Bestimmung der Dimension

Bestimmung der Dimension Satz. Sei (v 1, v 2,..., v n ) ein minimales Erzeugendensystem von V, d.h. dieses System ist ein Erzeugendensystem von V, aber keines der nach Weglassen eines v i (1 i n) entstehenden Systeme (v 1,..., v i,..., v n ) erzeugt V. Dann ist (v 1, v 2,..., v n ) eine Basis von V und somit dim V = n. Beweis. Wir müssen zeigen, dass (v 1, v 2,..., v n ) linear unabhängig ist. Wir nehmen das Gegenteil an und erhalten dann eine lineare Relation a 1.v 1 + a 2.v 2 + + a n.v n = 0, wobei nicht alle Koeffizienten Null sind, etwa a i 0 ist. Diese Gleichung können wir dann nach v i auflösen und erhalten (warum für alle k?) v k v 1,..., v i,..., v n für alle k = 1,..., n und dann V = v 1,..., v i,..., v n. Widerspruch! 1

Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis Eine wichtige Folgerung des eben bewiesenen Satzes ist: Folgerung Jedes Erzeugendensystem (v 1, v 2,..., v t ) eines Vektorraums V enthält eine Basis. Beweis. Wir brauchen nur solange Vektoren aus v 1, v 2,..., v t wegzulassen bis ein minimales Erzeugendensystem von V entstanden ist. Dieses ist dann eine Basis von V. Um eine Basis von V zu bestimmen, verschaffen wir uns daher zuerst ein (möglichst klein gewähltes) Erzeugendensystem und vermindern dessen Mitgliederzahl so lange, bis ein minimales Erzeugendensystem erreicht ist. 2

Basen und minimale Erzeugendensysteme Der studierte Satz lässt sich umkehren: Satz. Jede Basis b 1, b 2,..., b n eines Vektorraums V ist ein minimales Erzeugendensystem und umgekehrt. Die Begriffe Basis von V und minimales Erzeugendensystem von V stimmen daher überein. Beweis. Sei b 1, b 2,..., b n eine Basis, also auch ein Erzeugendensystem von V. Wir nehmen an, dass für irgendein i = 1,..., n auch (b 1,..., bi,..., b n ) ein Erzeugendensystem von V ist. Dann hat b i die Form b i = a 1.b 1 + + a i 1.b i 1 + 0.b i + a i+1.b i+1 + + a n.b n, woraus sich die lineare Abhängigkeit a 1.b 1 + + a i 1.b i 1 + ( 1).b i + a i+1.b i+1 + + a n.b n = 0 der Basiselemente ergibt. Widerspruch! 3

Bewertung Momentan sind unsere Möglichkeiten noch recht eingeschränkt, für ein vorgegebenen System von Vektoren (v 1, v 2,..., v t ) des R n zu entscheiden, ob es linear abhängig oder unabhängig, eine Basis oder ein Erzeugendensystem ist. Dies wird noch eine Weile so bleiben. Erst später werden wir effiziente Algorithmen und Verfahren studieren, die diese Überprüfung zur Routine machen. Gleichwohl: Für Vektorräume kleiner Dimension reichen die derzeit verfügbaren Verfahren zur Entscheidung aus. 4

Vorschau: Isomorphismen Ordnung in die Welt der Vektorräume bringt der Begriff der Isomorphie. Anschaulich gesprochen haben isomorphe Vektorräume dieselben mathematischen Eigenschaften, insbesondere die gleiche Dimension. Es handelt sich bei der Isomorphie um den Vergleich von (typischerweise) verschiedenen Vektorräumen. Dieser Vergleich geschieht durch geeignete lineare Abbildungen. isomorph = gleichgestaltig 5

Definition der Isomorphie Definition. Eine lineare Abbildung f : V W heißt Isomorphismus, wenn sie bijektiv ist. Wir sagen in diesem Fall, dass die Vektorräume V und W isomorph sind. Schreibweise: V = W. Durch die Bijektivität von f erhalten wir eine eins-zu-eins Zuordnung zwischen den Elementen von V und denjenigen von W. Die Linearität sichert darüber hinaus, dass diese Beziehung die Vektorraumstruktur bewahrt. Gibt es zwischen V und W einen Isomorphismus, können wir daher (weitgehend) sicher sein, dass V und W dieselben mathematischen Eigenschaften haben. 6

