(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen: Eine Addition, d. h. zu je zwei Elementen (Vektoren) v, w V ist die Summe v + w V deniert. Eine Mulitiplikation mit Skalaren aus K, d. h. zu a K und v V ist das Produkt a v V deniert. Dabei müssen die folgenden Regeln gelten: vektorraum.pdf, Seite

Rechenregeln (V, +) ist eine abelsche Gruppe, d. h. v + w = w + v für alle v, w V (Kommutativgesetz), (u + v) + w = u + (v + w) für alle u, v, w V (Assoziativgesetz), Es gibt einen Nullvektor V mit v + = v für alle v V, Zu jedem v V gibt es ein Inverses v V mit v + ( v) =. (ab) v = a (b v) für a, b K, v V (Assoziativgesetz), v = v für v V und das Einselement K, a (v + w) = a v + a w und (a + b) v = a v + b v für a, b K und v, w V (Distributivgesetze) vektorraum.pdf, Seite

Beispiele V = R n ist ein Vektorraum über R. Allgemeiner ist V = K n = {(v,..., v n ) : v i K} ein Vektorraum über K. Ist I R ein Intervall, so bildet die Menge aller Funktionen von I nach R einen Vektorraum über R, ebenso die Menge aller stetigen (bzw. dierenzierbaren) Funktionen. Die Menge aller Polynome über K bildet einen Vektorraum über K, ebenso die Menge aller Polynome vom Grad n. vektorraum.pdf, Seite 3

Bemerkung Die für Anwendungen wichtigsten Fälle sind K = R und K = C (komplexe Zahlen). In der Kodierungstheorie spielen zudem Vektorräume über endlichen Körpern (wie Z oder Galoiskörper Z [x] m(x) ) eine Rolle. Wir werden uns im Folgenden auf den Fall K = R beschränken, die gemachten Aussagen lassen sich jedoch unmittelbar auf den allgemeinen Fall übertragen. Unterräume Sind U und V Vektorräume über K und gilt U V, so heiÿt U Untervektorraum oder Unterraum (oder Teilraum) von V. vektorraum.pdf, Seite 4

Beispiele für Unterräume U = {(x, y) R : y = } ist ein Unterraum von V = R. Die Menge U = Menge aller Polynome mit Grad ist ein Unterraum des Vektorraums V aller Polynome (mit beliebigem Grad). Ist A eine beliebige m nmatrix, so bildet die Menge U aller Lösungen des homogenen LGS Ax = einen Unterraum des R n. Dies folgt daraus, dass ein homogenes LGS immer lösbar ist ( U ) und dass die Summe zweier Lösungen sowie skalare Vielfache einer Lösung wieder Lösungen sind. Umgekehrt ist jeder Unterraum des R n Lösungsmenge eines geeigneten homogenen linearen Gleichungssystems. Zu jedem Vektorraum V ist U = {} ein Unterraum, der triviale Unterraum. vektorraum.pdf, Seite 5

Bemerkung Um zu entscheiden, ob es sich bei einer gegebenen Teilmenge U eines Vektorraums V um einen Unterraum handelt, müssen lediglich 3 Bedingungen geprüft werden:. U (stellt sicher, dass U ist),. v + w U für alle u, v U und 3. av U für alle v U und a R. Bedingungen und 3 stellen sicher, dass Vektoraddition und Multiplikationen mit Skalaren innerhalb von U deniert sind, U also abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist. Die Gültigkeit der Rechenregeln ergibt sich dann automatisch daraus, dass diese in V gelten. Dies muss daher für U nicht mehr explizit nachgeprüft werden. vektorraum.pdf, Seite 6

Beispiel Sei V der Vektorraum aller Polynome p(x) = ax + bx + c mit Grad und U = {p V : p() = } die Teilmenge derjenigen Polynome, die in x = eine Nullstelle haben. Dann ist U Unterraum von V, denn es gilt. Die Nullfunktion p(x) = hat in x = der Wert, gehört also zu U.. Sind p, q U, so gilt nach Voraussetzung p() = q() =. Für die Summe p + q folgt (p + q)() = p() + q() = p + q U 3. Für p U und Skalare λ R gilt sowie (λ p)() = λ p() = λ = λ p U vektorraum.pdf, Seite 7

