Fchhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mthemtik und Nturwissenschften Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: - rückenkurs Mthemtik 2016 Modul: Mthemtik Dtum: 2016 Winkelbeziehugen 1. Aufgbe () estimmen Sie die Winkel α und β: (b) estimmen Sie im gegebenen Trpez den Winkel α in Abhängigkeit der Winkel δ und ɛ: 2. Aufgbe estimmen Sie in den nchfolgenden Figuren den Winkel β in Abhängigkeit des Winkels α.??
Strhlenstz und Pythgors 3. Aufgbe Gegeben sei ds llgemeine Dreieck AC mit den Seiten = 9cm, b = 5cm und c = 11cm. Weiter sei ds Dreieck A C, welches durch Prllelverschiebung der Seite c entsteht, so dss der Umfng U = 10cm beträgt. estimmen Sie die Seitenlängen des Dreiecks A C und ds Verhältnis der Flächeninhlte der beiden Dreiecke. C A' ' A 4. Aufgbe In der untenstehenden Skizze kennt mn ds Verhältnis der prllelen Abschnitte A CD = 2x 3x = 2 3 und die Strecken AD = 20cm und C = 15cm. estimmen Sie die Entfernung des Schnittpunkts S von den Punkten A,, C und D. 5. Aufgbe In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Hypotenusenbschnitt-Verhältnis p q = k, teilt die Höhe ds Dreieck in zwei weitere rechtwinklige Dreiecke. estimmen Sie ds Flächen-Verhältnis der beiden neuen Dreiecke zu dem ursprünglichen Dreieck: p c h q b Seite 2 / 10
6. Aufgbe estimmen Sie in den nchfolgenden Figuren die Grösse x in Abhängigkeit des Rdius R. R x x R 7. Aufgbe estimmen Sie in untenstehender Figur den Rdius x des kleinen Kreises in Abhängigkeit des Seitenlänge des Qudrtes. 8. Aufgbe estimmen Sie y in Abhängigkeit von r. y 3 2 r r 9. Aufgbe estimmen Sie in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c = 10cm die Längen der Seitenhlbierenden und den Rdius des Inkreises. 10. Aufgbe estimmen Sie den Rdius des kleinen Kreises (x) in Abhängigkeit der Seitenlänge des Qudrtes (s). s s x Seite 3 / 10
11. Aufgbe estimmen Sie x in Abhängigkeit von R. x R 12. Aufgbe estimmen Sie in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck mit Kthetenlänge s, die Rdien des In- und des Umkreises. 13. Aufgbe estimmen Sie x in Abhängigkeit von r: x r Trigonometrie 14. Aufgbe Von einem rechtwinkligen Dreieck AC (Hypotenuse c), kennt mn die Kthete b = 12m und die Seitenhlbierende s c = 6.5m. estimmen Sie lle Seiten und Winkel dieses Dreiecks. 15. Aufgbe Von einem rechtwinkligen Dreieck AC, kennt mn die Kthete = 5cm und die Höhe h c = 3cm. estimmen Sie lle Seiten und Winkel dieses Dreiecks. 16. Aufgbe Einem Kreis mit Rdius R = 10cm ist ein Trpez ACD einbeschrieben. Vom Trpez kennt mn die prllelen Trpezseiten = A = 16cm und c = CD = 12cm. estimmen Sie den Flächeninhlt und die Längen der Digonlen. Seite 4 / 10
17. Aufgbe erechnen Sie in einem llgemeinen Dreieck AC us den gegebenen Grössen die fehlenden Seitenlängen und Winkel. C b s c h c A c () = 5m, c = 7m und α = 40. (b) = 7km, b = 4km und F = 10km 2. (c) s c = 6cm, h c = 5cm und β = 70. (d) = 6cm, c = 10cm und α = 25. (e) = 4m, β = 40 und s c = 6cm (Seitenhlbierende von c). (f) = 4m, b = 10m und h c = 3m. (g) α = 30, b = 5cm und s c = 3cm. 18. Aufgbe Eine Lst F = 5kN ist n der nchfolgenden Aufhängung ngebrcht (AC = 2m, C = 1m). estimmen Sie die Kräfte in den beiden Stäben (die Krft wirkt in Stbrichtung). A α C F 19. Aufgbe estimmen Sie die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks AC mit = 11m, h b = 3m und α = 70. C D h b A α Seite 5 / 10
