Reihe 35 S Verlauf Material Lineare Gleichungssysteme ohne Schwierigkeiten lösen Dr. Beate Bathe-Peters, Berlin Käseteller Verschiedene Säfte Klasse: 7/8 Dauer: 5 Stunden Inhalt: Mufins backen Textaufgaben lösen, die auf ein lineares Gleichungssystem führen; dabei folgende Verfahren anwenden: Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren Ihr Plus: Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich die Verfahren selbstständig. Fotos im gesamten Beitrag: Dr. Bathe-Peters Viele alltägliche Probleme führen auf Systeme von Gleichungen. Auch in Wirtschaft, Physik und Technik beschäftigt man sich (unter anderem) mit Problemen, die sich durch Systeme linearer Gleichungen beschreiben lassen. Inhalt dieses Beitrags sind Gleichungssysteme, die aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten bestehen. Erarbeiten Sie mit Ihren Schülerinnen und Schülern, wie man sie lösen kann (Stichworte: gleichsetzen, einsetzen, addieren).
Reihe 35 S 2 Verlauf Material Didaktisch-methodische Hinweise Den Aufgabentext in ein mathematisches Modell übersetzen Viele alltägliche Problemstellungen lassen sich mithilfe der Mathematik eindeutig beschreiben und lösen. Liegt die Aufgabe in Form eines Textes vor, muss man den Inhalt erfassen und in ein mathematisches Modell übersetzen. Hier sind solche Probleme Thema, die auf ein lineares Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten führen. Solche Gleichungssysteme lassen sich mit einer geeigneten Methode schnell und einfach lösen (z. B. durch Gleichsetzen, Einsetzen oder Addieren). Das Ergebnis muss dann im Sinne der Aufgabenstellung interpretiert werden. Um zu erkennen, welche Lösungsmethode für die Aufgabe geeignet ist, bedarf es der Übung. Diese Übung erlangt man z. B. durch Bearbeitung der Aufgaben von M 4 und M 5. Notwendige Vorkenntnisse Die Schülerinnen und Schüler müssen im Umgang mit Brüchen und Dezimalbrüchen geübt sein, benötigen aber ansonsten keinerlei Voraussetzungen. Alle drei Verfahren werden anhand eines Beispiels vorgestellt. Ablauf Erläutern Sie, was man unter einem (zweidimensionalen) linearen Gleichungssystem versteht: ein Schema aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (z. B. x und y), in dem die Unbekannten (= Variablen) nur in der ersten Potenz vorkommen. Besprechen Sie anhand des Schulbuches, wie man solche Systeme zeichnerisch löst: Man stellt beide (nach y aufgelösten) Gleichungen als Gerade im Koordinatensystem dar und bestimmt den Schnittpunkt der beiden Geraden. Anschließend erarbeiten sich die Schülerinnen und Schüler anhand eines Beispiels verschiedene Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme: das Gleichsetzungsverfahren (M ), das Einsetzungsverfahren (M 2) und das Additionsverfahren (M 3). Dies erfolgt selbstständig in Einzelarbeit. Bei Fragen tauschen sich die Lernenden mit dem Banknachbarn aus. Besprechen Sie alle drei Verfahren, bevor die Schülerinnen und Schüler die Übungen M 4 und M 5 angehen. Ziele der Reihe Die Schülerinnen und Schüler können Problemstellungen, die in Form einer Textaufgabe vorliegen, in ein mathematisches Modell (lineares Gleichungssystem) übersetzen, die Anzahl an Variablen und Gleichungen erkennen, die zur Lösung notwendig sind, ein geeignetes Verfahren zur Lösung des linearen Gleichungssystems wählen, die Eigenschaften der unterschiedlichen Lösungsverfahren einander gegenüberstellen, die Variablen mit der gewählten Methode berechnen, die Ergebnisse im Sinne der Aufgabenstellung interpretieren und eine Antwort auf die Problemstellung in einem Lösungssatz formulieren. Lineare Gleichungssysteme lassen sich auch mit dem graischen Taschenrechner (GTR) lösen. Geben Sie dazu die Zahlen vor den Variablen als rechteckiges Schema (= Matrix) ein. Zum Beispiel heißt beim TI-84 Plus der entsprechende Befehl rref(.
