Differentialgleichungen

Differentialgleichungen Eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung der Anwendungen Von Dr. phil. Dr. h. c. mult. Lothar Collatz em. o. Professor an der Universität Hamburg 6., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 173 Figuren, 75 Aufgaben und Lösungen und zahlreichen Beispielen B. G. Teubner Stuttgart 1981

Inhalt Einteilung der Differentialgleichungen 1. Bezeichnungen 13 2. Physikalische Beispiele für Differentialgleichungen 14 I Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung 1 Richtungsfeld und einfachste integrierbare Typen 3. Lösungskurven im Richtungsfeld 16 4. Trennung der Veränderlichen 17 5. Ähnlichkeitsdifferentialgleichung 20 6. Einfache, auf die Ähnlichkeitsdifferentialgleichung zurückführbare Fälle 21 2 Die lineare Differentialgleichung erster Ordnung 7. Homogene und inhomogene Gleichung, triviale Lösung 22 8. Lösung der homogenen Gleichung 23 9. Lösung der inhomogenen Gleichung 23 3 Bernoullische Differentialgleichung 10. Zurückführung auf eine lineare Differentialgleichung 25 11. Die Riccatische Differentialgleichung 26 4 Der integrierende Faktor 12. Exakte Differentialgleichung 27 13. Der integrierende Faktor 28 5 Vorbereitungen zur Existenz- und Eindeutigkeitsfrage 14. Ein- und mehrdeutige Richtungsfelder 29 15. Nichteindeutigkeit der Lösung 30 16. Die Lipschitz-Bedingung, schärfere und schwächere Form.... 31 17. Das Verfahren der schrittweisen Näherungen 32 6 Der allgemeine Existenz- und Eindeutigkeitssatz 18. Der Existenzsatz 34 19. Der Eindeutigkeitsbeweis 38 20. System von Differentialgleichungen und eine Differentialgleichung w-ter Ordnung 39 21. Einige Grundbegriffe der Funktionalanalysis 41 22. Banachscher Fixpunktsatz und der Existenzsatz bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 47 7 Singulare Linienelemente 23. Reguläre und singulare Linienelemente. Definitionen und Beispiele 49 24. Isolierte singulare Punkte 52

Inhalt 9 25. Zur Theorie der isolierten singulären Punkte 54 26. Die Clairautsche und d'alembertsche Differentialgleichung.... 56 27. Schwingungen bei einem Freiheitsgrad, Phasenkurven 58 28. Beispiele von Schwingungen und Phasenkurven 60 29. Periodische Schwingungen autonomer ungedämpfter Systeme mit einem Freiheitsgrad 65 8 Vermischte Aufgaben und Lösungen 30. Aufgaben 68 31. Lösungen 72 II Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung 1 Einige Typen nichtlinearer Differentialgleichungen 1. Die abhängige Veränderliche y kommt nicht explizit vor.... 73 2. Die Gleichung y" = f(y) und das Energieintegral 74 3. Die allgemeine Differentialgleichung, in der x nicht explizit auftritt 75 ym 4. Die Differentialgleichung enthält nur die Verhältnisse.... 77 2 Grundlegende Sätze über lineare Differentialgleichungen 5. Bezeichnungen 77 6. Der Überlagerungssatz 78 7. Reduktion der Ordnung einer linearen Differentialgleichung... 79 3 Fundamentalsysteme einer linearen Differentialgleichung 8. Lineare Abhängigkeit von Funktionen 80 9. Die Wronskische Determinante für lineare Unabhängigkeit von Funktionen 82 10. Allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung 84 4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 11. Lösungsansatz und charakteristische Gleichung 86 12. Mehrfache Nullstellen der charakteristischen Gleichung 89 13. Stabilitätskriterium 92 14. Die Gleichung für erzwungene Schwingungen 93 15. Lösung der homogenen Schwingungsgleichung 94 5 Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 16. Das Verfahren der Variation der Konstanten 96 17. Die Faustregel" 98 18. Einführung einer komplexen Differentialgleichung 99 19. Der Resonanzfall 101 6 Die Eulersche Differentialgleichung 20. Lösungsansatz und charakteristische Gleichung 101 21. Beispiele 103 7 Systeme linearer Differentialgleichungen 22. Beispiel: Schwingungen eines Kraftfahrzeugs (Kopplungsarten).. 104 23. Fundamentalsystem von Lösungen 107

