UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz Dr P C Kustma Dipl-Math M Uhl Sommersemester 009 Höhere Mathematik II für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese Physik ud Geodäsie iklusive Komplexe Aalysis ud Itegraltrasformatioe Aufgabe 4 Sei A (a ij ) R Lösugsvorschläge zum Übugsblatt a) Die Leibizformel für Determiate besagt (A) σ S sg σ a σ() a σ() a σ() Die Elemete der S sid Also gilt (A) + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 + + 4 ( ) ( ) 4 Bemerkug: Diese Methode zur Berechug der Determiete ist recht ieffiziet ud wird daher kaum geutzt b) Etwicklug ach der erste Zeile liefert (A) + + 4 ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) + 4 ( ( ) ) 4 c) Wir ersetze die Spalte durch die Summe der ud Spalte (vgl 5 (b)) ud etwickel die resultierede Matrix ach der Spalte: 4 4 4 0 4 4( ( ) ) 4 0 Aufgabe Wir wisse dass sich die Determiate eier Matrix icht verädert we wir das Vielfache eier Spalte zu eier adere Spalte bzw das Vielfache eier Zeile zu eier adere Zeile addiere Auf diese Weise forme wir die Matrize u um ud verwede zudem de Etwicklugssatz [Die verwee Umformug steht jeweils i Klammer hiter dem Gleichheitszeiche] 0 0 (A) [S S +S ] 0 [Z 4 Z 4 Z ] 0 0 0
[Etw ach S ] [Z Z Z ] 0 0 0 [Etw ach S ] ( ) ( ( ) ) 6 Bei der Matrix B gehe wir geauso vor: 5 5 5 5 5 0 0 0 (B) [Z Z +Z 4 ] 0 4 0 [S j S j S j4] 4 4 4 0 0 [Etw ach Z ] 5 4 [Z Z +Z ] 5 4 [Etw ach Z ] 4 5 ( ) 5(8 + ) 45 Ud auch die Matrix C lässt sich so behadel: 0 0 0 0 0 (C) [Z Z Z 4 ] 0 0 [S 4 S 4 S ] 0 0 α α 0 0 0 [Etw ach Z ] 0 [S S S ] 0 α α 4 [Etw ach Z ] α 4 α 5 α 4 Ma sieht: C 0 α 5 Daher ist C geau für α C \ {5} regulär Aufgabe Wir verwede vollstädige Iduktio ach N mit IA: Für alle x x R gilt x x x x (x k x j ) IS: Sei N mit beliebig Es gelte y y y y y y y y y y y y j<k j<k (y k y j ) für alle y y y R (IV) Seie u x x x + R Zur Berechug vo x x x x x x x x x x x x x x x x x + x + x+ x +
multipliziere wir zuerst die vorletzte Spalte mit x ud ziehe diese vo der letzte ab Da multipliziere wir die vorvorletzte Spalte mit x ud ziehe diese vo der vorletzte ab usw Die letzte Umformug besteht dari das x -fache der erste Spalte vo der zweite Spalte abzuziehe Für k + ziehe wir also acheiader das x -fache der (k )-te Spalte vo der k-te Spalte ab Im Aschluss etwickel ach der erste Zeile: x x x x 0 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + x + x + x x x x x x + x + x x + x x + x + x x + x x x (x x ) x (x x ) x x x (x x ) x (x x ) x x x (x x ) x (x x ) x + x x + (x + x ) x + (x + x ) Nu köe wir aus der erste Zeile dieser Matrix de Faktor (x x ) herausziehe aus der zweite Zeile (x x ) etc ud aus der letzte Zeile de Faktor (x + x ): x x x x (x x )(x x ) (x x )(x + x ) }{{} Q (x l x ) x x <l + x + x+ Diese Matrix ist wiederum eie Vadermode-Matrix Gemäß Iduktiosvoraussetzug mit y m x m+ (für m ) gilt Zusamme ergibt sich x x x x x x x + x + j<k x x x x x x x x x x x x x x x x x + x + x + x + Aufgabe 4 <l + (x k+ x j+ ) (x l x ) i<l + i<l + (x l x i ) (x l x i ) i<l + (x l x i ) a) Die Determiate ist eie lieare Abbildug vo C ach C Nei (außer für ) Es gilt (λa) λ (A) für jedes λ C [Verwede -mal (D)] b) Ist A regulär so gilt (A A A A A ) ( A) Ja de für eie reguläre Matrix A gilt ach dem Determiatemultiplikatiossatz ud der
