Körpererehnungen Grunwissen Grunwissen Viele mthemtishe Körper lssen sih us en eknnten geometrishen Grunkörpern zusmmensetzen: us geren Prismen, Zylinern, Kegeln, Pyrmien un Kugeln. Hinsihtlih er Oerflähen- un Volumenerehnung hen gere Prismen un Zyliner Gemeinsmkeiten, mnhml weren iese Körper uh unter em Begriff Säulen zusmmengefsst. Eenso weisen Pyrmien un Kegel Gemeinsmkeiten uf, ufgrun ihrer Körperform weren sie uh Spitzkörper gennnt. Gere Prismen Gere Prismen sin Körper, welhe von zwei zueinner prllelen, kongruenten Vieleken egrenzt weren, un ie zuem einen Mntel hen, er sih us eenen Rehteken zusmmensetzt. h Die Teilrehteke ilen s Mntelrehtek, essen eine Kntenlänge gleih em Umfng er Grunflähe ist. Die nere Kntenlänge es Mntelrehteks ist gleih em Astn er Grunflähen voneinner,. h. sie ist gleih er Körperhöhe. Beispiele gerer Prismen sin je nh Grunflähe Quer, Dreieksprismen un Trpezprismen, Prllelogrmm- zw. llgemein Vielekprismen. Ein Würfel ist emnh ein spezielles Prism. Gere Zyliner Ein Körper, er von zwei zueinner prllelen, kongruenten Kreisen egrenzt wir, un essen Mntel us einer gekrümmten Rehteksflähe esteht, wir Zyliner gennnt. r Volumen un Oerflähe von Prismen un Zylinern: Ds Volumen un ie Oerflähe sin für lle geren Prismen un Zyliner wie folgt zu erehnen: Volumen: V = G. Oerflähe: O = 2. G + M zw. O = 2. G + u. Dei wir je nh Grunflähe ie entsprehene Fläheninhltsformel zw. Umfngsformel eingesetzt. So gilt eispielhft: Dreieksprism: V = g. h 2. O = 2.. h 2 + ( + + ). Zyliner: V = ϖ. r 2. O = 2. ϖ. r 2 + ϖ.. Koepsell / von Lehmen: Kompetenztests Mthe 9 / 10 Auer Verlg GmH, Donuwörth Pyrmie Kegel Ein Körper mit einem Vielek ls Grunflähe un einer Spitze, n er sih lle Knten es Mntels treffen, wir Pyrmie gennnt. Der Mntel setzt sih us eenen Seitenflähen zusmmen. Ein Körper mit einer kreisförmigen Grunflähe un einer Spitze wir Kegel gennnt. Die Menge ller Streken von Rnpunkten er Grunflähe zur Spitze ilet en Mntel es Kegels. Trifft s Lot von er Spitze uf ie Grunflähe genu uf en Mittelpunkt ieser Flähe, so spriht mn von einer geren Pyrmie zw. einem geren Kegel. h s r s 39 Anres Koepsell/Susnne von Lehmen: Kompetenztests Mthe 9/10 Auer Verlg AAP Lehrerfhverlge GmH Donuwörth ± 06573
Körpererehnungen Grunwissen Volumen un Oerflähe von Pyrmien un Kegeln: Ds Volumen un ie Oerflähe sin für lle Pyrmien un Kegel wie folgt zu erehnen: Volumen: V = G. 3 Oerflähe: O = G + M Dei wir je nh Grunflähe ie entsprehene Fläheninhltsformel zw. Umfngsformel eingesetzt. So gilt eispielhft: Qurtishe Pyrmie: V = 3 2. O = 2 + 4.. h 2 Kegel: V = ϖ. r 2 3. O = ϖ. r 2 + ϖ. r. s Kugel Ein geometrisher Körper heißt Kugel, wenn jeer Punkt seiner Begrenzungsflähe enselen Astn vom Mittelpunkt ht. Dieser Astn wir Rius gennnt. M Der Quershnitt einer Kugel ist immer ein Kreis. Dei ist er Rius einer solhen Shnittflähe genu nn gleih