4. Mathematikschulaufgabe

.0 Berechne folgende Terme:.. x + 4 = x =. (y x) (x + y) =.0 Schreibe ohne Klammern und vereinfache soweit wie möglich:. (x + ) (x 4) =. (0,4x + y) (0,4x y) + (y) =. Ermittle den Extremwert durch Termumformung. T (x) = - 4 x + 5x 9 4.0 Aus einem Rechteck mit den Seitenlängen 9cm und 5cm entstehen neue Rechtecke dadurch, dass man die 9cm lange Seite um x cm mit 0 < x < 9 verkürzt und gleichzeitig die 5cm lange Seite um x cm verlängert. 4. Fertige eine Zeichnung mit Bemaßung an. (Ausgangs-Rechteck blau; neues Rechteck grün) 4. Berechne, für welchen Wert von x man das Rechteck mit der größten Fläche erhält und welchen Flächeninhalt (A max ) es hat. RM_A08 **** Lösungen Seiten www.mathematik-aufgaben.de

. Bestimme die Lösungsmenge in der Grundmenge G = Q (x ) + (x ) ( + x) = x + x. Bestimme durch quadratische Ergänzung den Extremwert und die entsprechende Belegung für x des Terms T (x) = x + 4x. Die Gerade g mit der Gleichung y = x wird abgebildet: O(0/0); ϕ= 90 x Achse g g' g'' Ermittle die Gleichungen zu den Geraden g und g 4. Die Gerade g hat die Steigung m = -,5 und läuft durch den Punkt P (/-). Gib ihre Gleichung an und wandle sie in die Normalform um. 4. Prüfe durch Rechnung, ob die Punkte A (-6/,5) und B (9/-9) auf der Geraden mit der Gleichung y = -,5x +,5 liegen. 4. Die Gerade g mit der Gleichung y = -,5x +,5 wird durch Parallelverschiebung v = abgebildet. Ermittle die Gleichung der Bildgeraden g. mit dem Vektor ( ) 5.0 Die Gleichung y = 0,5 x (a + ) mit a Q beschreibt bezüglich G = Q x Q die Parallelenschar g (a). 5. Ermittle rechnerisch die Gleichung der Scharparallelen g die durch den Punkt P (8/) verläuft. 5. Durch den Punkt P (8/) gibt es eine Gerade g, die auf allen Geraden der Schar senkrecht steht. Gib ihre Gleichung an. RM_A09 **** Lösungen Seiten www.mathematik-aufgaben.de

. Zeichne die Menge aller Punkte P (x / x ) mit den angegebenen Koordinaten in ein Koordinatensystem. (x Q). Auf welcher Ortslinie liegen sie?. Zeige, dass der Punkt P (-4/0) auf dieser Ortslinie liegt.. Die Punkte P werden um den Vektor v = ( ) verschoben. Die Bildpunkte heißen Q. Zeichne die Punkte Q und die Ortslinie auf der sie liegen ein..4 Zeige, dass die Punkte Q(x / P hervorgehen. x + ) durch die Verschiebung aus den Punkten.5 Die Punkte R(x / x) beschreiben dieselbe Ortslinie wie die Punkte Q. Kennzeichne die Menge aller Punkte mit folgender Eigenschaft: { R(x R/ y R) yr xr xr 0} < > Q x Q. Gegeben sind die Punkte B (4/-,5) und M(-/). Konstruiere die Menge aller Punkte A, für die gilt: MAB = 90 d(a; BM) > cm. Zeichne sie farbig ins Koordinatensystem.. Was muss für d(a; BM) gelten, damit es nur eine Lösung gibt? Zeichne die Lösung und das dazugehörige Dreieck MBA ein.. Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes Z der Seite [BM]..4 Berechne die Koordinaten des Punktes A..5 Zeichne den Inkreis des Dreiecks MBA ein..0 Überprüfe, ob es Dreiecke mit den nachstehenden Vorgaben gibt. Begründe deine Antwort. Zeichne die Dreiecke wenn möglich (Konstruktionsbeschreibung).. Umfang u = 6cm ; c = 8cm ; β = 60. b = 5cm ; c = 5cm ; γ = 90 RM_A00 **** Lösungen Seiten www.mathematik-aufgaben.de

