Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universiä Hannover Mahemaik für Ingenieure Mahemaik hp://www.windelberg.de/agq 14 Kurven in Parameerdarsellung, Tangenenvekor und Bogenlänge Aufgabe 14.1 (Tangenenvekor und Bogenlänge: Als Beispiel für eine Kurve, die in Parameerdarsellung beschrieben wird, werden wir hier eine Zykloide unersuchen. a Es wird ein Kreis mi dem Radius 1 berache. Es sei P ein Punk auf dem Radius des Kreises. Die Kurve, die der Punk P beschreib, wenn der Kreis auf der x-achse abroll, heiß dann Zykloide. Besimmen Sie die Parameerdarsellung für diese Kurve, wobei Sie den Wälzwinkel als Parameer wählen, und zeichnen Sie diese Zykloide für 0 2 π. Aufgabe 14.1: Zykloide (Punk P lieg auf dem Radius Lösung von Aufgabe 14.1a [AUF 18.1 (d] Es wird zunächs der Mielpunk (x m (, y m ( des Rades verfolg: ( ( ( xm ( xm (0 0 Für 0 is und y m ( ( y m (0 ( 1 xm ( für ein beliebiges is. y m ( 1 Der ( Weg des( Punkes P soll ( nun beschrieben werden durch x( xm ( xp ( +, y( y m ( y P ( wobei (x P (, y P ( die relaive Bewegung des Punkes P auf dem Rad beschreib. ( ( ( xp ( xp (0 0 Für 0 is und y P ( ( y P (0 ( 1 xp ( sin( für ein beliebiges is. y P ( cos( Folglich is x( ( x( y( ( 1 + ( sin( cos( ( sin( 1 cos( (14.1.1 Aufgabe 14.1: Zykloide (Punk P lieg auf dem Radius
Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember 2012 14002 Aufgabe 14.1b Eliminieren Sie den Wälzwinkel, um eine explizie Darsellung der Zykloide zu erhalen. Verwenden Sie dazu die Gleichung sin 2 ( + cos 2 ( 1 und arccos(1 y. Lösung von Aufgabe 14.1b [AUF 18.1 (d] Nach (14.1.1 gil x sin(, also sin( x. Ferner gil y 1 cos( nach (14.1.1, also auch arccos(1 y, also insgesam sin( arccos(1 y x. Ebenfalls nach (14.1.1 gil y 1 cos(, also cos( 1 y. Dami is 1 sin 2 ( + cos 2 ( (arccos(1 y x 2 + (1 y 2 oder (arccos(1 y x 2 1 (1 y 2 1 (1 2 y + y 2 2 y y 2 oder arccos(1 y x 2 y y 2 für 0 y 2 und 0 x π oder x arccos(1 y 2 y y 2 für 0 y 2 und 0 x π Aufgabe 14.1c Besimmen Sie die Gleichung der Zykloide, für die der Punk P nich auf dem Radius des sich drehenden Rades lieg, sondern den Absand a > 0 vom Kreismielpunk ha. Berechnen Sie die Winkel (in Abhängigkei von a, uner denen die Zykloide die x-achse schneide. Lösung von Aufgabe 14.1c [AUF 18.3] Die Gleichung einer Zykloide im Sinne dieser Aufgabe laue ( ( x( a sin( y( 1 a cos( (14.1.2 Zunächs is zu unersuchen, für welche a die Zykloide überhaup die x-achse schneide: für einen Schnipunk muss es ein geben mi 0 2 π und y( 0, also 1 a cos( 0 nach (14.1.2 oder cos( 1 a Also schneide die Zykloide die x-achse nur für a > 1. Es sei 0 ein Parameer, bei dem die Zykloide die x-achse schneide. (14.1.3 Für eine in Parameerdarsellung gegebene Kurve x x( is nach REP 18.1 der Tangenenvekor in einem ( Punk x 0 x( 0 auf der Kurve ( besimm durch x( ẋ(0 1 a cos( 0. - Hier is daher. ẏ( 0 a sin( An einem Schnipunk 0 gil cos( 0 1 nach (14.1.3, also is dann a sin( 0 1 cos 2 ( 1 1 a a2 1 1 2 a 2 a a 2 1 und dami ( ( ( 1 a cos(0 0 a sin( 0 a 1 a 0. a 2 1 a2 1 Für a 1 is cos( 0 1 und dami 0 0 oder 0 2 π und den Rändern keine Tangene. ( 0 0 Für a > 1 is 0. Also wird dor die x-achse senkrech geschnien.. Dami exisier an
Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember 2012 14003 Aufgabe 14.1d Berechnen Sie die Bogenlänge der Zykloide mi a 1. Lösung von Aufgabe 14.1d [AUF 18.5 (b] Nach REP 18.1 wird die Bogenlänge L einer in Parameerform gegebenen Kurve berechne durch 1 L (ẋ( 2 + (ẏ( 2 d 0 wobei x( 0 der Anfangs- und x( 1 der Endpunk des zu berechnenden Bogens is. Nach (14.1.1 wird die Zykloide beschrieben durch ( sin( x mi 1 cos( also is hier x ( ẋ( ẏ( ( 1 cos( sin( 0 2 π Daraus ergib sich (ẋ( 2 + (ẏ( 2 (1 cos( 2 + sin 2 ( 1 2 cos( + cos 2 ( + sin 2 ( 2 2 cos( und dami wegen sin 2 ( 1 2 (1 cos(2 oder 1 cos( 2 sin( : 2 2 2 π 2 π 2 π L (ẋ( 2 + (ẏ( 2 d 2 1 cos( d 2 sin( 0 0 0 2 d 8 Aufgabe 14.1e Berechnen Sie die Bogenlänge der Zykloide mi a 2. Lösung von Aufgabe 14.1e Wie in der L ösung von Aufgabe 14.1d is für die Zykloide ( 2 sin( x mi 0 2 π 1 2 cos( hier x ( ẋ( ẏ( ( 1 2 cos( 2 sin( Daraus ergib sich ẋ 2 + ẏ 2 (1 2 cos( 2 + 4 sin 2 ( 1 4 cos( + 4 cos 2 ( + 4 sin 2 ( 5 4 cos( und dami 2 π x2 π L (ẋ( 2 + (ẏ( 2 d 5 4 cos(x dx (1 0 x0 Wenn versuch wird, dieses Inergral mi Hilfe der Generalsubsiuion zu lösen, so ergib sich mi cos(x 1 2 2 d und dx 2 L 2 x2 π x0 1 + 5 4 1 2 1 + 2 1 + 2 1 1 + 2 d 2 x2 π x0 1 + 9 2 (1 + 2 3 d Ein solches Inegral is in der Formelsammlung nich enhalen. Also wird (1 numerisch inegrier:
Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember 2012 14004 Aufgabe 14.1e: Bogenlänge einer Zykloide mi a 2 als Fläche uner der obigen Kurve x anfang x ende y Fläche 0.00 0.63 1.00 0.63 0.63 1.26 1.33 0.83 1.26 1.88 1.94 1.22 1.88 2.51 2.50 1.57 2.51 3.14 2.87 1.80 3.14 3.77 3.00 1.88 3.77 4.40 2.87 1.80 4.40 5.03 2.50 1.57 5.03 5.65 1.94 1.22 5.65 6.28 1.33 0.83 0.00 6.28 13.36 Aufgabe 14.2: Zur Beschreibung der Abhängigkei des Schallpegels P P (v eines Schienenverkehrsmiels von dessen Geschwindigkei v wird die Gleichung ( ] v P (v [51 + 20 log 10 db(a 100 km/h verwende. Nach dieser Gleichung is P (v. lim v 0 Suchen Sie nach einer geeigneen Funkion, für die gil P (0 0 db(a P (100 km/h 51 db(a P (200 km/h 57 db(a und zeichnen Sie dann beide Funkionen für Geschwindigkeien zwischen 0 km/h und 5 km/h Lösung der Aufgabe 14.2: Aufgabe 14.2: ( v Kurve P (v 51 + 20 log 10 100 km/h (ausgezogen Ziel dieser Veransalung is es, Kreaiviä bezüglich mahemaischer Lösungsverfahren zu beweisen. Daher is der hier angegebene Lösungsweg nur einer von vielen möglichen.
Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember 2012 14005 Ansaz: Gesuch sind Zahlen a und b mi der Eigenschaf, dass die Kurve ( P (v a log 10 1 + v b durch die Punke P (0 0, P (100 km/h 51 db(a und P (200 km/h 57 db(a geh. Nach Ansaz geh die Kurve bereis durch (0, 0. Wegen P (100 km/h 51 db(a muss gelen ( 100 km/h P (100 km/h a log 10 1 + b 51 db(a und wegen P (200 km/h 57 db(a muss gelen P (200 km/h a log 10 ( 1 + Daraus ergib sich jeweils 200 km/h 57 db(a b Aufgabe 14.2: Für welches a is 1 2 10 51 a 1 10 57 a 1? und 1 + 1 + 100 km/h b 200 km/h b 10 51 a b 10 57 a b 100 km/h 10 51 a 1 200 km/h 10 57 a 1 Gleichsezen von (14.2.1 und (14.2.2 ergib 51 10 a 1 1 2, und diese Gleichung läss sich graphisch lösen: a 20. 10 57 a 1 Hieraus kann dann nach (14.2.1 b besimm werden: b 0.28 km/h. Dami ergib sich als Lösung: P (v 20 log 10 (1 + v 0.28 km/h (14.2.1 (14.2.2
Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember 2012 14006 Aufgabe( 14.2: v Kurve P (v 51 + 20 log 10 (ausgezogen 100 km/h v Kurve P (v 20 log 10 (1 + (gesrichel 0.28 km/h
Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember 2012 14007 Als Beispiel für Kurven, die in Polarkoordianen-Darsellung beschrieben werden, sollen hier Spiralen, eine Kardioide und eine Lemniskae unersuch werden. Aufgabe 14.3a: Es wird ein Quadra mi den Ecken E 1 ( 5, 5, E 2 (5, 5, E 3 (5, 5 und E 4 ( 5, 5 (mi der Seienlänge 10 m berache. In jeder Ecke E i sare ein Hund H i, um dem vor ihm sizenden Hund H i+1 nachzulaufen (es wird H 5 H 1 gesez. Nun läuf jeder Hund H i 1 m wei in der Richung, in der er den anderen Hund H i+1 am Anfang gesehen hae. Dann erkenn der Hund H i, dass der Hund H i+1 auch weiergelaufen is; also änder er seine Richung und läuf nun wieder 1 m in der neuen Richung. Und so weier... Zeichnen Sie den Weg eines der Hunde. (Diese Kurve is eine logarihmische Spirale. b Zeichnen Sie die in Polarkoordinaen gegebene Kurve r e ϕ für 2 π ϕ 0 und für 0 ϕ 2 π. Lösung von Aufgabe 14.3a Aufgabe 14.3a Wege der vier Hunde Lösung von Aufgabe 14.3b Aufgabe 14.3b r e ϕ für 2 π ϕ 0 Aufgabe 14.3b r e ϕ für 0 ϕ 2 π
Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember 2012 14008 c Unersuchen Sie, ob es Parameer a und b gib, so dass die Kurve r b e a ϕ die Kurve des Hundes H 1 beschreib. Lösung von Aufgabe 14.3c (mi Hilfe der Definiion des Tangenenvekors aus dem REP, S.500 Da die Spirale r b e a ϕ durch den Punk E 1 ( 5, 5 gehen soll, muss für r 5 2 und ϕ 5 4 π gelen: 5 2 b e a 5 4 π Nach REP, S.500 is für eine in Polarkoordinaen gegebene Kurve r r(ϕ der Tangenenvekor im Punk (r, ϕ 0 besimm durch ( ṙ(ϕ0 cos(ϕ (ϕ 0 r(ϕ 0 sin(ϕ 0 ṙ(ϕ 0 sin(ϕ 0 + r(ϕ 0 cos(ϕ 0 also hier mi r(ϕ b e a ϕ und ṙ(ϕ a b e a ϕ ( 5 ( 5 π b ea 4 π 1 4 2 2 ( a 1 a + 1 Nun soll ( 5 π parallel zur x-achse sein, also muss a + 1 0 und dami a 1 sein. 4 Wird nun a 1 in die obige Gleichung für b eingesez, so ergib sich b 5 2 e 5 4 π 359. Aufgabe 14.3c logarihmische Spirale r b e a ϕ durch E 1 ( 5, 5 mi Tangenenseigung 0 in Punk E 1 a 1 und b 359 Aufgabe 14.3d Besimmen Sie die Winkel α, uner der die Spirale r e a ϕ eine Gerade y an(β x schneide. Lösung von Aufgabe 14.3d siehe AUF 18.4.
Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember 2012 14009 Aufgabe 14.3e Berechnen Sie die Bogenlänge der Spirale r e ϕ für 2 π ϕ 0. schneide. Lösung von Aufgabe 14.3e (mi Hilfe der Definiion der Bogenlänge einer in Polarkoordinaen gegebenen Kurve aus dem REP, S.501 Aufgabe 14.4: a Zeichnen Sie die in Polarkoordinaen gegebene Kurve r ϕ mi 0 ϕ 4 π. Diese Kurve heiß archimedische Spirale. b Besimmen Sie den Absand d(α zwischen den beiden Schnipunken einer Geraden G { (x, y IR 2 ; y an(α x } mi der uner a gezeichneen archimedischen Spirale. Aufgabe 14.5: a Zeichnen Sie die in Polarkoordinaen gegebene Kurve r 1 + cos(ϕ mi 0 ϕ 2 π. Diese Kurve heiß Kardioide. Lösung von Aufgabe 14.4a Lösung von Aufgabe 14.5a Aufgabe 14.4a archimedische Spirale Aufgabe 14.5a Kardioide b Berechnen Sie die Bogenlänge der Kardioide r 1 + cos(ϕ mi 0 ϕ 2 π.
Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember 2012 14010 Aufgabe 14.6 (Bogenlänge: Gegeben sei das Kurvensück x( x( y( z( 1 3 3 2 2 2 Für welche reelle Zahl a ha dieses Kurvensück die Bogenlänge 12? mi 0 a. Lösung von Aufgabe 14.6: Die Bogenlänge L is nach F+H, Seie 119, für eine in Parameerdarsellung gegebene Kurve der Form x( mi 0 1 definier durch wobei ẋ( : d x( d Hier is ẋ( x( ẏ( ż( L 1 0 und ẏ( : d y( d 2 2 (ẋ( 2 + (ẏ( 2 + (ż( 2 d undż( : d z( d is. 1 (ẋ( 2 + (ẏ( 2 + (ż( 2 4 + 2 2 + 1 2 + 1. und dami Folglich is die Bogenlänge (in Abhängigkei von a: a [ ] a 1 L ( 2 + 1 d 3 3 + 0 0 1 3 a3 + a a ( 1 3 a2 + 1 Gesuch wird eine reelle Zahl a mi L 2 3 a3 + 2 a 12. Durch Probieren finde man a 3. Aufgabe 14.7 (Bogenlänge: Gegeben sei das Kurvensück y e x mi 0 x 1. Berechnen Sie die Bogenlänge. Lösung von Aufgabe 14.7: Die Bogenlänge L is nach F+H, Seie 119, für eine in explizier Darsellung gegebene Kurve der Form y f(x mi x 0 x x 1 definier durch x1 L 1 + (f (x 2 dx Hier is f (x e x 1 + (f (x 2 1 + e 2 x. x 0 und dami Nach F+H, Seie 93, solle bei der Inegraion von Funkionen, die e x enhalen, subsiuier werden: e x mi dx d also hier L x1 x0 x1 x1 1 + (f (x 2 dx 1 + e 2 x dx 1 + 2 d x1 x0 x0 x0 1 + 2 d
Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember 2012 14011 Die Lösung eines solchen Inegrals is in der F+H zu finden: auf Seie 102, Nr. 119: x2 + a 2 x dx ( a + x x 2 + a 2 a ln 2 + a 2 x also hier x1 [ ( 2 + 1 2 1 + ] x1 L d + 1 ln 2 + 1 x0 x0 Da bei dieser Subsiuion e x gewähl wurde, gil für die Grenzen: x 0 e 0 1 x 1 e 1 e also L [ ( 2 1 + ] e + 1 ln 2 + 1 1 ( ( e2 1 + ( ( e + 1 ln 2 + 1 1 1 + 1 + 1 + 1 ln e 1 2.54 0.52 2.02 Dieses Ergebnis is plausibel, denn nach Pyhagoras is Srecke zwischen (0, 1 und (1, e (e 1 2 + 1 2 1.99
Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember 2012 14012 Aufgabe 14.8: a Zeichnen Sie die in Polarkoordinaen gegebene Kurve r 2 cos(2 ϕ mi π 4 ϕ π 4. Diese Kurve heiß Lemniskae. b Berechnen Sie die von der uner a gezeichneen Lemniskae eingeschlossene Fläche. Lösung zu Aufgabe 14.8a: Aufgabe 14.8 Lemniskae Lösung zu Aufgabe 14.8b: (siehe auch REP 18.10 (S. 505 Es gil nach der Sekorformel für Polarkoordinaen für eine Funkion r r(ϕ im Inervall ϕ 0 ϕ ϕ 1 für die zwischen (0, 0 und der Kurve eingeschlossene Fläche F : F 1 2 ϕ1 ϕ 0 (r(ϕ 2 dϕ also hier F 1 2 ϕ π 4 ϕ π 4 2 cos(2 ϕ dϕ 1 2 [sin(2 ϕ]ϕ π 4 ϕ π 4 1 (1 + 1 1 2