Wurzelgleichungen W. Kippels 16. August 01 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Übungsaufgaben.1 Aufgabe 1.................................... Aufgabe....................................3 Aufgabe 3.................................... Aufgabe....................................5 Aufgabe 5....................................6 Aufgabe 6....................................7 Aufgabe 7....................................8 Aufgabe 8....................................9 Aufgabe 9................................... 5.10 Aufgabe 10.................................. 5.11 Aufgabe 11.................................. 5.1 Aufgabe 1.................................. 5.13 Aufgabe 13.................................. 5.1 Aufgabe 1.................................. 5.15 Aufgabe 15.................................. 5.16 Aufgabe 16.................................. 5 3 Musterlösungen zu den Übungsaufgaben 6 3.1 Lösung Aufgabe 1............................... 6 3. Lösung Aufgabe............................... 7 3.3 Lösung Aufgabe 3............................... 8 3. Lösung Aufgabe............................... 9 3.5 Lösung Aufgabe 5............................... 10 3.6 Lösung Aufgabe 6............................... 11 3.7 Lösung Aufgabe 7............................... 13 3.8 Lösung Aufgabe 8............................... 1 3.9 Lösung Aufgabe 9............................... 15 1
3.10 Lösung Aufgabe 10.............................. 16 3.11 Lösung Aufgabe 11.............................. 17 3.1 Lösung Aufgabe 1.............................. 18 3.13 Lösung Aufgabe 13.............................. 19 3.1 Lösung Aufgabe 1.............................. 0 3.15 Lösung Aufgabe 15.............................. 1 3.16 Lösung Aufgabe 16..............................
1 Grundlagen Beim Lösen mathematischer Probleme stößt man gelegentlich auch auf Gleichungen, die eine oder auch mehrere Quadratwurzeln enthalten. Diese Gleichungen nennt man Wurzelgleichungen. Hier ein Beispiel: 5 + 5x 1 = x Im folgenden möchte ich Strategien vorstellen, wie man solche Gleichungen lösen kann. Die erste Idee, die mancher vielleicht hat, lautet: Man müsste die Gleichung quadrieren, dann ist die Wurzel weg. Leider klappt das nur, wenn man auf diese Weise die Binomischen Formeln missachtet: 5 + 5x 1 = x ( ) 5 + (5x 1) = x Leider ist das falsch. Es gibt nämlich keine Formel, die lauten würde: (a + b) = a + b. Richtig hingegen ist: (a + b) = a + ab + b. Beachtet man diese Formel, erhält man: 5 + 5x 1 = x ( ) 5 + 10 5x 1 + (5x 1) = x Das hilft also nicht weiter. Es ist immer noch eine Wurzel da. Abhilfe ist jedoch möglich, wenn man vor dem Quadrieren dafür sorgt, dass die Wurzel allein auf einer Seite steht: 5 + 5x 1 = x 5 5x 1 = x 5 ( ) 5x 1 = x 10x + 5 Jetzt haben wir eine normale Quadratische Gleichung 1 erhalten, die keine Wurzel mehr enthält. Diese kann nun gelöst werden: 5x 1 = x 10x + 5 5x + 1 0 = x 15x + 6 x 1/ = 15 ( ± 15 ) 6 = 15 ± 5 10 = 15 ± 11 x 1 = = x = 6 = 13 1 Eine Anleitung zum Lösen Quadratischer Gleichungen (einschließlich Übungsaufgaben mit Lösungen) ist hier zu finden: http://www.dkek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf 3
Offenbar haben wir die Lösungsmenge L = {; 13}. Führen wir sicherheitshalber einmal eine Probe durch. Beginnen wir mit x 1 =. 5 + 5x 1 = x 5 + 5 1 = 5 + 9 = 5 + 3 Nanu, was ist denn da passiert? Die Probe geht nicht auf! Haben wir etwa einen Rechenfehler gemacht? Führen wir vor weiteren Überlegungen erst noch die Probe mit x = 13 durch. 5 + 5x 1 = x 5 + 5 13 1 = 13 5 + 6 = 13 5 + 8 = 13 Erstaunlicherweise(?) geht diesmal die Probe auf, haben wir uns doch nicht verrechnet? Sehen wir uns das Ergebnis der Probe mit x 1 = einmal genau an. Wenn vor der Wurzel ein Minuszeichen gestanden hätte, dann würde die letzte Zeile lauten: 5 3 = Das wäre richtig. Im Schritt, in dem wir die Gleichung (und damit auch die Wurzel) quadriert haben, wäre dieses Minuszeichen vor der Wurzel wegquadriert worden. Zeile 3 hätten wir also sowohl mit einem Pluszeichen, als auch mit einem Minuszeichen vor der Wurzel erhalten. Wir haben also durch das Quadrieren eine Gleichung erhalten, die mehr Lösungen als die Originalgleichung hat. Dieser Schritt war nämlich keine sogenannte Äquivalenzumformung. Was lernen wir daraus? Bei der Lösung von Wurzelgleichungen erhalten wir möglicherweise mehr Lösungen, als tatsächlich die Wurzelgleichung erfüllen. Daraus ergibt sich folgender Merksatz: Man muss nach dem Lösen einer Wurzelgleichung stets eine Probe machen.
