Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Aufgaben mit sen 3 3 4 4 5 5 6 6 7 Differenzialrechnung
Differenzialrechnung, Aufgaben ii Inhalt Steigung... Beweis?... 3 Spiel mit Eponenten... 4 Ableitung... 5 Skizze der Ableitung... 6 Umkehrung der Ableitung?... 7 Umkehrung der Ableitung?...3 8 Mehrfaches Ableiten. Formel von Leibniz...3 9 Passende Funktionen gesucht...3 0 Produktregel für mehrere Faktoren...4 Zweimal Sinus...4 Zweimal Kosinus...5 3 Zusammensetzung von zwei Funktionen, Kettenregel...5 4 Hyperbelfunktionen...5 5 cosh und sinh...7 6 Hyperbolischer Tangens...7 7 Spiel mit Eponenten...8 8 Zusammensetzung von drei Funktionen...8 9 Verallgemeinerte Kettenregel...9 0 Areafunktionen...9 Artanh...0 003/04 Erstausgabe last modified: 6. November 003 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung, 405 Basel www.math.unibas.ch/~walser hwalser@bluewin.ch
Differenzialrechnung, Aufgaben Steigung Was stimmt an dieser Verkehrstafel nicht? Die eingezeichnete Rampe hat einen Steigungswinkel von 30 und daher eine Steigung tan ( 30 ) 0. 5774 = 57. 74% %. Beweis? Es ist ( 4 ) = 4 3. Wie lässt sich dieser Sachverhalt beweisen? Analog Vorlesung 3 Spiel mit Eponenten Gesucht ist je die erste Ableitung: a) f()= t cos t ( ()) 4 b) gt ()= cos 4 t 3 ( sin() ) a) = 4 cos() 3 b) g ( t)= 4 () t () t f t t t cos sin (wie bei a)) c) h ( t)= sin( t 4 ) 4t 3 d) = 6cos sin 3 4 4 3 k t t t t 4 Ableitung Welches ist die erste Ableitung von a) f= ln ( ) = b) g ln ln = c) h ln ln ln () c) ht ()= cos t 4 d) kt ()= cos 4 t 4
Differenzialrechnung, Aufgaben a) f ln f = = = ln ln g ( )= ln ( ) b) g ( ) = c) h ln ln ln h = ln ln ( ) ln 5 Skizze der Ableitung Skizzieren Sie (ins gleiche Koordinatensystem) die Ableitungsfunktion der durch den Graphen gegebenen Funktion. 0.8 0.6 0.4 0. -0.4-0. 0. 0.4 0.6 0.8..4.6.8-0. -0.4-0.6-0.8 - -. 6 Umkehrung der Ableitung? Gesucht ist jeweils ein Beispiel einer Funktion f so, dass a) f = 4 b) f = 4 c) f = 4 d) f = ( 4 ) a) f 5 = 5 + C
Differenzialrechnung, Aufgaben 3 b) f 6 = + C+ D 30 c) f 7 C = + + D + E 0 d) f 7 C = + + D + E 0 7 Umkehrung der Ableitung? Gesucht ist jeweils ein Beispiel einer Funktion f() t so, dass a) f ()= t sin() t b) f ()= t sin() t c) f ()= t sin() t d) f ()= t si n t a) f()= t cos()+ t C b) f()= t sin()+ t Ct + D c) f t cos t t Dt E C ()= ()+ + + d) f t cos t t Dt E C ()= ()+ + + 8 Mehrfaches Ableiten. Formel von Leibniz f bedeutet die zweite Ableitung von f, also f = ( f ), entsprechend f die dritte Ableitung, f ( 4) die vierte Ableitung, usw.. (Beispiel: f= 7, f = 7 6, f = 4 5, f = 0 4, f ( 4) = 840 3 ). Wie lautet die entsprechende Produktregel? a) ( fg )= b) ( fg ) = c) ( fg ) = d) ( fg) ( 4) = e) ( fg) ( 5) = f) Kommentar? () n = ( k ) k= 0 ( n) f) fg n ( k) ( n k) f g (Formel von Leibniz, verwandt mit binomischer Formel) 9 Passende Funktionen gesucht a) Gesucht ist ein Beispiel einer Funktion f so, dass f = f. b) Gesucht sind zwei verschiedene Funktionen f so, dass f = f. c) Gesucht sind drei verschiedene Funktionen f so, dass f ( 4) = f. a) f= ae b) f= acos, f= bsin c) f= acos, f= bsin, f= ce