Reihe 35 S 4 Verlauf Material Auf einen Blick Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme erlernen:. Das Gleichsetzungsverfahren Material Thema Stunde M 2. Das Einsetzungsverfahren Getränke-Pack das Gleichsetzungsverfahren erlernen Sich anhand eines Beispiels das Gleichsetzungsverfahren erarbeiten Material Thema Stunde M 2 3. Das Additionsverfahren Üben Alles Käse! Das Einsetzungsverfahren erlernen Sich anhand eines Beispiels das Einsetzungsverfahren erarbeiten Material Thema Stunde M 3 Supermufins das Additionsverfahren erlernen Sich anhand eines Beispiels das Additionsverfahren erarbeiten Material Thema Stunde M 4 Übe, übe, übe! Lineare Gleichungssysteme lösen Einfache Übungen und Textaufgaben bearbeiten M 5 Vermischte Aufgaben von leicht bis schwierig 5 Das Lösen von linearen Gleichungssystemen trainieren 2 3 4 Minimalplan Behandeln Sie M (Gleichsetzungsverfahren), M 2 (Einsetzungsverfahren) und M 3 (Additionsverfahren), wenn es Ihnen nur um die Erarbeitung dieser Methoden geht. Alternativ lassen Sie die Lernenden nur üben (M 4 und M 5), wenn die Methoden schon bekannt sind.
S M Getränke-Pack das Gleichsetzungsverfahren erlernen Beispiel: Neue Säfte Eine Firma bietet zwei neue Zusammenstellungen von Saft (Apfelsaft und Ananassaft) an. Pack kostet 3,08, Pack 2 kostet 4,06. Ein einzelner Apfelsaft (ohne Pack) kostet 55 ct und ein einzelner Ananassaft 75 ct. a) Was kostet der einzelne Saft aus dem Pack? b) Welche Ersparnis hat man beim Kauf des jeweiligen Packs gegenüber der gleichen Anzahl einzelner Säfte? Löse die Aufgabe mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens. So geht s Gegeben: Pack : 3,08 für 2 Apfelsäfte und 3 Ananassäfte; Pack 2: 4,06 für 4 Apfelsäfte und 3 Ananassäfte Preis der Säfte, wenn man sie einzeln kauft: Apfelsaft: 55 ct, Ananassaft: 75 ct Gesucht: Einzelpreis der Säfte aus dem Pack und Pack 2 Wahl der Variablen: x Preis Apfelsaft, y Preis Ananassaft. Formuliere mathematische Gleichungen, die dieses Problem beschreiben. 2. Forme die gefundenen Gleichungen um: Die Variablen x und y sollen jeweils nur auf einer Seite vorkommen. Die Ausdrücke, die jeweils links stehen, müssen gleichwertig sein (bei Einsetzen eines Wertes zum gleichen Ergebnis führen). 3. Wenn die linken Seiten der beiden Gleichungen den gleichen Wert haben, so gilt dies auch für die rechten Seiten. Setze die rechten Seiten der beiden Gleichungen deshalb gleich. Berechne die erste Variable. 4. Berechne die zweite Variable. Hierzu verwendest du eine der beiden Gleichungen aus Schritt 2, welche ist egal. 5. Mache die Probe (Einsetzen der Werte in die andere Gleichung). Lineares Gleichungssystem: 2 x + 3 y = 308 4 x + 3 y = 406 Umformen: 3 y = 308 2 x 3 y = 406 4 x Gleichsetzen: 308 2 x = 406 4 x Û 2 x = 98 Þ x = 49 (ct) 3 y = 308 2 x Þ y = /3 (308 2 49) = 70 ct 3 70 = 406 4 49 stimmt Pack Pack 2 Ergebnis: a) Der einzelne Apfelsaft ist (mit 55 ct) 6 ct teurer als der im Pack (49 ct). Der einzelne Ananassaft ist (mit 75 ct) 5 ct teurer als der im Pack (70 ct). b) Pack würde mit den Preisen für die einzelnen Säfte 3,35 kosten und wäre somit 27 ct teurer als der Packpreis. Pack 2 würde mit den Preisen für die einzelnen Säfte 4,45 kosten und wäre somit 39 ct teurer als der Packpreis.
S 2 M 2 Alles Käse! Das Einsetzungsverfahren erlernen Beispiel: Der Käsestand c b d a Grünländer Gouda alt Limburger light Kalorien (kcal/00 g) 357 460 86 Fett (g/00 g) 29 38 9 Preis ( /00 g) 0,80,00 0,60 Auf dem Schulfest werden an einem Stand verschiedene Käseteller angeboten. Lisas Teller hat zwei Käsesorten, kostet, und besitzt 500 kcal. Welche zwei Käsesorten beinden sich in welchen Mengen auf dem Teller? Welcher Teller könnte es sein (a, b, c oder d)? Löse die Aufgaben mithilfe des Einsetzungsverfahrens. So geht s. Formuliere mathematische Gleichungen, die dieses Problem beschreiben. 2. Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf (entweder x oder y). 3. Setze den gefundenen Ausdruck in die 2. Gleichung ein und löse diese Gleichung. Grünländer (x) Gouda (y) 357 x + 460 y = 500 0,8 x + y =, y =, 0,8 x 357 x + 460 (, 0,8 x) = 500 (357 460 0,8) x = 500 460, Þ x = 0,6 : ( ) = 0,96 4. Berechne die zweite Variable. y =, 0,8 0,96 = 0,34 Ergebnis: Eine mögliche Lösung ist, dass sich auf Lisas Teller 96 g Grünländer und 34 g Gouda beinden. Aufgabe a) Es gibt noch eine weitere Möglichkeit. Untersuche hierzu die beiden anderen Kombinationen Grünländer (x) Limburger (z) und Gouda (y) Limburger (z). b) Wie viel Fett beindet sich auf dem Teller? c) Überlege dir eine vergleichbare Aufgabe zur Lösung eines linearen Gleichungssystems. Gib deinem Nachbarn, wenn nötig, Zusatzinformationen. Tauscht die Aufgaben und löst sie.