Grundlegende Eigenschaften der Isomorphie Satz. (1) Für jeden Vektorraum V ist die identische Abbildung 1 V : V V ein Isomorphismus. Somit V = V. (2) Ist f : V W ein Isomorphismus, so auch die Umkehrabbildung f 1 : W V. Aus V = W folgt daher W = V. (3) Sind f : U V und g : V W Isomorphismen, so auch ihre Verknüpfung g f : U W. Aus U = V und V = W folgt daher U = W. Die Isomorphiebeziehung ist daher wie die Gleichheit reflexiv, symmetrisch und transitiv. 7

Linearität der Umkehrabbildung Ist f : V W ein Isomorphismus, dann auch f 1 : W V. Beweis. Da f bijektiv ist, gibt es die Umkehrabbildung f 1 : W V. Wir müssen zeigen, dass f 1 : W V linear ist. Seien dazu w 1 und w 2 Elemente aus W. Sie haben die Form Nun gilt: w 1 = f(v 1 ) und w 2 = f(v 2 ) mit v 1, v 2 V. f(a 1.v 1 + a 2.v 2 ) f ist linear = a 1.f(v 1 ) + a 2.f(v 2 ) Wahl von v 1,v 2 = a1.w 1 + a 2.w 2. Es ist daher a 1.v 1 + a 2.v 2 = f 1 (a 1.w 1 + a 2.w 2 ) für alle Skalare a 1, a 2 und Vektoren w 1, w 2 aus W ; dies zeigt die Linearität von f 1. 8

Linearität der Komposition linearer Abbildungen Satz. Seien f : U V und g : V W lineare Abbildungen. Dann ist auch die Verknüpfung h := g f : U W linear. Es ist h(a 1.u 1 + a 2.u 2 ) h=g f = g(f(a 1.u 1 + a 2.u 2 )) f ist linear = g(a 1.f(u 1 ) + a 2.f(u 2 )) g ist linear = a 1.g(f(u 1 )) + a 2.g(f(u 2 )) h=g f = a 1.h(u 1 ) + a 2.h(u 2 ) Dies zeigt die Linearität von h = g f. Zusatz. Sind f : U V und g : V W Isomorphismen, so gilt dies auch für g f. 9

Wichtige Eigenschaften von Isomorphismen Eigenschaften: Sei f : V W ein Isomorphismus von Vektorräumen, dann gilt: (1) Ist (v 1, v 2,..., v t ) ein Erzeugendensystem von V, so ist (f(v 1 ),..., f(v t )) ein Erzeugendensystem von W. (2) Ist (v 1, v 2,..., v t ) linear unabhängig in V, so ist (f(v 1 ),..., f(v t )) linear unabhängig in W. (3) Ist (v 1, v 2,..., v t ) eine Basis von V, so ist (f(v 1 ),..., f(v t )) eine Basis von W. Folgerung. Isomorphe Vektorräume haben dieselbe Dimension. 10

Begründung Zu (1) Als Isomorphismus ist f : V W insbesondere surjektiv ; es gilt daher f(v ) = W. Aus V = v 1, v 2,..., v t folgt dann W = f(v ) = f(v 1 ),..., f(v t ). Zu (2) Wir nehmen an, dass a 1.f(v 1 ) + + a t.f(v t ) = 0 gilt. Da f linear ist folgt f(a 1.v 1 + a 2.v 2 + + a t.v t ) = 0 = f(0). Die Injektivität von f liefert dann a 1.v 1 + a 2.v 2 + + a t.v t = 0, woraus wegen der vorausgesetzten linearen Unabhängigkeit von (v 1, v 2,..., v t ) das Verschwinden der a i folgt. Zu (3) Dies ergibt sich als Kombination von (1) und (2). 11

Vorschau: Rolle der Dimension Wir werden anschließend zeigen, dass jeder Vektorraum V seine Dimension n schon bis auf Isomorphie bestimmt ist. durch Genauer zeigen wir, dass jeder n-dimensionale Vektorraum V zum Standardvektorraum R n isomorph ist. Damit erzielen wir vollständige Übersicht im Reich der endlich dimensionalen Vektorräume. Bis auf Isomorphie gibt es hier nur die Vektorräume R 0, R 1, R 2, R 3,.... 12

Isomorphie zum Standardvektorraum R n Satz. Sei V ein Vektorraum und (v 1, v 2,..., v n ) eine Basis von V. Dann ist die Abbildung h : R n V, ein Isomorphismus. a 1 a 2. a n a 1.v 1 + a 2.v 2 + + a n.v n Beweis. Bijektivität und Linearität von h haben wir schon früher separat nachgewiesen. Folgerung: Jeder n-dimensionale Vektorraum ist isomorph zum R n. 13