em Kugelrius, wenn ie Shnitteene urh en Mittelpunkt er Kugel geht. r Volumen un Oerflähe von Kugeln: Ds Volumen un ie Oerflähe er Kugel sin wie folgt zu erehnen: Volumen: V = 4 3. ϖ. r 3 Oerflähe: O = 4. ϖ. r 2 Der Stz von Cvlieri: Wenn zwei Körper gleih große Grunflähen, ie gleihe Höhe un in gleiher Höhe jeweils gleih große Quershnitte hen, nn hen sie s gleihe Volumen. Die Msse: Um ie Msse von Körpern zu errehnen, multipliziert mn s Volumen mit er Dihte es jeweiligen Körpers. Die Volumeneinheit knn mn kürzen. Es leit ie Mßeinheit für Msse (Gewiht) ürig, wie im folgenen Beispiel: m = V (m 3 ). r ( g m 3 ) Koepsell / von Lehmen: Kompetenztests Mthe 9 / 10 Auer Verlg GmH, Donuwörth 40 Anres Koepsell/Susnne von Lehmen: Kompetenztests Mthe 9/10 Auer Verlg AAP Lehrerfhverlge GmH Donuwörth ± 06573
Körpererehnungen Üungen zu en Kompetenzen Üungen zu en Kompetenzen Aufge 1 ( * ) K 1 Zeihne s Netz un s Shrägil folgener Prismen: ) Würfel mit = 4 m ) Quer mit = 3 m, = 2 m un = 5 m K 2 ) Trpezprism (gleihshenklig) mit = 4 m, = 2,5 m, h = 3,5 m un = 6 m Aufge 2 ( * ) K 2 Ein Dreieksprism ht ie Mße = 4 m, = 6,5 m, = 5,6 m un = 6 m. ) Zeihne s Shrägil es Prisms. ) Miss ie Höhe h un erehne s Volumen. ) Berehne ie Oerflähe. Aufge 3 ( * ) Berehne s Volumen un ie Oerflähe es geileten Zyliners mit = 15 m, = 18 m (Skizze niht mßstsgetreu). Aufge 4 ( * ) K 2 ) Zeihne s Shrägil er ls Netz rgestellten Pyrmie. ) Berehne s Volumen un ie Oerflähe er Pyrmie. 4 m 3 m Aufge 5 ( * ) Ein Fußll ht einen Umfng von. 78 m. Wie viel Leer enötigt mn zu seiner Herstellung, wenn mn mit 12 % Nhtzugen rehnen muss? Aufge 6 ( ** ) Eine Snuhr esteht us zwei gleih großen Kegeln. Sie ist insgesmt 15 m hoh un er Durhmesser er Kegelgrunflähen eträgt 12 m. Wie viel Sn fsst ie Snuhr, wenn 1 er Uhr niht mit Sn gefüllt ist? 3 Koepsell / von Lehmen: Kompetenztests Mthe 9 / 10 Auer Verlg GmH, Donuwörth Aufge 7 ( ** ) K 2 Die größte er Pyrmien von Gizeh ist ie Cheopspyrmie. Sie wr ursprünglih 146,6 m hoh un ie Grunknten ihrer Grunflähe wren jeweils. 238,7 m lng. ) Zeihne ein Shrägil er Pyrmie im Mßst 1 : 2000. ) Berehne s ursprünglihe Volumen er Cheopspyrmie (ohne Behtung er Hohlräume). Aufge 8 ( * ) Ein Kegel ht ie Mße r = 5 m un = 12 m. ) Berehne sein Volumen. ) Berehne seine Oerflähe. 41 Anres Koepsell/Susnne von Lehmen: Kompetenztests Mthe 9/10 Auer Verlg AAP Lehrerfhverlge GmH Donuwörth ± 06573
Körpererehnungen Üungen zu en Kompetenzen Aufge 9 ( ** ) Der Quershnitt eines Knls ht ie Form eines gleihshenkligen Trpezes. ) Berehne en Fläheninhlt er Quershnittflähe. 