Bivariate Daten: Tabellarische und grafische Darstellungen

Bivariate Date: Tabellariche ud grafiche Dartelluge Ordiale Date Kotigeztafel ud Moaiplot mit geordete Kategorie Quatitative Date Kotigeztafel ud Moaiplot mit laierte Date il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier

Bivariate Date: Tabellariche ud grafiche Dartelluge Quatitative Date : Beipiel Bearbeituge vo Softwareaufgabe Streudiagramm Dartellug der Putepaare ( i, i ) i eiem arteiche Koordiatetem il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier

Bivariate Date: Zuammehagmaße Erierug allgemeie Eigechaft der Streuug uivariater Date: Streuug vo X deto höher, je chlechter orete Werte ich vorherage lae. Biher: Vorherage der Werte vo X durch eizele Lageparameter. Jetzt: Vorherage der Werte vo Y uter Verwedug der Werte vo X. Allgemei: Zuammehag (Korrelatio) zwiche Y ud X deto größer, je beer ich der Wert vo Y uter Keti de Wert vo X vorherage lät (oder umgeehrt). il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 3

Bivariate Date: Zuammehagmaße Korrelatio ud Kaualität E gilt: X it Urache vo Y > X ud Y orreliere X X Y Y Aber: X ud Y orreliere > X it Urache vo Y X X Y Y il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 4

Bivariate Date: Zuammehagmaße Korrelatio ud Kaualität X it Urache vo Y > X ud Y orreliere X ud Y orreliere > X it Urache vo Y Verchiedee Korrelatioquelle möglich X Z Y X Y X X Y Y X Z Y X Y X Y Z Z il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 5

Bivariate Date: Zuammehagmaße Simpo Paradoo Beipiel: Gelbe Karte für deutche ud egliche Team i atioale ud iteratioale Wettbewerbe betrachtete Spiele der Saio 00/0: Spiel Gelb Spiel Gelb Tot ham Areal 5(3+) MaU Areal 4(0+4) Partiza Areal 0 Werder Baer 4(+) Baer Werder 0 Tot ham MaU 6(+4) Baer Cluj Real Tot ham 3 Baer Werder 4(+3) Iter Schale 4 MaU Tot ham 3(0+3) Werder Schale 3(0+3) Bura MaU 0 Tot ham Areal 3(0+3) Schale Werder 3(+) Baer Schale 3(+) Areal Tot ham 4(3+) OM MaU 0 Schale Baer (0+) Schale Baer (0+) Befica Schale Areal MaU 5(+3) il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 6

Bivariate Date: Zuammehagmaße Simpo Paradoo Beipiel: Gelbe Karte für deutche ud egliche Team i atioale ud iteratioale Wettbewerbe Gelbe Karte pro Team ud Spiel Team Deutch Eglich 8 33.474.833 9 8 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 7

Bivariate Date: Zuammehagmaße Simpo Paradoo Beipiel: Gelbe Karte für deutche ud egliche Team i atioale ud iteratioale Wettbewerbe betrachtete Spiele der Saio 00/0: Spiel Heruft Schiri Gelb Spiel Heruft Schiri Gelb Tot ham Areal Eglad 5(3+) MaU Areal Eglad 4(0+4) Partiza Areal Deutchlad 0 Werder Baer Deutchlad 4(+) Baer Werder Deutchlad 0 Tot ham MaU Eglad 6(+4) Baer Cluj Eglad Real Tot ham Deutchlad 3 Baer Werder Deutchlad 4(+3) Iter Schale Eglad 4 MaU Tot ham Eglad 3(0+3) Werder Schale Deutchlad 3(0+3) Bura MaU Deutchlad 0 Tot ham Areal Eglad 3(0+3) Schale Werder Deutchlad 3(+) Baer Schale Deutchlad 3(+) Areal Tot ham Eglad 4(3+) OM MaU Deutchlad 0 Schale Baer Deutchlad (0+) Schale Baer Deutchlad (0+) Befica Schale Eglad Areal MaU Eglad 5(+3) il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 8

