Theoretische Mechanik Übungen R. Kirschner, ITP, Univ. Leipzig 1-1 1. Betrachten Sie ein System aus 4 Massenpunkten, ( r i,m i ),i = 1,2,3,4, das sich in trivialer geradlinig-gleichförmiger Bewegung befindet. a) Formulieren Sie die kartesischen Komponenten der Punkte in Zeitabhängigkeit. Betrachten Sie ein zweites System aus 4 Punkten, das aus dem ersten durch eine Transformation hervorgeht, r i = Φ i( r i,t), i = 1,2,3,4. b) Geben Sie Φ i explizit an bei räumlicher Translation und bei spezieller Galileischer Transformation. Berechnen Sie die resultierenden Positionen mit Zeitabhängigkeit. c) Prüfen Sie, daß die resultierende Bewegung auch trivial geradlinig-gleichförmig ist. Prüfen Sie, daß die geometrische Form (Abstände und Winkel) des von den 4 Punkten gebildeten Tetraeders bei der Transformation unverändert bleibt. 2. Betrachten Sie ein System aus 4 Massenpunkten, ( r i,m i ),i = 1,2,3,4, und ein zweites, das aus dem ersten durch eine Drehung hervorgeht, r i = Φ i( r i,t), i = 1,2,3,4. a) Geben Sie Φ i explizit an, wenn es sich um die Drehung um die dritte Achse eines kartesischen Koordinatensystems handelt; der Drehwinkel ist α. b) Prüfen Sie die Erhaltung der Form des von den Punkten gebildeten Tetraeders. Übungen 2-1 1. Untersuchen Sie die eindimensionale Bewegung im Potential U(x) = U 0 cosh 2 ax
für alle möglichen Energiewerte. a) Bei welchen Energiewerten ist die Bewegung finit oder infinit? b) Formulieren Sie die Näherung kleiner Schwingungen um den Punkt stabilen Gleichgewichts x = 0. Geben Sie die Bewegungsgleichung in dieser Näherung an. Bestimmen Sie die Periode der Schwingung. Finden Sie die allgemeine Lösung. c) Berechnen Sie die Periode der finiten Bewegung ohne Näherung. Vergleichen Sie das Näherungsergebnis für die Periode aus a) mit dem exakten Ergebnis mit Blick auf die Energie. Hinweise: Die Substitution 1+ U 0 E y = sinh(ax) überführt das Integral in der impliziten Lösung in dy const 1±y 2 (wobei das Vorzeichen mit dem von E übereinstimmend zu wählen ist). Zur Berechnung der Periode ist nützlich, dass das letzte Integral bei der Wahl des negativen Vorzeichens und der Integrationsgrenzen 1... + 1 in dem Wert π resultiert. 2. nicht zur Abgabe Formulieren Sie die Bewegungsgleichung für den gedämpften harmonischen Oszillator. Finden Sie die allgemeine Lösung für die freien Schwingungen und daraus die Lösung, welche die Anfangsbedingungen x(0) = 0,ẋ(0) = v 0 erfüllt. Übungen 1. Ein Asteroid kommt im Perihel der fast kreisförmigen Bahn der Erde (Sonnenabstand R E ) nahe und erreicht im Aphel die fast kreisförmige Bahn des Saturns (Sonnenabstand R S ). Berechnen Sie aus den Angaben die Umlaufzeit des Asteroiden und seine Geschwindigkeiten im Perihel und im Aphel.
Berechnen Sie die Perihelverschiebung δϕ, die durch eine kleine Abweichung δu(r) vom Newtonschen Gravitationspotential verursacht wird, U(r) = U N (r)+δu(r), U N (r) = kmm r. a), b). δu(r) = ǫ r 3 U(r) = kmm r 1+ǫ Übungen 2-3 1. Abgabe am Donnerstag, 13.11.2014, 11.00 Uhr Ein Objekt wird weit entfernt vom Sonnensystem entdeckt und seine Geschwindigkeit v 0 wird gemessen. Es wird festgestellt, dass seine Bewegung auf die Sonne gerichtet ist, so dass bei gedachter geradliniger Fortsetzung der minimale Sonnenabstand ρ wäre. Berechnen Sie den minimalen Sonnenabstand, der wirklich zu erwarten ist, die Geschwindigkeit in diesem Punkt und die Richtung, in welcher das Objekt das Sonnesystem verlassen wird, bezogen auf die Richtung v 0. Zwei Himmelskörper mit den Massen m 1 und m 2 bewegen sich umeinander so, dass der Einfluss anderer Massen gering ist. Der minimale und der maximale Abstand wurde gemessen. Geben Sie die Bahnkurven an, die jedes der Körper um den gemeinsamen Schwerpunkt beschreibt. Übungen 2-4 1. Abgabe am Donnerstag, 20.11.2014, 11.00 Uhr Die Bewegung eines Massepunktes ist auf die Oberfläche x 2 +y 2 b 2 z 2 = 0 eingeschränkt und er bewegt sich dort reibungsfrei im Schwerefeld, das der z-achse entgegengerichtet ist. Die Geometrie ähnelt der eines vertikal aufgestellten Trichters. a) Formulieren Sie die Bewegungsgleichungen mit Zwangskräften in kartesischen Koordinaten.