Ein Satz und eine Frage zur Dimension Satz. Zwei Vektorräume V und W derselben Dimension n sind isomorph. Beweis. Der letzte Satz zeigt uns, dass es Isomorphismen f : R n V und g : R n W gibt. Es ist dann g f 1 : V W ein Isomorphismus. Frage. Können zwei Vektorräume verschiedener Dimension zueinander isomorph sein? Antwort nein: Falls f : V W ein Isomorphismus ist und v 1, v 2,..., v n eine Basis von V ist, so ist (f(v 1 ),..., f(v n )) eine Basis von W. Sowohl V als auch W haben damit dieselbe Dimension n. 14

Dimension, nochmals hingeschaut Aufmerksames Betrachten des letzten Arguments zeigt, dass wir eine bisher nicht bewiesene und zugleich fundamentale Eigenschaft verwendet haben: Je zwei Basen eines Vektorraums haben dieselbe Anzahl von Mitgliedern. Wir werden dieses Thema später erneut aufgreifen und die jetzt noch offene Argumentationslücke schließen. 15

Kommentar: Isomorphie und Gleichheit von Vektorräumen Wir müssen aufpassen, die Begriffe Gleichheit und Isomorphie von Vektorräumen trotz ihrer Ähnlichkeit nicht durcheinander zu bringen. Zwei Vektorräume V und W sind gleich, wenn V und W aus denselben Elementen bestehen und zusätzlich Addition und Multiplikation mit Skalaren für V und W übereinstimmen. Andererseits sind beispielsweise die Vektorräume R 2 und x 1 x 2 x 3 x 1 + x 2 + x 3 = 0 zueinander isomorph, da sie beide die Dimension zwei haben. Aber natürlich sind diese Vektorräume nicht gleich. 16

Erneut: Lineare Abbildungen R n V Wir werfen nun nochmals einen Blick auf die lineare Abbildung h : R n V, die einem n-tupel (v 1, v 2,..., v n ) beliebiger Vektoren aus V zugeordnet ist. Bisher haben wir uns nur gefragt, wann diese Abbildung ein Isomorphismus ist. Nunmehr richten wir unseren Blick allgemeiner auf die Frage, was wir über eine beliebige lineare Abbildung aussagen können. Beispielsweise können wir uns für ihre Injektivität oder Surjektivität interessieren. Ferner können wir nach einfachen Kriterien fragen, eine solche Eigenschaft festzustellen. Mit Hilfe des Dimensionsbegriffs werden wir ferner die Dimension ihres Bildes, den sogenannten Rang, als wichtigste mit einer linearen Abbildung verbundene Größe einführen. 17

Vergleich mit dem Standardvektorraum R n Sei V ein Vektorraum, (v 1, v 2,..., v n ) ein n-tupel von Vektoren aus V und h : R n V, a 1 a 2. a n a 1.v 1 + a 2.v 2 + + a n.v n die zugehörige lineare Abbildung. Dann gilt (1) h : R n V ist surjektiv genau dann, wenn (v 1, v 2,..., v n ) ein Erzeugendensystem von V ist. (2) h : R n V ist injektiv genau dann, wenn (v 1, v 2,..., v n ) in V linear unabhängig ist. (3) h : R n V ist ein Isomorphismus genau dann, wenn (v 1, v 2,..., v n ) eine Basis von V ist. 18

Nachweis Auf der Standardbasis des R n gilt h(e i ) = v i. Beweis des Satzes. Zu (1) h(r n ) = h( e 1, e 2,..., e n ) = h(e 1 ),..., h(e n ) = v 1, v 2,..., v n. Somit ist h genau dann surjektiv, wenn (v 1, v 2,..., v n ) ein Erzeugendensystem von V ist. Zu (2) (a) Wir nehmen an, dass h injektiv ist. Aus folgt dann 0 = a 1.v 1 + a 2.v 2 + + a n.v n = h(a 1.e 1 + a 2.e 2 + + a n.e n ) a 1.e 1 + a 2.e 2 + + a n.e n = 0. Die lineare Unabhängigkeit der Standardbasis zeigt uns, dass alle a i verschwinden. (b) Sei nun (v 1, v 2,..., v n ) linear unabhängig und h(a 1, a 2,..., a n ) = h(b 1, b 2,..., b n ). Dann ist somit a 1.v 1 + a 2.v 2 + + a n.v n = b 1.v 1 + b 2.v 2 + + b n.v n, (a 1 b 1 ).v 1 + (a 2 b 2 ).v 2 + (a n b n ).v n = 0, woraus die Gleichheit der a i und b i folgt. Zu (3) Dies ist eine Kombination von (1) und (2). 19