Bemerkung Um zu zeigen, dass eine Teilmenge U eines Vektorraums V kein Unterraum ist, muss ein Gegenbeispiel angegeben werden, bei dem eine der 3 Bedingungen verletzt ist. Es sind also (im Fall U ) entweder Vektoren v, w U mit v + w U zu nden oder ein v U und ein Skalar a K mit av U. Beispiele{ ( ) } v U = v = R : v = oder v = ist kein v ( ) Unterraum von V = R, denn es sind v = und ( ) ( ) w = U, aber v + w = U. Ũ = {v R : v ) } ist ebenfalls kein Unterraum, ) denn es ist v = Ũ, aber v = Ũ. ( ( vektorraum.pdf, Seite 8

Unterräume des R n geometrisch Der R hat folgende Unterräume: (a) den trivialen Unterraum U = {}, (b) den gesamten Raum R, (c) alle Geraden durch. Im R 3 gibt es folgende Unterräume: (a) {}, (b) Geraden durch, (c) Ebenen durch, (d) den gesamten Raum R 3. vektorraum.pdf, Seite 9

Linearkombinationen Zu Vektoren v,..., v n V heiÿt ein Ausdruck der Form n a i v i = a v + a v +... + a n v n i= mit Skalaren a,..., a n K Linearkombination von v,..., v n. Die Skalare a,..., a n werden dabei als Koezienten bezeichnet. Satz Ist V Vektorraum über K, so bildet für beliebige (feste) v,..., v n V die Menge aller Linearkombinationen { n } L(v,..., v n ) = a i v i : a,..., a n K i= einen Unterraum von V, der von v,..., v n erzeugte Unterraum oder die lineare Hülle von v,..., v n. vektorraum.pdf, Seite

Lineare Hülle geometrisch Die lineare Hülle L(v) = {t v : t R} eines Vektors v ist eine Gerade durch den Nullpunkt. Liegen die Ortsvektoren v und w auf einer Geraden, so ist L(v, w) ebenfalls eine Gerade, ansonsten ist L(v, w) = {t v + s w : s, t R} eine Ebene durch. Liegen die 3 Vektoren u, v, w R 3 in einer Ebene, so ist diese Ebene ihre lineare Hülle, ansonsten ist die lineare Hülle der gesamte dreidimensionale Raum. vektorraum.pdf, Seite

Erzeugendensystem Ist V = L(v,..., v n ) (d. h. jeder Vektor als V lässt sich als Linearkombination von v,..., v n darstellen), so heiÿt {v,..., v n } Erzeugendensystem von V. Beispiele { ( ), ( )} ist ein Erzeugendensystem des R, ( ) b denn ein beliebiger Vektor R kann durch b ( ) ( ) ( ) b = b + b b als Linearkombination von ) ) e = und e = dargestellt werden. ( ( {, x, x } ist ein Erzeugendensystem des Vektorraums V aller Polynome vom Grad, den ein beliebiges Element p V hat die Form p(x) = a x + a x + a mit Skalaren a, a, a R. vektorraum.pdf, Seite

Weiteres Beispiel {u, v, w} = { ( ), ( ), ( )} ist Erzeugendensystem des R, denn um einen beliebigen Vektor b R als Linearkombination von u, v, w darzustellen, betrachtet man a ( ) + a ( ) + a 3 ( ) ( = ) a = was ein lineares Gleichungssystem für die gesuchten Skalare a, a und a 3 ist. Die Koezientenmatrix hat Rang, also ist das LGS für beliebiges b R lösbar. Da es 3 Unbekannte gibt, ist die Lösung und damit die Darstellung von b als Linearkombination von u, v, w nicht eindeutig. a a3 ( b b ), vektorraum.pdf, Seite 3

Bemerkung Die Rechnung im letzten Beispiel zeigt ein allgemeines Prinzip: Zu Vektoren v,..., v n R m und Skalaren a,..., a n R enspricht die Linearkombination n i= a i v i = a v + a v +... + a n v n der Multiplikation der m nmatrix V, deren Spalten die Vektoren v,.., v n sind, mit dem Koezientenvektor a. an R n. Für einen Vektor b R m folgt b L(v,..., v n ) genau dann, wenn das LGS Vx = b lösbar ist, also wenn rg(v b) = rg(v ). Insbesondere gilt: Ist rg(v ) = m, so lässt sich jedes b R m als Linearkombination der v i darstellen, d. h. v,..., v n bilden ein Erzeugendensystem des R m. vektorraum.pdf, Seite 4