b) Formulieren Sie die Bindung in sphärischen Koordinaten. Verwenden Sie diese, um geeignete verallgemeinerte Koordinaten zu wählen und damit die Lagrange-Funktion und die Bewegungsgleichungen aufzustellen. c) Zeigen Sie, dass die Drehimpulskomponente parallel zur vertikalen Achse erhalten bleibt. Nutzen Sie diesen Erhaltungssatz, um das Problem in zwei Variablen auf ein eindimensionales zu reduzieren. d) Geben Sie die Lösung implizit an. Nutzen Sie dafür den Energiesatz. Die Bewegung eines Massepunktes ist auf eine Ebene eingeschränkt, die mit den kartesischen Koordinaten x, z parametrisiert wird und im Schwerefeld so aufgestellt ist, dass die z-achse vertikal verläuft. Eine weitere Einschränkung ist durch die Bindung Φ(x,z) = z f(x) = 0 gegeben. a) Formulieren Sie die Bewegungsgleichungen mit Zwangskräften in den kartesischen Koordinaten. b) Wählen Sie die Variable x als verallgemeinerte Koordinate und stellen Sie dafür die Lagrange-Funktion und die Bewegungsgleichung auf. c) Betrachten Sie den Spezialfall f(x) = tanα x und erklären Sie, wie dieser mit der elementaren Aufgabe der schiefen Ebene zusammenhängt. Übungen 2-5 1. Abgabe am Donnerstag, 27.11.2014, 11.00 Uhr Betrachten Sie ein sphärisches Pendel, dessen Länge sich nach dem Gesetz R(t) = R 0 Vt ändert. a) Formulieren Sie die Bewegungsgleichungen mit Zwangskraft in sphärischen Koordinaten. b) Formulieren Sie die Lagrange-Funktion in den verallgemeinerten Koordinaten. Reduzieren Sie das Problem auf ein eindimensionales im Winkel θ. c) Erklären Sie, wie die Zwangskraft aus der Lösung θ(t) zu berechnen ist. d) Wie kann die Arbeit berechnet werden, die beim Verkürzen der Pendellänge zu leisten ist? Die Bewegung zweier Massepunkte ist auf eine Ebene eingeschränkt, die mit den kartesischen Koordinaten x, z parametrisiert wird und im Schwerefeld so aufgestellt ist, dass die z-achse vertikal verläuft. Eine weitere Einschränkung ist durch die Bindungen Φ 1 = x 2 1 +z2 1 R2 1 = 0, Φ 2 = (x 2 x 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 R 2 2 = 0
gegeben. a) Formulieren Sie die Bewegungsgleichungen mit Zwangskräften in den kartesischen Koordinaten. b) Wählen Sie geeignete verallgemeinerte Koordinaten und stellen Sie dafür die Lagrange- Funktion auf. Übungen 3-1 1. Abgabe am Donnerstag, 04.12.2014, 11.00 Uhr Betrachten Sie ein System aus N Teilchen ( r a,m a,a = 1,...,N), dessen Kräfte ausschließlich Potentialkräfte sind. a) Welche Einschränkungen ergeben sich aus dem Galileischen Relativitätsprinzip für die Form der Potentialfunktion U( r 1,..., r N,t)? b) Stellen Sie die Lagrange-Funktion zusammen und zeigen Sie aus ihrer Form, daß der Gesamt-Impuls erhalten ist. c) Untersuchen Sie das Verhalten der Lagrange-Funktion, insbesondere der darin enthaltenen kinetischen Energie, bei speziellen Galilei-Transformationen. Zeigen Sie dabei, daß diese Transformationen tatsächlich Symmetrien darstellen. d) Zeigen Sie, daß aus der Galileischen Symmetrie des abgeschlossenen N-Teilchen-Systems mit dem Noetherschen Satz 10 Erhaltungsgrößen folgen. e) Formulieren Sie die zur speziellen Galilei-Transformation gehörigen Erhaltungsgrößen und erklären Sie ihren physikalischen Sinn. Welche Erhaltungsgrößen sind aus der Symmetrie der Anordnung zu erwarten, wenn die Kraft auf ein geladenes Teilchen von einer homogenen Ladungsverteilung verursacht wird, die aufgebracht wurde auf a) eine als unendlich ausgedehnt angenommene Ebene, b) einen unendlich langen Kreiszylinder, c) ein Prisma mit unendlicher Höhe, d) zwei Punkte, e) eine unendlich ausgedehnte Halbebene, g) einen Kreisring. Übungen 3-2 1. Abgabe am Donnerstag, 11.12.2014, 11.00 Uhr Ein starrer Körper mit konstanter Massendichte hat die Form einer Halbkugel. Er liegt mit der runden Seite auf einer Ebene, die horizontal zum Schwerefeld ausgerichtet ist. Die Haftreibung ist groß genug, so dass der Körper beim Abrollen nicht rutscht. a) Berechnen Sie den Schwerpunkt und die Trägheitsmomente. b) Stellen Sie die Lagrange-Funktion auf. c) Berechnen Sie die Frequenz kleiner Schwingungen.