Übungsaufgaben Hier sind einige Übungsaufgaben zu Wurzelgleichungen zusammengestellt. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der Gleichungen! Denken Sie daran, dass vor Festlegung der Lösungsmenge die Proben erforderlich sind! Die durchgerechneten Lösungen zu diesen Aufgaben finden Sie im nächsten Hauptkapitel..1 Aufgabe 1. Aufgabe + 3x = 5x 6 7x + 15 = x 5 + 5.3 Aufgabe 3. Aufgabe x + + x 7 = 5 x x + 5x + 1 = x + 16 5x + 9.5 Aufgabe 5 5x + 1 + x 3 = x 5.6 Aufgabe 6.7 Aufgabe 7 3x + x + 1 = 3x + 1 3x + + x + 1 x 33 x x = 5.8 Aufgabe 8 5x + x 1 = 5
.9 Aufgabe 9 x 1 + 6x + 3 = 11x + 5.10 Aufgabe 10.11 Aufgabe 11.1 Aufgabe 1 x 6 x + 7 = 0 x 3 x = x + 3 + x + 5 =.13 Aufgabe 13 x + = x 1 + 6.1 Aufgabe 1.15 Aufgabe 15 30x 16 x + = 0 5 + x 5 x = 3 x 3 + x.16 Aufgabe 16 5x + 1 + 3x 5 1 = 3 6
3 Musterlösungen zu den Übungsaufgaben Hier finden Sie die durchgerechneten Lösungen zu allen Aufgaben. 3.1 Lösung Aufgabe 1 + 3x = 5x 6 3x = 5x 8 ( ) x 1 = 66 Probe mit x 1 = 1,3: x 1 = 1,3 ist keine Lösung! 3x = 5x 80x + 6 3x + 0 = 5x 83x + 66 : 5 0 = x 83 5 x + 66 5 p-q-formel x 1/ = 83 50 ± x 1/ = 83 50 ± 17 50 50 = 1,3 x = 100 6 889 500 6 600 500 50 = + 3x = 5x 6 + 3 1,3 = 5 1,3 6 + 1,96 = 0,6 + 1, 0,6 Probe mit x = : x = ist eine Lösung! + 3x = 5x 6 + 3 = 5 6 + = + = Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = {} 7
3. Lösung Aufgabe 7x + 15 = x 5 + 5 In dieser Aufgae haben wir sogar zwei Wurzeln! Leider ist es nicht möglich, beide Wurzeln gleichzeitig in einem Schritt zu eliminieren. Da eine Wurzel allein auf einer Seite steht, kann jedoch quadriert werden, um die linke Wurzel loszuwerden. 7x + 15 = x 5 + 5 ( ) 7x + 15 = (x 5) + 10 x 5 + 5 7x + 15 = x + 0 + 10 x 5 x 0 5x 55 = 10 x 5 : 5 x 1 = x 5 ( ) x x + 1 = (x 5) x x + 1 = 8x 0 8x + 0 x 10x + 1 = 0 p-q-formel x 1/ = 5 ± 5 1 x 1/ = 5 ± x 1 = 3 x = 7 Probe mit x 1 = 3: x 1 = 3 ist eine Lösung. 7x + 15 = x 5 + 5 7 3 + 15 = 3 5 + 5 36 = 1 + 5 6 = 1 + 5 Probe mit x = 7: x = 7 ist (auch) eine Lösung. 7x + 15 = x 5 + 5 7 7 + 15 = 7 5 + 5 6 = 9 + 5 8 = 3 + 5 Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = {3; 7} 8
3.3 Lösung Aufgabe 3 x + + x 7 = 5 x x x 7 = 3 x ( ) Probe mit x =,5: x 7 = 9 1x + x x + 7 0 = x 36x + 81 : 0 = x 9x + 81 x 1/ = 9 81 ± 81 x 1/ = 9 ± 0 x =,5 p-q-formel x + + x 7 = 5 x,5 + +,5 7 = 5,5 6,5 + 36 = 0,5 6,5 + 6 0,5 Es gibt keine Lösung für die Gleichung, die Lösungsmenge lautet: L = { } 9