Lineare Unabhängigkeit Die Vektoren v,..., v n V heiÿen linear unabhängig, wenn n a i v i = a = a =... = a n =, i= wenn also die einzige Möglichkeit, den Nullvektor als Linearkombination von v,..., v n darzustellen darin besteht, dass alle Koezienten Null sind. Sind die Vektoren nicht linear unabhängig, so heiÿen sie linear abhängig. Dies ist der Fall, wenn es eine nichttriviale Möglichkeit gibt (d. h. mit Koezienten, die nicht alle Null sind), den Nullvektor als Linearkombination von v,..., v n darzustellen. vektorraum.pdf, Seite 5

Beispiele ( ) ( ) v = und v = R sind linear unabhängig, da ( ) ( ) a a v + a v = = a a = a =. ( ) Mit v 3 = = v + v sind v, v, v 3 linear abhängig, da z. B. v + v v 3 =. Die Spalten der Matrix A bilden genau dann linear unabhängige Vektoren, wenn das homogene LGS Ax = nur die Nulllösung hat. Das ist genau dann der Fall, wenn der Rang von A gleich der Zahl der Spalten ist. vektorraum.pdf, Seite 6

Weiteres Beispiel ( ) ( ) ( ) Die drei Vektoren v =, v = und v 3 = sind linear abhängig, da die aus den drei Vektoren als Spalten bestehende Matrix den Rang (< 3) hat. Das LGS ( ) ( ) a + a ( ) ( + a 3 = ) a a = ( a3 ( ( ) ( ) hat die allgemeine Lösung a a = t mit t R. a3 Mit t = folgt z. B. v v + v 3 = v = v v 3. ) ) vektorraum.pdf, Seite 7

Lineare Abhängigkeit graphisch Linear abhängige Vektoren ) ) v =, v = und v 3 = ( ( ( ) vektorraum.pdf, Seite 8

Lineare Abhängigkeit geometrisch Ein Vektor v ist genau dann linear abhängig, wenn er der Nullvektor ist. Zwei Vektoren v und v sind genau dann linear abhängig, wenn sie auf einer Geraden liegen oder (mindestens) einer von ihnen der Nullvektor ist. Drei Vektoren v, v und v 3 sind genau dann linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen oder (mindestens) einer von ihnen der Nullvektor ist. Ersteres ist genau dann der Fall, wenn durch eine Linearkombination die Seiten eines Dreicks gebildet werden können. Bemerkung Die Eigenschaft linear abhängig bzw. linear unabhängig bezieht sich immer auf das System von Vektoren v,..., v n als Ganzes. vektorraum.pdf, Seite 9

Satz Die Vektoren v,..., v n sind genau dann linear abhängig, wenn sich einer von ihnen als Linearkombination der übrigen darstellen lässt. Im letzten Beispiel war v = ( ) = Weiteres Beispiel Wegen 5 ( ) ( ) = v v 3 ( ) ( ) + 4 3 Vektoren linear abhängig. Es folgt z. B. ( ) = 4 5 ( ) + 3 5 ( ) ( ) = ( ) sind die drei vektorraum.pdf, Seite

Satz 3 Sind v,..., v n linear unabhängig, so ist jeder Vektor b L(v,..., v n ) auf eindeutige Weise als Linearkombination von v,..., v n darstellbar. Begründung Ist A die Matrix mit v,..., v n als Spalten, so sind die Vektoren genau dann linear unabhängig, wenn rg(a) = n ist. Dies bedeutet aber, dass jede Lösung eines LGS Ax = b und somit die Darstellung eines Vektors b als Linearkombination der v i eindeutig ist. Beispiel ( ) Aus rg Spaltenvektoren v = ( = rg ) ( ) = folgt, dass die ( ) und w = linear unabhängig sind. Eine Darstellung von b R als Linearkombination von v und w erhält )( man ) als ( eindeutige ) Lösung des LGS a b =. ( a b vektorraum.pdf, Seite