. Bestimme zur Funktion f = { (x / y) y = - x + 4 } die Umkehrfunktion f -. Löse ihre Gleichung nach y auf.. Die Gerade g hat die Gleichung y = x + a) Zeichne die Gerade g und ihr Steigungsdreieck in ein Koordinatensystem. b) Entscheide rechnerisch, ob der Punkt B (4/5) auf der Geraden g liegt oder nicht. c) Es gibt eine Parallelenschar g(t), zu der die Gerade g gehört. Wie lautet ihre Gleichung. d) Überprüfe rechnerisch, ob die Gerade h mit der Gleichung x y + 4 = 0 ebenfalls zur Parallelenschar g(t) gehört. e) Welche Gleichung hat das Geradenbüschel g(m) mit B (4/5) als Büschelpunkt? f) Im Geradenbüschel g(m) gibt es genau eine Ursprungsgerade. Wie lautet ihre Gleichung? g) Die Gerade s gehört sowohl zur Parallelenschar g(t) wie auch zum Geradenbüschel g(m). Gib ihre Gleichung in der Normalform an.. Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion f n. f mit 5x y + 5 = 0 f mit 0 x + y = 4 f mit x y = 0 4. a) Zeichne das Dreieck ABC mit A (-/-), B (9/-) und C(/) in ein Koordinatensystem, und zeige rechnerisch, dass ACB = 90 gilt. b) Zeichne den geometrischen Ort aller Punkte B*, so dass die Dreiecke AB*C bzw. ACB* bei C rechtwinklig sind, und gib die Gleichung des geometrischen Ortes der Punkte B*(x / y) an. c) Welche Bedingung müssen die Koordinaten der Punkte B*(x / y) erfüllen, so dass die Dreiecke AB*C bzw. ACB* bei C spitzwinklig sind? RM_A0 **** Lösungen 4 Seiten www.mathematik-aufgaben.de

. Konstruiere die folgenden Vierecke. Fertige jeweils eine Planskizze an.. Drachenviereck ABCD mit der Symmetrieachse AC und den Maßen: e = 7 cm, γ=, δ = 86. Allgemeines Tangentenviereck ABCD mit den Maßen: a = 5,5 cm, d = 5, cm, β = 86, ri =,8cm. Bestimme die Koordinaten des fehlenden Eckpunktes B und des Diagonalenschnittpunktes M des Parallelogramms ABCD mit A ( - 8 / ), C ( / 4 ) und D ( - 5 / 6 ) durch Zeichnung und durch Rechnung.. Gegeben ist die Relation R mit der Gleichung. Gib die Paare der Relation in aufzählender Form an. x = 0 y über G= x.. Entscheide anhand von Aufgabe., ob R eine Funktion ist. Begründung!. Gib die Definitionsmenge D und die Wertemenge W der Relation R an..4 Zeichne den Graphen von R in grüner Farbe sowie den Graphen der Umkehr- relation R in blauer Farbe in ein Koordinatensystem..5 Gib die Definitionsmenge D und die Wertemenge W der Umkehrrelation.6 Gib die Relationsvorschrift von R in der nach y aufgelösten Form an. R an. 4. Gegeben ist die Funktion f = {(x/y) 5x 4y 8 = 0 }, G= x 4. Lege für x [0; 6], x = eine Wertetabelle an. 4. Zeichne den Grafen von f über der Grundmenge G= x in ein Koordinatensystem. - siehe Blatt - RM_A00 **** Lösungen 5 Seiten () www.mathe-physik-aufgaben.de

5. Ordne den Geraden die entsprechenden Gleichungen zu: g:y= x g :y = 5x g :y = x g :y = 0,5x 4 g 5 :y = x 8 5. Überprüfe jeweils durch Rechnung, ob der Punkt A ( - 40 / 5 ) auf a) der Geraden g liegt. b) der Geraden g 5 liegt. RM_A00 **** Lösungen 5 Seiten () www.mathe-physik-aufgaben.de

