0.6. Implizite ebene Kurven und Tangenten Im Gegensatz zu expliziten Darstellungen sind weder implizite noch Parameterdarstellungen einer Kurve eindeutig. Der Übergang von impliziten zu expliziten Darstellungen kann mühsam oder sogar mit elementaren Funktionen unmöglich sein. Beispiel : Eine nicht elementar auflösbare Gleichung x sin( x ) y sin( y ) 0 Wir erhalten hier ein diagonales Achsenkreuz für die offensichtlichen Lösungen x y und x y, sowie unendlich viele weitere (geschlossene) Lösungskurven! Obwohl wir diese nicht explizit berechnen können, ist eine implizite Beschreibung der Tangente in einem beliebigen Kurvenpunkt ( ) kein Problem. x 0
Betrachten wir allgemein eine implizite Darstellung einer ebenen Kurve durch eine Gleichung F y ) 0. Haben wir einen Kurvenpunkt ( x 0 ) mit F ( x 0 ) 0 und existieren die partiellen Ableitungen x F y ) und y ) y F in ( x 0 ), so ist ein Tangentenvektor in diesem Punkt an die durch F 0 beschriebene Kurve gegeben durch T ( x 0 ) F ( ) y x 0 ( x 0 ) denn dieser Vektor steht senkrecht auf dem Gradienten F ( x 0 ) [ ( x 0 ), ( x 0 )] Die Tangente an die durch F y ) 0 beschriebene Kurve im Punkt ( x 0 ) ist, wie wir schon früher sahen, implizit gegeben durch die Gleichung ( x x 0 ) ( x 0 ) + ( y y 0 ) ( x 0 ) 0. Beispiel (Fortsetzung) Die partiellen Ableitungen lauten F y ) x sin( x ) y sin( y ) y ) sin( x ) + x cos( x ) sin( y ) y cos( y ) und damit ist eine Gleichung der Tangente im Punkt ( x 0 ) ( x x 0 ) ( sin( x 0 ) + x 0 cos( x 0 )) + ( y y 0 ) ( sin( y 0 ) y 0 cos( y 0 ) ) 0 Das Hauptproblem besteht hier allerdings darin, überhaupt Punkte zu finden, die auf den implizit gegebenen Kurven (außer x y und x liegen. Auf den Koordinatenachsen gelingt dies: Für y 0 hat x sin( x ) 0 genau die Lösungen x n π mit ganzzahligem n, und entsprechend hat man für x 0 die Lösungen y n π der Gleichung y sin( y ) 0. Somit liegen folgende Punkte auf den durch x sin( x ) y sin( y ) 0 beschriebenen Kurven: n und ( n π, 0). In den Punkten mit erster Koordinate 0 verschwindet die Ableitung nach x; dort hat die Kurve eine waagerechte Tangente: y n π. In den Punkten mit zweiter Koordinate 0 verschwindet die Ableitung nach y; dort hat die Kurve eine senkrechte Tangente: x n π.
Wann läßt sich eine implizite Darstellung auflösen? In der Analysis wird gezeigt: Satz über implizite Funktionen Eine ebene Kurve sei implizit durch eine Gleichung F 0 gegeben, wobei F eine stetig partiell differenzierbare Funktion sei. In einer geeigneten Umgebung eines Kurvenpunktes existiert eine differenzierbare Auflösung nach einer der beiden Variablen, wenn die partielle Ableitung von F y ) nach dieser Variablen im betrachteten Punkt nicht verschwindet. Im Falle einer Auflösung y g( x ) mit F ( x, g( x )) 0 ist die Ableitung gegeben durch g ( x) y ) y ), wobei noch y g( x ) einzusetzen ist. Die Formel für die Ableitung erhält man wieder einmal sofort durch die Kettenregel: F ( x, g( x) ) 0 liefert nach Differentiation: F ( x, g( x ) ) ( x, g( x ) ) + ( x, g( x ) ) g ( x ) 0. In Punkten, wo beide Ableitungen gleich Null sind, ist eine Auflösung nach keiner der beiden Variablen möglich. Das passiert bei sogenannten "Doppelpunkten", die von der Kurve mehrfach (und in verschiedenen Richtungen) durchlaufen werden, aber auch in "Spitzen", wo keine eindeutige Tangente existiert. Fassen wir zusammen: In Punkten, wo die partielle Ableitung nach x verschwindet, die nach y aber nicht, hat die Kurve eine waagerechte Tangente. In Punkten, wo die partielle Ableitung nach y verschwindet, die nach x aber nicht, hat die Kurve eine senkrechte Tangente. In Punkten, wo beide partiellen Ableitungen verschwinden, kann die Kurve einen Doppelpunkt oder eine Spitze haben (muß es aber nicht, wie das einfache Beispiel F y ) x zeigt). Zurück zu Beispiel mit der impliziten Funktion Die partiellen Ableitungen x sin( x ) y sin( y ) 0
y ) sin( x ) + x cos( x ) sin( y ) y cos( y ) verschwinden genau dann, wenn die folgenden Gleichungen erfüllt sind: x tan( x) y tan( Leider haben diese scheinbar simplen Gleichungen neben der trivialen Lösung x 0 bzw. y 0 noch unendlich viele weitere, nicht elementar berechenbare. Eine davon liegt im Bereich zwischen π/ und 3π/ : Ein oberflächlicher Blick auf das Kurvenbild läßt uns vermuten, daß die Koordinaten der vier Doppelpunkte auf der innersten geschlossenen Kurve dem Betrag nach den Wert haben. Aber der Schein trügt! Die Lösung von x tan( x ) im Bereich zwischen π/ und 3π/ ist ungefähr Knapp vorbei ist auch daneben! x 0.08757838 Die Kurve schneidet die y-achse je einmal im Positiven und im Negativen, und zwar in den Punkten (0, und (0,. Dort ist die partielle Ableitung nach x gleich 0, so daß eine Auflösung nach x unmöglich ist (waagerechte Tangente). Die partielle Ableitung nach y verschwindet dagegen in den Punkten (0, und (0, nicht! Eine Auflösung nach y existiert dort, ist aber nicht elementar durchführbar. Umgekehrt verschwindet in den Punkten ( π, 0) und ( π, 0) die Ableitung nach y, so daß dort eine Auflösung nach y unmöglich ist (senkrechte Tangente).
Beispiel : Parabelschnitt Die Gleichung y x 4 0 ist leicht nach y auflösbar, obwohl beide Ableitungen im Nullpunkt verschwinden. Die Auflösung ist allerdings nicht eindeutig: y x, y x Beipiel 3: Spitze der Neilschen Parabel Auch die Gleichung x ist elementar nach y auflösbar - diesmal sogar eindeutig, obwohl beide partiellen Ableitungen im Nullpunkt verschwinden. Dort hat die Kurve eine Spitze. y 3 y x /3 Die Auflösung nach x gelingt für positive y ebenfalls mühelos, ist aber nicht eindeutig: x y 3/, x y 3/
Beispiel 4: Eine Schleife hat die implizite Darstellung F y ) x ( x ) y Bei dieser Funktion gelingt die Auflösung nach jeder der beiden Variablen explizit, ist aber nur stückweise (lokal) möglich: y x x, y x x + 4 y x, x + 4 y x 3 4 y, x 4 4 y Die partielle Ableitung von F y ) nach x ist Sie hat die Nullstellen x 0, x, x. y ) x 4 x 3 Für die partielle Ableitung nach y kommt als Nullstelle nur y 0 in Frage. Im Nullpunkt (0,0) ist die Gleichung F y ) 0 also weder nach x noch nach y auflösbar: Es liegt ein Doppelpunkt vor! In den Punkten (, ), (, ), (, ), (, ) ist die Gleichung nach y, aber nicht nach x auflösbar: Waagerechte Tangenten! In den Punkten (0,) und (0, ) ist die Gleichung dagegen nach x, aber nicht nach y auflösbar: Senkrechte Tangenten!