Beispiel Um zu prüfen, ob die Vektoren v = 3, v = und v 3 = linear unabhängig sind, betrachtet man die Gleichung 3 + a + a 3 a = Die linke Seite entspricht der Multiplikation der Matrix mit den Spaltenvektoren v, v und v 3 mit dem Vektor der a j, man erhält folgendes lineare Gleichungssystem für a, a, a 3 : 3 a a a3 = 3 Somit hat das LGS nur die Nulllösung, die Koezientenmatrix Rang 3 und die Vektoren sind linear unabhängig. vektorraum.pdf, Seite

Fortsetzung Beispiel Möchte man den Vektor b R 3 als Linearkombination von v, v und v 3 darstellen, so erhält man das LGS 3 a a a3 = b Da die Matrix Rang 3 (= Zahl der Zeilen) hat, ist das LGS für beliebiges b eindeutig lösbar, also ist jedes b R 3 auf eindeutige Weise als Linearkombination von v, v und v 3 darstellbar, z. B. erhält man für b = (; ; ) T 3 3 3 4 a 3 =, a = und a =, also b = v + v + v 3 vektorraum.pdf, Seite 3

Zusammenhang mit Matrizen allgemein Die Lösung eines LGS Ax = b entspricht einer Darstellung von b als Linearkombination der Spaltenvektoren von A. Daraus folgt (für eine m nmatrix A) Das LGS Ax = b ist genau dann lösbar, wenn b in der linearen Hülle der Spaltenvektoren von A liegt. Dies ist genau dann der Fall, wenn rg(a b) = rg(a). Das LGS Ax = b ist genau dann für alle b R m lösbar, wenn die Spalten von A ein Erzeugendensystem des R m bilden. Dies ist genau dann der Fall, wenn rg(a) = m. Die Lösung des homogenen LGS Ax = ist genau dann eindeutig, wenn die Spaltenvektoren von A linear unabhängig sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn rg(a) = n. Wenn das inhomogene LGS Ax = b lösbar ist, so ist die Lösung genau dann eindeutig, wenn die Spaltenvektoren von A linear unabhängig sind. vektorraum.pdf, Seite 4

Beispiel Der Vektor b = soll als Linearkombination von v = 3, v = 4 und v 3 = 3 d. h. gesucht sind a, a, a 3 R mit 4 = a +a +a 3 = 3 3 dargestellt werden, 4 3 3 Die Vorwärtselimination des GauÿAlgorithmus liefert 4 3 3... 4 also ist das LGS nicht lösbar und somit b L(v, v, v 3 )., a a a3 vektorraum.pdf, Seite 5

Fortsetzung Beispiel Um zu prüfen, ob die Vektoren v, v und v 3 linear unabhängig sind, betrachtet man das homogene LGS 4 3 3 a a a3 = und erhält Da allgemeine Lösung enthält einen freien Parameter und ist a a a3 = t t t mit t R, also sind die Vektoren linear abhängig. Z. B. erhält man mit t = v = 3 = v + v 3 = 4 + 3 vektorraum.pdf, Seite 6

Basis Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraums V heiÿt Basis von V. Eigenschaft Ist {v,..., v n } Basis von V, so lässt sich jedes Element aus V auf eindeutige Weise als Linearkombination von v,..., v n darstellen. Beispiele {( { ), (, 3 )} {( und }, ), ( ist eine Basis des R 3. )} sind Basen des R. Die Spalten einer regulären n nmatrix bilden eine Basis des R n. {, x, x } ist Basis des Vektorraums aller Polynome vom Grad. vektorraum.pdf, Seite 7

Satz 4 Sind {v,..., v n } und {w,..., w m } Basen des Vektorraums V, so ist n = m, d. h. je zwei Basen haben dieselbe Anzahl von Elementen. Dimension Die Dimension dim V eines Vektorraums V ist die Anzahl der Elemente einer Basis. Ein Vektorraum ist unendlichdimensional, wenn er keine (endliche) Basis hat. Beispiele dim R n = n. Der Vektorraum der Polynome mit Grad n hat die Dimension n + ({, x, x,..., x n } ist Basis). Der Vektorraum aller Polynome ist unendlichdimensional. vektorraum.pdf, Seite 8