Folgerug i 57 (A A A A A ) (A ) (A ) (A ) (A ) (A ) (A) (A) ((A)) (A) (A) ((A)) c) (A + B) A + B? Nei (außer für oder besoders ausgewählte Matrize A ud B etwa A 0) Zum Beispiel ist (I + I ) (I ) 4 I 4 I + I d) ( ( A)B ) ( A) B? Ja A ist ja ur eie Zahl (vgl Erläuterug im a)-teil) Aufgabe 5 Mit A (a a a ) bezeiche wir die Matrix des Gleichugssystems mit b die rechte Seite Die Cramersche Regel ist ur awedbar we A regulär ist; wege (A) [ Z Z +Z 0 5 5 ] [Etw ach S ] 5 0 Z Z Z 5 5 0 5 5 ist dies der Fall Nach der Cramersche Regel gilt da x (b a a ) (A) x (a b a ) (A) Wir erhalte also x 5 0 [Z Z +Z ] [Etw ach S ] 5 4 5 x (a a b ) (A) 5 0 0 4 Auch bei x ud x addiere wir jeweils die erste Zeile zur dritte ud etwickel da ach der zweite bzw dritte Spalte: x 5 0 5 0 5 4 5 0 4 x 5 0 5 0 5 0 Aufgabe 6 a) Wege σ π() σ(π()) σ(4) σ π() σ(π()) σ() 4 σ π() σ(π()) σ() σ π(4) σ(π(4)) σ() ist Ferer gilt σ π π σ 4 4 4 4 4
b) Um (σ π) zu bestimme vertausche wir die obere Zeile vo σ π mit der utere Zeile ud sortiere aschließed die Spalte so dass die obere Zeile wieder korrekt dasteht: (σ π) 4 4 Auf die gleiche Weise erhalte wir σ ( ) 4 4 ud woraus folgt π π σ 4 4 ( ) 4 4 c) Eie Permutatio vo { } welche zwei Elemete j k mit j < k vertauscht ud die restliche festlässt heißt Traspositio Diese bezeiche wir mit τ jk also τ jk ( j j j + k k k + j k j + k j k + Um σ als Hitereiaderausführug vo Traspositioe zu schreibe gehe wir schrittweise vor: Zuächst sorge wir durch Vertausche vo ud dafür dass die korrekt abgebil wird Dabei wird aber die falsch positioiert ( würde jetzt mit der vertauscht werde soll aber auf 4 gehe) also stellt ma im ächste Schritt die durch Vertausche vo mit 4 richtig Schließlich hat ma soebe 4 mit getauscht Da auch die korrekt abgebil wird ist ma fertig ud erhält als Edergebis σ τ 4 τ Diese Darstellug ist icht eideutig zb gilt auch σ τ 4 τ τ τ oder σ τ 4 τ 4 Da σ als Hitereiaderausführug eier gerade Azahl vo Traspositioe geschriebe werde ka ist sg(σ) ach Beispiel () i 56 Dies lässt sich atürlich auch ahad der Defiitio des Sigums eisehe: sg(σ) i<j σ(j) σ(i) j i Die Paare (i j) mit i j { 4} ud i < j laute Daher ergibt sich für obiges Produkt ( ) ( 4) ( ) ( 4) ( 4) ) sg(σ) σ(j) σ(i) j i i<j σ() σ() σ() σ() σ(4) σ() 4 4 4 4 σ() σ() σ(4) σ() 4 σ(4) σ() 4 5
Aufgabe 7 Für x ud y 0 gilt 0 x y 4 0 (x y x) ( ) ( ) + ( ) + ( ) 0 [dieses Ergebis war zu erwarte weil stets x y sowohl orthogoal auf x als auch orthogoal auf y steht] Für de Wikel ϕ de die Vektore x ud y eischließe gilt cos ϕ (x y) + 0 + ( ) 6 6 x y 4 + + 4 + 4 6 8 8 Hieraus folgt ϕ 5π 6 Der Flächeihalt des vo x ud y aufgespate Parallelogramms lautet x y ( ) + ( ) + ( ) 4 + 4 + 4 6