7. Potezreihe ud Taylor-Reihe 39 7. Potezreihe ud Taylor-Reihe Mit Hilfe der Cauchysche Itegralformel wolle wir u i diesem Kapitel ei weiteres sehr zetrales Resultat der Fuktioetheorie herleite, ämlich dass sich holomorphe Fuktioe stets lokal um jede Pukt als eie Potezreihe schreibe lasse. Aus diesem Grud werde Potezreihe i dieser Vorlesug letztlich auch eie weit größere Rolle spiele als i der reelle Aalysis (i der keie derartige Aussage gilt). Zu Begi beötige wir aber zuächst eiige grudlegede Eigeschafte vo Potezreihe, die im Komplexe geauso wie im Reelle gelte ud die wir zur Erierug aus de Grudlage der Mathematik kurz wiederhole wolle. Defiitio 7. (Potezreihe). Es sei z 0 C. Eie Potezreihe um z 0 ist ei Ausdruck der Form a (z z 0 ) für gewisse a C. Ma et z 0 auch de Etwicklugspukt der Reihe. Bemerkug 7.2 (Kovergez vo Potezreihe). Am wichtigste ist bei eier Potezreihe zuächst die Frage, für welche Werte z C sie kovergiert ud für welche divergiert. Aus de Grudlage der Mathematik wisse wir dazu bereits, dass die Reihe eie Kovergezradius r R 0 {} besitzt, so dass gilt [G2, Satz 7.25 ud 8.38]: (a) Für alle z C im Kovergezkreis {z C : z z 0 < r} kovergiert die Reihe f (z) absolut. Auf jedem dari ethaltee kompakte Kreis {z C : z z 0 R} mit R < r ist diese Kovergez sogar gleichmäßig. (b) Für alle z C mit z z 0 > r divergiert die Reihe f (z). Auf dem Rad des Kovergezkreises, also für z z 0 = r, ka je ach der betrachtete Reihe i mache Pukte Kovergez ud i adere Divergez auftrete. diverget absolut koverget Aus dem Wurzelkriterium i Bemerkug.7 (d) erhält ma außerdem, dass sich der Kovergezradius eier Potezreihe mit Hilfe der sogeate Formel vo Cauchy-Hadamard r = limsup a bereche lässt, da die Potezreihe ja kovergiert bzw. divergiert, we der Ausdruck lim sup a (z z 0 ) = limsup a z z 0 = z z 0 r kleier bzw. größer als ist, also z z 0 < r bzw. z z 0 > r gilt [G2, Satz 7.25]. Die Formel vo Cauchy-Hadamard ist auch awedbar, we der dort betrachtete Limes superior gleich 0 oder (ud der Kovergezradius damit bzw. 0) ist. Geauso sieht ma mit dem Quotietekriterium, dass r = lim gilt, falls dieser Grezwert existiert [G2, Satz 7.27]. Im Fall der Nichtexistez dieses Grezwerts lässt sich der Kovergezradius mit diesem Kriterium jedoch icht bereche. a a + z 0 r C
40 Adreas Gathma Beispiel 7.3. (a) Die Potezreihe = 7.2 de Kovergezradius ( ) + (z ) hat ach der Quotieteformel aus Bemerkug lim / /( + ) =, kovergiert also absolut auf der Kreisscheibe D = {z C : z < } ud divergiert für alle z mit z >. Auf dem Rad D des D Kovergezkreises tritt uterschiedliches Verhalte auf: so ist z. B. f (2) = ( ) + = die kovergete alterierede harmoische Reihe ud f (0) = = die divergete harmoische 2 Reihe. (b) Die Reihe z hat ach der gleiche Formel de Kovergezradius lim + =. Vergleiche wir dies mit der Formel vo Cauchy-Hadamard, so erhalte wir also = limsup, ud damit limsup =. Da zusätzlich atürlich für alle ud damit auch limif gilt, folgt hieraus, dass lim = ist was vermutlich eie der eifachste Arte ist, diese