Differenzialrechnung, Aufgaben 4 0 Produktregel für mehrere Faktoren Es ist ( fg ) = fg+ f g. Gesucht ist eine entsprechende Formel für a) ( fgh ) b) ( fghi ) c) ( f 4 ) = ( ffff ) d) ( fgh ) a) ( fgh) = f gh + fg h + fgh b) ( fghi) = f ghi + fg hi + fgh i + fghi 4 3 c) ( f ) = ( ffff ) = 4 f f (Produktregel oder Kettenregel) d) ( fgh) = f gh + fg h + fgh + f g h + f gh + fg h Zweimal Sinus a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f= sin() tsin () t ; t ππ [, ]. (Erst überlegen, dann im Computer nachsehen!) = () ππ [ ] b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion g sin sin t ; t,. (Erst überlegen, dann im Computer nachsehen!) a) y f t = sin t sin t = sin t -π π - t - b) g t = sin sin t y -π π - t -
Differenzialrechnung, Aufgaben 5 Zweimal Kosinus a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f= cos() tcos () t ; t ππ [, ]. (Erst überlegen, dann im Computer nachsehen!) = () ππ [ ] b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion g cos cos t ; t,. (Erst überlegen, dann im Computer nachsehen!) a) y f t = cos t cos t = cos t -π π - t - b) g t = cos cos t y -π π - t - 3 Zusammensetzung von zwei Funktionen, Kettenregel Es sei: f : und g: sin. Gesucht sind: a) ( g o f ) b) ( f o g) 4 Hyperbelfunktionen Die Funktionen cosh ( cosinus hyperbolicus oder hyperbolischer Kosinus ) und sinh ( sinus hyperbolicus oder hyperbolischer Sinus ) sind wie folgt definiert: cosh= e +e und sinh= e e
Differenzialrechnung, Aufgaben 6 a) In der Figur sind die Funktionsgraphen von e und e eingetragen. Skizzieren Sie dazu die beiden Funktionsgraphen von cosh und sinh. Bemerkung: Der Funktionsgraph von cosh wird als Kettenlinie bezeichnet. b) Gesucht sind die Ableitungen cos h und sin h. Kommentar?
Differenzialrechnung, Aufgaben 7 5 4 3-3 - - 3 - - -3-4 a) -5 b) cosh = sinh, sinh = cosh 5 cosh und sinh Die Funktionen cosh und sinh sind wie folgt definiert: cosh( e + e )= und sinh( e e )= Gibt es eine zu cos + sin = entsprechende Formel mit cosh und sinh? cosh sinh = 6 Hyperbolischer Tangens Es ist tanh= sinh cosh. a) Skizze oder Plot des Funktionsgraphen? b) lim tanh=? c) lim tanh=?
Differenzialrechnung, Aufgaben 8 d) Ableitung von tanh? a) y = tanh -4-3 - - 3 4 - - b) lim tanh= c) lim tanh= d) d d tanh tanh cosh = = 7 Spiel mit Eponenten Gesucht ist je die erste Ableitung: a) f()= t cos t ( ()) 4 b) gt ()= cos 4 t () c) ht ()= cos t 4 d) kt ()= cos 4 t 4 8 Zusammensetzung von drei Funktionen Es sei: f=, g = sin und h =. Wie viele Zusammensetzungen dieser drei Funktionen gibt es (Beispiele: h o g o f, g o h o f, )? Listen Sie die Zusammensetzungen auf und geben Sie einen möglichst großen Definitionsbereich an. Es gibt 3! = 6 Zusammensetzungen, nämlich (Definitionsbereiche eemplarisch):
Differenzialrechnung, Aufgaben 9 Definitionsbereich Zusammensetzung [ 0, π] hogo f = sin( ) R R R + 0 = sin = sin = sin [ 0, π] f ohog= sin R + 0 ho f og goho f go f oh = sin f ogoh 9 Verallgemeinerte Kettenregel Es sei: f=, g = sin und h =. Wie viele Zusammensetzungen dieser drei Funktionen gibt es (Beispiele: h o g o f, g o h o f, )? Listen Sie die Zusammensetzungen auf und geben Sie die im Definitionsbereich [ 0, ] gültige Ableitung an. Definitionsbereich Zusammensetzung Ableitung [ 0, ] hogo f = sin( ) cos( ) sin( ) [ 0, ] [ 0, ] [ 0, ] [ 0, ] ho f og= sin goho f = sin go f oh = sin f ohog= sin cos cos cos cos [ 0, ] f = o go h sin sin cos 0 Areafunktionen a) arcosh ( area cosinus hyperbolicus ) ist die Umkehrfunktion von cosh. Gesucht ist arcosh ( ). b) Was ist arsinh ( )?
Differenzialrechnung, Aufgaben 0 a) arcosh = b) arsinh = + Artanh artanh ( area tangens hyperbolicus ) ist die Umkehrfunktion von tanh. Gesucht ist artanh ( ). artanh =