20. Aufgbe Zwei Schiffe A und liegen vor der Küste vor Anker. Wie weit sind die beiden Schiffe voneinnder entfernt? A C α β γ δ D Dten: = 50m α = 41.5 β = 16.3 γ = 75.2 δ = 27.9 21. Aufgbe erechnen Sie von den beiden nchfolgenden Figuren die fehlenden Grössen: c b q c h p d e h f b () Rechtwinkliges Dreieck: Gegeben h = 12cm und q = 15cm. (b) Trpez: Gegeben = 20cm, c = 4cm, b = 12cm und h = 6cm. 22. Aufgbe estimmen Sie den eingezeichneten Winkel: Seite 6 / 10
23. Aufgbe Wieviele Kilometer beträgt die Länge des reitenkreises, uf dem erlin liegt (ϕ = 52 30, r E = 6370km). estimmen Sie zudem die Geschwindigkeit mit welcher sich erlin um die Erdchse dreht. M ϕ r E 24. Aufgbe Von einem Trpez kennt mn = 69.3m, c = 13.4m, h = 41.9m und β = 48.5. erechnen Sie die restlichen Seiten und Winkel, die Digonlen und den Flächeninhlt. δ c γ d e f b α h β Trigonometrische Funktionen 25. Aufgbe Skizzieren Sie die Grphen der folgenden Funktionen: () (b) (c) (d) ( f 1 (x) = y = 2 sin 4x π ) 4 f 2 (x) = y = 1 cos (2x) 3 ( 1 f 3 (x) = y = 4 sin 2 x + 2π 3 ) f 4 (x) = y = sin (3x) + 2 cos (3x) Seite 7 / 10
(e) f 5 (x) = y = 1 (1 cos (2x)) 2 (f) ( f 6 (x) = y = sin (5x) + sin 5x + π ) ( + sin 5x + 2π 3 3 ) 26. Aufgbe enutzen Sie die Formel cos(α 2 α 1 ) = cos(α 1 ) cos(α 2 ) + sin(α 1 ) sin(α 2 ) um einen nlytischen Ausdruck für cos(15 ) zu finden. 27. Aufgbe enutzen Sie die Formel cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) um die Doppelwinkelformel für den Cosinus herzuleiten: cos(2γ) =? 28. Aufgbe enutzen Sie die folgenden beiden Formeln cos (2α) = cos 2 (α) sin 2 (α) sin 2 (α) + sin 2 (α) = 1 um die Doppelwinkelformel für den Sinus herzuleiten: sin(2γ) =? 29. Aufgbe estimmen Sie die Überlgerung der folgenden hrmonischen Schwingungen: () (b) (c) 3 sin (x) + 4 cos (x) =? 5 sin (3x) 12 cos (3x) =? ( x ) ( x ) 2 sin + 2 cos =? 4 4 30. Aufgbe Vereinfchen Sie: () (b) sin (α) tn (α) =? 1 sin (α) tn (α) =? cos (α) Seite 8 / 10
(c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) 1 cos 2 (α) 1 =? sin (α) 1 + 1 tn 2 (α) =? sin (α) 1 + cos (α) + cos (α) + 1 sin (α) 1 cos 2 (α) 1 sin 2 (α) =? =? sin (x) sin (x y) cos (x) cos (x y) =? cos 2 (x) sin 2 (y) cos (x + y) cos (x y) =? 1 tn 2 (x) tn 2 (x) + 1 + sin2 (x) =? 31. Aufgbe () estimmen Sie lle Winkel α [0, 360 ], die die folgende Gleichung erfüllen: cos(2α) + sin(α) = 0 (b) estimmen Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen: ( cos x π ) + cos (x) = 0 3 (c) estimmen Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen: ( sin (2x) + cos x + π ) = 0 2 (d) estimmen Sie lle x [0, π], die die folgende Gleichung erfüllen: cos (2x) = 1 2 (e) estimmen Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen: sin (x) + sin 2 (x) = 0 Seite 9 / 10
(f) estimmen Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen: cos (x) + cos (2x) = 0 (g) estimme Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen: sin (x) cos (2x) = 0 (h) estimme Sie lle reellen Zhlen x, die die folgende Gleichung erfüllen: cos (2x) = 1 2 (i) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie lle Lösungen im Intervll [0, 360 ] n): 2 sin (α) + 1 2 = 0 (j) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie lle Lösungen im Intervll [0, 360 ] n): sin 2 (α) cos 2 (α) = 1 (k) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie lle Lösungen im Intervll [0, 2π] n): sin (x) + cos (2x) = 0 (l) Welche Zhlen x [0, 2π] erfüllen die Gleichung: sin (x) + tn (x) = 0 (m) estimme Sie lle reellen Zhlen x, die die folgende Gleichung erfüllen: 2 sin (x) 3 cos (x) = 3 2 (n) estimme Sie lle reellen Zhlen x, die die folgende Gleichung erfüllen: 4 sin (3x) + 3 cos (3x) = 5 2 Seite 10 / 10