10 Inhalt 24. Lösung des inhomogenen Systems mit Hilfe der Variation der Konstanten 109 25. Matrix A konstant, charakterische Zahlen der Matrix 109 26. Die drei Hauptklassen in der Theorie der quadratischen Matrizen. 110 27. Anwendung auf die Schwingungslehre 112 28. Beispiel eines physikalischen Systems mit nicht normalisierbarer Matrix 113 29. Transformation normaler und normalisierbarer Matrizen auf Diagonalgestalt 114 8 Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten 30. Technische Beispiele für Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten 119 31. Periodische Lösungen des homogenen Systems 120 32. Stabilität 121 33. Periodische Lösungen beim inhomogenen System 123 34. Beispiel für die Stabilitätstheorie 124 III Rand-, insbesondere Eigenwertaufgaben 1. Anfangswertaufgaben und Randwertaufgaben 125 1 Beispiele linearer Randwertaufgaben 2. Ein Träger. Mehrere Felder der Differentialgleichung 126 3. Die Anzahl der Lösungen bei linearen Randwertaufgaben....128 2 Beispiele nichtlinearer Randwertaufgaben 4. Differentialgleichung der Kettenlinie 130 5. Die Differentialgleichung y" = y 2 132 6. Abzählbar unendlich viele Lösungen der Randwertaufgabe bei y" = _ j/s!35 3 Die Alternative bei linearen Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen 7. Halbhomogene und vollhomogene Randwertaufgaben 136 8. Die allgemeine Alternative 137 4 Lösung von Randwertaufgaben mit Hilfe der Greenschen Funktion 9. Einfachste Beispiele Greenscher Funktionen 138 10. Die Greensche Funktion als Einflußfunktion 141 11. Allgemeine Definition der Greenschen Funktion 142 12. Die Lösungsformel für die Randwertaufgabe 144 5 Beispiele von Eigenwertaufgaben 13. Die vollhomogene Randwertaufgabe 146 14. Die nichtlineare Randwertaufgabe 148 15. Partielle Differentialgleichungen 149 16. Der Bernoulli-Ansatz für Eigenschwingungen 151 6 Eigenwertaufgaben und Orthonormalsysteme 17. Selbstadjungierte und volldefinite Eigenwertaufgaben 154 18. Orthogonalität der Eigenfunktionen 156

Inhalt 11 19. Orthonormalsystem 157 20. Approximation im Mittel 162 21. Zum Entwicklungssatz 163 22. Der Quotienteneinschließungssatz 165 7 Beziehungen zur Variationsrechnung 23. Einfache Beispiele 168 24. Die Eulersche Gleichung der Variationsrechnung im einfachsten Falle 170 25. Freie Randwertaufgaben und Variationsrechnung 172 8 Verzweigungsprobleme 26. Verzweigungsaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung 174 27. Nichtlineare Eigenwertaufgaben und Verzweigungsprobleme... 175 28. Beispiel: Verzweigungsdiagramm bei einer Urysohnschen Integralgleichung 175 9 Vermischte Aufgaben und Lösungen zu Kapitel II und III 29. Aufgaben 177 30. Lösungen 179 IV Spezielle Differentialgleichungen 1 Kugelfunktionen 1. Lösung der Potentialgleichung 182 2. Die erzeugende Funktion 185 3. Kugelfunktionen zweiter Art 187 4. Eine andere explizite Darstellung der Legendreschen Polynome. 188 5. Orthogonalität 189 2 Zylinderfunktionen 6. Partielle Schwingungsdifferentialgleichung einer Membran....190 7. Bernoulli-Ansatz für die Membranschwingungen 191 8. Die erzeugende Funktion 192 9. Folgerungen mit Hilfe der erzeugenden Funktion 193 10. Integraldarstellung 196 11. Beispiel aus der Astronomie: Die Keplersche Gleichung 197 12. Bessel-Funktionen zweiter Art 198 13. Allgemeinere Differentialgleichungen 198 14. Schwingungsformen der Kreismembran 201 3 Reihenentwicklung, hypergeometrische Funktion 15. Reihenansatz, determinierende Gleichung 202 16. Wurzeln der determinierenden Gleichung 203 17. Beispiel: Hypergeometrische Gleichung 205 18. Störungsrechnung und singulare Stellen 207 19. Beispiel zur Technik der Reihenentwicklung 209 V Exkurs in die partiellen Differentialgleichungen 1 Allgemeine Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 1. Einfache lineare partielle Differentialgleichungen 211

12 Inhalt 2. Wellengleichung und Potentialgleichung 213 2 Anfangs- und Randwertaufgaben 3. Die 3 Grundtypen einer quasilinearen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung 215 4. Einfluß- und Fortsetzungsgebiet 218 5. Lösung der Randwertaufgabe für den Kreisbereich 220 6. Beispiel: Temperaturverteilung 222 3 Randmaximumsatz und Monotonie 7. Randmaximumsatz der Potentialtheorie in der Ebene und im dreidimensionalen Raum 225 8. Stetige Abhängigkeit der Lösung der Randwertaufgabe von den Daten 226 9. Monotoniesätze, Optimierung und Approximation 228 10. Numerisches Beispiel: Torsionsproblem 230 4 Sachgemäßheit und freie Randwertaufgaben 11. Sachgemäße und unsachgemäße Aufgaben 231 12. Weitere inkorrekt gestellte Aufgaben 233 13. Beispiele freier Randwertaufgaben 234 5 Beziehungen zur Variationsrechnung und Methode der flniten Elemente 14. Variationsproblem für die 1. Randwertaufgabe der Potentialtheorie 236 15. Ritzsches Verfahren 237 16. Methode der finiten Elemente 239 17. Beispiel 241 VI Anhang Einige Näherungsmethoden und weitere Übungsaufgaben 1 Einige Näherungsverfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Vorbemerkungen und einige grobe Näherungsverfahren 242 2. Angenäherte numerische Integration nach Runge und Kutta... 243 3. Verfahren der zentralen Differenzen 244 4. Differenzenverfahren 247 5. Mehrstellenverfahren 248 6. Ritzsches Verfahren 250 2 Weitere Übungsaufgaben mit Lösungen 7. Vermischte Aufgaben zu Kapitel I 251 8. Lösungen 253 9. Vermischte Aufgaben zu Kapital II und III 256 10. Lösungen 259 11. Vermischte Aufgaben zu Kapitel IV und V 268 12. Lösungen 272 3 Einige biographische Daten 13. Lebenszeiten einiger Mathematiker 279 Verzeichnis einiger Bücher 281 Sachverzeichnis 283