrechenart. Dies ist darin begründet, dass sowohl für die Addition als auch für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt, wodurch beide Summanden bzw. Faktoren innerhalb der Addition bzw. Multiplikation gleichberechtigt sind. Bei der Gleichung a n = b ) handelt es sich um eine Aufgabe der Potenzrechnung, wenn bei bekannter Basis a und bekanntem Eponenten n der Potenzwert b aus den beiden gegebenen Größen berechnet werden soll. Da nun für die Potenzrechnung das Kommutativgesetz nicht gilt, ergeben sich aus der Gleichung ) zwei unterschiedliche Fragestellungen, die auch zwei unterschiedliche Lösungen erfordern:. Es können der Potenzwert b und der Eponent n bekannt sein, und es soll die zugehörige Basis a so bestimmt werden, dass die Gleichung ) erfüllt ist.. Es sind der Potenzwert b und die Basis a bekannt, und es soll der Eponent n ermittelt werden, für den dann ) gilt. Das erste Problem führt auf eine Aufgabe der Wurzelrechnung, im anderen Falle auf eine Aufgabe der Logarithmenrechnung. Wurzel- und Logarithmenrechnung sind die beiden Umkehrrechenarten der Potenzrechnung. Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
. Potenzen mit gebrochenen Eponenten 07 Potenzrechnung Bekannt: Basis a Eponent n Gesucht: Potenzwert b a n = b Wurzelrechnung Bekannt: Eponent n Potenzwert b Gesucht: Basis a Logarithmenrechnung Bekannt: Basis a Potenzwert b Gesucht: Eponent n.. Grundbegriffe der Wurzelrechnung Wenn aus der Potenzgleichung a n = b bei bekanntem Eponenten n und bekanntem Potenzwert b mit n N\{0} und b 0die Basis a ermittelt werden soll, dann wird die zugehörige Rechenart Wurzelrechnung oder Radizieren genannt. Die Auflösung der Gleichung ) nach a schreibt man in der Form a = n b..4) Dabei nennt man b den Radikanden, n den Wurzeleponenten und a den Wurzelwert oder kurz die n-te Wurzel ) Die beiden Gleichungen ) und.4) drücken also denselben Zusammenhang zwischen a, b und n aus; sie sind nur nach unterschiedlichen Größen aufgelöst. Damit lautet die Definition: Die n-te Wurzel aus b 0 ist diejenige nicht negative Zahl a, deren n-te Potenz den Wert b ergibt, wobei gelten soll: a R, n N\{0}. ) Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
08 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Aus dem Zusammenhang, der zwischen der Wurzelrechnung und der Potenzrechnung besteht, lässt sich das Potenzieren als Proberechnung für eine Aufgabe der Wurzelrechnung verwenden. So kann man beispielsweise die Richtigkeit von 04 = 4 dadurch bestätigen, dass man zeigt, dass 4 = 04 ist. Bei der zweiten Wurzel hat es sich wegen ihres häufigen Auftretens eingebürgert, den Wurzeleponenten wegzulassen. Es ist also 4 dasselbe wie 4. Zweite Wurzeln werden übrigens auchquadratwurzeln, dritte Wurzeln auch Kubikwurzeln genannt. Die Quadratwurzeln ergeben die Länge der Seite eines Quadrates mit dem Flächeninhalt a an, die Kubikwurzeln die Kantenlänge eines Würfels lat.: cubus) mit dem Volumen a. Auf Grund der Definition der n-ten Wurzel kann man wegen der Forderung, dass b 0 sein soll, keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen. Auch der