Ein starrer Körper mit konstanter Massendichte hat die Form einer Kugel vom Radius R mit einem kugelförmigen Hohlraum vom Radius r, r < R. Der Abstand der Mittelpunkte beider Kugeln ist d,d+r < R. a) Wo liegt der Schwerpunkt? b) Berechnen Sie die Trägheitsmomente. Übungen 3-3 1. Abgabe am Donnerstag, 18.12.2014, 11.00 Uhr Untersuchen Sie den Einfluss der Erdrotation auf ein sphärisches Pendel, das auf der geographischen Breite α aufgestellt ist. a) Geben Sie die Lagrange-Funktion an. b) Betrachten Sie die Bewegung bei speziellen Anfangsbedingungen, wo die Vektoren der Geschwindigkeit und des Ortes (mit Ursprung im Aufhängepunkt) in einer vertikalen Ebene liegen. Geben Sie in diesem Falle die Lösung an für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage. Als Bauelement einer Vorrichtung zum Lastentransport wird eine Welle in Form eines Zylinders mit konstanter Massenverteilung auf zwei parallele horizontal angeordnete Schienen aufgelegt, ein Seil an der Oberfläche befestigt und aufgewickelt. Die Masse der Welle ist M und ihr Radius R. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Welle und Schienen ist k. Am anderen Ende des Seils wird eine Last der Masse m angehängt, so daß sie anfänglich ruht und es vertikal herabhängt. a) Formulieren Sie die Bindungsgleichung für das Abrollen des Zylinders ohne Schlupf. b) Berechnen Sie die Bewegung von Welle und Last in diesem Falle mit der oben beschriebenen Anfangsbedingung. c) Formulieren Sie die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften, die diese Bindung garantieren. d) Bis zu welcher Last bleibt die Bedingung des Abrollens ohne Schlupf bestehen? Übungen 4-1 1. Abgabe am Donnerstag, 08.01.2015, 11.00 Uhr Formulieren Sie die Hamilton-Funktion für die folgenden Fälle. a) Schwerer symmetrischer Kreisel unter Verwendung der Eulerschen Winkel. b) Ein Teilchen im Potential U( r) im Bezugssystem, das mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Ω rotiert. c) Ein Teilchen, für welches die Lagrange-Funktion als L = mc 2 1 ( r) 2 c 2
gegeben ist (freies relativistisches Teilchen). Betrachten Sie ein Teilchen, für welches die Lagrange-Funktion als L = mc 2 1 ( r) 2 c 2 gegeben ist. a) Zeigen Sie, dass die Energie und der Impulsvektor erhalten sind. b) Formulieren Sie diese Erhaltungsgrößen und finden Sie den Zusammenhang zwischen Energie und Impuls. Übungen 4-2 1. Abgabe am Donnerstag, 15.01.2015, 11.00 Uhr Betrachten Sie den anharmonischen Oszillator mit der Hamilton-Funktion H(p,q) = p2 2m + mω2 2 q2 +βq 4 bei kleinen β. Zeigen Sie, dass mit einer kanonischen Transformation deren erzeugende Funktion die Form F 2 (q,p) = qp +aq 3 P +bqp 3 hat, die Hamilton-Funktion in den neuen Variablen P,Q bis auf Terme mit höheren Potenzen von β in die Birkhoffsche Normalform gebracht werden kann. ( ) H(P,Q) = P2 2m + mω2 P 2 2 2 Q2 +λ 2m + mω2 2 Q2 Lösen Sie die Hamiltonschen Gleichungen mit ( ) H(P,Q) = P2 2m + mω2 P 2 2 2 Q2 +λ 2m + mω2 2 Q2 Lösen Sie mit dem Ergebnis die Bewegungsgleichung des anharmonischen Oszillators von Aufgabe 1 näherungsweise. Hinweis: Nutzen Sie die bekannte Lösung für den harmonischen Oszilator und die Energieerhaltung.