. Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation: Die) Gerade besteht aus allen Punkten (x x x ), deren Ortsvektor x = ( x x x mit einer Zahl λ als a + λ u darstellbar ist) g A u a O www.strobl-f.de/grund.pdf Zwei-Punkte-Form Gerade durch die Punkte A und B: Dann kann man z. B. A als Aufpunkt und AB = b a als Richtungsvektor wählen: B x = a + λ( b a), λ IR. A AB Gerade g durch A( ) und B( 0 ): g : x = + λ 0 = + λ, λ IR. ( ) Als Richtungsvektor kann auch ein Vielfaches gewählt werden: g : x = + λ, λ IR. Als Aufpunkt kann jeder andere Punkt auf der Geraden gewählt werden. Lagebeziehung Punkt Gerade Ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, wird durch Einsetzen des Punktes in die Geradengleichung entschieden. g : x = + λ, λ IR. P ( ): Also: P liegt auf g. Q( ): = = Also: Q liegt nicht auf g. + λ + λ λ = Probe: passt! Probe: passt! λ =
. Klasse TOP 0 Grundwissen Ebenengleichungen 0 Parameterform Ebenen sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Ebene und zwei Richtungsvektoren u und v: x = a + λ u + µ v, λ, µ IR; u und v müssen linear unabhängig sein (d. h. müssen in verschiedene Richtungen zeigen, dürfen nicht Vielfache voneinander sein). (Interpretation: Analog zu TOP 0 K Geraden) v A u a 0 Fälle, in denen die Ebene E durch andere Stücke gegeben ist, führt man (eventuell mittels einer Skizze) auf die obige Punkt-Richtungs-Form zurück: E www.strobl-f.de/grund.pdf E durch Punkte A, B, C gegeben: Aufpunkt A, Richtungsvektoren AB = b a und AC = c a. E durch Gerade g : x = a + λ u und Punkt P / g gegeben: Aufpunkt A, Richtungsvektoren u und AP. E durch sich schneidende Geraden g : x = a + λ u und h : x = b + µ v gegeben: Aufpunkt A, Richtungsvektoren u und v. E durch echt parallele Geraden g : x = a + λ u und h : x = b + µ v gegeben: Aufpunkt A, Richtungsvektoren u und AB. Durch die echt parallelen Geraden g : x = ist die Ebene E : x = + λ, h : x = + λ + µ + λ B E v h A u g gegeben. Parameterfreie Form (Koordinatenform, Normalenform) TOP 0 K Normalenform Lagebeziehung Punkt Ebene Ob ein Punkt auf einer Ebenen liegt, wird durch Einsetzen des Punktes in die Ebenengleichung entschieden. Dies geht besonders bequem mit der Normalenform. Mit der Parameterform ist dies analog zu TOP 0 K Geraden möglich; dann muss man nach Einsetzen des Punktes aus zwei Gleichungen λ und µ bestimmen und die Probe in der dritten Gleichung machen.
K TOP 0 Grundwissen Normalenform und HNF von Ebenen Bestimmung der Normalenform (Koordinatenform, parameterfreien Form) aus der Parameterform Aus den drei Gleichungen der Parameterform werden die Parameter eliminiert. E : x = + λ + µ x = + λ + µ ( ) ( ) x = + λ + µ x = + λ + µ x + x = µ x + x = µ ( ) E : x + x x = 8 Interpretation: Die Ebene besteht aus allen Punkten (x, x, x ), für die diese Gleichung gilt. Durch Einsetzen von Punktkoordinaten kann man also prüfen, ob ein gegebener Punkt auf der Ebene liegt. Es kann passieren, dass die parameterfreie Form schneller dasteht als man meint. Beispiele: E : x = +λ +µ ( ) E : x = + λ 0 + µ 0 x =... E : x x = fertig! x = E fertig! E ist eine zur x -Achse parallele Ebene. E ist eine zur x x -Ebene parallele Ebene. Lotvektor und Lotfußpunkt Die Koeffizienten in der Koordinatenform bilden einen Lotvektor zur Ebene. 0 In den obigen Beispielen sind bzw. bzw. Normalenvektoren (also Vektoren, die 0 0 auf der Ebene senkrecht stehen). Um den Lotfußpunkt eines Punktes P auf einer Ebene E zu finden, stellt man die Lotgerade durch P mit Richtungsvektor n auf ( n der Normalenvektor der Ebene E) und bestimmt den Schnittpunkt mit der Ebene (allgemeinen Geradenpunkt der Lotgerade in die Ebenengleichung einsetzen). www.strobl-f.de/grund.pdf Bestimmung der Hesseschen Normalenform (HNF) Man bestimmt die Länge des Normalenvektors, dividiert die Ebenengleichung durch diesen Wert und löst die Gleichung nach 0 auf (bringt also die Konstante auf die linke Seite); erhält die Konstante dabei ein positives Vorzeichen, so ( multipliziert ) man die Gleichung mit. Beispiel : E : x + x x = 8. n = = + + ( ) = 7. Die HNF lautet somit 7 (x + x x 8) = 0. Beispiel : Die HNF der Ebene E : x x = lautet ( x + x ) = 0. Abstand Punkt Ebene Durch Einsetzen der Punktkoordinaten in der Term der HNF erhält man den Abstand des Punktes von der Ebene, wobei ein negatives Vorzeichen bedeutet, dass der Punkt im gleichen Halbraum wie der Ursprung O(0 0 0) liegt (also auf der gleichen Seite der Ebene). Der Abstand des Punktes P ( ) von der Ebene E : 7 (x + x x 8) = 0 ist d(p, E ) =, und P und O liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene. Der Abstand des Nullpunkts O ist d(o, E ) = 8 7. Der Punkt Q( 8) liegt auf der Ebene E.
