Das Newton Verfahren.

Das Newton Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f :[a, b] R. Verwende die Newton Iteration: x n+1 := x n f x n) f x n ) für f x n ) 0 mit Startwert x 0. Das Verfahren konvergiert, falls x 0 nahe bei einer Nullstelle von f liegt. Beispiel: Für f x) =x 2 2 und x 0 =1erhält man n 0 1 2 3 4... x n 1.0000 1.5000 1.41667 1.4142 15686 1.4142 13562... Erinnerung: f 2) = 0, d.h. 2=1.4142 13562... ist Nullstelle von f. Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 72 / 190 Konvergenz von Folgen. Definition: Sei a n ) n N eine Folge in einem normierten Vektorraum V. Dann heißt a nj ) j N für n j N mit 1 n 1 < n 2 <... Teilfolge von a n ) n N. die Folge a n ) n N beschränkt, falls es ein C > 0 gibt mit n N : a n C die Folge a n ) n N konvergent mit Grenzwert Limes) a V, falls ε>0 : N = Nε) N : n N : a n a <ε Eine nicht konvergente Folge heißt divergent. die Folge a n ) n N Cauchy Folge, falls ε>0 : N = Nε) N : n, m N : a n a m <ε Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 73 / 190

Konvergenz von Folgen. Satz: Sei a n ) n N eine Folge in einem normierten Vektorraum. Dann gilt: a) a n ) konvergent a n ) beschränkt; b) a n ) konvergent a n ) Cauchy Folge; c) Falls a n ) konvergiert, so ist der Grenzwert eindeutig bestimmt. Beweis von a): Sei a n ) konvergent mit Grenzwert a. Dann gilt für vorgegebenes ε>0dieabschätzung a n = a n a + a a n a + a <ε+ a für alle n Nε) Damit ist die Folge a n ) beschränkt mit der Konstanten C := max{ a 1, a 2,..., a N 1, a + ε} Also n N : a n C Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 74 / 190 Konvergenz von Folgen. Beweis von b): Sei a n ) konvergent mit Grenzwert a. Dann gilt für vorgegebenes ε>0dieabschätzung a n a m = a n a + a a m a n a + a m a < ε 2 + ε 2 = ε für alle n, m N = Nε/2). Beweis von c): Sei a n )konvergentmitverschiedenen Grenzwerten a und a, a a. Danngeltenfür ε>0 die Abschätzungen a n a <ε für alle n Nε) a n a <ε für alle n Nε) Somit folgt für n max{nε), Nε)} die Ungleichung a a = a a n + a n a a n a + a n a < 2ε Da dies für jedes ε>0 gilt, folgt a = a im Widerspruch zu a a. Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 75 / 190

Bemerkungen zur Konvergenz von Folgen. Notation: Für eine konvergente Folge a n ) mit Grenzwert schreiben wir a n = a oder a n a n ) Uneigentliche Konvergenz...... bzw. Divergenz gegen den uneigentlichen Grenzwert ±. Für reelle Folgen definieren wir zusätzlich a n = C > 0: N N : n N : a n > C a n = C > 0: N N : n N : a n < C Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 76 / 190 Vollständige Räume bzw. Banachräume, Hilberträume. Bemerkung. Die Umkehrung der Aussage im Satz, Teil b), a n ) Cauchyfolge = a n ) konvergent gilt nur in gewissen normierten Räumen, nämlich in vollständigen Räumen bzw. Banachräumen. Einen vollständigen Euklidischen Vektorraum nennt man auch Hilbertraum. Beispiele: für vollständige Räume: R, ), C, ), R n, ), C[a, b], ); für einen nicht vollständigen Raum: C[a, b], 2 ). Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 77 / 190

Rechnen mit konvergenten Folgen. Satz: Seien a n ) und b n ) zwei konvergente Folgen. Dann konvergieren die beiden Folgen a n + b n ) und λa n )für λ R bzw. λ C), wobei gilt a) a n + b n ) = a n + b n, b) λa n)=λ a n Beweis: Sei a = a n und b = b n. a) Für n max{n 1 ε/2), N 2 ε/2)} gilt a n + b n ) a + b) a n a + b n b < ε 2 + ε 2 = ε b) Sei λ 0. Dann gilt für n N 1 ε/ λ ) die Abschätzung λa n λa = λ a n a < λ ε λ = ε Der Fall λ =0isttrivial. Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 78 / 190 Die Konvergenzgeschwindigkeit einer Folge. Definition: Sei a n ) eine konvergente Folge mit Grenzwert a. a) Die Folge a n ) heißt mindestens) linear konvergent, falls eine Konstante 0 < C < 1 und ein Index N N existiert mit: n N : a n+1 a C a n a b) Die Folge a n ) heißt mindestens) superlinear konvergent, falls es eine nicht negative Nullfolge C n 0 mit C n = 0 gibt, so dass n N : a n+1 a C n a n a c) Die Folge a n )heißtkonvergent mit der Ordnung mindestens) p > 1, falls es eine nicht negative Konstante C 0 gibt, so dass n N : a n+1 a C a n a p Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 79 / 190