Bivariate Date: Zuammehagmaße Simpo Paradoo Beipiel: Gelbe Karte für deutche ud egliche Team i atioale ud iteratioale Wettbewerbe Gelbe Karte pro Team ud Spiel Team Deutch Eglich 8 33.474.833 9 8 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 9

Bivariate Date: Zuammehagmaße Simpo Paradoo Beipiel: Gelbe Karte für deutche ud egliche Team i atioale ud iteratioale Wettbewerbe Gelbe Karte pro Team ud Spiel Bedigt auf Heruft Schiedrichter Schiri eglich Team Deutch Eglich Schiri Deutch.5 0.75 Eglich.667.43 Schiri deutch.474.833 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 0

Bivariate Date: Zuammehagmaße Simpo Paradoo Beipiel: Gelbe Karte für deutche ud egliche Team i atioale ud iteratioale Wettbewerbe Gelbe Karte pro Team ud Spiel Bedigt auf Heruft Schiedrichter Schiri eglich Team Deutch Eglich Schiri Deutch Eglich 0/6.5 8/3.667 3/4 0.75 30/4.43 3/0.5 38/7.35 Schiri deutch 8/9.474 33/8.833 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date Zuammehag (Korrelatio) zwiche Y ud X deto größer, je beer ich der Wert vo Y uter Keti de Wert vo X vorherage lät(oder umgeehrt). X Y () () (K) Σ () f ; f ; f ;K () f ; f ; f ;K (J) f ; J f ; J f ;K J f f f K Wert vo Y lät ich bei Keti vo X umo beer vorherage, je tärer die bedigte Verteilug f Y X vo Y gegebe X vo der Radverteilug f Y vo Y abweicht. il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date Wert vo Y lät ich bei Keti vo X umo beer vorherage, je tärer die bedigte Verteilug f Y X vo Y gegebe X vo der Radverteilug f Y vo Y abweicht. Y () () (K) Σ Zuammehag miimal, fall f; j f j für alle j {,...,J} ud {,...,K} () f f f K X () f f f K (J) f f f K f f f K il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 3

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date Wert vo Y lät ich bei Keti vo X umo beer vorherage, je tärer die bedigte Verteilug f Y X vo Y gegebe X vo der Radverteilug f Y vo Y abweicht. Y () () (K) Σ Zuammehag maimal, fall e für alle j {,...,J} ei {,...,K} mit f ; j gibt () 0 0 X () 0 0 (J) 0 0 f f f K il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 4

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date Wert vo Y lät ich bei Keti vo X umo beer vorherage, je tärer die bedigte Verteilug f Y X vo Y gegebe X vo der Radverteilug f Y vo Y abweicht. X Y () () (K) Σ () f ; f ; f ;K () f ; f ; f ;K (J) f ; J f ; J f ;K J f f f K Ei Maß, da deto größerwird, je größer die Abweichug der bedigte Verteilug f Y X vo der Radverteilug f Y it, it alo ei ivolle Zuammehagmaß. il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 5

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date Ei Maß, da deto größer wird, je größer die Abweichug der bedigte Verteilug f Y X vo der Radverteilug f Y it, it alo ei ivolle Zuammehagmaß. X Y () () (K) Σ () f 0; f 0; f 0;K f () f 0; f 0; f 0;K f (J) f 0;J f 0;J f 0;JK f J Σ f f f K Wäre bedigte ud Radverteilug idetich, o würde ei Ateil vo vo f 0; f f j a de Date i Kategorie ((j), ()) falle. Dieer Fall wird al empiriche Uabhägigeit vo X ud Y bezeichet. il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 6

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date Ei Maß, da deto größer wird, je größer die Abweichug der bedigte Verteilug f Y X vo der Radverteilug f Y it, it alo ei ivolle Zuammehagmaß. X Y () () (K) Σ () ν ν ν K () ν ν ν K (J) ν J ν J ν JK J Σ K Somit würde bei Uabhägigeit j j ν f fj Beobachtuge i Kategorie((j), ()) erwartet. il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 7