S 3 M 3 Supermufins das Additionsverfahren erlernen Beispiel: Supermufins Lars hat bei einem Wettbewerb verschiedene Rezepte für Mufins ausprobiert. Leider ist auf das Rezept seines Supermufins Teig gekleckert. Er weiß aber noch, dass er insgesamt 75 g Zutaten für 8 Supermufins ohne Ei, Backpulver und die Zusätze benötigt hat. Außerdem ist doppelt so viel Mehl wie Milch (in g) nötig. Vervollständige das Rezept wieder. Löse die Aufgaben mithilfe des Additionsverfahrens. So geht s. Formuliere mathematische Gleichungen, die dieses Problem beschreiben.. Gleichung: Zucker + Butter + Mehl (x) + Milch (y) 2. Forme die gefundenen Gleichungen so um, dass bei Addition der beiden Gleichungen eine Variable wegfällt. Vor einer Variablen steht dann das kleinste gemeinsame Vielfache der Koefizienten aus beiden Gleichungen, und zwar einmal mit positivem, einmal mit negativem Vorzeichen. 3. Addiere die beiden Gleichungen. Hierbei fällt eine Variable weg. Berechne die andere. = Menge Zutaten 50 + 50 + x + y = 75 2. Gleichung: x = 2 y x + y = 75 x + 2 y = 0 3 y = 75 Þ y = 25 4. Berechne die Variable, die noch fehlt. x = 2 y = 50 Supermufin 50 g Zucker 50 g Mehl 25 g Milch gestr. Teelöffel Backpulver 50 g Butter Ei (Eischnee) Zusatz: Kirschen, Schokostreusel Ergebnis: Für 8 Mufins benötigt man 50 g Mehl und 25 g Milch (25 g Milch entspricht etwa 25 ml). Aufgabe: Löse die Gleichungssysteme mithilfe des Additionsverfahrens: a) x + y = 8 5 x + 7 y = 06 b) 4 x + 6 y = 3 2 x 6 y = 6 c) 2 x + 4 y = 36 3 x 2 y = 2
S 4 M 4 Übe, übe, übe! Lineare Gleichungssysteme lösen Aufgaben. Löse die Gleichungssysteme mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens: a) 6 x 2 y = 22 0 x 2 y = 26 c) 2 y 3 x + 27 = 0 6 x 4 y = 2 b) 2 x 48 = 6 y 6 x 6 y = 2 d) x + 2 y + z = 4 2 x + 6 y + 2 z = 2 x 4 y + 4 z = 6 2. Löse die Gleichungssysteme mithilfe des Einsetzungsverfahrens: a) 4 x + y = 2 x + 2 y = 0 b) 0,5 x + 7 y = 2 2 x 2 y = 2 c) 7 x + 2 y = 79 4 x + 6 y = 3 3. Löse die Gleichungssysteme mithilfe des Additionsverfahrens: 3 a) x + y = b) 7 x + 49 y = 77 c) 6 x 2 y = 4 2 4 x + y = x + y = x y = 6 2 5 7 7 3 Textaufgaben 4. Einige Mitglieder des Handball- und Volleyball-Vereins feiern eine Fete. Jeder Handball-Spieler isst 3 Holzfällersteaks und trinkt 4 Cola, jeder Volleyball-Spieler isst ein Holzfällersteak, trinkt dafür aber 7 Cola. Es werden 3 Holzfällersteaks gegessen und 8 Cola getrunken. Wie viele Mitglieder des Handball-Vereins und wie viele des Volleyball-Vereins sind da? 5. Wenn Jens Julia besuchen will, muss er mit dem Fahrrad 8 km zurücklegen. Dabei kommt er am Jugendklub vorbei, wo er sich heute mit Julia treffen will. Beide starten um 6:00 Uhr von Zuhause in Richtung Jugendklub. Jens Tacho zeigt gleichmäßig eine Geschwindigkeit von 22 km/h und Julias von 4 km/h an. Sie treffen beide zur gleichen Zeit beim Jugendklub ein. a) Wo beindet sich der Jugendklub? s = v t b) Wann erreichen die beiden Radfahrer den Klub? 6. In Janas Terrarium beinden sich Schildkröten, Käfer und Spinnen. Es beinden sich doppelt so viele Käfer wie Schildkröten in dem Terrarium. Der kleine Bruder zählt 44 Beine von 22 Tieren. Wie viele Tiere sind im Terrarium? Schildkröten haben 4, Käfer 6 und Spinnen 8 Beine. 7. Vergleiche die Anzahl der Variablen mit der Anzahl an Gleichungen, die du benötigst, um das jeweilige Problem lösen zu können. Formuliere eine Regel. Begründe.
