Trriigonomettrriische Funkttiionen Bezeichnungen Das Wort Trigonometrie stammt aus dem Griechischen: τρι (tri) bedeutet drei und γονυ (gony) Winkel, insgesamt also Dreiwinkligkeit oder Dreiecksberechnung. Das Wort Sinus stammt eigentlich vom alt-indischen Wort für Sehne, jiva, ab. Im arabischen dann giba geschrieben. Da in der arabischen Schrift meist nur Konsonanten geschrieben werden, wurde dieses Wort mit gaib verwechselt, das Busen bedeutet. Bei der Übersetzung ins Lateinische wurde daraus sinus. Deffi initti ion derr ttrri igonomettrri ischen Funktti ionen Definition im rechtwinkligen Dreieck Gegenkathete sin α = Hypotenuse Ankathete cos α = Hypotenuse b C. a tan α = Gegenkathete Ankathete A B Wichtige Werte für Winkel zwischen 0 und 90 Mittels gleichseitigem Dreieck und gleichschenklig. rechtwinkligem Dreieck kann man die folgenden Werte berechnen. α sin α cos α 0 0 = 0 = 0 5 60 90 = = 0 = = 0 Bogenmaß,, Sinus-- und Cosinus--Funktti ion im i Einheittskrrei is Definition Das Bogenmaß x eines Winkels α ist die Länge x des zugehörigen Bogens im Einheitskreis. Im Einheitskreis kann man Sinus und Cosinus so definieren, dass man für beliebige Winkel Sinus- und Cosinus-Werte erhält. P( ) x α Maurer: Trigonometrische Funktionen Seite / (9.0.005)
Umrechnung zwischen Gradund Bogenmaß Berechnung von Sinus- und Cosinus-Werten Kreisumfang: U = r Einheitskreis Bogen des Vollwinkels α = 60 : U = Der Bogen ist proportional zum Winkel im Gradmass. Bogen für den Winkel α = : b = = 60 80 Bogeen ffürr eei ineen Winkkeel l α:: b = α = α 60 80 GTR Am einfachsten ist es natürlich die Sinus- und Cosinus-Werten mit dem GTR zu bestimmen. Gibt man die Winkel im Bogenmaß ein, dann muss der GTR zunächst auf RAD umgestellt werden. Z.B. Menü RUN, Shift Setup, Angle auf RAD DEG bedeutet Gradmaß GRA sind Neugrad (Gon) 90 = 00 Gon Grafische Bestimmung der Sinus-und Cosinus-Werte Im Einheitskreis kann man die Sinus- und Cosinus-Werte direkt ablesen. Der Maßstab beträgt: r = LE = 5 cm. Man muss also die in cm abgelesenen Werte durch 5 cm dividieren und hat den Sinus bzw cosinus. Als Beispiel ist ein Winkel von α = 0 = 6 eingetragen und man kann sin α = 0,5 und cos α = 0,87 ablesen. Sieht er mir nicht ähnlich? > 0 > 0 < 0 > 0 < 0 < 0 < 0 > 0 Maurer: Trigonometrische Funktionen Seite / (9.0.005)
Wertetabelle. Gradmaß α 0 0 5 60 90 0 5 80 5 70 5 0 60 Bogenmaß x 0 6 y = 0 0,5 0,7 0,87 0,87 0,7 0-0,7 - -0,7-0,5 0 y = 0,87 0,7 0,5 0-0,5-0,7 - -0,7 0 0,7 0,87 5 7 6 Sinuss--Kurrvvee yy = ssi in xx Eigenschaften der Sinus- Funktion f(x) = Nullstellen (Schnitt mit x-achse) bei x =, x =, x = usw. Maximalwerte bei x =, x = +, usw. Minimalwerte bei x =, x = +, usw. Periode Die Sinuskurve besteht aus identischen Schwingungen der Länge (60 ). Das folgt unmittelbar aus der Definition am Einheitskreis. Nach einer Umdrehung sind wir wieder an derselben Stelle. Für das Schaubild heißt das: Geht man von einer beliebigen Stelle nach rechts, dann erhält man denselben Wert. In Formeln: f(x+) = f(x), also sin (x+) = für alle x R Man sagt: Die Sinus-Funktion ist eine periodische Funktion mit der Periode P =. Symmetrie Schaut man genauer hin, dann sieht man, dass die ganze Kurve aus einem Viertelbogen zusammengesetzt ist. Der wird gespiegelt und verschoben. Den Viertelbogen erhält man aus dem. Viertel des Einheitskreises. Am Einheitskreis wiederholen sich nach 90 = / alle Werte, damit ist klar, weshalb der Viertelbogen als Baustein ausreicht. Symmetrie zu x =, denn Spiegelung an x = führt auf dieselbe Kurve. Symmetrie zu P( 0), denn Spiegelung an P führt auf dieselbe Kurve. Symmetrie zu x =, denn Spieg. an x = führt auf dieselbe Kurve. Und weitere zahlreiche Symmetrien, nämlich zu P( k 0), k /Z und zu x = (k + ), k /Z. Maurer: Trigonometrische Funktionen Seite / (9.0.005)
