Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Definition: Unter der n-ten Potenz einer beliebigen reellen Zahl a versteht man das n-fache Produkt von a mit sich selbst Man schreibt a n = b Dabei heißt a die Basis, n = 1, 2, 3,... Der Exponent und b der Potenzwert So ist zum Beispiel a 1 = a, a 2 = a a, a 3 = a a a,... Für n = 0 legt man fest: a 0 = 1 mit a 0 33
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Es ist leicht einzusehen und mit Hilfe der Definition der Potenz zu beweisen, dass für beliebige reelle Basen a, b und positive ganze Exponenten m, n gilt 34
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Die Potenzgesetze kann man auf umzuformende Ausdrücke, die ganzzahlige Exponenten enthalten anwenden Beispiele: 35
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Bei der Addition und Subtraktion von Potenzen ist zu beachten, dass nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten zusammengefasst werden können Beispiele: 36
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Schließlich sei noch darauf hingewiesen, dass zwischen Basis- und Potenzvorzeichen zu unterscheiden ist. Potenzen mit positiver Basis haben stets einen positiven Potenzwert, während Potenzen mit negativer Basis bei geraden Exponenten positiv, und bei ungeraden Exponenten negativ sind. Also gilt: 37
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten Definition: Die n-te Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl a ist diejenige nichtnegative Zahl b, für die gilt Man schreibt Dabei heißt a der Radikand, d n der Wurzelexponent und b der Wurzelwert (Wurzel) 38
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten Für gerades n = 2, 4, 6,... existiert bei a < 0 keine Wurzel b, weil eine gerade Potenz von b immer nichtnegativ ist Für gerades n und positives a hat die Gleichung b n = a grundsätzlich zwei reelle Lösungen. So hat zum Beispiel die Gleichung b 2 = 4, also n = 2 und a = 4, die Lösungen b 1 = 2 und b 2 = -2. Um die Rechenoperation des Radizierens eindeutig zu gestalten, muss man sich für eine Lösung entscheiden. Man gibt der positiven Lösung den Vorzug. Für ungerades n = 1, 3, 5,... Und a 0 hat b n = a immer eine eindeutige nichtnegative Lösung, also b 0. Für ungerades n und negatives a hat b n = a immer eine eindeutige negative Lösung, also b < 0. So hat zum Beispiel die Gleichung b 3 = -8 die eindeutige Lösung b = -2. 39
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten Man muss also für gerade n = 2, 4, 6,... die Forderung a 0, b 0 unter allen Umständen stellen, weil sonst die Wurzel entweder überhaupt nicht existiert oder mehrdeutig wäre. Für ungerades n = 1, 3, 5,... Könnte man auf beide Forderungen verzichten. Man hätte dann allerdings den Nachteil, für alle möglichen Fälle viele verschiedene Wurzelgesetze aufstellen zu müssen. Ferner wäre eine Einordnung der Wurzelgesetze in die Potenzgesetze sehr schwierig. Daher trifft man auch bei ungeraden Wurzelexponenten n die Festlegungen und schreibt zum Beispiel für die eindeutige Lösung -2 von b 3 = -8 nicht, sondern 40
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten Im Zusammenhang mit den erwähnten Voraussetzungen sei auf den Trugschluss hingewiesen. Die Quadratwurzel ist für alle reellen Zahlen a definiert. Für nichtnegative a wäre der Ausdruck gültig, während man für negative Zahlen a nach einem negativen Wurzelwert erhielte was der Voraussetzung b 0 wiederspricht. Im konkreten Fall käme man bei der Anwendung des Ausdrucks zu solchen Widersprüchen wie z.b. Man hat also richtig zu schreiben: 41
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten Aus der Definition der Wurzel kann man die Gültigkeit der folgenden Wurzelgesetze für m, n = 1, 2, 3,... und a, b 0 herleiten: 42
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten Man erkennt, dass die Wurzelgesetze den Potenzgesetzen ähnlich und mit ihnen vergleichbar sind. Tatsächlich lassen sie sich aus den Potenzgesetzen herleiten, wenn man Potenzen mit rationalem Exponenten in folgender Weise definiert: für a 0, n = 1, 2, 3,, m = 1, 2, 3, Beispiel: 43
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten Die Beziehung kann auch auf nichtpositive m ausgedehnt werden, wobei entsprechend gilt: 44
Zusammenfassung 45
Übungsaufgaben Bitte lösen Sie die Aufgaben auf dem zweiten Übungsblatt! 46
Logarithmen Begriff des Logarithmus Zur Definition des Logarithmus c = log b a einer positiven Zahl a zu einer positiven von eins verschiedenen Logarithmen-Basis b geht man von folgender Gleichung aus: Definition: Unter dem Logarithmus c einer positiven reellen Zahl a zu einer positiven, von eins verschiedenen reellen Basis b versteht man diejenige reelle Zahl c, mit der die Basis b zu potenzieren ist, um a zu erhalten. Man schreibt dafür 47
Logarithmen Begriff des Logarithmus Beispiele 48
Logarithmen Begriff des Logarithmus Beispiele 49
Logarithmen Begriff des Logarithmus Folgerungen g Für die spezielle Basis b = 10 bzw. b = e = 2,71828... verwendet man folgende Symbole: Man nenn lg a den dekadischen Logarithmus von a und ln a den natürlichen Logarithmus von a 50
Logarithmen Logarithmengesetze Es lassen sich folgende Logarithmengesetze g ableiten, die für beliebige, aber bei allen Logarithmen gleiche Basis b > 0, b 1 und für positive Zahlen x > 0, y > 0 gelten: 51
Logarithmen Logarithmengesetze Das Herleiten dieser Formeln aus den Potenzgesetzen stellt eine empfehlenswerte Übung zur Vertiefung des Logarithmus-Begriffes dar: auf folgende Weise: ist gleichwertig mit Daraus folgt mittels des Potenzgesetzes: t 52
Logarithmen Logarithmengesetze Mit Hilfe der Logarithmengesetze g kann der Logarithmus eines relativ kompliziert zusammengesetzen Ausdrucks auf Logarithmen einfacher elementarer Ausdrücke zurückgeführt werden und umgekehrt. Beispiel 53
Logarithmen Logarithmengesetze Man kann Logarithmen zu einer Basis b in Logarithmen zu einer beliebigen anderen Basis d umrechnen: Durch Logarithmieren der Gleichung zur Basis d folgt: 54
Logarithmen Logarithmengesetze Zur Umrechnung von dekadischen Logarithmen in natürliche Logarithmen und umgekehrt setzt man b = 10, d = e bzw. b = e, d = 10 und erhält so: 55
Logarithmen Zusammenfassung Für a, b, x, y, d >0 reell und a, b, d 0 gilt: 56
Logarithmen Übungsaufgaben Bitte lösen Sie die Aufgaben auf dem dritten Übungsblatt! 57