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date Je größer die beobachtete Azahle vo de erwartete ν abweiche, deto mehr utercheide ich bedigte ud Radverteiluge. Ei Maß, da auf der quadratiche Abweichug der erwartete vo de beobachtete Häufigeite baiert, it die χ -Größe χ ( ν J K j, ν j ν Y () () (K) Σ () ( -ν ) ( -ν ) ( K -ν K ) ) X () ( -ν ) ( -ν ) ( K -ν K ) (J) ( J -ν J ) ( J -ν J ) ( JK -ν JK ) J Σ K il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 8

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: die χ -Größe χ ( ν J K j, ν j ν Die χ -Größe erfüllt die Forderug, deto größer zu werde, je größer die Abweichug der bedigte Verteilug f Y X vo der Radverteilug f Y it. ) χ J K j j j J K (f -f f f j j f j ) J K (f f -f f j j f ) j J K f f f f j fj j j il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier f J K f (f j ; j f j f ) 9

Bivariate Date: Zuammehagmaße 0 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier omiale Date: die χ -Größe Alterative Dartellug der χ -Größe ν, ν ) ν ( χ j J j K + + + χ J j K j J j K j J j K j J j K j j j j J j K j J j K j j

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: die χ -Größe χ ( ν ) J K J K j ν j j, ν j Bewei: E gilt: 0 χ (mi[j,k]-) 0 χ lar wege j > 0, > 0, ( ν ) 0 0 χ, we ν, d.h. we alle bedigte Häufigeite de uter Uabhägigeit erwartete Häufigeite etpreche. ur möglich, we ν ℵ für alle j,...,j ud,...,k. il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: die χ -Größe χ ( ν ) J K J K j ν j j, ν j χ Bewei: (mi[j,k] ) J K j j J K j j { (*) E gilt: 0 χ (mi[j,k]-) j j J K J K mi(j,k) j j J j Egilt: J J j (*) il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: die χ -Größe χ ( ν ) J K J K j ν j j, ν j Bewei: J K j j χ J,aalog J K E gilt: 0 χ (mi[j,k]-) (mi[j,k] ) j j K J ud K j j damit J K mi(j,k) j j mi(j,k) il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 3

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: die χ -Größe χ ( ν ) J K J K j ν j j, ν j Wa gilt: χ (mi[j,k]-)? Sei o.b.d.a. K J. Da gilt für alle,,k ud j,,j mit > 0: J K d.h. χ wird maimal, we e zu jedem j ei (j) mit f,(j) j gibt. j j K j, il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 4

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: die χ -Größe χ Bewei:" " Fall e ei(j,)mit 0 < ( ν ) J K J K j ν j j J K j j j K < gibt,ogilt J j K, j j > 0 <, J ν K j j K Für die Gleichheit mu alo zu jedem j ei (j) eitiere mit (j) f j ;(j) j. il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 5

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: die χ -Größe χ Bewei:" " f;(j) j K (j) J ( ν ) J K J K j ν j j j j j (j) J K j j K j ~ ~ j {j (j) } K (j) (j) j j, il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier K K > 0 /, (j) ~ ~ j { j (j) } ν / (j) (j) ~ ~ ~ ~ j {j (j) } j { j ( j) } j K 6

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: die χ -Größe χ ( ν ) J K J K j ν j j, ν j E gilt: 0 χ (mi[j,k]-) Kotigezoeffiziet ach Pearo C χ χ + mi(j,k) mi(j,k) [0,] il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 7

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: die χ -Größe Wert vo Y lät ich bei Keti vo X umo beer vorherage, je tärer die bedigte Verteilug f Y X vo Y gegebe X vo der Radverteilug f Y vo Y abweicht. Beipiel J K, 50 (> ν ν ν ν 5) χ C χ f ; -f il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 8