spezielle, i der Aalysis oft betrachtete Grezwert zu bereche [G2, Beispiel 7.28 (b)]. Bemerkug 7.4 (Formale Ableituge vo Potezreihe). Es sei a (z z 0 ) eie Potezreihe mit Kovergezradius r. Wir defiiere ihre formale Ableitug als die Potezreihe g(z) = = a (z z 0 ) ud erwarte, dass dies im Kovergezkreis auch wirklich die Ableitug der Fuktio f : z f (z) ist, also dass Potezreihe holomorphe Fuktioe darstelle ud gliedweise differeziert werde köe. I der Tat wisse wir dies für reelle Potezreihe auch scho aus de Grudlage der Mathematik [G2, Folgerug 0.26]. Der dort üblicherweise gegebee Beweis verwedet jedoch de Mittelwertsatz ud lässt sich damit icht wörtlich auf de komplexe Fall übertrage. Wir wolle diese komplexe Fall daher jetzt auf de reelle zurückführe. Als Erstes erier wir us dazu dara, dass die formale Ableitug g zumidest de gleiche Kovergezradius r wie die ursprügliche Reihe f hat [G2, Aufgabe 7.30]. Am schellste erhält ma dieses Resultat vermutlich aus der Formel vo Cauchy-Hadamard: der Kovergezradius der Reihe g(z) = a (z z 0 ) ist atürlich derselbe wie der der Reihe (z z 0 )g(z) = a (z z 0 ), also limsup a = lim limsup a = r, da der Grezwert lim ach Beispiel 7.3 (b) gleich ist. Das gewüschte Resultat, dass die formale Ableitug eier Potezreihe gleich ihrer gewöhliche Ableitug ist, ergibt sich damit u aus dem folgede Satz über die Vertauschbarkeit vo Differetiatio ud Grezwertbildug. Satz 7.5 (Vertauschbarkeit vo Differetiatio ud Grezwertbildug). Es seie D C offe ud ( f ) eie Folge holomorpher Fuktioe auf D, die puktweise gege eie Grezfuktio f : D C kovergiere. Weiterhi ehme wir a, dass die Ableituge f : D C stetig sid ud auf D gleichmäßig kovergiere. Da ist auch die Grezfuktio f auf D holomorph, ud für ihre Ableitug gilt f = lim f. Differetiatio ud Grezwertbildug köe i diesem Fall also vertauscht werde.
7. Potezreihe ud Taylor-Reihe 4 Beweis. Für reelle Fuktioe ist die aaloge Aussage bereits aus de Grudlage der Mathematik bekat [G2, Satz 0.25]. Wir führe de Beweis u i C, idem wir ih auf de reelle Fall zurückführe. Dazu schreibe wir f = u + iv mit u = Re f ud v = Im f für N. Aalog setze wir f = u + iv für die Grezfuktio. Die Koordiate i D seie wie üblich z = x + iy. Betrachte wir u die Fuktioe u ud fasse sie bei festgehalteem y als Fuktioe eier reelle Variable x auf, so köe wir auf diese Fuktioe offesichtlich die reelle Vertauschbarkeit vo Differetiatio ud Grezwertbildug awede ud sehe, dass u ach x partiell differezierbar ist mit u = lim u. Da wir außerdem vorausgesetzt habe, dass die Ableituge u stetig sid ud gleichmäßig gege u u kovergiere, ist darüber hiaus ach [G2, Bemerkug 24.32 (b)] stetig. Also ist f = u+iv: D R 2 R 2 stetig partiell differezierbar ud damit ach [G2, Satz 25.7] auch total differezierbar. Außerdem sid alle f ach Voraussetzug holomorph ud erfülle somit die Cauchy-Riemasche Differetialgleichuge aus Satz 2.9, d. h. es gilt u = v y ud u y = v für alle. Damit folgt u = lim u = lim v y = v y ud aalog v = u y. Also erfüllt auch f die Cauchy-Riemasche