K TOP 0 Grundwissen Lagebeziehungen Gerade Gerade Richtungsvektoren parallel (d. h. Vielfache voneinander)? ja nein Aufpunkt der einen Geraden Geraden gleichsetzen in die andere einsetzen liegt drauf liegt nicht drauf eindeutige Lösung Widerspruch identisch echt parallel schneiden sich windschief www.strobl-f.de/grund.pdf g : x = + λ g : x = 8 + λ Die Richtungsvektoren sind nicht parallel. Falls nicht schon geschehen, müssen vor dem Gleichsetzen die Parameter verschiedene Bezeichnungen erhalten. I + λ = + λ ( ) II + λ = + λ III + λ = 8 + λ Aus zwei Gleichungen (z. B. I und II) λ und λ berechnen: in I: λ = λ = = λ Probe mit der dritten (noch nicht verwendeten) Gleichung: = (stimmt). Die Geraden schneiden sich. Schnittpunkt: λ in g einsetzen (oder λ in g ): S(0 ). Schnittwinkel sich schneidender Geraden Wenn sich zwei Geraden schneiden, so berechnet sich der Schnittwinkel aus den Richtungsvektoren u und u mit cos ϕ = u u u u Für obige Geraden g, g ist cos ϕ = + + ++9 +9+ 0,9, also ϕ,9. Geraden schneiden sich senkrecht, wenn sie sich schneiden und die Richtungsvektoren aufeinander senkrecht stehen (also deren Skalarprodukt u u = 0 ist). Abstand paralleler Geraden = Abstand des Aufpunkts der einen Geraden von der anderen Geraden. Abstand windschiefer Geraden Entweder: Zwei allgemeine Geradenpunkte G, G ; die Bedingungen G G u, G G u liefern zwei Gleichungen für zwei Parameter. Oder: Ebenengleichung für die Ebene aufstellen, die g enhält und zu g parallel ist (also mit g und Richtungsvektor u ), HNF aufstellen und Abstand des Aufpunkts der Geraden g von dieser Ebene bestimmen.
K TOP 0 Grundwissen Lagebeziehungen Gerade Ebene Allgemeinen Geradenpunkt einsetzen in die Normalenform der Ebene Eindeutige Lösung Typ 0 = Typ 0 = 0 schneiden sich echt parallel Gerade liegt in der Ebene g : x = + λ E : x + x x = 7 Allgemeiner Geradenpunkt G( + λ + λ + λ) in E: www.strobl-f.de/grund.pdf ( + λ) + + λ ( + λ) = 7 g und E schneiden sich. Schnittpunkt: λ in G einsetzen: S( ). λ = Schnittwinkel von Gerade und Ebene Falls sich Gerade und Ebene schneiden, so berechnet man den Schnittwinkel aus dem Richtungsvektor u der Geraden und dem Normalenvektor n der Ebene mit Für die obigen g, E ergibt sich sin ψ = Besondere Lage sin ψ = u n u n + + ( ) ++9 ++ 0,, also ψ 8,80. Gerade und Ebene schneiden sich senkrecht, wenn der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene parallel (also Vielfache voneinander) sind. Ist u n = 0, so sind Gerade und Ebene parallel (echt parallel oder zusammenfallend, was durch Einsetzen des Aufpunkts der Geraden in die Ebene entschieden werden kann). Abstand einer parallelen Gerade von einer Ebene HNF der Ebene aufstellen; Abstand des Aufpunkts der Gerade von der Ebene bestimmen.