. a) Was sind Tangentenvierecke, welche Eigenschaft besitzen sie? b) Was sind Sehnenvierecke, welche Eigenschaft besitzen sie?. Zähle alle Vierecke auf, die a) lotsymmetrisch sind b) einen Inkreis besitzen.. Kreuze an, wenn die Aussage stets richtig ist. Eigenschaften der Vierecke Quadrat Rechteck Raute Parallelogramm Drachenviereck Benachbarte Seiten stehen zueinander senkrecht. Alle Diagonalen stehen aufeinander senkrecht. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Alle Diagonalen sind gleich lang. Alle Diagonalen halbieren sich. Benachbarte Seiten sind gleich lang. Alle Diagonalen halbieren die Innenwinkel. 4. Weise mit Vektorrechnung nach, dass es sich bei dem Viereck ABCD um ein D - Parallelogramm handelt! A( 0 ) B( 8 ) C( 5 5 ) ( ) 5. Konstruiere folgende Vierecke a) Raute mit Symmetrieachse AC und d = 5 cm, f = 4 cm b) Rechteck mit e = 6 cm und b =,5 cm mithilfe des Thaleskreises c) Drachenviereck mit AC als Symmetrieachse und a = 4, cm, b = 6,7 cm, d = 6. Konstruiere das gleichschenklige Trapez ABCD mit der Symmetrieachse PQ und dazu seinen Umkreis. Es gilt: A( 5 0 ) B( 6 ) P( 0 0 ) Q( 7 5) RM_A040 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L040) () www.mathe-physik-aufgaben.de

7. Handelt es sich bei den Dreiecken jeweils um kongruente Dreiecke? (mit Planfigur und Kongruenzsatz, keine Konstruktion.) a) DAB C : a = 0 g = 90 b = 5 cm DA BC : g = 90 b = 0 a = 5 cm b) DABC : a = 0 g = 60 b = 5 cm DA 4B4C 4 : g 4 = 90 b 4 = 0 a4 = 5 cm c) DA5B5C 5 : b 5 = 70 a5 = 4 cm b5 = 6 cm D A6B6C 6: c6 = 6 cm b6 = 4 cm g 6 = 70 d) D A7B7C 7 : a7 = 4 cm b7 = 6 cm a 7 = 70 DA8B8C 8 : b 8 = 70 c8 = 6 cm b8 = 4 cm 8. Chiara behauptet: Ein Quadrat und eine Raute sind besondere Drachenvierecke. Was hältst du von dieser Aussage? Begründe deine Antwort. RM_A040 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L040) () www.mathe-physik-aufgaben.de

. Zeichne die Geraden g und h in ein Koordinatensystem Für die Zeichnung: - 4 x 4; - 4 y 4 g:y= x- h:y= - x+,5 5 Stehen die Geraden g und h senkrecht aufeinander?. Von einer Geraden g ist die Steigung m,5 =- bekannt, sowie ein Punkt P( ) der auf der Geraden g liegt. Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden und gib sie in der Normalform an. -,. Prüfe durch Rechnung, ob der Punkt A auf der Geraden g liegt. g: x y 6 0 - - = A( - -4) 4. Sind die Geraden f = PQ und k = RS zueinander parallel? Prüfe rechnerisch. P( - 0 ); Q( 4,5-5); R( -,5 ); S( 0-7) 5. Bestimme durch Rechnung die Gerade h, die zur Geraden g senkrecht ist und durch den Punkt P verläuft. g: y,5x 4 =- + P5 ( ) 6. Bestimme durch Rechnung die Schnittpunkte der Geraden g mit den Achsen des Koordinatensystems. g: y - 0,75x + = 0 7. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A( - - ), B( 4-4) und ( ) a) Ist das Dreieck bei B rechtwinklig? Prüfe durch Rechnung. C 8 4. b) Die Parallele p zur Seite [BC] durch den Eckpunkt A schneidet die y-achse im Punkt P. Berechne die Koordinaten von P. c) Wie lautet die Gleichung der Mittelsenkrechten mi [AC] der Strecke [AC]? d) Die Seitenhalbierende s verläuft durch den Mittelpunkt von [AB] und durch den gegenüberliegenden Eckpunkt C. Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Seitenhalbierenden s. RM_A078 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L078) () www.mathe-physik-aufgaben.de