Wurzelwert darf nicht negativ sein, denn es wird gefordert, dass die n-te Wurzel aus der Zahl b diejenige nichtnegative Zahl sein soll, deren n-te Potenz b ergibt. Diese beiden Forderungen sind notwendig, um die Wurzelrechnung zu einer eindeutigen Rechenart zu machen. Würde man nämlichzulassen, dass die n-te Wurzel einer Zahl auch negativ sein darf, so würde zum einen gelten 4 =+, denn +) = 4; zum anderen dürfte aber auch 4 = sein, denn auch ) = 4. Welcher Wirrwarr würde dann wohl entstehen, wenn beispielsweise Aufgaben wie 4+ 9 44 gelöst werden sollen. Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen könnte man formal berechnen, denn zunächst wäre gegen die Behauptung 64 = 4 nichts einzuwenden, weil 4) = 64 ist. Allerdings widerspricht das Ergebnis -4 der Forderung, dass die n-te Wurzel eine nichtnegative Zahl sein soll. Beispiele:.4 a) Es ist 4 096 = 4 096 = 64, denn 64 = 4 096. b) Es ist 4 096 = 6, denn 6 = 4 096. c) Es ist 4 4 096 = 8, denn 8 4 = 4 096. d) Es ist 6 4 096 = 4, denn 4 6 = 4 096. e) Es ist 4 096 =, denn = 4 096.. kann im Bereich der reellen Zahlen nicht gebildet werden, denn Wurzeln aus negativen Radikanden sind dort nicht zugelassen..6 Ist a 0, dann gilt m a mn = a n,dennesista n ) m = a nm Ferner ist n a mn = a m,dennesista m ) n = a mn..7 Für a 0 gelten die beiden Beziehungen m am = a und m a) m = a Prüfen Sie diese Formeln mit Hilfe der Beziehungen zwischen der Potenz- und der Wurzelrechnung bitte selbständig nach! Damit bestätigt sich noch einmal die wichtige Regel: Potenzieren und Radizieren mit dem gleichen Eponenten heben sich gegenseitig auf m a) m = m a m = a..) Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
Ferner beachte man, dass für geradzahlige Wurzeleponenten gilt m a) m = m a m = a m a m = a. Potenzen mit gebrochenen Eponenten 09 für a 0 und m N\{0}.6) für a R und m N\{0}.7) und schließlich seien noch die Sonderfälle m = m 0 = 0 für m N\{0}.8) erwähnt. a = a für a 0.9) Anmerkung zu Formel.9): Das Wurzelzeichen wird im allgemeinen weggelassen.).. Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Eponenten Der Potenzbegriff lässt in seiner ursprünglichen Bedeutung als abkürzende Schreibweise für Produkte mit lauter gleichen Faktoren nur Eponenten n mit n N\{0} zu. Wenn nun das Gesetz a m : a n = a m n für die Division von Potenzen mit gleichen Basen auch dann gelten soll, wenn n m ist, muss die Definition des Potenzbegriffes ein erstes Mal erweitert werden, indem der Gültigkeitsbereich für den Eponenten ausgedehnt wird auf n G. Die enge Verwandschaft zwischen Potenz- und Wurzelrechnung legt es nahe, eine zweite Erweiterung des Potenzbegriffes so vorzunehmen, dass auch Wurzeln in Form einer Potenz geschrieben werden können und dass man dann mit Wurzeln nach den gleichen Rechenvorschriften wie für Potenzen rechnen kann. Würde man beispielsweise a als Potenz von a mit einem zunächst noch unbekannten Eponenten schreiben: a = a, so müsste wegen a) = a = a auch a ) = a und damit a = a sein. Dies ist der Fall, wenn = oder = 0. ist. Damit erscheint es sinnvoll zu sein, a = a 0. zu definieren. Ähnliche Überlegungen