3. Lösung Aufgabe x + 5x + 1 = x + 16 5x + 9 Hier haben wir gleich Wurzeln! Durch Quadrieren kann man aber deren Zahl auf reduzieren. x + 5x + 1 = x + 16 5x + 9 ( ) x + x + 5x + 1 + 5x + 1 = x + 16 x + 16 5x + 9 + 5x + 9 7x + 5 (x + ) (5x + 1) = 7x + 5 (x + 16) (5x + 9) 7x + 5 10x + x + 0x + = 7x + 5 10x + 18x + 80x + 1 7x 5 10x + x + = 0 10x + 98x + 1 ( ) (10x + x + ) = 00 80 10x + 98x + 1 + (10x + 98x + 1) 0x + 88x + 16 = 00 80 10x + 98x + 1 + 0x + 39x + 576 0x 88x + 16 = 80 10x + 98x + 1 + 39x + 976 39x 976 30x 960 = 80 10x + 98x + 1 : ( 16) 19x + 60 = 5 10x + 98x + 1 ( ) 361x + 80x + 3 600 = 5 (10x + 98x + 1) 361x + 80x + 3 600 = 50x + 50x + 3 600 50x 50x 3 600 111x 170x = 0 : 111 x 170 ( 111) x = 0 x x 170 111 = 0 x 1 = 0 x = 170 111 Probe mit x 1 = 0: 0 + 5 0 + 1 = 0 + 16 5 0 + 9 1 = 16 9 1 = 3 Probe mit x = 170 111 : 170 111 + 5 170 111 + 1 = 78 961 111 111 = 8 31 = 111 111 3 111 170 111 + 16 5 170 111 + 9 116 1 89 111 111 6 3 111 111 3 111 Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = {0} 10
3.5 Lösung Aufgabe 5 5x + 1 + x 3 = x 5 Hier kann sofort quadriert werden. 5x + 1 + x 3 = x 5 ( ) 5x + 1 + (5x + 1) (x 3) + x 3 = x 5 9x + 0x 15x + x 3 = 7x 3 ( ) (0x 11x 3) = 9x + x + 9 80x x 1 = 9x + x + 9 9x x 9 31x 86x 1 = 0 : 31 x 86 31 x 1 31 = 0 x 1/ = 3 1 89 31 ± 961 + 651 961 x 1/ = 3 500 31 ± 961 x 1/ = 3 31 ± 50 31 Probe mit x 1 = 7 31 : x 1 = 7 31 x = 3 5x + 1 + x 3 = x 5 5 ( ) 7 31 + 1 + ( ) 7 31 3 = ( 31) 7 5 + 11 = 169 31 31 31 Da die Wurzeln alle keine (reelle) Lösung haben, ist x 1 = 7 31 Probe mit x = 3: Auch x = 3 erfüllt nicht die Gleichung. 5x + 1 + x 3 = x 5 5 3 + 1 + 3 3 = 3 5 16 + 9 = 1 + 3 1 keine Lösung. Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = { } 11
3.6 Lösung Aufgabe 6 3x + x + 1 = 3x + 1 3x + + x + 1 Es sollt auffallen, dass der Nenner des Bruches annähernd identisch mit der linken Gleichungsseite ist. Nur das Rechenzeichen dazwischen ist anders. Multipliziert man nun die Gleichung mit dem (rechten) Nenner, dann löst die dritte Binomische Formel links alle Wurzeln auf. 3x + x + 1 = ( 3x + x + 1 ) = 3x + 1 3x + + x + 1 3x + 1 ( 3x + + x + 1 ) 3x + + x + 1 ((3x + ) (x + 1) ) = 3x + 1 (3x + x 1) = 3x + 1 ( x + 3) = 3x + 1 x + 1 = 3x + 1 + 1 x + 13 = 3x + ( ) 16x 10x + 169 = 16 (3x + ) 16x 10x + 169 = 8x + 6 8x 6 16x 15x + 105 = 0 : 16 x 19 + 105 16 = 0 x 1/ = 19 ± x 1/ = 19 ± x 1/ = 19 ± 16 x 1 = 3 x = 35 361 16 105 16 56 16 1
