Foreln und ufgaben Zns- und Rentenrechnung Detrch Baugarten «14. Januar 014
Inhaltsverzechns 1 Rentenrechnung 1 1.1 Zusaenfassung............................... 1 1. Bespele.................................... 3 1..1 rthetsche Folgen und Rehen.................. 3 1.. Geoetrsche Folgen und Rehen.................. 3 1..3 Rentenrechnung............................ 4 1.3 ufgaben................................... 5
1 Rentenrechnung 1.1 Zusaenfassung 1. Be ener arthetschen Folge st de Derenz d zweer aufenander folgenden Gleder konstant. Es glt also: b k = b k 1 + d, (1.1) b k = b 1 + (k 1) d, (1.) b k = b + (k )d. (1.3) De Sue ener arthetschen Folge t n Gledern st das arthetsche Mttel des ersten und des letzten Eleents ultplzert t der nzahl der Folgengleder. n k=1 n k=1 b k = b 1 + b + + b n = n b 1 + b n, (1.4) b k = b 1 + b + + b n = n b 1 + (n 1) d. (1.5). Be ener geoetrschen Folge st der Quotent q zweer aufenander folgenden Gleder konstant. Es glt also: b k = qb k 1, (1.6) b k = b 1 q k 1, (1.7) b k = b q k. (1.8) De Sue ener goeetrschen Folge t n Gledern st n q n 1 b k = b 1 + b + + b n = b 1 q 1. (1.9) k=1 3. Konstante Renten snd n regeläÿge Zahlungen n glecher Höhe und gleche bstand. De konstante Höhe wrd nnutät genannt. Der bstand zweer Zahlungen heÿt Rentenperode, de Laufzet beträgt t = n. Erfolgen de Zahlungen jewels a Ende der Rentenperoden, heÿt de Rente nachschüssg, wrd er berets a nfang bezahlt, vorschüssg. Es wrd er vorausgesetzt, dass sch der Znssatz während der Laufzet ncht ändert. lle Foreln hängen davon ab, ob de Rente nach- oder vorschüssg st und n welche Verhältns de Rentenperode zur Znsperode steht. 1
1 Rentenrechnung 4. Sten de Renten- und de Znsperode überen und gbt es Znsperoden Jahr, so gelten für den nachschüssgen Rentenendwert R EN und den nachschüssgen Rentenbarwert R EN = ( 1 + ) n 1 R N = 1 ( 1 + ) n = s n, (1.10) = a n. (1.11) De nnutät wrd t Faktoren s n und a n ultplzert, de nachschüssger Rentenendwert- und nachschüssger Rentenbarwertfaktor genannt werden. 0 1 k n 1 n t bbldung 1.1: Nachschüssge Rente, Zns- und Rentenperode glech lang. Unter denselben Voraussetzungen glt für vorschüssge Renten ( R EV = 1 + ) ( 1 + ( R V = 1 + ) n 1 ) 1 ( 1 + ) n, (1.1). (1.13) 0 1 k 1 n 1 n t bbldung 1.: Zetstrahl ener vorschüssgen Rente. 5. Der nachschüssge Rentenbarwert sowe der vorschüssge Rentenendwert und der vorschüssge Rentenbarwertlassen sch aus de nachschüssgen Rentenendwert berechnen R N = q n R EN, R EV = qr EN, R V = q n+1 R EN, q = ( 1 + n ) 1.