Differetialgleichuge ud ist somit ach Satz 2.9 holomorph mit Ableitug f = u + i v ( = lim u + i v ) = lim f. Folgerug 7.6 (Differezierbarkeit vo Potezreihe). Jede Potezreihe a (z z 0 ) ist i ihrem Kovergezkreis holomorph. Ihre Ableitug stimmt dort mit der formale Ableitug überei, d. h. es gilt f (z) = = a (z z 0 ). Beweis. Nach Bemerkug 7.4 habe die ursprügliche Reihe f ud ihre formale Ableitug g(z) = = a (z z 0 ) deselbe Kovergezradius r. Es sei u R < r beliebig; ach Bemerkug 7.2 kovergiere beide Potezreihe da sogar gleichmäßig auf der kompakte Mege {z C : z z 0 R} ud damit atürlich auch auf D := {z C : z z 0 < R}. Awede vo Satz 7.5 auf die Partialsumme vo f bzw. g liefert damit die behauptete Aussage auf D. Da R < r beliebig war, folgt die Behauptug da auch auf dem gesamte Kovergezkreis. ( ) + Beispiel 7.7. Wir betrachte och eimal die Potezreihe = (z ) aus Beispiel 7.3 (a). Nach Folgerug 7.6 ist f im Kovergezkreis D = {z : z < } holomorph mit Ableitug f (z) = = ( ) + (z ) = ( ) (z ) = ( z) = z. 06 Wir kee ach Aufgabe 3.3 (a) aber scho eie weitere Fuktio auf D, dere Ableitug z ist, ämlich de komplexe Logarithmus logz. Die Fuktio z f (z) logz ist also holomorph mit Ableitug 0 i D. Aus Folgerug 5.2 (a) ergibt sich damit, dass f (z) logz auf D kostat ist. Eisetze vo z = zeigt, dass diese Kostate 0 sei muss. Damit ist logz auf D. Ma beachte hierbei isbesodere, dass der Logarithmus zwar auf dem viel größere Gebiet C\R 0 defiiert ud holomorph ist, aber ur im Kreis D (bzw. evtl. och a eiige Pukte auf D) durch die Potezreihe f dargestellt wird! Wir köe Folgerug 7.6 u atürlich sofort auf die höhere (komplexe) Ableituge f () eier Potezreihe f verallgemeier:
42 Adreas Gathma Folgerug 7.8 (Taylor-Formel für Potezreihe). Es sei a (z z 0 ) eie Potezreihe mit Kovergezkreis D. Da ist f auf D beliebig oft komplex differezierbar, ud alle Ableituge köe gliedweise berechet werde. Weiterhi gilt a = f () (z 0 ) für alle ud damit für alle z D. f () (z 0 ) (z z 0 ) (Taylor-Formel) Beweis. Durch iterierte Awedug vo Folgerug 7.6 ergibt sich sofort, dass alle höhere Ableituge vo f existiere ud gliedweise berechet werde köe. Führt ma diese Differetiatioe aus, so erhält ma für alle k N f (k) (z) = =k ( ) ( k + )a (z z 0 ) k, durch Eisetze vo z = z 0 also f (k) (z 0 ) = k! a k ud damit a k = f (k) (z 0 ) k!. Bemerkug 7.9 (Aalytische Fuktioe). Die Taylor-Formel aus Folgerug 7.8 gilt geauso auch im Reelle [G2, Satz.9]. Sie ist allerdigs zuächst ur eie Aussage über Potezreihe ud icht über (uedlich oft) differezierbare Fuktioe. I der Tat gibt es im Reelle uedlich oft differezierbare Fuktioe, die sich icht als Potezreihe schreibe lasse ud für die demzufolge isbesodere auch die Taylor-Formel aus Folgerug 7.8 icht gilt: so ist z. B. die reelle Fuktio {e x f : R R, x 2 für x 0, 0 für x = 0 aus Aufgabe 2.8 (a) uedlich oft differezierbar mit f () (0) = 0 für alle [G2, Aufgabe.3]. Die Fuktio läuft sozusage uedlich flach i de Nullpukt hiei, d. h. die etsprechede Taylor-Reihe f () (0) x ist die Nullfuktio ud damit icht