Inhaltsverzeichnis s.

Inhaltsverzeichnis s. Abschnitt I. Rechnung mit bestimmten Grössen. Capitel I. Elemente der Lehre von den ganzen Zahlen. 1. Begriff der Zahl. Unabhängigkeit einer Summe gegebener Zahlen von der Anordnung der Summation 1 2. Producte, Quotienten und Reste 2 3. Unabhängigkeit eines Products gegebener Zahlen von der Anordnung der Multiplication 3 4. Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen 7 5. Aufsuchung des grossesten gemeinsamen Theilers zweier Zahlen 8 6. Relative Primzahlen 9 7. Zerlegung einer zusammengesetzten Zahl in ein Product von Primzahlen 11 8. Divisoren einer Zahl... 13 9. Anzahl der relativen Primzahlen zu einer Zahl m, die nicht grösser sind als m 15 10. Addition, Subtraction und Multiplication von positiven und negativen ganzen Zahlen 18 Capitel IL Rechnung mit Brüchen. 11. Definition des Theilens oder der Division 23 12. Addition, Subtraction, Multiplication und Division von positiven und negativen Brüchen 25

Vili - Inhaltsverzeichniss. Capitel III. Rechnung mit Potenzen von ganzen und gebrochenen Exponenten» Rechnung mit rationalen und irrationalen Grössen. 13. Potenzen eines gegebenen Bruches 28 14. Definition der positiven Wurzel des nten Grades aus einem gegebenen positiven Bruche 31 15. Folge von Brüchen, die sich einem Grenzwerthe nähern... 37 16. Ausdehnung der Addition, Subtraction, Multiplication und Division auf Grenzwerthe 40 17. Eindeutigkeit der positiven Wurzel des nten Grades aus einem gegebenen positiven Bruche. Definition der rationalen und der irrationalen Grössen. Zusammenfassung der rationalen und der irrationalen Grössen unter der Benennung der bestimmten Grossen 47 18. Producte und Quotienten von positiven wten Wurzeln aus positiven rationalen Brüchen 50 19. Rechnung mit Potenzen, deren Basis ein rationaler Bruch ist und deren Exponenten positive oder negative ganze Zahlen sind. Eindeutige Definition der Potenzen, deren Basis ein positiver rationaler Bruch ist und deren Exponenten positive oder negative rationale Brüche sind. Rechnung mit solchen Potenzen 52 20. Addition, Subtraction, Multiplication und Division von beliebigen rationalen oder irrationalen Grössen. Entsprechende Ausdehnung des Gebietes der Analysis. Rechnung mit Potenzen, deren Basis eine beliebige rationale oder irrationale Grösse ist und deren Exponenten positive oder negative rationale Brücke sind 58 Abschnitt II. Elemente der Algebra. Capitel I. Definition der Algebra. 21. Rationale ganze und rationale gebrochene Ausdrücke.... 61 22. Constante und variable Elemente 64

Inhaltsverzeichniss. IX Capitel IL Algebraische rationale ganze Functionen mit einer Variable nnd einem beliebig hohen Grade. Algebraische Gleichungen mit einer Unbekannten nnd einem beliebig hohen Grade. 23. Ganze Function des ersten Grades mit einer Variable. Gleichung des ersten Grades mit einer Unbekannten 66 24. Ganze Function des zweiten Grades mit einer Variable. Gleichung des zweiten Grades mit einer Unbekannten 69 25. Bedingungen für die Zerlegung einer Function des zweiten Grades einer Variable in ein Product von zwei Factoren des ersten Grades 73 26. Einführung der Rechnung mit reellen und imaginären oder mit complexen Grössen. Addition, Subtraction, Multiplication der complexen Grössen 75 27. Division der complexen Grössen. Einheiten auf dem Gebiete der complexen Grössen 79 28. Zerlegbarkeit von jeder Function des zweiten Grades einer Variable bei Anwendung der Rechnung mit complexen Grössen 85 29. Reine Gleichungen eines beliebigen hohen Grades von der Gestalt w"=.. N 88 30. Darstellung einer complexen Grösse mit Anwendung des Sinus und des Cosinus eines zugehörigen Winkels. Entsprechende Darstellung einer ganzen Potenz einer complexen Grösse.. 90 31. Allgemeine Auflösung der reinen Gleichungen eines beliebig hohen Grades = 96 32. Betrachtung der sämmtlichen Wurzeln einer reinen Gleichung eines beliebigen Grades = G 98 33. Reine Gleichungen eines beliebig hohen Grades von der Gestalt co n =A-\-Bi. Allgemeine Auflösung derselben.... 100 34. Auflösung der reinen quadratischen Gleichung 2 = -^durch Ausziehung von Quadratwurzeln 101 35. Wurzeln der Gleichung = 1 oder nte Wurzeln der Einheit 108 36. Eigenschaften der wten Wurzeln der Einheit. Primitive nte Wurzeln der Einheit 111 37. Zusammensetzung^ von Wurzeln der Einheit einer gegebenen Ordnung aus Wurzeln der Einheit einer niedrigeren Ordnung. Auflösung von unbestimmten Gleichungen des ersten Grades -