Cossi inuss--kurrvvee yy = ccoss xx Eigenschaften der Cosinus- Funktion f(x) = Die Cosinus-Kurve entsteht aus der Sinuskurve durch Verschiebung um nach links: y = = +. Daraus ergeben sich alle Eigenschaften von selbst: 5 Nullstellen (Schnitt mit x-achse) bei x =, x =, x = usw. Maximalwerte bei x = 0, x =, usw. Minimalwerte bei x =, x =, usw. Periode Es gilt ebenfalls f(x+) = f(x) für alle x R, also cos(x+) = für alle x R Daher hat auch die Cosinus-Funktion eine Periode P =. Symmetrie Symmetrie zu x =, denn Spiegelung an x = führt auf dieselbe Kurve. Symmetrie zu P( 0), denn Spiegelung an P führt auf dieselbe Kurve. Symmetrie zu x =, denn Spieg. an x = führt auf dieselbe Kurve. Und weitere zahlreiche Symmetrien, nämlich zu P( (k + ) 0), k /Z und zu x = k, k /Z. Spiegelung an derr y--achse Es gilt - wie bei den Wurzelfunktionen erläutert - die Regel: Bei der Spiegelung des Schaubilds an der y-achse werden im Term alle x durch ( x) ersetzen. Beispiel Wird K f mit f(x) = an der y-achse gespiegelt, dann erhält man: y = sin (-x). Die Kurve sieht genau so aus wie die von y = -, das liegt daran, dass das Schaubild von y = punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Maurer: Trigonometrische Funktionen Seite / (9.0.005)
Aufgabe Begründe die Beziehung = sin ( x) bzw. cos α = sin (90 - β) auf zwei Arten. am rechtwinkligen Dreieck. Über die Schaubilder und ihre Transformation. Funktti ionen vom Typ y = A sin ((x-- x 00 )) + y 00 Beispiel Streckung/Stauchung, Verschiebung funktioniert wie immer, damit kann man eine große Zahl von Funktionen aus der Sinus- Funktion erzeugen. y = sin (x )+ Streckung mit Faktor Verschiebung um nach rechts und um nach oben Sttrreckung/ /Sttauchung in i x--ri ichttung.. Perri iodenverränderrung Es fehlt nun nur noch ein Weg, um die Periode zu verändern. Dazu muss man in x-richtung strecken bzw. stauchen. Naheliegenderweise muss man dazu einen Koeffizienten bei x einführen: Sttrreecckkung/ / Sttaaucchung in i xx-- Ricchttung Das Schaubild von y = sin kx entsteht aus dem von y = durch Streckung/Stauchung mit dem Faktor k. Die Periode ist also P = k Beispiel g(x) = sin x, f(x) = + Maurer: Trigonometrische Funktionen Seite 5 / (9.0.005)
Aufgaben Aufgabe Skizziere die Schaubilder der folgenden Funktionen. Wie entstehen die Schaubilder aus der Grundfunktion? Gib jeweils die Periode an, gib jeweils ein Symmetriezentrum und eine Symmetrieachse an. Gib jeweils eine zweite Funktionsgleichung an, bei Sinus-Kurven mit Cosinus, bei Cosinus-Kurven mit Sinus f(x) = sin (x ), g(x) = cos (x ) +, h(x) = 5 sin x, k(x) = cos (x ) Aufgabe Gib mögliche Gleichungen der folgenden Kurven an. f h g k Aufgabe Aufgabe 5 Vor Ampeln auf stark befahrenen Straßen wellt sich der Asphalt. Die Wellen haben etwa die Form einer Sinuskurve. Ein Beispiel: Die Bremswellen sind 0 cm tief und eine Welle ist 0 cm lang. Gib eine Gleichung an. Wie viele Wellen gibt es auf 0 Metern? Wellen gibt es auch auf frisch gepflügten Äckern, dort heißen sie Furchen. Wie hoch bzw. tief und wie breit sind die Furchen, wenn das Oberflächenprofil des Ackers sich etwa durch die Gleichung y = 0. beschreiben lässt? 0 Aufgabe 6 Beim Wechselstrom führt die Spannung je Sekunde 50 Schwingungen aus. Gib die Periode an und eine Gleichung für die Spannung, wenn die Maximalspannung 0 Volt beträgt. Maurer: Trigonometrische Funktionen Seite 6 / (9.0.005)