Beispiel 5: Die Lemniskate sieht ähnlich aus, ist aber algebraisch komplizierter. Sie hat die implizite polare Darstellung r cos( φ) 0, also die explizite polare Darstellung r cos( φ ). Umrechnung auf kartesische Koordinaten liefert die Parameterdarstellung (eine von vielen!) x( φ ) cos( φ ) cos( φ) y( φ ) sin( φ ) cos( φ) Die kartesischen Koordinaten erfüllen die Gleichung x y ( x + y ) 0 Die Auflösung dieser impliziten Darstellung nach y bzw. x ist möglich (biquadratische Gleichungen!), aber schon reichlich kompliziert: y 4 x + + 8 x, y 4 x + + 8 x x x 3 4 y + 8 y +, x 4 y 8 y +, x 4 4 y + 8 y + 4 y 8 y + Solche doppelten Wurzelausdrücke abzuleiten ist eher unerquicklich. Eine elegantere Methode, um Tangenten sowie Doppelpunkte zu finden, besteht im Ableiten der Funktion für die implizite Darstellung: F y ) x y ( x + y ) y ) x 4 x 3 4 x y y ) y 4 y x 4 y 3
Auflösen der Gleichung 0 nach x bringt die Lösungen 4 y x 0, x, x 3 Einsetzen der zweiten Lösung in die Ausgangsgleichung ergibt 4 y mit den Lösungen y 0 4 y 4 und y 4. Einsetzen dieser Werte in die Ausgangsgleichung reduziert diese auf x x + 8 8 und liefert schließlich die beiden zugehörigen Werte x 4 6 und x 6 4. Analog finden wir durch Ableiten nach y senkrechte Tangenten in den Punkten (-,0) und (,0). Anhang: Näherungen für implizite ebene Kurven Wenn die konstruktive Auflösung impliziter Darstellungen versagt, kann man es mit Näherungslösungen versuchen. Betrachten wir also noch einmal die nicht elementar auflösbare Gleichung Das Funktionsgebirge x sin( x ) y sin( y ) 0 F y ) x sin( x ) y sin( y )
erinnert an den Gran Canyon... und versinkt in den Fluten des Lake Powell (Niveaulinen F y ) c!) Näherungen bekommen wir mit Hilfe der Reihenentwicklung x 3 x 5 x 7 x 9 sin( x ) x + + 3! 5! 7! 9! x!... Wir ersetzen z.b. die Gleichung x sin( x ) y sin( y ) 0 durch die Polynom-Gleichung x x 4 y y 4 + 3! 3! 0 die sich problemlos auflösen läßt: ( x y ) x + y 6 0 <> x y oder Die Approximation ist allerdings nicht besonders gut: x y oder x + y 6 (Kreis!)
Die Originalkurven zum Vergleich: Auflösung durch implizite höhere Ableitungen In einem vorgegebenen Kurvenpunkt kann man die Taylorentwicklung einer lokalen Lösungsfunktion y g( x ) für eine implizit gegebene Kurve F y ) 0 iterativ bestimmen. Dazu leitet man F mit Hilfe der Kettenregel mehrfach nach x ab (wobei y als Funktion von x zu betrachten ist) und löst dann nach y g ( x ) usw. auf. Wir lassen die Argumente x und y weg und erhalten: Die Bedingung F 0 liefert F + y Nochmaliges Ableiten ergibt y F x + y y + y y + y und F 0 zusammen mit der vorigen Gleichung für y führt auf x F y + y x y 3 Im Falle eines Kurvenpunktes mit waagerechter Tangente, also y 0, vereinfacht sich dies zu und folglich hat man dort ein Maximum, falls x y x > 0, Minimum, falls x < 0.
Die Berechnung der höheren Ableitungen erfordert erheblich mehr Aufwand. Mit etwas Geduld bekommt man und im Falle y 0 F xx + 3 xy y + 3 yy y + 3 y y + 3 y y y + yy y 3 + y sowie xx y + 3 y x xxx 6 F F xxy xx 4 y xx y Fxx y + + 3 3 y x 3 Rechnen wir dies in unserem Spezialfall für den Kurvenpunkt durch: F y ) x sin( x ) y sin( y ) x 0, y π, g( 0) π sin( x) + x cos( x ) 0, g ( 0 ) 0 x cos( x) x sin( x ), sin( y cos( y ) x, π, g ( 0) π xx 3 sin( x ) x cos( x ), y 0 xx 0, y 0, g ( 0 ) 0 xxx 4 cos( x) + x sin( x ), xy 0, y cos( + y sin( 4 4 xxx -4, xy 0, y, g ( 0 ) π Die Kurve in der Nähe des Punktes und ihre Approximation durch ein Taylorpolynom 4.Grades (etwas oberhalb): x g( x ) π + π x 4 6 π π 3 π 3