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: Beipiel Bearbeituge vo Softwareaufgabe Aufgabe Abfrage Eport Verüpfug Σ Kai 0 Bearbeiter(i) Miriam 0 3 0 3 Oliver 4 Tia 0 3 Σ 6 4 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 9

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: Beipiel Bearbeituge vo Softwareaufgabe ν Aufgabe Abfrage Eport Verüpfug Σ Kai 0 //3 6/ 4//3 Bearbeiter(i) Miriam 0 3 // Oliver 4 //3 3 3 6/3/ 4 6/ 0 3 4/ 4 4/4/3 3 4 Tia 0 3 // 3 6/3/ 3 4/ 3 Σ 6 4 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 30

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: Beipiel Bearbeituge vo Softwareaufgabe ( -ν ) Aufgabe Abfrage Eport Verüpfug Σ Kai 0 (0-/3) /9 (-) 0 (-/3) /9 Bearbeiter(i) Miriam 0 (0-/) /4 Oliver (-/3) 6/9 3 (3-3/) 9/4 (-) 0 (0-) (-4/3) /9 3 4 Tia 0 (0-/) /4 (-3/) /4 (-) 3 Σ 6 4 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 3

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: Beipiel Bearbeituge vo Softwareaufgabe ( -ν ) /ν Aufgabe Abfrage Eport Verüpfug Σ Kai 0 3/(9 )/3 0/0 3/(9 )/6 Bearbeiter(i) Miriam 0 /(4 )/ Oliver 6 3/(9 )8/3 3 9 /(4 3)3/ / 0 / 3/(9 4)/ 3 4 Tia 0 /(4 )/ /(4 3)/6 / 3 Σ 6 4 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 3

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: Beipiel Bearbeituge vo Softwareaufgabe J K 4 6 3 6 ( ν ) + + + 0 5 χ 0 8 6 8 j ν + + + + + + + + ( -ν ) /ν Aufgabe Abfrage Eport Verüpfug Σ Kai /3 0 /6 8.47 Bearbeiter(i) Miriam / 3/ 3 Oliver 8/3 / / 4 Tia / /6 3 Σ 6 4 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 33

Bivariate Date: Zuammehagmaße omiale Date: Beipiel Bearbeituge vo Softwareaufgabe 0 χ χ, C χ + mi(j,k) mi(j,k) 0 45 3 303 490 0.786 ( -ν ) /ν Aufgabe Abfrage Eport Verüpfug Σ Kai /3 0 /6 Bearbeiter(i) Miriam / 3/ 3 Oliver 8/3 / / 4 Tia / /6 3 Σ 6 4 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 34

Bivariate Date: Zuammehagmaße Ordiale Date Allgemei: Zuammehag (Korrelatio) zwiche Y ud X deto größer, je beer ich der Wert vo Y uter Keti de Wert vo X vorherage lät(oder umgeehrt). Wert vo Y lät ich bei Keti vo X umo beer vorherage, je mehr ei hoher Wert vo X eie hohe Wert vo Y impliziert (poitiver Zuammehag) bzw. je mehr ei hoher Wert vo X eie iedrige Wert vo Y impliziert (egativer Zuammehag). il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 35

Bivariate Date: Zuammehagmaße Ordiale Date Beipiel 5-Pute-Beotugtem: ote i de Fächer Mathemati ud Phi Latete Leitug λ,beotug f (λ ) il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 36

Bivariate Date: Zuammehagmaße Ordiale Date Beipiel 5-Pute-Beotugtem: ote i de Fächer Mathemati ud Phi Zuammehag zwiche Leituge il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 37

Bivariate Date: Zuammehagmaße Ordiale Date Beipiel 5-Pute-Beotugtem: ote i de Fächer Mathemati ud Phi Zuammehag zwiche ote bei uterchiedlicher Salierug il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 38