gleich der ursprügliche Fuktio f. f (x) x Fuktioe, die sich (lokal) als Potezreihe schreibe lasse (ud für die demzufolge die Taylor- Formel gilt), werde i der Literatur als aalytische Fuktioe bezeichet. Die aalytische Fuktioe bilde also im Reelle ach dem obige Beispiel eie echte Teilmege der uedlich oft differezierbare Fuktioe. Im Komplexe higege fuktioiert das obige Gegebeispiel icht, weil die Fuktio e z 2 dort ach Aufgabe 2.8 (a) icht eimal stetig i de Nullpukt fortsetzbar ist. I der Tat wird der folgede Satz wie bereits ageküdigt zeige, dass die komplexe Situatio hier wieder eimal viel schöer als die reelle ist: i der Fuktioetheorie ist jede holomorphe Fuktio automatisch aalytisch, also i eie Potezreihe etwickelbar! Dies ist atürlich sehr ageehm, weil es sich mit Potezreihe oft viel eifacher reche lässt als mit dem allgemeie Kozept eier differezierbare Fuktio. Satz 7.0 (Taylor-Etwicklug holomorpher Fuktioe). Es seie D C offe ud f : D C eie holomorphe Fuktio. Ferer seie z 0 D ud r > 0, so dass der offee Kreis U = {z : z z 0 < r} mit Mittelpukt z 0 ud Radius r gaz i D liegt. Da gilt:
7. Potezreihe ud Taylor-Reihe 43 (a) f ist i U darstellbar als eie Potezreihe um z 0 (dere Kovergezradius midestes r ist). Isbesodere ist f i U ach Folgerug 7.6 also uedlich oft komplex differezierbar, ud es gilt die Taylor-Formel für alle z U. f () (z 0 ) (z z 0 ) (b) Die höhere Ableituge vo f erfülle die verallgemeierte Cauchysche Itegralformel f () (z 0 ) = f (z) dz 2πi (z z 0 ) + für alle N, wobei γ eie beliebige Kreisliie i U um z 0 ist. Beweis. Es seie z U ud γ wie im Bild ute rechts eie Kreisliie mit Mittelpukt z 0, die um de Pukt z herumläuft ud och gaz i U liegt. Da gilt ach der Cauchysche Itegralformel aus Satz 6.7 2πi γ f (w) w z dw = 2πi γ f (w) w z 0 z z 0 Weil für alle w auf dem Itegratiosweg w z 0 > z z 0 gilt ud der Betrag vo z z 0 damit dort kleier als ist, köe wir de zweite Faktor im Itegral i die geometrische Reihe etwickel ud erhalte ( ) f (w) z z0 2πi γ w z 0 dw. w z 0 We w auf dem Itegratiosweg etlag läuft, ist der Ausdruck f (w) beschräkt, ud z z 0 hat eie kostate Betrag kleier als. Daher ist die Reihe im Itegrade gleichmäßig koverget i w. Wir köe die Summe also mit dem Itegral vertausche [G2, Satz 2.37] ud erhalte ( ) f (w) dw (z z 2πi (w z 0 ) + 0 ). γ Weil der Ausdruck i der große Klammer uabhägig vo z ist, habe wir f damit i der Tat auf U als Potezreihe i z um z 0 geschriebe. Da die Koeffiziete der Potezreihe ach Folgerug 7.8 außerdem gleich f () (z 0 ) sei müsse, ist damit auch die verallgemeierte Cauchysche Itegralformel bewiese. Beispiel 7.. Wir betrachte die holomorphe Fuktio f : C\{±i} C, z z 2 + ud de Etwicklugspukt z 0 =. Der größte offee Kreis mit Mittelpukt z 0, der och im Defiitiosgebiet vo f liegt, ist offesichtlich U = {z C : z < 2}. Also kovergiert die Taylor-Reihe f () (z 0 ) (z z 0 ) ach Satz 7.0 auf U gege f, d. h. ihr Kovergezradius ist midestes 2. Adererseits ka der Kovergezradius aber auch icht größer als 2 sei, de sost würde die Pukte ±i och im Iere des Kovergezkreises liege was bedeute würde, dass die Taylor- Reihe (die ja auf U mit f übereistimmt) die Fuktio f auf U i die Pukte ±i stetig fortsetze würde. Dies ist wege lim z ±i aber atürlich umöglich. Also ist der Kovergezradius der Taylor-Reihe geau gleich 2. Beachte, dass wir hier de Kovergezradius der Taylor-Reihe bestimme kote, ohe die Reihe überhaupt explizit higeschriebe zu habe γ dw. i i z z 0 U U γ