führen zu der Definition: a m n = n a m für m,n N, n 0, a R, a 0..0) Es lässt sich zeigen, dass alle Rechengesetze für Potenzen mit ganzzahligen Eponenten auch für die Potenzen mit gebrochenen Eponenten gültig sind. Somit können folgende Wurzelgesetze formuliert werden:. Wurzeln lassen sich nur dann addieren bzw. subtrahieren, wenn sie sowohl in ihren Radikanden als auch in ihren Wurzeleponenten übereinstimmen.. Wurzeln mit gleichen Wurzeleponenten werden miteinander multipliziert durcheinander dividiert), indem man das Produkt den Quotienten) der Radikanden mit dem gemeinsamen Wurzeleponenten radiziert. Oder:. Die Wurzel aus einem Produkt Quotienten) ist gleich dem Produkt Quotienten) aus den Wurzeln der einzelnen Faktoren von Zähler und Nenner). n a n b = n a b.) Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
0 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen n a n b = n a b.) 4. Eine Wurzel kann potenziert werden, indem man den Radikanden potenziert. n a) m = n a m.). Eine Wurzel wird radiziert, indem die Wurzel mit dem Produkt der Wurzeleponenten gezogen wird. m n n a = m a = m n a.4) Schreiben Sie alle hier angeführten Wurzelgesetze zur Übung als Gesetze für Potenzen mit gebrochenen Eponenten und vergewissern Sie sich dadurch davon, dass die Wurzelgesetze genau den Potenzgesetzen in.. entsprechen. Beispiele:.8 Es ist u + 6 u 4 u 6 u = 6 u u. Nur Wurzeln mit gleichen Wurzeleponenten und gleichem Radikanden dürfen durch Addition bzw. Subtraktion zusammengefasst werden.).9 Es gilt i. allg. a + b a + b, denn a + b) = a + ab + b Probe für das Radizieren durch Potenzieren des Ergebnisses!). Unter welchen Bedingungen für a und b darf in der obigen Gleichung das Gleichheitszeichen geschrieben werden?.0 Der Ausdruck 7 7 4 + 7 soll soweit wie möglich vereinfacht werden. Lösung: Es hat den Anschein, als könne hier nichts vereinfacht werden, denn es treten zwar lauter Quadratwurzeln auf, aber die Radikanden sind alle voneinander verschieden. Betrachtet man jedoch die Radikanden genauer, so erkennt man, dass jeder ein Vielfaches von einer Quadratzahl ist. 7 7 4 + 7 = 6 4 6 + 9 = 6 4 6 + 9 = 6 4 4 + = 6 + = 4 Überprüfen Sie, welches der Wurzelgesetze.) bis.4) bei den einzelnen Lösungsschritten angewendet worden ist. 0. a soll vereinfacht werden. Lösung: Am einleuchtendsten wird die Umformung, wenn die Wurzel als Potenz mit gebrochenem Eponenten geschrieben wird. 0 a = a) ) /0 = a /0 = a /4 0 a = 4 a Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
. Potenzen mit gebrochenen Eponenten Bei in Wurzeln enthaltenen Potenzen darf man demzufolge die Eponenten dort, wo dies möglich ist, in ähnlicher Weise kürzen, wie man dies bei Zähler und Nenner eines Bruches tut. Auf diese Weise lassen sich manchmal Wurzeln mit großen Wurzeleponenten auf Wurzeln mit kleineren Eponenten reduzieren. So ist beispielsweise 4 4 096 = 4 = =,44 6...4 Das Rechnen mit Wurzeln In diesem Abschnitt soll eine Anzahl typischer Aufgaben aus der Wurzelrechnung gelöst werden. Dabei werden absichtlich die unterschiedlichsten Lösungswege Rechnen mit Wurzeln, Übergang zu Potenzen