X Inhalts ver zeichniss. mit zwei Unbekannten in ganzen Zahlen. Zerlegung eines Bruches in Partialbrüche 114 38. Fortsetzung 120 39. Darstellung der sämmtlichen Wurzeln der Gleichung = + Bi, oder der sämmtlichen ntcn Wurzeln aus einer complexen Grösse A + Bi durch Anwendung von einer beliebigen dieser Wurzeln und der sämmtlichen wten Wurzeln der Einheit 123 40. Hülfsauf gaben zur Darstellung der nten Wurzeln aus einer complexen Grösse A-\-Bi 126 41. Theilung eines Kreises in «gleiche Theile. Merkmale der Theilungen eines Kreises, die mit alleiniger Hülfe von Lineal und Zirkel ausführbar sind 129 42. Bestimmung eines Punktes in einer Ebene durch die Geometrie des Descartes oder die analytische Geometrie. Gauss' geometrische Darstellung der complexen Grössen. Deutung der Addition und Multiplication von complexen Grössen und der Bestimmung der wten Wurzeln aus einer complexen Grösse 137 43. Zusammenhang zwischen einer ganzen Function eines beliebigen Grades einer Variable und den Werthen der Variable, für welche die Function verschwindet, oder den Wurzeln der zugehörigen Gleichung 150 44. Fortsetzung m 159 45. Fortsetzung.. 161 46. Symmetrische Verbindungen der gegebenen sämmtlichen Wurzeln einer Gleichung. Binomischer Lehrsatz für ganze positive Exponenten 165 47. Reelle und complexe Factoren des ersten Grades einer Function einer Variable 170 48. Aus dem Gebiete der reinen Gleichungen entnommene Beispiele für die Zerlegung einer Function einer Variable in Factoren des ersten Grades 174 49. Transformation einer ganzen Function einer Variable durch Einführung einer neuen Variable. Entwickelung, die nach den Potenzen der neuen Variable geordnet ist. Ableitungen einer ganzen Function 178 50. Besondere Transformation 184 51. Allgemeine Auflösung der Gleichung des dritten Grades mit einer Unbekannten 186 52. Fortsetzung 193

Inhaltsverzeichniss. XI 53. Discussion der Beschaffenheit der Wurzeln bei einer cubischen Gleichung, deren Coëfficiënten reell sind 197 54. Ausdrücke der Wurzeln einer cubischen Gleichung durch Anwendung von Wurzelzeichen. Allgemeine Deutung der Wurzelzeichen 203 55. Allgemeine Auflösung der Gleichung des vierten Grades mit einer Unbekannten 208 56. Discussion der Beschaffenheit der Wurzeln bei einer biquadratischen Gleichung, deren Coëfficiënten reell sind 214 57. Verbindungen der Wurzeln einer Gleichung des zweiten, dritten und vierten Grades, die eine bestimmte Beziehung zu der Auflösung der betreffenden Gleichung haben. Anzahl der Werthe dieser Verbindungen bei vollständiger Vertauschung der Wurzeln unter einander 216 58. Darstellbarkeit der rationalen ganzen symmetrischen Verbindungen von n Elementen durch n symmetrische Grundverbindungen 225 59. Beispiele zu dem vorigen. Differenzenproduct der gegebenen Wurzeln einer Gleichung. Discriminante einer Gleichung.. 235 60. Auflösbarkeit einer algebraischen Gleichung überhaupt. Auflösbarkeit einer algebraischen Gleichung durch Zurückführung auf reine Gleichungen 244 61. Beweis des Satzes, dass jede algebraische Gleichung mit einer Unbekannten durch einen reellen oder complexen Werth befriedigt werden kann 248 62. Fortsetzung 254 63. Fortsetzung 259 64. Fortsetzung 265 65. Fortsetzung 268 66. Fortsetzung 272 67. Zerlegung einer rationalen ganzen Function eines beliebig hohen Grades von einer Variable in Factoren des ersten Grades 283 68. Aufsuchung des grossesten gemeinsamen Theilers von zwei ganzen Functionen einer Variable 286 69. Entwicklung eines Bruches, dessen Zähler und Nenner ganze Zahlen sind, in einen Kettenbruch. Entwickelung eines Bruches, dessen Zähler und Nenner ganze Functionen einer Variable sind, in einen Kettenbruch 290