Dimension von Unterräumen des R 3 (bzw. allgemeiner des R n ) Der triviale Unterraum {} hat die Dimension. Eindimensionale Unterräume sind Geraden durch, eine Basis besteht aus einem Richtungsvektor. Zweidimensionale Unterräume sind Ebenen durch, eine Basis besteht aus zwei Richtungsvektoren, die nicht auf einer Geraden liegen (dies sichert die lineare Unabhängigkeit). Drei Vektoren, die nicht in einer Ebene liegen, sind linear unabhängig und bilden eine Basis des dreidimensionalen Raumes. vektorraum.pdf, Seite 9

Bemerkungen Ist dim V = k, so bilden k linear unabhängige Vektoren immer eine Basis. Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis, d. h.: Hat der von v,..., v n erzeugte Unterraum die Dimension k, so gibt es eine kelementige Teilmenge von {v,..., v n }, welche Basis von L(v,..., v n ) ist. Man ndet eine solche (i. a. nicht eindeutig bestimmte) Basis, indem man aus {v,..., v n } schrittweise solche Vektoren entfernt, die sich als Linearkombination der übrigen darstellen lassen, solange, bis die verbleibenden Vektoren linear unabhängig sind. vektorraum.pdf, Seite 3

Beispiel und Bemerkung Gesucht ist eine Basis des von v = 3 4 v 3 = 3 und v 4 = 3 3 4 Das LGS 4 3 3, v = 4, erzeugten Unterraums des R 3. 3 4 7/3 ist nicht eindeutig lösbar, also sind die Vektoren linear abhängig. Die Vektoren, denen kein Pivotelement zugeordnet ist (also v und v 4 ) sind als Linearkombination der anderen darstellbar und können entfernt werden. Die verbleibenden Vektoren v und v 3 sind dann linear unabhängig und bilden eine Basis des Unterraums L(v, v, v 3, v 4 ), der somit die Dimension hat. vektorraum.pdf, Seite 3

Bemerkung Ist {v,..., v n } ein Erzeugendensystem oder eine Basis des Unterraums U, so ändert sich diese Eigenschaft nicht, wenn man zu einem der Vektoren ein skalares Vielfaches eines anderen dazuaddiert. Gleiches gilt bei Vertauschen zweier Vektoren und Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Die obige Überlegung kann zur Vereinfachung einer Basis bzw. eines Erzeugendensystems eines Unterraums des R n genutzt werden. vektorraum.pdf, Seite 3

Rang und Dimension Die Spalten einer m nmatrix A erzeugen einen rg(a)dimensionalen Unterraum des R m, sind ein Erzeugendensystem des R m, wenn rg(a) = m, sind linear unabhängig, wenn rg(a) = n, sind eine Basis des R n, wenn m = n und A regulär ist. Eine analoge Aussage gilt für die Zeilen von A. Damit ist rg(a) die maximale Zahl linear unabhängiger Spalten von A sowie die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilen von A. vektorraum.pdf, Seite 33

Reguläre Matrizen Die folgenden Eigenschaften einer quadratischen n nmatrix A sind äquivalent (d. h. wenn eine davon erfüllt ist, sind automatisch alle anderen erfüllt): A ist regulär A ist invertierbar det A rg(a) = n Die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig Die Spaltenvektoren von A bilden eine Basis des R n Die Zeilenvektoren von A sind linear unabhängig Die Zeilenvektoren von A bilden eine Basis des R n Das homogene LGS Ax = hat nur die Nulllösung Das LGS Ax = b ist für ein b R n eindeutig lösbar Das LGS Ax = b ist für alle b R n eindeutig lösbar vektorraum.pdf, Seite 34

Bemerkungen Aus det(ab) = det(a) det(b) folgt, dass ein Produkt zweier n nmatrizen genau dann regulär ist, wenn A und B regulär sind. Daraus folgt, dass die Menge aller regulären n nmatrizen mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine (nichtkommutative) Gruppe bildet, die allgemeine lineare Gruppe Gl(n, R). Das neutrale Element ist die Einheitsmatrix I n, für die Inversen gilt (AB) = B A. Für die Summe A + B gibt es keine vergleichbare Aussage. Wenn A und B regulär sind, muss A + B nicht regulär sein, umgekehrt kann die Summe zweier nicht regulärer Matrizen regulär sein. vektorraum.pdf, Seite 35