mit gebrochenen Eponenten usw.) angewendet. Es wird sehr empfohlen, zu jedem Beispiel eine Kontrollrechnung mit einer anderen Darstellung der Wurzeln durchzuführen. Beispiele:. Der Ausdruck 00 soll unter einer Wurzel zusammengefasst werden. Lösung: Es wird zunächst der vor der dritten Wurzel stehende Faktor / mit unter die Wurzel gebracht, wobei zu beachten ist, dass er dabei in die dritte Potenz erhoben werden muss. 00 = 00 = 00 = 4 Im letzten Ausdruck darf man die Reihenfolge des Radizierens vertauschen, so dass 4 00 = entsteht, woraus man schließlich 00 = =,9 9 0 erhält.. Der Wurzelausdruck soll so umgeformt werden, dass alles nur noch unter einer ein- zigen Wurzel steht. Lösung: Da hier mehrere Wurzeln mit lauter unterschiedlichen Wurzeleponenten vorkommen, empfiehlt es sich, alle Wurzeln in Potenzen mit gebrochenen Eponenten umzuwandeln und dann die zutreffenden Potenzgesetze anzuwenden. ) / / = = / /) / = /0 / = /0 / = 0 Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen.4 Das Produkt aus Summe und Differenz zweier Wurzeln a + b) a b) liefert, wenn man die dritte binomische Formel anwendet, ein Ergebnis, in dem keine Wurzel mehr vorkommt: a + b) a b) = a) b) a + b) a b) = a b.) Von dieser Formel wird beim Rationalmachen des Nenners Gebrauch gemacht. Dazu ist eine Vorbemerkung erforderlich. Beim Addieren und Multiplizieren natürlicher Zahlen entstehen immer wieder nur natürliche Zahlen. Man kommt also bei der Anwendung dieser beiden Rechenoperationen nicht aus dem vorgegebenen Zahlenbereich N der natürlichen Zahlen hinaus. Subtrahiert man dagegen beliebige natürliche Zahlen, so reicht der ursprüngliche Zahlenbereich nicht mehr aus, um alle möglichen Subtraktionsaufgaben lösen zu können. Der bisherige Zahlenbereich muss demzufolge erweitert werden um die Zahl 0 und den Bereich aller negativen ganzen Zahlen. Die Menge aller positiven und negativen ganzen Zahlen einschließlich der Zahl 0 bezeichnet man als den Bereich G der ganzen Zahlen. Die Division bringt es mit sich, dass auch der Bereich der ganzen Zahlen nicht ausreicht, um jede Divisionsaufgabe lösen zu können. Es macht sich eine erneute Erweiterung des Zahlenbereiches erforderlich, denn es kommen nun die gebrochenen Zahlen hinzu. Dabei spielt es keine Rolle, ob diese gebrochenen Zahlen als echte oder unechte Brüche oder aber als endliche oder unendliche periodische Dezimalbrüche dargestellt werden. Die Menge aller bisher genannten Zahlen wird als der Bereich P der rationalen Zahlen bezeichnet. Man sollte annehmen, dass es so viele rationale Zahlen gibt, dass zwischen ihnen kein Platz mehr für weitere Zahlen zur Verfügung stehen dürfte. Das ist jedoch nicht der Fall, denn es zeigt sich, dass beim Radizieren Zahlen entstehen können, die keine rationalen Zahlen sind. Auf den Beweis hierfür soll in diesem Buche nicht eingegangen werden.) Man bezeichnet Zahlen wie usw.alsirrationale Zahlen und fasst die beiden Mengen der rationalen und irrationalen Zahlen zusammen zum Bereich R der reellen Zahlen. Irrationale Zahlen sind stets als nichtperiodische unendliche Dezimalbrüche darstellbar, die