Der Rang einer linearen Abbildung Definition. Sei f : V W eine lineare Abbildung. Die Dimension des Bildes f(v ) von f nennen wir den Rang von f. Bezeichnung: rg(f). Ist insbesondere f : R n V eine lineare Abbildung und v i := f(e i ) (1 i n), so ist der rg(f) die Dimension der linearen Hülle v 1, v 2,..., v n. Folgerung. Der Rang von f : R n V ist höchstens n. Der Rang einer linearen Abbildung ist die wichtigste mit ihr verbundene Größe! 20

Lineare Abbildungen f : R n R m Wir wissen schon: Eine lineare Abbildung f : R n R m ist eindeutig durch ein n-tupel von Vektoren v 1, v 2,..., v n des R m bestimmt. Die Vektoren v k sind ihrerseits m-tupel reeller Zahlen, haben somit die Form v k = a 1k a 2k. a mk, k = 1,..., n. Die lineare Abbildung f ist daher umkehrbar eindeutig durch das Schema A = a 11 a 12 a 1 n 1 a 1n a 21 a 22 a 2 n 1 a 2n..... a m1 a m2 a m n 1 a mn aus m n Skalaren bestimmt, dessen Spalten (vertikal) gerade die Vektoren v 1, v 2,..., v n sind. Wir nennen A eine m n-matrix. 21

Lineare Abbildungen und Matrizen Wegen der großen Wichtigkeit formulieren wir dieses Faktum erneut: Satz. Eine lineare Abbildung f : R n R m entspricht eins-zu-eins einem n-tupel von Spaltenvektoren des R m, daher umkehrbar eindeutig einer m n-matrix A mit skalaren Einträgen. (a) Ist die lineare Abbildung f gegeben, so ist A diejenige Matrix, deren Spalten der Reihe nach die Bilder f(e 1 ), f(e 2 ),..., f(e n ) der Vektoren der Standardbasis des R n sind. (b) Ist umgekehrt die m n-matrix A gegeben und sind v 1,..., v n R m ihre Spalten, x 1 so ist die zugehörige lineare Abbildung durch die Vorschrift f x 2. = n i=1 x i.v i x n bestimmt. 22

Eine m n-matrix A = Matrixterminologie a 11 a 12 a 1 n 1 a 1n a 21 a 22 a 2 n 1 a 2n..... a m1 a m2 a m n 1 a mn besteht aus m Zeilen (horizontal) und n Spalten (vertikal). Abkürzende Schreibweise: A = (a ik ). Der Koeffizient a ik steht im Schnitt von i-ter Zeile und k-ter Spalte. Die n Spalten s 1, s 2,..., s n sind Mitglieder des R m. Die m Zeilen z 1, z 2,..., z m sind Mitglieder des R n. Hinweis. Je nach Sachlage ist es vorteilhafter, den Spalten- oder den Zeilenaufbau einer Matrix zu verwenden. Hier ist die 2-te Zeile rot markiert. 23

Matrixformulierung früherer Ergebnisse Satz. Gegeben sei eine m n-matrix A mit den Spalten v 1, v 2,..., v n. Für die durch A gegebene lineare Abbildung f : R n R m, x 1 x 2. x n x 1.v 1 + x 2.v 2 + + x n.v n gilt (1) f ist genau dann injektiv, wenn die Spalten von A im R m linear unabhängig sind. (2) f ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten von A ein Erzeugendensystem des R m bilden. (3) f ist genau dann ein Isomorphismus, wenn m = n und die Spalten von A eine Basis von R n bilden. 24

Rang einer Matrix Satz. Sei A eine m n-matrix mit den Spalten v 1, v 2,..., v n. Der Rang der durch A gegebenen linearen Abbildung f : R n R m, x 1 x 2. x n x 1.v 1 + x 2.v 2 + + x n.v n stimmt mit der Dimension von v 1, v 2,..., v n überein. Diese Dimension nennen wir den Rang der Matrix A. Bezeichnung: rg(a). Beweis. Nach Definition ist rg(f) die Dimension von Bild(f) = v 1, v 2,..., v n. Dessen Dimension ist nach (obiger) Definition der Rang der Matrix A. 25