XII Inhaltsverzeichniss, Capitel III. Algebraische rationale ganze Functionen von beliebig vielen Yariabeln und beliebig hohen Graden. 70. Gleichheit der Coëfficiënten bei zwei Functionen, die für unbestimmte Werthe der Yariabeln einander gleich sind. Homogene Functionen. Transformation der homogenen Functionen durch eine Substitution des ersten Grades 296 Capitel IV. Systeme von n ganzen homogenen Functionen des ersten Grades mit n Yariabeln. Allgemeine Auflösung von n Gleichungen des ersten Grades mit n Unbekannten. Lehre der Determinanten. 71. Zwei Functionen des ersten Grades mit zwei Variabein. Allgemeine Auflösung von zwei Gleichungen des ersten Grades mit zwei Unbekannten. Determinanten des zweiten Grades. 300 72. Drei Functionen des ersten Grades mit drei Variabein. Allgemeine Auflösung von drei Gleichungen des ersten Grades mit drei Unbekannten. Determinanten des dritten Grades. 304 73. System von n ganzen Functionen des ersten Grades mit n Variabein. Eintheilung der sämmtlichen Permutationen von n Zeigern in zwei Classen 309 74. Allgemeine Definition einer Determinante des wten Grades. Grundeigenschaften einer Determinante. Allgemeine Auflösung von n Gleichungen des ersten Grades mit n Unbekannten für den Fall einer von Null verschiedenen Determinante.. 317 75. Vollständige Discussion der Auflösung von n Gleichungen des ersten Grades mit n Unbekannten Juir den Fall einer verschwindenden Determinante 328 76. Transformation eines Systems von n Functionen des ersten Grades mit n Variabein durch eine Substitution des ersten Grades. Multiplicationssatz der Determinanten 337 77. Eigenschaften der adjungirten Elemente eines gegebenen Systems von Elementen 344

Inhaltsverzeiclmiss. Capitel V. XIIÏ Ganze homogene Functionen eines beliebig hohen Grades mit zwei Variabein. 78. Zerlegung der ganzen homogenen Functionen mit zwei Variabeln in homogene Factoren des ersten Grades 351 Capitel VI. Ganze homogene Functionen des zweiten Grades, oder quadratische Formen mit beliebig vielen Variabein. 79. Eintheilung der ganzen homogenen Functionen des zweiten Grades mit zwei Variabein und reellen Coëfficiënten.... 360 80. Gauss' geometrische Darstellung der wesentlich positiven ganzen homogenen Functionen des zweiten Grades mit zwei Variabein. System parallelogrammatisch geordneter Punkte in der Ebene. Verschiedene Anordnungen eines solchen Systems 363 81. Transformation der quadratischen Formen mit beliebig vielen Variabein. Eigenschaften der Determinante einer quadratischen Form 375 82. Zurückführung einer quadratischen Form, deren Determinante gleich Null ist, auf eine quadratische Form, bei der die Anzahl der Variabein den kleinsten möglichen Werth hat... 383 83. Zusammenhang einer quadratischen Form mit der zu ihr adjungirten quadratischen Form 392 84. Verwandlung einer quadratischen Form in eine Summe von Quadraten, die mit constanten Factoren multiplicirt sind. Aufstellung der Kriterien dafür, dass eine quadratische Form, deren Coëfficiënten reell sind, wesentlich positiv oder wesentlich negativ oder keines von beiden sei 394 85. Wesentlich positive ternäre quadratische Formen. Bestimmung eines Punktes im Räume durch rechtwinklige Coördinaten und durch Coördinaten eines beliebigen Axensystems. Gauss' geometrische Darstellung der wesentlich positiven ternären Formen 402 86. Geometrische Deutung der aus einer Substitution des ersten Grades hervorgehenden Transformation einer positiven ternaren Form 416