1. Bespele 1. Bespele 1..1 rthetsche Folgen und Rehen De Folge < 1, 3, 5, 7,, 3 > st arthetsch t b 1 = 1 und b 1 = 3 sowe d =. Weter glt 1 + 3 + 5 + + 3 = 1 (1 + 3)/ = 144. De Folge < 1, 1, 3, 5,, 17 > st arthetsch t b 1 = 1 und b 10 = 17 sowe d =. Weter glt 1 1 3 5 17 = 10 (1 17)/ = 80. En rbetneher hat n sene Berufsleben jedes Jahr 10.000 Euro ehr als Vorjahr verdent. Sen nfangsgehalt war 30.000 Euro, sen Gesatverdenst 5.50.000 Euro. Wevel Jahre hat er gearbetet? S n = 5.50.000 = n (30.000 + 30.000 + (n 1)10.000)/ 5.50 = n(30 + (n 1)5), 5n + 5n 5.50 = 0, n + 5n 1.050 = 0, n = 30. Nun en nanzatheatsches Bespel. Jeand legt Ende März bs Ende Dezeber enschleÿlch 00 Euro auf en Sparkonto en. We hoch st der Endbetrag a 31.1 be ene Znssatz von 4 Prozent. De Znsethode se 30E/360, der enzge Znstern a Jahresende. Her legen zehn Zahlungen vor. De Märzzahlung verznst sch bs zu Jahresende be enfacher Verznsung von 00 Euro auf b 1 = 00(1 + 0, 04 9/1) = 06 Euro, de prlzahlung auf b = 00(1 + 0, 04 8/1) usw. De letzte Zahlung b 10 = 00 a Jahresende blebt unverznst. De Zahlungsfolge st arthetsch t d = 0, 04/1. Nach Forel (1.4) st der Endbetrag de folgende arthetsche Sue: b 1 + b + + b 10 = 10 b 1 + b 10 = 5(06 + 00) =.030 Euro 1.. Geoetrsche Folgen und Rehen De Folge <, 4, 8,, 104 > st geoetrsch t b 1 = und b 10 = 104 sowe q =. Weter glt + 4 + 8 + + 104 = ( 10 1)/( 1) = 046. De Folge < 1/, 1/4, 1/8,, 1/104 > st geoetrsch t b 1 = 1/ und b 10 = 1/104 sowe q = 1/. Weter glt 1/+1/4+1/8++1/104 = 1/ ((1/) 10 1)/(1/ 1) = 0, 99903438. En rbetneher hat n sene Berufsleben jedes Jahr 5 Prozent ehr als Vorjahr verdent. Sen nfangsgehalt war 30.000 Euro, sen Gesatverdenst 991.978,6 Euro. Wevel Jahre hat er gearbetet? 991.978, 6 0, 05/30.000 + 1 = 1, 05 n S n = 991.978, 6 = 30.000 (1, 05 n 1)/(1, 05 1) n = ln(991.978, 6 0, 05/30.000 + 1)/ ln(1, 05) = 0 3
1 Rentenrechnung 1..3 Rentenrechnung Jeand zahlt fünf Jahre lang jewels a Ende des Jahres = 4.000 Euro n enen Sparvertrag en. De Znsperode se en ganzes Jahr, der Nonalznssatz 4 Prozent. Welchen Endwert hat der Sparvertrag? Welcher Betrag üsste enalg a nfang gelestet werden, u de beschrebene Rente abheben zu können? Da de Rentenzahlungen tatsächlch er a Ende ener Znsperode erfolgen, handelt es sch u ene nachschüssge Rente. Gesucht snd also der nachschüssge Rentenendwert und der nachschüssge Rentenbarwert. Her legt ene nachschüssge Rente t = 1 und sot q = 1 + 0, 04 = 1, 04 vor. Gesucht snd also der nachschüssge Rentenendwert und der nachschüssge Rentenbarwert. In den zehn Jahren legen n = 10 Zahlungen vor. Der nachschüssge Rentenendwert und der nachschüssge Rentenbarwert werden we folgt berechnet R EN = 4.000 1, 0410 1 = 1.665, 9 Euro, 0, 04 R N = q n R EN = 1, 04 5 1.665, 9 = 17.807, 9 Euro, oder 1 1, 04 5 R N = 4.000 0, 04 = 17.807, 9 Euro. Jeand zahlt fünf Jahre lang jewels n der Mtte und a Ende des Jahres =.000 Euro n enen Sparvertrag en. De Znsperode se en halbes Jahr, der Nonalznssatz 4 Prozent. Welchen Endwert hat der Sparvertrag? Welcher Betrag üsste enalg a nfang gelestet werden, u de beschrebene Rente abheben zu können? uch her legt ene nachschüssge Rente t = und sot q = 1 + 0,04 = 1, 0 vor. Gesucht snd also der nachschüssge Rentenendwert und der nachschüssge Rentenbarwert. In den fünf Jahren legen n = 5 = 10 Zahlungen vor. Der nachschüssge