Kern einer linearen Abbildung Die Injektivität einer linearen Abbildung f : V W ist einfach an ihrem Kern abzulesen, der ein Unterraum von V ist. Definition. Unter dem Kern K einer linearen Abbildung f : V W verstehen wir die Menge f 1 ({0}) = {v V f(v) = 0}. Bezeichnung: Kern(f). Satz. Eine lineare Abbildung f : V W ist genau dann injektiv, wenn Kern(f) = {0} ist. Beweis. (a) Wir nehmen an, dass f injektiv ist. In diesem Fall folgt für jedes v Kern(f), dass f(v) = 0 = f(0), wegen der Injektivität also v = 0 gilt. (b) Wir nehmen an, dass Kern(f) = {0} ist und nehmen an, dass f(v 1 ) = f(v 2 ) und damit f(v 1 v 2 ) f linear = 0, somit v 1 v 2 Kern(f) = {0} gilt. Es folgt v 1 = v 2 und damit die Injektivität von f. 26

Der Kern von f ist ein Unterraum Die Behauptung ist ein Spezialfall (U = {0}) des folgenden Satzes: Satz. Sei f : V W linear und U ein Unterraum von W. Dann ist das Urbild U := f 1 (U) von U ein Unterraum von V. Beweis. Wegen f(0 V ) = 0 W gehört 0 V zu U, somit ist (U1) erfüllt. Seien nun v 1 und v 2 in U gelegen, somit f(v 1 ), f(v 2 ) U. Dann ist (Linearität von f) f(v 1 + v 2 ) = f(v 1 ) + f(v 2 ) in U gelegen. Es ist somit (U2) erfüllt. Schließlich sei v in U gelegen und a ein Skalar. Es folgt f(a.v) = a.f(v) U und somit a.v U. Dies zeigt (U3). 27

Analyse einer linearen Abbildung Die Eigenschaften einer linearen Abbildung f : V W werden stark von den beiden mit ihr verbundenen Unterräumen Kern(f) und Bild(f) und ihren Dimensionen bestimmt. Wir richten unser Augenmerk daher auf: den Kern von f, der ein Unterraum von V ist; das Bild von f, das ein Unterraum von W ist. Die Dimensionen von Kern(f) und Bild(f), insbesondere also der Rang von f, geben wichtige Auskunft über f. Wir werden gleich sehen, wie aus der Kenntnis des Rangs von f sich auch die Dimension von Kern(f) ermitteln lässt und umgekehrt. 28

Der Rangsatz für lineare Abbildungen Satz [Rangsatz]. Sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann gilt dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f), also gleichbedeutend dim Kern(f) = dim V rg(f). Da uns in der Regel bei gegebenem f die Dimension von V (und auch die von W ) bekannt ist, bestimmen sich folglich die Dimensionen von Kern(f) und Bild(f) wechselseitig. Als Regelbezeichnung hat sich hier der Rang von f durchgesetzt. Manchmal ist von der Dimension von Kern(f) als dem Defekt von f die Rede. 29

Beweis des Rangsatzes Wir nehmen an, dass V und W endlichdimensional sind. Es folgt dann (Beweis später), dass Kern(f) und Bild(f) ebenfalls endliche Dimension haben. Beweis. Seien (e 1, e 2,..., e p ) eine Basis von Kern(f) und (g 1, g 2,..., g q ) eine Basis von Bild(f). Im ersten Schritt wählen wir für jedes g i (1 i q) ein Urbild f i aus V. Wir behaupten, dass B := (e 1, e 2,..., e p, f 1, f 2,..., f q ) eine Basis von V ist, woraus der Rangsatz sofort folgt. 30

(1) B ist linear unabhängig: Aus (a 1.e 1 + a 2.e 2 + + a p.e p ) + (b 1.f 1 + b 2.f 2 + + b q.f q ) = 0 folgt durch Anwendung von f, dass b 1.g 1 + b 2.g 2 + + b q.g q = 0 und dann alle b j verschwinden, da die g j s eine Basis bilden. Es ergibt sich nunmehr a 1.e 1 + a 2.e 2 + + a p.e p = 0, woraus das Verschwinden auch der a i folgt. (2) B ist ein Erzeugendensystem von V : Sei v V, somit f(v) Bild(f) = g 1, g 2,..., g q. Wir erhalten also f(v) = b 1.g 1 + + b q.g q = f(b 1.f 1 + + b q.f q ) mit geeigneten Skalaren b j. Es folgt somit ist f(v (b 1.f 1 + b 2.f 2 + + b q.f q )) = 0, v (b 1.f 1 + b 2.f 2 + + b q.f q ) in Kern(f) gelegen, daher von der Form a 1.e 1 + a 2.e 2 + + a p.e p mit geeigneten Skalaren a i. Zusammengefasst: v = (a 1.e 1 + a 2.e 2 + + a p.e p ) + (b 1.f 1 + b 2.f 2 + + b q.f q ). 31