Bivariate Date: Zuammehagmaße Ordiale Date Beipiel 5-Pute-Beotugtem: ote i de Fächer Mathemati ud Phi Zuammehag zwiche oteräge bei uterchiedlicher Salierug il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 39

Bivariate Date: Zuammehagmaße Ordiale Date Allgemei: Zuammehag (Korrelatio) zwiche Y ud X deto größer, je beer ich der Wert vo Y uter Keti de Wert vo X vorherage lät(oder umgeehrt). Wert vo Y lät ich bei Keti vo X umo beer vorherage, je mehr ei hoher Ragvo X eie hohe Ragvo Y impliziert (poitiver Zuammehag) bzw. je mehr ei hoher Ragvo X eie iedrige Ragvo Y impliziert (egativer Zuammehag). Ei ivolle Zuammehagmaß für ordialedate ollte alo im Abolutwerthoch ei, we hohe Rägevo X mit hohe bzw. iedrige Rägevo Y eihergehe ud iedrig, we Paare vo hohe ud hohe, hohe ud iedrige, iedrige ud hohe owie iedrige ud iedrige X- ud Y-Räge i gleichem Maße auftrete. il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 40

Bivariate Date: Zuammehagmaße Quatitative Date Allgemei: Zuammehag (Korrelatio) zwiche Y ud X deto größer, je beer ich der Wert vo Y uter Keti de Wert vo X vorherage lät(oder umgeehrt). Wert vo Y lät ich bei Keti vo X umo beer vorherage, je mehr ei hoher Wertvo X eie hohe Wertvo Y impliziert (poitiver Zuammehag) bzw. je mehr ei hoher Wertvo X eie iedrige Wertvo Y impliziert (egativer Zuammehag). Ei ivolle Zuammehagmaß für quatit. Date ollte alo im Abolutwerthoch ei, we hohe Wertevo X mit hohe bzw. iedrige Wertevo Y eihergehe ud iedrig, we Paare vo hohe ud hohe, hohe ud iedrige, iedrige ud hohe owie iedrige ud iedrige X- ud Y-Werte i gleichem Maße auftrete. il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 4

Bivariate Date: Zuammehagmaße Quatitative Date Allgemei: Zuammehag (Korrelatio) zwiche Y ud X deto größer, je beer ich der Wert vo Y uter Keti de Wert vo X vorherage lät(oder umgeehrt). Kovariaz: ( )( ) >0, we hohe Werte vo X i hohem Maße mit hohe Werte vo Y eihergehe (Poitive Korrelatio) <0, we hohe Werte vo X i hohem Maße mit iedrige Werte vo Y eihergehe (egative Korrelatio) 0, we hohe Werte vo X i gleichem Maße mit hohe Werte wie mit iedrige Werte vo Y eihergehe (Uorreliertheit) il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 4

Bivariate Date: Zuammehagmaße Quatitative Date: Kovariaz ( ) ( ) il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 43

Bivariate Date: Zuammehagmaße Quatitative Date: Kovariaz ( ) ( ) ( ) ( ) < 3 3 < 0 > 0 0 ( ) ( ) > 3 3 > 0 > 0 0 ( ) ( ) > 3 3 < 0 < 0 0 ( ) ( ) < 3 3 > 0 < 0 0 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 44

Bivariate Date: Zuammehagmaße 45 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier Quatitative Date Kovariaz Bewei aalog zu Bewei vo ( ) ) )( ( d ( ) - ) - ( ) )( ( i i + + +

Bivariate Date: Zuammehagmaße Quatitative Date Kovariaz Für die Kovariaz gilt: il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 46

Bivariate Date: Zuammehagmaße 47 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier Quatitative Date: Kovariaz Bewei: Spezialfall der Cauch-Schwarz-Ugleichug: ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( b a b a gilt, ),b für(a R

Bivariate Date: Zuammehagmaße Quatitative Date: Kovariaz ( ) ( ) E gilt: Korrelatiooeffiziet ach Bravai-Pearo r il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 48