. Bestimme die Gleichung der Geraden h mit m a) Punkt- Steigungs-Form b) Normalform 4 5 P - - h, in der =- und ( ). Bestimme die Gleichungen der Geraden g und g mithilfe der gegebenen Graphen. Zeichne in das Koordinatensystem die Geraden h und h ein. g : g : h : h : y = x+ y = - x+ 5. Sind die Geraden g = AB und h = CD parallel? Begründe rechnerisch. A (-0 9 ); B( 5 -); C( -7,5 ); D ( 7-8) RM_A04 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L04) (5) www.mathe-physik-aufgaben.de

4. Gegeben ist die Funktion f : y + 0,6x = 4,5. a) Gehört der Punkt A( -,8,8) zur Funktion? Prüfe durch Rechnung. b) Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Umkehrfunktion y aufgelösten Form: f - in der nach 5. Liegt der Punkt A ( - ) oberhalb oder unterhalb oder genau auf dem Graphen g der Funktion y = - 4x+? RM_A04 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L04) (5) www.mathe-physik-aufgaben.de

6. Gegeben ist die Gerade A( xa ), ( ) Geraden g. g: y = x+ 4 und das Drachenviereck ABCD mit D- 7. Die Punkte A und C liegen auf der B, C( 6 y C ), ( ) a) Berechne die Koordinaten x A und C A C 6 y C. Zeichne die Gerade g und das Drachenviereck in das Koordinatensystem ein. y der Punkte A( x ) und ( ) b) Zeige rechnerisch: S BAD = 90 c) Konstruiere den Inkreismittelpunkt des Vierecks ABCD und zeichne den Inkreis. RM_A04 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L04) (5) www.mathe-physik-aufgaben.de

7. Gegeben ist das Geradenbüschel h(m) mit y = mx- m+ 8. a) Gib die Koordinaten des Büschelpunktes B an. (Tipp: Gleichung umformen!) b) Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Büschelgeraden h, die durch den Punkt P( 5 - ) verläuft. c) Die Büschelgerade h hat den y-achsenabschnitt - 4. Bestimme durch Rechnung die Gleichung von h. 8. Kreuze die richtigen Aussagen an. o Eine Gerade verläuft parallel zur y-achse, wenn die Steigung den Wert 0 hat. o Sind der y-achsenabschnitt und die Steigung einer Geraden gleich groß, dann verläuft die Gerade unter 45 zur x- Achse. o Wenn der y- Achsenabschnitt den Wert 0 hat, denn verläuft die Gerade durch O(0 / 0). o Ist die Steigung m einer Geraden kleiner als Null, dann verläuft sie durch den. und 4. Quadranten. o Die Gerade g mit y- 4x =- hat eine negative Steigung. o Die Funktion f mit y = - x+ 6 hat die Nullstelle. RM_A04 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L04) 4 (5) www.mathe-physik-aufgaben.de

9. Konstruiere das Viereck ABCD aus: a = 5 cm; c = 4,5 cm; d = 5,5 cm; e = 6,5 cm; b= 05. Skizziere eine Planfigur und beschreibe die Konstruktion in Kurzform. Planfigur: Konstruktionsbeschreibung: Konstruktion: RM_A04 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L04) 5 (5) www.mathe-physik-aufgaben.de

. Gegeben ist die Funktion f: y = -,5x- 4. a) Bestimme die Nullstelle der Funktion. b) Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Umkehrfunktion y aufgelösten Form. f - in der nach c) Gib die Gleichung der Ursprungsgeraden k an, die senkrecht zu f verläuft. ( ) d) Die Parallele h zur Geraden f verläuft durch den Punkt A -8-0,5. Berechne die Geradengleichung von h.. Gegeben ist eine Raute ABCD, sowie der Schnittpunkt M ihrer Diagonalen. Die Diagonale [AC] ist genau halb so lang wie die Diagonale [BD]. A - ; M. Es gilt: ( ) ( ) a) Berechne den Eckpunkt C der Raute mithilfe von Pfeilen (Vektoren). b) Berechne den Eckpunkt B der Raute ABCD mithilfe von Pfeilen.. Die Punkte A(,5 0,5 ), B( 6,5,5) und C( 5 7,5 ) legen das Dreieck ABC fest. Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem und konstruiere den Umkreis des Dreiecks. Überprüfe rechnerisch, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Für die Zeichnung: - x 8; - y 8 4. Bei den folgenden Drachenvierecken ABCD n n ist [BD] die Symmetrieachse. Es gilt: Ax ( -;B6 ) ( -4;D ) (- 4). Für die Zeichnung: - 5 x 9; - 6 y 7 a) Zeichne das Drachenviereck ABCD für x =-,5 in ein Koordinatensystem. b) Konstruiere das Drachenviereck ABCD, das bei A einen rechten Winkel hat S BA D = 90 ) ( c) Konstruiere den Punkt A so, dass alle Seiten des Drachenvierecks gleich lang sind. Um welche Sonderform handelt es sich dabei? 5. Konstruiere das Viereck ABCD mit a = 4,5 cm, b = 5 cm, a = 95, b= 0, g = 80 Beschreibe deine Konstruktion in Kurzform. 6. a) Wie nennt man ein Trapez ABCD mit parallelen Schenkeln AD und BC? b) Welche Parallelogramme sind symmetrische (gleichschenklige) Trapeze? c) Welche Parallelogramme sind gleichzeitig Drachenviereck und symmetrisches Trapez? RM_A044 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L044) () www.mathe-physik-aufgaben.de