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.3. Konvergenzkriterien für reelle Folgen Definition: Eine reelle Folge a n ) n N heißt monoton wachsend n < m : a n a m streng monoton wachsend n < m : a n < a m nach oben beschränkt C R : n : a n C Analog definiert man die Begriffe monoton fallend n < m : a n a m streng monoton fallend n < m : a n > a m nach unten beschränkt C R : n : a n C Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 80 / 190 3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert a n =sup{a n n N} Beweis: Sei a n ) n N nach oben beschränkt. Dann gilt s := sup{a n n N} < Sei nun ε>0 gegeben. Dann existiert ein N = Nε) mit s ε<a N s Die Folge a n ) n N ist monoton wachsend, also folgt s ε<a N a n s n N d.h. s a n <ε n Nε) Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 81 / 190

Folgerung: Prinzip der Intervallschachtelung. Sei a n ) n N eine monoton wachsende reelle Folge und b n ) n N eine monoton fallende reelle Folge mit a n b n für alle n N Intervallschachtelung) Dann sind beide Folgen konvergent. Gilt weiterhin a n b n )=0 so haben a n ) n N und b n ) n N denselben Grenzwert, d.h. es gibt ein ξ R mit ξ = a n = b n Weiterhin gelten in diesem Fall die Fehlerabschätzungen a n ξ b n a n b n ξ b n a n Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 82 / 190 Beispiel: Prinzip der Intervallschachtelung. Definiere für 0 < a < b zwei Folgen a n ) und b n ) rekursiv durch a 0 := a b 0 := b a n+1 := a n b n b n+1 := a n + b n 2 Die Folgen a n ) und b n ) bilden eine Intervallschachtelung, und es gilt b n+1 a n+1 ) 1 2 b n a n ) Der gemeinsame Grenzwert von a n ) und b n ) agma, b) := a n = b n heißt arithmetisch geometrisches Mittel von a und b. Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 83 / 190

Bernoullische Ungleichung und die geometrische Folge. Es gilt x 1, n N : 1+x) n 1+nx wobei Gleichheit nur bei n =1oderx = 0 gilt. Die Geometrische Folge. Sei a n ) n N relle Folge mit a n = q n für q R. Dann gilt q > 1 : qn =+ q n =1+q 1)) n 1+nq 1)) q = 1 : qn =1 0 < q < 1 : qn =0 ) q n 1 1 = 1+1/q 1)) n 1+n1/q 1) 1 < q 0 : qn =0 q n = q n ) q = 1 : q n ) beschränkt, aber nicht konvergent q n { 1, 1}) q < 1 : q n ) divergent, kein uneigentlicher Grenzwert Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 84 / 190 Weitere Rechenregeln für konvergente Folgen. Satz: Seien a n ) n N und b n ) n N konvergente reelle Folgen. Dann gilt a) a nb n ) = a n) b n) b) n : b n 0 b n 0 an c) n : a n 0 m N m an = m Beweis zu a): Für hinreichend große n gilt a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab b n ) a n b n b + b a n a = a n a n b n C a b n b + b a n a < C a + b )ε Für b) und c) siehe Textbuch von Ansorge/Oberle. Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 85 / 190

Beispiele für die Rechenregeln konvergenter Folgen. Gegeben sei die Folge a n ) n N mit a n := n 2 +5n +1 n Es gilt n 2 +5n +1) n 2 = n 2 +5n +1 n) n 2 +5n +1+n) woraus folgt a n = n2 +5n +1) n 2 n 2 +5n +1+n = 5+ 1 n 1+ 5 n + 1 n 2 +1 und somit a n = 5+0 1+0+1 = 5 2 Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 86 / 190 Beispiele für die Rechenregeln konvergenter Folgen. Gegeben sei die Folge a n ) n N mit a n := 1+ p ) n n Kapitalverzinsung: Anfangskapital K 0, Jahreszinssatz p K 1 = K 0 1 + p) jährlich K 2 = K 0 1+ p ) 2 halbjährlich 2 K 4 = K 0 1+ p ) 4 vierteljährlich 4 K 10 = K 0 1+ 10) p 10 monatlich K 360 = K 0 1+ p ) 360 täglich 360 Untersuche die Konvergenz der Folge a n ), also a n =? Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 87 / 190

Beispiele für die Rechenregeln konvergenter Folgen. Für p > 0 zeigt man, dass a) die Folge a n ) n N streng monoton wachsend ist, a n+1 > 1 a n b) die Folge a n ) n N nach oben beschränkt ist, 1+ p ) n 4 l wobei l N mit l p) n Damit konvergiert die Folge und für den Grenzwert erhält man a n = e p Die Grenzwertformel gilt auch für negative p und als Spezialfall erhalten wir die Eulersche Zahl, 1+ 1 ) n = e =2.7182 81828... n Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 88 / 190 Das Cauchysche Konvergenzkriterium. Satz: Cauchysches Konvergenzkriterium) Der Vektorraum R ist vollständig, d.h. jede reelle Cauchyfolge ist konvergent. Zur Erinnerung: Sei a n ) n N eine Folge in einem normierten Vektorraum V. Dann heißt die Folge a n ) n N Cauchy Folge, falls ε>0: N = Nε) N : n, m N : a n a m <ε Für den Beweis des Cauchyschen Konvergenzkriteriums benötigen wir a) das Prinzip der Häufungspunkte von Folgen, b) den Satz von Bolzano und Weierstraß. Reiner Lauterbach Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 89 / 190