40 m ) Wie viel Liter Wsser fsst er Knl uf einer Länge von 12 km? 23,5 m 15 m Aufge 10 ( ** ) K 5 Berehne ie fehlenen Größen er Zyliner: ) ) ) ) r 35 m 25 m 4 m 22 m V 65 144,1 m 3 4 423,36 m 3 O 150,8 m 2 M 3 141,59 m 2 Aufge 11 ( ** ) Eine Rolle Kupferrht ht ie Msse 1,382 kg, ie Dihte es Drhtes ist r = 8,8 g/m 3. Der Durhmesser es Drhtes eträgt 2 mm. Aus wie viel Metern Drht esteht ie Rolle? Aufge 12 ( ** ) Die Mntelflähe eines Kegels eträgt 95 m 2, ie Mntellinie s ist 6 m lng. ) Welhen Rius ht er Kegel? ) Welhe Höhe ht er Kegel? ) Berehne s Volumen un ie Oerflähe es Kegels. Aufge 13 ( *** ) Eine Kugel us Messing (r = 8,3 g/m 3 ) wiegt 1,9 kg. Sie esitzt einen Umfng von 35 m. K 5 ) Berehne s Volumen er gesmten Kugel. ) Begrüne, ss es sih um eine Hohlkugel hnelt. ) Ermittle s Volumen es kugelförmigen Hohlrumes. ) Welhe Wnstärke esitzt ie Kugel? Aufge 14 ( ** ) Der Fußll ht ein Volumen von 8181,23 m 3. ) Berehne en Rius. ) Wie groß wären ie Rien, wenn mn us er gleihen Menge n Leer zwei kleine, jeweils gleih große Bälle herstellen würe? Koepsell / von Lehmen: Kompetenztests Mthe 9 / 10 Auer Verlg GmH, Donuwörth 42 Anres Koepsell/Susnne von Lehmen: Kompetenztests Mthe 9/10 Auer Verlg AAP Lehrerfhverlge GmH Donuwörth ± 06573
Lösungen Lösungen Test Sinus, Kosinus, Tngens 1 ) = 4,34 m; = 1,86 m; ß = 23,18 1 ) = 18,44 ; e = 121 ; e = 6,88 m 2) Der Fluss ist 25,65 m reit. 3 ) 1. Peilung: 2,9 Seemeilen; 2. Peilung: 3,15 Seemeilen 3 ) Kürzeste Entfernung: 2 Seemeilen Körpererehnungen 1 ) mßstsgetreu verkleinert 1) Netz: Netz: Shrägil: Shrägil: 1) Netz: h Shrägil: h Koepsell / von Lehmen: Kompetenztests Mthe 9 / 10 Auer Verlg GmH, Donuwörth 2 ) mßstsgetreu verkleinert 2 ) h = 4 m (gemessen) (erehnet: 3,97 m); V = 67,2 m 3 (mit erehneter Höhe h : 66,7 m 3 ) 2 ) O = 119 m 2 3) V = 3 180,86 m 3 ; O = 1201,66 m 2 h 77 Anres Koepsell/Susnne von Lehmen: Kompetenztests Mthe 9/10 Auer Verlg AAP Lehrerfhverlge GmH Donuwörth ± 06573
Lösungen 4 ) 4 ) V = 11,95 m 3 ; O = 40 m 2 = 2,24 m h = 4 m 5) r = 12,4 m; O = 1936,6 m 2 ; 1,12. O = 2169 m 2 6) 376,99 m 3 7 ) (ohne Zeihnung) 146,6 m Þ 7,3 m; 238,7 m Þ 11,9 m 7 ) 2784309,78 m 3 8 ) 314,16 m 3 8 ) 282,74 m 2 9 ) h = 19,9 m, A = 547,25 m 2 9 ) 6567 000 000 Liter 10) ) ) ) ) r 35 m 25 m 4 m 8 m 16,93 m 20,0 m 2,00 m 22 m V 65 144,1 m 3 39 269,91 m 3 100,54 m 3 4 423,36 m 3 O 11419,4 m 2 7 068,58 m 2 150,8 m 2 1 507,96 m 2 M 3 722,5 m 2 3141,59 m 2 50,27 m 2 1 105,84 m 2 11) 49,99 m 12 ) 5,04 m 12 ) 3,26 m 12 ) V = 86,72 m 3 ; O = 174,8 m 2 13 ) 723,86 m 3 13 ) Eine Vollkugel würe 6,01 kg wiegen. 13 ) 494,95 m 3 13 ) 0,66 m 14 ) 12,5 m 14 ) 8,84 m 15) y h i 0,035 m x 51 15 ) h = 21,61 m 15 ) V = 8 824,08 m 3 i 15 ) sin 51 = 0,035 x m Þ x = 0,045 m; i = 34,91 m os 51 = 0,035 y m Þ y = 0,0556 m; h i = 21,554 m V i = 8 756,01 m 3 V Diff = 68,07 m 3 = 68 070 000 m 3 m = r. V = 170,175 t = 170 t 35 m 16 ) Differenz 5,77 m 16 ) Differenz 192,3 m 3 16 ) Differenz 173,07 g x Koepsell / von Lehmen: Kompetenztests Mthe 9 / 10 Auer Verlg GmH, Donuwörth 78 Anres Koepsell/Susnne von Lehmen: Kompetenztests Mthe 9/10 Auer Verlg AAP Lehrerfhverlge GmH Donuwörth ± 06573