für das praktische Rechnen genauso wie die periodischen Dezimalbrüche auf eine der Aufgabenstellung angepasste Anzahl von Dezimalstellen gerundet werden müssen. Verwendet man die Symbole der Mengenlehre, so lassen sich die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Zahlenbereichen wie folgt darstellen: N G P R. Beispiele:. Unter dem Rationalmachen des Nenners versteht man das Beseitigen von irrationalen Zahlen im Nenner eines Bruches. So ist beispielsweise die Berechnung von eine aufwendige Arbeit, wenn man keinen Taschenrechner zur Verfügung hat, einem jedoch der Zahlenwert von bekannt ist: =,44. Erweitert man dagegen den gegebenen Bruch mit, so dass im Nenner des Bruches nunmehr die ganze Zahl auftritt, so wird = = = 0,707. Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
.6 Der Nenner des Bruches. Potenzen mit gebrochenen Eponenten soll rational gemacht werden. Lösung: Damit die Wurzel im Nenner wegfällt, muss durch Erweitern des Bruches dafür gesorgt werden, dass im Radikanden der Wurzel eine fünfte Potenz entsteht. = = = =.7 Im Nenner des Bruches + sollen die Quadratwurzeln beseitigt werden. Lösung: Die Formel.) bietet die Möglichkeit, die beiden Wurzeln im Nenner des Bruches zu beseitigen; es muss mit erweitert werden. ) = + + ) ) = ) = ) = ) =. +.. Potenzen mit reellen Eponenten In diesem Kapitel wurde der Potenzbegriff von seiner ursprünglichen Bedeutung als Produkt mehrerer gleicher Faktoren Potenz mit ganzzahligem positiven Eponenten) immer weiter verallgemeinert. Es wurden ganzzahlige negative Eponenten und später auch noch gebrochene Eponenten eingeführt. Nun erhebt sich die Frage, ob es auch noch sinnvoll ist, von Potenzen mit reellen Zahlen als Eponenten zu sprechen, ob es also beispielsweise möglich sein wird, Potenzen wie zu berechnen. Da sich nicht als Bruch schreiben lässt, ist nicht als Wurzel darstellbar. Andererseits lässt sich jedoch mit beliebiger Genauigkeit durch Dezimalbrüche annähern, so dass man damit auch für immer genauere Werte erhalten kann. So ist < <, demnach muss = < < = 9 sein,,4 < <,, demnach muss,4 = 4,6 6 < <, =,96 sein,,4 < <,4, demnach muss,4 = 4,706 96 < <,4 = 4,78 96 sein,,44 < <,4, demnach muss,44 = 4,77 69 < <,4 = 4,7 89 8 sein, usw. Da die Eingrenzung von bis zu jeder gewünschten Genauigkeit vorangetrieben werden kann, lässt sich damit auch mit beliebig hoher Genauigkeit annähern. Man nennt diese Vorgehensweise Intervallschachtelung. Es gibt noch weitere mathematische Verfahren, Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
4 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen mit denen solche Zahlen mit Hilfe von Computern bis auf 000 und mehr Stellen genau berechnet werden können.) Es ist damit durchaus sinnvoll, auch Potenzen mit reellen Eponenten in die weiteren Betrachtungen mit einzuschließen. Sie lassen sich zwar nicht mehr so anschaulich deuten wie die Potenzen mit ganzzahligen Eponenten, aber sie besitzen dennoch besonders in der höheren Mathematik eine große Bedeutung. Die Potenzgesetze bleiben auch für diesen erneut erweiterten Potenzbegriff gültig...6 Zur Berechnung von Potenzen mit beliebigen Eponenten mit dem Taschenrechner Die meisten Taschenrechner besitzen eine Taste Y X, mit deren Hilfe sich Potenzen auf einfache Weise berechnen lassen, sofern der Eponent als ganze Zahl oder als Dezimalzahl gegeben ist. Beispiele:.8 Mit Hilfe des Taschenrechners soll.7 berechnet werden. Lösung: Die Tastenfolge. 