Bivariate Date: Zuammehagmaße Quatitative Date: Korrelatiooeffiziet ach Bravai-Pearo r Gleichheitbedigug für(a,b ) R, gilt a b a b bei der e gibt Cauch- Schwarz-Ugleichug Kotatecuddmitb r c + d a für alle r {,} ( -) c + d ( -) ~ c + d mit ~ c c + -d Da heißt, r it geau da,wealle ud auf eier Gerade liege. il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 49

Bivariate Date: Zuammehagmaße Quatitative Date: Kovariaz ( ) (c + d c d) + r il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 50

Bivariate Date: Zuammehagmaße Quatitative Date: Korrelatiooeffiziet ach Bravai-Pearo icht-liearer mootoer Zuammehag r 0.965 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 5

Bivariate Date: Zuammehagmaße Ordiale/Quatitative Date: icht-liearer mootoer Zuammehag Übergag zu Räge r 0.965 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 5

Bivariate Date: Zuammehagmaße Ordiale/Quatitative Date: icht-liearer mootoer Zuammehag Übergag zu Räge R() R() R() r R()R() R() il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 53

Bivariate Date: Zuammehagmaße Ordiale/Quatitative Date Abolute Korrelatio vo Räge bei mootoem Zuammehag immer r 0.965 r 0.79 r R()R() r 0.979 r 0.95 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 54

Bivariate Date: Zuammehagmaße Ordiale/Quatitative Date Fall X ud Y midete ordiale Saleiveau habe, o wird der Bravai-Pearo- Korrelatiooeffiziet der Räge R(X) ud R(X) vo X ud Y der Spearmache Ragorrelatiooeffiziet r Sp vo X ud Y geat: r Sp r R()R() R()R() R() R() ( R( )( ) )-R() R()-R() ( ) R( ( ) )-R() R()-R() il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 55

Bivariate Date: Zuammehagmaße Ordiale/Quatitative Date Spearmache Ragorrelatiooeffiziet Fall eie Biduge auftrete, d.h. R( j ) R( ) ud R( j ) R( ) für alle j, o gilt: r 6 Sp - ) ( -) ( R()-R( ) Beweiaatz: ud R( R( ) ) R( ) R() (+ ) (+ )(+ ) 6 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 56

Bivariate Date: Zuammehagmaße Ordiale/Quatitative Date: Beipiel Bearbeituge vo Softwareaufgabe Azahl Clic Rag Bearbeitugzeit Rag 4 7.5 8.0 4.5 4.9 8 4.5 6.6 0 3 6 3. 7 3.9 5 3 4.5 7 4 7.5 6. 9 0.5 3.7 3.5 0.5 4. 6 8 8.5 6 0 3.6 5 9 3.7 3.5 4 3.5 7 4 5 5.075 3.4 5 r 4 5 [(0.5.95) + (.5 0.75) + (.5.55) + ( 0.5.875) + (3.5.75) + (.5 0.575) + (0.5.05) + ( 3.5.375) + ( 3.5 0.875) + + (4.5 3.45) + (.5.475) + (.5.375)]/( r Sp 45 [( 4.5) + (.5) + ( 3.5) + ( 0.5 5.5) + (4.5.5) + ( 3.5 0.5) + (.5) + ( 5 3) + ( 5 0.5) + + (5.5 5.5) + (3.5 4.5) + (.5 3)]/(39.455) il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 7 3.4) 0. 0.30 57

Bivariate Date: Lieare Regreio Quatitative Date: Erierug Allgemei: Zuammehag (Korrelatio) zwiche Y ud X deto größer, je beer ich der Wert vo Y uter Keti de Wert vo X vorheragelät(oder umgeehrt). Bravai-Pearo-Korrelatiooeffiziet mit lieare Zuammehag. Wie lät ich der lieare Zuammehag zur Vorherage utze? il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 58