Probe mit x 1 = 3 : Probe mit x = 35 : 3x + x 3x + 1 + 1 = 3x + + x + 1 3 3 3 3 + 3 + 1 = + 1 3 3 + + 3 + 1 5 5 1 = 5 + 5 = 5 1 5 + 10 8 = 9 9 = 3x + x 3x + 1 + 1 = 3x + + x + 1 3 3 35 + 1 35 + 35 + 1 = 3 35 + + 35 + 1 11 36 11 1 = 11 + 36 11 6 = 11 1 11 + 6 = 1 3 3 Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = { } 3 13
3.7 Lösung Aufgabe 7 x 33 x x = 5 x 33 x x = 5 x ( ) 33 x x = 5 10x + x 33 + x + x 0 = x 6x 8 : 0 = x 3x x 1/ = 3 9 ± + 16 Probe mit x 1 = 1: x 1/ = 3 ± 5 x 1 = 1 x = x 33 x x = 5 1 33 ( 1) ( 1) = 5 1 6 5 Probe mit x = : x 33 x x = 5 33 = 5 1 5 Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = { } 1
3.8 Lösung Aufgabe 8 5x + x 1 = ( ) 5x + x 1 = ( ) 5x + (5x + ) (x 1) + x 1 = 16 7x + 3 10x 5x + 8x = 16 7x 3 10x + 3x = 7x + 13 ( ) (10x + 3x ) = 9x 18x + 169 0x + 1x 16 = 9x 18x + 169 0x 1x + 16 0 = 9x 19x + 185 : 9 0 = x 19 9 x + 185 9 x 1 = 185 9 x 1/ = 97 9 ± x 1/ = 97 9 ± 88 9 x = 1 9 09 81 1 665 81 Probe mit x 1 = 185: 9 5x + x 1 = 5 185 9 + 185 9 1 = 961 361 9 = 9 31 3 19 = 3 1 = 3 = Probe mit x = 1: 5x + x 1 = 5 1 + 1 1 = 9 1 = 3 1 = Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = { } 185 9 15
3.9 Lösung Aufgabe 9 x 1 + 6x + 3 = 11x + 5 ( ) x 1 + (x 1) (6x + 3) + 6x + 3 = 11x + 5 8x + + 1x + 6x 6x 3 = 11x + 5 8x 1x 3 = 3x + 3 ( ) (1x 3) = 9x + 18x + 9 8x 1 = 9x + 18x + 9 9x 18x 9 39x 18x 1 = 0 : 39 Probe mit x 1 = 7 13 : x 6 13 x 7 13 = 0 x 1 = 7 13 x 1/ = 3 13 ± 9 169 + 91 169 x 1/ = 3 13 ± 10 13 x = 1 x 1 + 6x + 3 = 11x + 5 ( ) 7 13 1 + 6 ( ) 7 13 + 3 = 11 ( 13) 7 + 5 7 + 3 = 1 13 13 13 Keine der Wurzeln hat eine (reelle) Lösung. Daher gehört x 1 nicht zur Lösungsmenge. Probe mit x = 1: x 1 + 6x + 3 = 11x + 5 1 1 + 6 1 + 3 = 11 1 + 5 1 + 9 = 16 1 + 3 = Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = {1} 16
3.10 Lösung Aufgabe 10 Probe mit x 1 = 16: Probe mit x = 81: x 6 x + 7 = 0 + 6 x x + 7 = 6 x ( ) x + 88x + 5 18 = 676x 676x x 388x + 5 18 = 0 : x 97x + 1 96 = 0 x 1/ = 97 9 09 ± 1 96 x 1/ = 97 9 09 ± 5 18 x 1/ = 97 55 ± x 1/ = 97 ± 65 x 1 = 16 x = 81 x 6 x + 7 = 0 16 6 16 + 7 = 0 3 6 + 7 = 0 3 10 + 7 = 0 0 = 0 x 6 x + 7 = 0 81 6 81 + 7 = 0 16 6 9 + 7 = 0 16 3 + 7 = 0 0 = 0 Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = {16; 81} 17
3.11 Lösung Aufgabe 11 x 3 x = + 3 x x = 3 x ( ) x 8x + = 9 x 9x x 17x + = 0 : x 17 x + 1 = 0 x 1/ = 17 89 8 ± 6 1 x 1/ = 17 89 8 ± 6 6 6 5 x 1/ = 17 8 ± x 1/ = 17 8 ± 15 8 x 1 = 1 x = 6 Probe mit x 1 = 1 : x 3 x = Probe mit x = : 1 3 1 = 1 3 x 3 x = 3 = 8 6 = Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = {} 18