7 Y X = führt zum Ziel. Ergebnis:,7 = 69,49..9 Man berechne mit dem Taschenrechner 8,7,. Lösung:EsmussdieTastenfolge 8. 7 Y X. +/ = eingegeben werden. Ergebnis: 8,7, = 0,064 6 8. Eine Taste für die Ermittlung von Quadratwurzeln ist auch auf dem billigsten Taschenrechner vorhanden. Viele Rechner besitzen auch Tasten zur Bestimmung von Kubikwurzeln. Weitere Wurzeltasten sind jedoch nicht zu finden. Sollen jedoch Wurzeln mit anderen Wurzeleponenten berechnet werden, dann hilft wiederum die Taste Y X, wenn man weiß hoffentlich ist das auch der Fall!), dass sich Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Eponenten schreiben lassen. Beispiele:.0 Mit dem Taschenrechner soll 7 7,08 berechnet werden. Lösung: Geht man davon aus, dass man eine siebente Wurzel auch als Potenz mit dem Eponenten /7 schreiben kann, so ergibt sich folgender Lösungsweg 7. 0 8 Y X 7 /X = Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
. Potenzen mit gebrochenen Eponenten mit dem Ergebnis 7 7,08 =,60 006.. Welchen Zahlenwert besitzt 6,4 7? Lösung:Esist 6,4 7 =,4 7 6. Wenn nur ein Taschenrechner zur Verfügung steht, der keine Registertauschtaste sie ist meistens mit X Y gekennzeichnet) besitzt, dann muss man zunächst den Wurzeleponenten berechnen, ihn speichern und dann mit diesem Wert wie im letzten Beispiel verfahren. Ist eine Registertauschtaste vorhanden, so kann man sich das Zwischenspeichern des Wurzeleponenten ersparen und wie folgt vorgehen: 7 / 6 = Y X. 4 X Y = Ergebnis: 6,47 =,777 0.. Man berechne vgl. Abschnitt..). Lösung: Y X = Ergebnis: = 4,78 804.. Man berechne e π. Lösung: e Y X π +/- = Ergebnis: e π = 0,04 9. Die bei den Lösungen angegebenen Tastenfolgen für den Taschenrechner sind nicht die einzigen Lösungsmöglichkeiten für die Aufgabenstellungen. In Abhängigkeit vom vorhandenen Taschenrechnertyp sollte jeder die für ihn günstigste Lösungsvariante ausprobieren. Aufgaben Die Ausdrücke sind als Potenzen mit gebrochenem Eponenten darzustellen..7 a) 7 b) c) 4 d) 4 9.8 a) a b) b y c) a + b d) 4 y).9 a) b) 4 c) d) y z 6 a + b Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
6 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Mit dem Wurzelzeichen ist zu schreiben:.40 a) b) c) 7 0, d) 0,8.4 a) a 7 b) y c) 8 d) ) 8.4 a) 4 b).a c) ) a d) + y) Der Radikand ist durch teilweises partielles) Wurzelziehen zu vereinfachen:.4 a) b) 48 c) 4 d) 88 Anleitung: = 6 = 6 = 4 ; 48 = 6....44 a) 08 b) 8 c) 0 d) 7.4 a) b) 48 c) 4 d) 88.46 a) 08 b) 8 c) 0 d) 7.47 a) a b) 4 7 y c) 4 6 y d) a + b).48 a) 4 y b) 4 y c) y 7 d) 96a 0 b c Der vor der Wurzel stehende Faktor ist unter die Wurzel zu bringen:.49 a) b) 4 c) 8 d) 4.0 a) b) 4 0. c) 4 0. d) 0.04. a) b) y z c) + y) z d) z y. a) b) a b c) 6 b a d) a b c 7 c a 8 b. a) a b) 4 a + b a b) b) u + v) uv u + v) c) y) + y + y y + y.4 a) ) + b) ) + c) ) + 8 8 Bei den Aufgaben. bis.89 ist soweit wie möglich zu vereinfachen:. a) + + 7 b) + 6 + 4 Anleitung: + 4 + = + +....6 a) + 8 + 4 0 b) 4 + 4 8.7 a) + 4 + 4 0 b) + 40 +.8 a) 8 008 + 8 847 b) 7 + 6 00 Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