S 5 M 5 Vermischte Aufgaben von leicht bis schwierig x + 4y = 4 2x + 4y = 2 3x + 2y = 803 2x + y = 05 x 5y = 3 6x + 4y = 30 3x 7y = 70 2x 3y = 477 00 0 02 03 2x + 5y = 40 4x 3y = 2 x + 3 y = 7x 2y = 48 2x + 5y = 8 2x + 7y = 39 6x 4y = 42 3x 4y = 70 2x 3y = 45 04 05 06 07 x + y = 3 2x + 5y = 80 x 3y = 7 3 3 x + 7 y = 5 x + 5 y = 6 x + 4 y = 5 x + 5 3 y = 3 08 09 0 x + 2y = 8 3x + y = 6 3x 2y = 9 2x y = 24 4x + 2y = 30 2x + y = 9 2x + 4y = 34 4y + x = 3 200 20 202 203 2x 6y = 42 25x 2y = 29 2x 2y = 40 3y 0x = 7x + 8y = 65 5x + 3y = 86 7y 2x = 60 20x 9y = 0 204 205 206 207
S Lösungen und W Tipps zum Einsatz Je nach Gestalt eines linearen Gleichungssystems bieten sich verschiedene Lösungswege an. Obwohl alle Verfahren zum Erfolg führen, vereinfachen sich die Rechnungen, wenn man das Verfahren entdeckt und verwendet, das am besten zu der jeweiligen Aufgabe passt. Hat man sich für ein Verfahren entschieden, so erfolgt das weitere Vorgehen nach Schema F. Diese Vorgehensweisen werden in den Materialien M M 3 eingeführt. M Getränke-Pack das Gleichsetzungsverfahren erlernen M stellt anhand eines praktischen Beispiels das Gleichsetzungsverfahren vor. Weitere Aufgaben zum Gleichsetzungsverfahren inden Sie in M 4 und dem Schulbuch. Behandeln Sie ergänzend auch eine Aufgabe mit unendlich vielen Lösungen (zwei äquivalenten Gleichungen bzw. deckungsgleichen Geraden im Koordinatensystem). M 2 Alles Käse! Das Einsetzungsverfahren erlernen Ein weiteres Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist das Einsetzungsverfahren. Hierbei wird nur eine Gleichung geeignet umgeformt, also z. B. nach y aufgelöst. Die Variable, nach der aufgelöst wurde, wird in die 2. Gleichung eingesetzt. Dann hat man nur noch eine Variable (z. B. x) und kann die Gleichung lösen. Zum Schluss setzt man den errechneten Wert in die. Gleichung ein und bestimmt die andere Variable. Dieses Verfahren wird in M 4 geübt. Aufgabenteil c) lässt die Schülerinnen und Schüler darüber nachdenken, wie eine Aufgabe mit zwei Unbekannten (und zwei Gleichungen) in Textform aussehen muss. Die Lernenden formulieren hier ihr Problem so, dass der Banknachbar zwei Variablen erkennen kann und außerdem so viele weitere Informationen bekommt, dass er in der Lage ist, zwei Gleichungen aufzustellen. Es empiehlt sich, die Übungen von M 2 (und M 4/M 5) durch Aufgaben aus dem Lehrbuch zu ergänzen. Stellen Sie alle möglichen Fälle von Lösungsmengen, die auftreten können (keine Lösung, eine und unendlich viele Lösungen), einander gegenüber. Aufgabe a) Es sind noch zwei weitere lineare Gleichungssysteme zu untersuchen. Damit ergibt sich neben der auf dem Arbeitsblatt vorgestellten Lösung noch eine weitere: Grünländer Limburger x z 357 x + 86 z = 500 0,8 x + 0,6 z =, Gouda Limburger y z 460 y + 86 z = 500 y + 0,6 z =, 357 x + 86 (, 0,8 x) 0,6 = 500 460 y + 86 (, y) 0,6 = 500 (357 248) x = 500 344, = 55,9 x = 55,9/09 =,43 z = (, 0,8,43) 0,6 = 0,057 < 0 keine Lösung im Sinne der Aufgabe (460 30) y = 500 344, = 55,9 y = 55,9/50 =,04 z = (,,04) 0,6 = 0,2 d. h. 04 g Gouda und 2 g Limburger