XIV Inhaltsverzeichniss. Reite 87. System parallelepipedisch geordneter Punkte im Räume. Verschiedene Anordnungen eines solchen Systems....... 424 88. Trägheitsgesetz der quadratischen Formen 426 Abschnitt III. Unbegrenzt fortgesetzte Division. Capitel I. Récurrente Reihen. 89. Division von zwei rationalen ganzen Functionen einer Variable 431 90. Geometrische Reihe. Ausdruck der Summe einer Anzahl von auf einander folgenden Gliedern einer geometrischen Reihe. 434 91. Ausführung der Division durch die Methode der unbestimmten Coëfficiënten 436 92. Récurrente Reihen von verschiedener Ordnung. Ausdruck der Summe einer Anzahl von auf einander folgenden Gliedern einer recurrenten Reihe 439v 93. Zerlegung einer rationalen gebrochenen Function einer Variable in Partialbrüche. Zerlegung einer recurrenten Reihe in partielle récurrente Reihen 442 94. Récurrente Darstellung der Summen der gleich hohen Potenzen der Wurzeln einer Gleichung durch die Coëfficiënten der Gleichung 451 95. Partialbruchzerlegung eines Bruches, dessen Nenner aus lauter ungleichen Factoren des ersten Grades besteht.-. 456 96. Intcrpolationsformel 459 97. Entwickelung der negativen ganzen Potenzen eines Binoms in eine Reihe 460 98. Grenzwerth der Summe einer geometrischen Reihe bei wachsender Anzahl der Glieder 463 99. Summation einer unendlich ausgedehnten recurrenten Reihe von beliebiger Ordnung 472 Abschnitt IV. Exponentialfunctionen und Logarithmen, trigonometrische Functionen und inverse trigonometrische Functionen. Capite! I. Exponentialfunctionen und Logarithmen. 100. Exponentialfunctionen 476

Inhalts verzeichniss. XV 101. Fortsetzung. Allgemeiner Begriff der Function einer variaheln Grösse 484 102. Logarithmen 48G Capitel IL Trigonometrische Functionen und inverse trigonometrische Functionen. 103. Trigonometrische Functionen 492 104. Inverse trigonometrische Functionen. Begriff der Umkehrung einer Function 497 Abschnitt V. Unendliche Summen und Producte. Capitel I. Allgemeine Eigenschaften von unendlichen Summen und Producten. 105. Definitionen 502 106. Kennzeichen für die Convergenz unendlicher Summen... 509 107. Potenzreihen 513 108. Fortsetzung. Begriff der Stetigkeit einer Function.... 522 109. Addition, Subtraction und Multiplication von unendlichen Summen 534 110. Kennzeichen für die Convergenz unendlicher Producte... 541 111. Anwendungen 545 Capitel IL Potenzreihen zur Entwickelung von fundamentalen Functionen der Analysis. 112. Aufstellung der Binomialreihe und der Exponentialreihe.. 547 113. Untersuchung der Exponentialreihe 550 114. Fortsetzung. Reihe mit reellem Argument zur Darstellung der Exponentialfunction 555 115. Fortsetzung. Reihe mit rein imaginärem Argument zur Darstellung der trigonometrischen Functionen Sinus und Cosinus 559

XVI Inhaltsverzeichnis. 116. Fortsetzung. Werthbestimmung der Exponentialreihe mit beliebigem complexem Argument 565 117. Untersuchung der Binomialreihe 567 118. Fortsetzung 572 119. Fortsetzung. Vollständige Werthbestimmung der Binomialreihe 579 120. Reihe zur Darstellung der Functionen Logarithmus und Arcus tangentis 586