44 Adreas Gathma Bemerkug 7.2. Aufgrud der Homotopieivariaz des Wegitegrals (siehe Folgerug 5.3 (a)) köe wir de Itegratiosweg i der verallgemeierte Cauchysche Itegralformel vo Satz 7.0 (b) atürlich geauso gut durch eie i D\{z 0 } homotope Weg ersetze. Isbesodere kommt es bei der Itegratio über eie Kreisliie also icht darauf a, dass z 0 wirklich der Mittelpukt der Kreisliie ist, soder ur darauf, dass z 0 im Iere des Kreises liegt. Wir köe die verallgemeierte Cauchysche Itegralformel also auch aalog zur gewöhliche i Satz 6.7 aufschreibe als f () (z) = 2πi K f (w) dw, (w z) + wobei K D ei (abgeschlosseer) Kreis ud z K ei beliebiger Pukt im Iere dieses Kreises ist. Usere ursprügliche Cauchysche Itegralformel ergibt sich hieraus offesichtlich für de Fall = 0. I dieser Form sieht ma also, dass diese Formel icht ur die Fuktioswerte, soder auch alle Ableituge vo f im Iere eies Kreises bereche ka, we ma ur die Werte vo f auf dem Rad des Kreises ket. Wie i Beispiel 6.9 (b) ist dieses Resultat oft zur Berechug geschlosseer Wegitegrale ützlich: wolle wir z. B. das Itegral e z z 2 dz z =2 bereche, so folgt mit der verallgemeierte Cauchysche Itegralformel für = ud e z ohe weitere komplizierte Rechuge e z 2πi dz = z2! f (0) = 2πi e 0 = 2πi, z =2 da die Nullstelle 0 des Neers im Iere des Itegratioskreises liegt. e z Aufgabe 7.3. Bereche die Itegrale z = z 3 ( z) dz ud z 2 z = 3 e z dz. Aufgabe 7.4. Bereche de Kovergezradius der folgede Potezreihe: (a) die Taylor-Reihe der Fuktio 2 z 5 zum Etwicklugspukt z 0 = 4 ; (b) ϕ()z, wobei = (c) ϕ() := {m =,..., : m ist teilerfremd zu } die z. B. aus der Zahletheorie bekate Eulersche ϕ-fuktio ist; z (2). = Aufgabe 7.5. Es sei p ei komplexes Polyom vom Grad d N. (a) Bestimme de Kovergezradius der Potezreihe p()z. (b) Zeige, dass sich f im Kovergezkreis i der Form g(z) für ei Polyom g schreibe ( z) d+ lässt. Aufgabe 7.6. Für z C\R 0 ud a C defiiere wir die (allgemeie) komplexe Potez aalog zum reelle Fall als z a := e alogz mit dem komplexe Logarithmus logz wie i Aufgabe 3.3.
7. Potezreihe ud Taylor-Reihe 45 (a) Beweise für z < die allgemeie biomische Formel ( ) a ( + z) a = z, wobei ( a) := a(a ) (a +). (b) Ihr seid Übugsleiter für die Fuktioetheorie ud bekommt die folgede Abgabe eies Studete. Was sagt ihr dazu? Eierseits ist adererseits aber auch (e 2+2πi ) 2+2πi = (e 2 e 2πi ) 2+2πi = (e 2 ) 2+2πi = e 4+4πi = e 4, (e 2+2πi ) 2+2πi = e (2+2πi)2 = e 4+8πi 4π2 = e 4 e 4π2, also folgt e 4 = e 4 e 4π2 ud damit e 4π2 =. Aufgabe 7.7. Es sei D C offe mit 0 D. Zeige, dass es keie holomorphe Fuktio f : D C gibt mit f () (0) = 2 für alle N.