K TOP 0 Grundwissen Lagebeziehungen Ebene Ebene Beispiele: Betrachte Ebenengleichungen in Normalenform Gleichungen identisch Normalenvektor parallel, Normalenvektor (d. h. bis auf einen Faktor) aber Gleichungen nicht identisch nicht parallel identisch echt parallel schneiden sich. E : x + x x = 7 und F : x x + 0x + = 0 sind identisch. www.strobl-f.de/grund.pdf. E : x + x x = 7 und F : x x + 0x = sind echt parallel.. E : x + x x = 7 und F : x x + x = schneiden sich. Zur Bestimmung der Schnittgerade eliminiert man (wenn nicht schon eine solche Gleichung vorliegt) eine Variable: E : x + x x = 7 F : x x + x = ( ) x 8x = 0 Nun hat man einen Wunsch frei in Form eines Parameters, z. B. x = λ in ( ): x = + 8 λ in E: x = 7 x + x = 7 ( + 8λ) + λ = + 9λ Die Schnittgerade lautet damit: 8 x 9 x = x = + λ oder etwas schöner x = + λ x 0 0 Schnittwinkel sich schneidender Ebenen Falls sich die Ebenen schneiden, so berechnet man den Schnittwinkel aus den Normalenvektoren n und n mit cos ϕ = n n n n Für die Ebenen E und F aus obigem Beispiel ist cos ϕ = + ( )+( ) ++ ++ 0,08, also ϕ,. Ebenen schneiden sich senkrecht, wenn die Normalenvektoren aufeinander senkrecht stehen (also deren Skalarprodukt n n = 0 ist). Abstand paralleler Ebenen HNF einer Ebene bestimmen; beliebigen Punkt auf der anderen Ebene wählen (z. B. zwei Koordinaten beliebig, dritte aus der Ebenengleichung berechnen) und dessen Abstand von der anderen Ebene ermitteln. Beispiel (mit den Ebenen E und F aus ( obigem ) Beispiel ): Bestimmung der HNF von E: n = = + + = 0. Also HNF von E: 0 (x + x x 7) = 0. Beliebiger Punkt auf F, z. B. mit (? 0 0): ( 0 0). Einsetzen in den Term der HNF liefert den Abstand d(e, F ) = 0 ( 7) = 0. 8 9
K TOP 0 Grundwissen Skalarprodukt 7 Skalarprodukt a a a ) ( b b b )) = a b + a b + a b ( ( Die Gleichung x = 0 stellt die Ebene x + x x 7 = 0 dar (schreibe x mit x, x, x und berechne das Skalarprodukt; die Ebene enthält den Punkt ( ); beachte Normalvektor!). Länge eines Vektors a = a = a a = a + a + a Abstand zweier Punkte Die Punkte A(a a a ) und B(b b b ) haben den Abstand d(a, B) = b a = (b a ) + (b a ) + (b a ) A( ), B( ). d(a, B) = + + ( ) = 7. www.strobl-f.de/grund7.pdf Winkel ϕ zwischen zwei Vektoren u und v cos ϕ = Winkel zwischen u v u v und : cos ϕ = + ( )+( ) ++ ++ 0,08, also ϕ 7,9. Aufeinander senkrecht stehende Vektoren u und v u v u v = 0 Lotfußpunkt F eines Punktes P auf eine Gerade g; Abstand eines Punktes P von einer Geraden g F als allgemeinen Geradenpunkt aufstellen; P F u, wobei u der Richtungsvektor der Geraden ist. g P Der Abstand der Punktes P von der Geraden g ist dann F der Abstand von P und F. P ( ), g : x = 7 + λ. Allgemeiner GeradenpunktF (7 + λ + λ λ). P F u: 7 + λ + λ ( ) = 0. ( + λ) + ( + λ) + ( λ) ( ) = 0. + 0λ = 0. λ λ =,. Lotfußpunkt F ( 0,,). Abstand des Punktes P von der Geraden g: d(p, g) = P F =,, = 9 +, +, =,,7. Kugeln Eine Kugel ist die Menge aller Punkte X, die vom Mittelpunkt M den gleichen Abstand r haben: MX = r. Schreibweisen für die Gleichung einer Kugel sind also ( x m) = r oder (x m ) + (x m ) + (x m ) = r x x + x + x + x = (x ) + (x + ) + (x 0) = + + ist die Gleichung einer Kugel mit Mittelpunkt M( 0) und Radius.
K TOP 0 Grundwissen Punkte und Vektoren 8 Verbindungsvektor AB der Punkte A, B: AB = b a ( Spitze minus Fuß ) A B Mittelpunkt M der Strecke [AB] (siehe Formelsammlung Seite 8): m = a + b Schwerpunkt S des Dreiecks ABC (siehe Formelsammlung Seite 8): s = a + b + c Spiegelpunkt P eines Punktes P : Bei Spiegelung an Gerade oder Ebene zuerst Lotfußpunkt F bestimmen. Dann (Skizze!): F P = P F p f = f p p = f p P F P www.strobl-f.de/grund8.pdf Teilverhältnis (siehe Formelsammlung Seite 8): Der Punkt T teilt die Strecke [AB] im Verhältnis τ: AT = τ T B A T B Vektorprodukt (siehe Formelsammlung Seite 80): a a b a b b = a b a b ist ein Vektor, der sowohl auf a als auch auf b senkrecht steht. a b a b = Lineare Unabhängigkeit (siehe Formelsammlung Seite 7): Vektoren a, b, c heißen linear unabhängig, wenn das Gleichungssystem λ a + λ b + λ c = 0 nur die triviale Lösung λ = λ = λ = 0 (als einzige Lösung) hat. Anschaulich: a, b, c liegen dann nicht in einer Ebene (sind nicht komplanar). Kriterium: a, b, c sind genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante D 0 ist. Die Determinante kann man mit der Regel von Sarrus berechnen (Hauptdiagonalen minus Nebendiagonalen, siehe Formelsammlung Seite 7). D = a = a, b, c sind also linear unabhängig., b = 7, c =. = +( ) ( )+ ( ) ( ) = 0,