Rentenendwert und der nachschüssge Rentenbarwert werden we folgt berechnet R EN =.000 1, 010 1 = 1.899, 44 Euro, 0, 0 R N = q n R EN = 1, 0 10 1.899, 44 = 17.965, 17 Euro, oder 1 1, 0 10 R N =.000 0, 0 = 17.965, 17 Euro. Jeand zahlt fünf Jahre lang jewels zu Quartalsende 100 Euro n enen Bausparvertrag en. De Znsperode se en Verteljahr, der jährlche Nonalznssatz Prozent. Welchen Endwert hat der Sparvertrag? Welcher Betrag üsste enalg a nfang gelestet werden, u de beschrebene Rente abheben zu können? Her snd = 4 und sot q = 1 + 0,0 = 1, 005. In den fünf Jahren erfolgen n = 4 5 = 4 0 Zahlungen. Der nachschüssge Rentenendwert und der nachschüssge Rentenbarwert werden we folgt berechnet R EN = 1.000 1, 0050 1 =.019, 00 Euro, 0, 005 R N = q n R EN = 1, 005 0.019, 00 = 18.045, 55 Euro, 4
1.3 ufgaben 1.3 ufgaben ufgabe 1. Berechnen Se de ersten fünf Gleder der arthetschen Folgen: a) b 1 = 3, d = b) b 1 = 3, d =. ufgabe. Geben Se den erzeugenden Ter für de arthetschen Folgen an: a) b 3 = 7, b 7 = 3 b) b 5 = 9, b 9 = 17. ufgabe 3. Berechne de Sue aller durch sechs telbaren Zahlen zwschen 1 und 1.000. ufgabe 4. Berechnen Se de Sue aller drezrgen natürlchen Zahlen, de durch 3 dvdert den Rest 1 bzw. den Rest haben. ufgabe 5. De Folgen seen arthetsch. Besten Se de fehlenden Gröÿen. a 1 a n n d a 1 S n n d a) -67 0 30 3 e) 1-99 11 - b) 10-6 9 - f) 10 18 9 - c) 1 36 19 g) 4 54 6 d) 50 10 1 - h) -3-63 7 - ufgabe 6. Berechnen Se de ersten fünf Gleder der geoetrschen Folgen: a) b 1 = 3, q = 1,. b) b 1 = 1, q = 0, 8 ufgabe 7. Von ener geoetrschen Rehe kennt an b 1 = 9 und q =. Berechnen Se für de zugehörge geoetrsche Rehe de Suen der ersten 10 bzw. der ersten 100 Gleder. ufgabe 8. En Betrag von ÖS 4840,- soll so auf 5 Personen aufgetelt werden, dass de erste enen Tel und jede folgende dreal so vel erhält we de vorhergehende. Wevel bekot jede Person? ufgabe 9. De Folgen seen geoetrsch. Besten Se de fehlenden Gröÿen. b 1 b n n q b 1 S n n q a) 14 1006 7 3 e) 68 5 4 b) 10 560 9 - f) 78 6 3 c) 5 30 7 g) 4 100 8 d) 3 384 8 h) 3 103 5 4 ufgabe 10. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a Jahresende 1.000 Euro auf en Konto. Der Znssatz betrage 4 Prozent, de Znsperode st en Jahr. Welche Rentenendund Rentenbarwerte ergeben sch? 5
1 Rentenrechnung ufgabe 11. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a Jahresanfang 1.000 Euro auf en Konto. Der Znssatz beträgt 4 Prozent, de Znsperode st en Jahr. Welche Rentenendund Rentenbarwerte ergeben sch? ufgabe 1. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a Ende enes Quartals 3.000 Euro auf en Konto. Der Znssatz betrage 4 Prozent p.a, de Znsperode se en Verteljahr. Welche Rentenbar- und Rentenendwerte ergeben sch? ufgabe 13. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a nfang enes Quartals 3.000 Euro auf en Konto. Der Znssatz betrage 4 Prozent p.a, de Znsperode se en Verteljahr. Welche Rentenbar- und Rentenendwerte ergeben sch? ufgabe 14. Jeand zahlt vo 31.3.000 bs zu 30.6.006 jewels 1.000 Euro verteljährg nachschüssg auf en Bausparkonto en. Der Znssatz st nonal Prozent, de Znsperode en Monat. Welchen Endbetrag hat der Sparer, wenn von Gebühren abgesehen wrd? ufgabe 15. Unter sonst glechen ngaben we n der vorgen ufgabe se de Znsperode en Jahr. Welchen Endbetrag hat der Sparer, wenn von Gebühren abgesehen wrd? 6