. Potenzen mit gebrochenen Eponenten 7.9 a) 7 + ) b) 0 + ) c) 8 + 7 ) 7.60 a) 7 + 9) b) 4 00) c) 9 49) 7.6 a) + 7 7 ) 48 b) 0,9 4,9 +,) 0.6 a) 4 ) ) b) 00 0,8 7,9 0 ) ).6 a) + b) + ) ).64 a) ) ) + b) ) ) +.6 a) + ) ) b) + ) ) ) ) + ) ).66 a) + ) ).67 a) + 8 + ).68 a) 8 + 0 ).69 a) 6 + 4 : ) b) 08 48 ) : b) 8 9 b) + 7 7 ) b) + + ) : ) c) 40 + 49 ) : c) 4 7 : 7 : 7.70 a) 4 b) 4 c) 4 d) 9 9.7 a) 4 6 4 b) c) 6 6 d) 7 7 70 4.7 a) b) 4 c) d) 7 7.7 a) 9 y 8 y d) ab ab) 6 b) + 6 ab) c) 4 4 +.74 a) : 6 b) : c) 7 7: 9 7 d) : 0.7 a) 4 4: 6 8 b) 6 7 : 4 9 c) 6 : 8 d) 0 0 : 4.76 a) : b) 7 : c) 4 : d) :.77 a) 7 : b) 0 ) 6 ) c) 8 + ) + ) 0.78 a) 6 4 b) 0 7 c) 6 88 6 6 8 6 6.79 a) 4 4 b) c) 4 ) ) ) ) 4.80 a) b) c) d) 7 Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
8 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen ) ).8 a) + b) c) 7 +.8 a) ) ) ) b) 7 c) 7.8 a) 9 b) 6 c) 64 d) 8.84 a) 8 b) 7 c) ) 64 d) 6 64 4666.8 a) b) 9 c) d).86 a) 9 b) 4 4 c) 6 7 d) n n n.87 a) 4 b) 744 c) 8 d) 7.88 a) b) c).89 a) 6 b) 0. 0. 0. c) 4 0. 0. 0. ) Der Nenner ist rational zu machen: 8 b) 49 c) 7.90 a) b.9 a) b) a 7.9 a) b) b a c) c).9 a) + 4 b) c).94 4 a) 7 7 b) +.9 Es ist zu zeigen: n a + a a n = a n Der Nenner ist rational zu machen:.96 a) 4 b) 7 4.97 a) b) 4 7 7 a d) a d) + d) 0 d) 7 a 7 a 4 a 8a 4 4 + 7 c) 7 + 7 7 + d) 7 7 7 a a n c) 0 + 0 d) ) + 0 c) y + y d) +.98 a) 8 y + 6y y b) 7 89 + 44 4.99 a) ) + + ) ) b) + 7 + 7.00 a) + + ) b) + + ) ) Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-
.0 y a y b 7y 4 y a y b y 4 y ab ).0 a) 7 b ) ) 4 4 a b + 7 ab a a b b) ) y + ) ) y y 6 y 6.0.04 a + ab + b ) a + b) 6 7 a b a + b) 7 : a b a b ) [ 9 ) + ) : + ) 4 + ) 7 : ) a + b a b 4 + ). Logarithmen 9.0 Geben Sie eine Intervallschachtelung mindestens 4 Intervalle) für folgende Potenzen an: a) 0 b) c) 8 7.06 Berechnen Sie mit Hilfe des Taschenrechners: a) 7 b) 6 7 c) 8 4 4.07. Berechnen Sie folgende Ausdrücke ohne Taschenrechner: a) 8 b) 8 ) c) 8 7 8.08 Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: a 7 a 7 a) a b) a 6 ) 8 4 a 7. Logarithmen.. Begriffserklärungen c) a Im Abschnitt.. wurde bereits ausführlich darauf eingegangen, dass die Potenzrechnung zwei Umkehrungsrechenarten besitzt, die Wurzel- und die Logarithmenrechnung. Bei der Logarithmenrechnung handelt es sich darum, für eine bekannte Basis a und einen bekannten Potenzwert b einer Potenz a n = b den Eponenten n so zu bestimmen, dass die Gleichung a n = b erfüllt wird. Dies führt zu der Definition: Der Logarithmus einer positiven Zahl b zur Basis a ist derjenige Eponent n,mit dem die Basis a zu potenzieren ist, um b zu erhalten. n = log a b a n = b.6) mit a,b,n R, a > 0, a, b > 0. a 8 ] 4 Verlag Harri Deutsch C. Gellrich, R. Gellrich: Mathematik Ein Lehr- und Übungsbuch, Band ISBN 978--87-79-