3.1 Lösung Aufgabe 1 x + 3 + x + 5 = ( ) x + 3 + (x + 3) (x + 5) + x + 5 = 3x + 8 + x + 5x + 6x + 15 = 3x + 8 + x + 11x + 15 = 3x 8 x + 11x + 15 = 3x ( ) (x + 11x + 15) = 9x + x + 16 8x + x + 60 = 9x + x + 16 8x x 60 0 = x 0x x 1/ = 10 ± 100 + x 1/ = 10 ± 1 x 1 = x = Probe mit x 1 = : x + 3 + x + 5 = + 3 + ( ) + 5 = 1 + 1 = Probe mit x = : x + 3 + x + 5 = + 3 + + 5 = 5 + 7 Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = { } 19
3.13 Lösung Aufgabe 13 x + = x 1 + 6 ( ) x + = x 1 + 1 x 1 + 36 x 35 x 31 = 1 x 1 ( ) x + 6x + 961 = 1 (x 1) x + 6x + 961 = 88x 1 88x + 1 x + 6x + 1 105 = 0 x 1/ = 113 ± 1 769 1 105 x 1/ = 113 ± 108 x 1 = 5 x = 1 Probe mit x 1 = 5: x + = x 1 + 6 5 + = 5 1 + 6 Probe mit x = 1: 3 3 + 6 x + = x 1 + 6 1 + = 1 1 + 6 15 1 + 6 Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = { } 0
3.1 Lösung Aufgabe 1 30x 16 x + = 0 + 16 x 30x + = 16 x ( ) 900x + 10x + = 56x 56x 900x 136x + = 0 : 900 x 3 5 + 1 5 = 0 x 1/ = 17 5 ± x 1/ = 17 5 ± x 1/ = 17 5 ± 8 5 89 50 65 1 5 89 50 65 5 50 65 x 1 = 1 5 x = 1 9 Probe mit x 1 = 1 : 5 30x 16 x + = 0 1 1 30 5 16 5 + = 0 30 5 16 5 + = 0 6 5 16 5 + 10 = 0 5 Probe mit x = 1: 9 30x 16 x + = 0 30 1 1 9 16 9 + = 0 30 9 16 3 + = 0 10 3 16 3 + 6 3 = 0 Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = { 1 5 ; 1 9 } 1
3.15 Lösung Aufgabe 15 5 + x 5 x = 3 x 3 + x ( ) 5 + x (5 + x)(5 x) + 5 x = 3 x (3 x)(3 + x) + 3 + x 10 5 x = 6 9 x 6 5 x = 9 x : 5 x = 9 x ( ) 5 x + 5 x = 9 x + x 5 x + 9 = 9 9 5 x = 0 ( ) 16 (5 x ) = 00 00 6x = 00 00 6x = 0 : ( 6) x = 0 Probe mit x = 0: x = 0 5 + x 5 x = 3 x 3 + x 5 + 0 5 0 = 3 0 3 + 0 5 5 = 3 3 0 = 0 Aus dem Ergebnis der Probe ergibt sich die Lösungsmenge: L = {0}
3.16 Lösung Aufgabe 16 5x + 1 + 3x 5 1 = 3 ( ) 5x + 1 + 3x 5 1 = 9 + 1 5x + 1 + 3x 5 = 10 5x + 1 + (5x + 1) (3x 5) + 3x 5 = 100 8x + 15x 5x + 3x 5 = 100 8x + 15x x 5 = 8x + 10 : 15x x 5 = x + 5 ( ) Probe mit x 1 = 7: 15x x 5 = 16x 16x + 70 15x + x + 5 0 = x 39x + 709 x 1/ = 197 ± 38 809 709 x 1/ = 197 ± 36 100 x 1/ = 197 ± 190 x 1 = 7 x = 387 5x + 1 + 3x 5 1 = 3 5 7 + 1 + 3 7 5 1 = 3 36 + 16 1 = 3 6 + 1 = 3 9 = 3 Probe mit x = 387: 5x + 1 + 3x 5 1 = 3 5 387 + 1 + 3 387 5 1 = 3 1 936 + 1 156 1 = 3 + 3 1 = 3 77 3 Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = {7} 3