7. Welche Vierecke weisen die folgenden Eigenschaften auf? Kreuze richtig an! A: Alle Diagonalen sind gleich lang. B: Alle Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. C: Alle Diagonalen halbieren sich. D: Alle Diagonalen halbieren die Innenwinkel. E: Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß. F: Die Summe von zwei gegenüber liegenden Winkeln ist 80. G: Die Summe von zwei nebeneinander liegenden Winkeln ist 80. H: Alle Innenwinkel sind rechte Winkel (90 ). I: Zwei Paar Gegenseiten sind parallel. K: Das Viereck besitzt einen Umkreis. L: Das Viereck besitzt einen Inkreis. M: Das Viereck ist achsensymmetrisch. N: Das Viereck ist punktsymmetrisch. Vierecke Quadrat Rechteck Raute (Rhombus) Parallelogramm gleichschenkliges Trapez Drachenviereck Sehnenviereck Tangentenviereck Eigenschaften A B C D E F G H I K L M N RM_A044 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L044) () www.mathe-physik-aufgaben.de

. Eine Wachskerze der Länge x cm wird entzündet. Sie brennt gleichmäßig ab. Nach Stunden Brenndauer hat sie eine Länge von cm, nach weiteren 4 Stunden ist sie noch 5 cm lang. a) Stelle die Kerzenlänge in Abhängigkeit von der Brenndauer grafisch dar. x- Achse: Zeit x in h y-achse: Kerzenlänge y in cm Platzbedarf für die Zeichnung: - x ; - y 7 b) Gib eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen der Kerzenlänge y und der Brenndauer x beschreibt. c) Welche Länge hatte die Kerze beim Anzünden? d) Wie viel Zeit vergeht vom Entzünden bis zum Erlöschen der Kerze?. Lässt sich ein gleichschenkliges Trapez aus den gegebenen Stücken konstruieren? Begründe deine Antwort. a) a = 6 cm, b = cm, e = 0 cm. b) a = 9 cm, a = 80, d = 70.. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A (- -), B( 0 ) und C( - 5 ). Zeige mithilfe von Pfeilen (Vektoren), dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist (b = c). 4. Gegeben ist das Viereck ABCD mit A (- -), B( -), C(,5 ) und D (-,5 ). Nenne zwei Eigenschaften eines Parallelogramms und zeige mithilfe von Pfeilen (Vektoren), dass das Viereck ein Parallelogramm ist. 5. Konstruiere das gleichschenklige Trapez ABCD mit a und c als Grundseiten und a = 7 cm, b = 4 cm, g = 5. Zeichne eine Planfigur und beschreibe deine Konstruktion in Kurzform. 6. Von einem Drachenviereck ABCD mit der Symmetrieachse [AC] sind die Punkte A ( 9 ), C( 7) und D( 0 ) gegeben. a) Konstruiere den Punkt B. Platzbedarf: - x 0; - y 9 b) Begründe durch Rechnung, dass das Viereck ABCD bei D einen rechten Winkel ( S ADC= 90) besitzt. ( ) c) Berechne den Schnittpunkt M der Diagonalen AC BD { M} d) Berechne die Koordinaten des Punktes B. =. RM_A045 **** Lösungen 6 Seiten (RM_L045) () www.mathe-physik-aufgaben.de