Bivariate Date: Lieare Regreio Quatitative Date r <> c+d für,, Für beliebige j c + dj c + d (j,) mit j : j (c + dj) (c + d) d(j ) d ( ) / ( ) j j c + d c d ( j ) / ( j ) Perfete Vorherage durch Eietze i die Gleichug. il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 59

Bivariate Date: Lieare Regreio Quatitative Date 0 < r < <> c + d + ε für,, Vorheragefehler ε c d il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 60

Bivariate Date: Lieare Regreio Quatitative Date: Methode der leite Quadrate Koeffiziete c ud d o betimme, da Fehlerquadratumme Q(c,d) miimal wird. ε il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 6

Bivariate Date: Lieare Regreio Quatitative Date: Methode der leite Quadrate ( c d ) Die Fehlerquadratumme Q(c,d) it miimal für d ud c - Bewei Q(c,d) ( c + d ) c + d- 0 c + d 0 c Q(c,d) ( c + d ) c + d 0 d c + d 0 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 6

( ) c (3),(3)i() / / d d 0 d -d ()i() d c 0 d ()c 0 d ()c Bewei + + + Bivariate Date: Lieare Regreio 63 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier Quatitative Date: Methode der leite Quadrate ( ) - c ud d für miimal it d c Q(c,d) Fehlerquadratumme Die

0 4 4 4 det Q(c,d) d d, Q(c,d) d c, Q(c,d) c c d c Q(c,d) d, d- c Q(c,d) c Bewei > + + Bivariate Date: Lieare Regreio 64 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier Quatitative Date: Methode der leite Quadrate ( ) - c ud d für miimal it d c Q(c,d) Fehlerquadratumme Die

Bivariate Date: Lieare Regreio 65 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier Quatitative Date: Methode der leite Quadrate Je größer die abolute Korrelatio, deto leier die Fehlerquadratumme - c ud d ( ) ( ) r (-) r r (-) r r (-) ) ( r ) )( ( r ) ( ) ( r ) ( r ) r ( ) ( ε + + +

Bivariate Date: Lieare Regreio Quatitative Date: Methode der leite Quadrate Je größer die abolute Korrelatio, deto leier die Fehlerquadratumme r 0.034 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 66

Bivariate Date: Lieare Regreio Quatitative Date: Methode der leite Quadrate Je größer die abolute Korrelatio, deto leier die Fehlerquadratumme r il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 69

Bivariate Date: Lieare Regreio Quatitative Date: Beipiel Bearbeituge vo Softwareaufgabe Azahl Clic Bearbeitugzeit c+d 4 4 8.0 5.77.83 4.9 4.768 0.3 6.6 4.768.83 3 3. 4.973.773 7 3.9 5.79.89 4.5 4.564 0.064 4 6. 5.77 0.9 0 3.7 4.359 0.659 0 4. 4.359 0.59 8 8.5 5.995.505 6 3.6 5.586.986 5 3.7 5.38.68 4 3.5 7 4 5 5.075 3.4 5 r 4 5 ε 0.30 c + d c d r 45 0.05 il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 5 5 r 4 5.0750.30.34 4 5 4 + ε 5 5 4 4 0.30 3.4 7 3.5 3.4 7 70

Bivariate Date: Lieare Regreio Quatitative Date: Beipiel Bearbeituge vo Softwareaufgabe.34 + 0.054 5 + ε il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 7

Bivariate Date: Zuammehagmaße Zuammefaug Saleivau Zuammehagmaß χ -Größe/ Kotigezoeffiziet ach Pearo Ragorrelatiooeffizietach Spearma Korrelatiooeff. ach Bravai- Pearo/li. Regr. omial Ordial Quatitativ ur für J ur für J Iformatioverlut ur für laierte Date + Robut + Allg. Zuammehag Iformatioverlut Aureißerafällig Li. Zuammehag + Iformatioutzug il Raabe: Wahrcheilicheitrechug ud mathematiche Statiti für Iformatier 7