Kapitel 9 Folgen und Reihen 9.1 Folgen 9.1.1 Was ist eine Folge? Abbildungen, die auf N definiert sind (mit Werten z.b. in R), heißen (unendliche) Folgen. Abb., die auf einer endlichen Menge aufeinander folgender natürlicher Zahlen definiert sind, heißen endliche Folgen. Viele Statistiken werden durch endliche Folgen beschrieben. (z.b. Anzahl der Studierenden an der TU München in den Jahren 1962 bis 1976) (Diagramm = Funktionsgraph) Um eine Folge anzugeben, schreibt man manchmal auch einfach die Werte hin. 1
Unendliche Folgen sind zum Beispiel: 1. 1, 2, 3, 4, 5,... 2. 2, 4, 6, 8, 10,... (gerade) 3. 1, 3, 5, 7, 9,... (ungerade) 4. 1, 4, 9, 16, 25, 36,... (Quadratzahlen) 5. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... (Primzahlen) 6. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... (Wie geht es weiter?) Folgen wie die letzte kommen oft in Einstellungstests vor. 9.1.2 Eine Schreibweise Oft schreibt man Folgen in der Gestalt: a k. Dabei bedeutet a k das Bild von k N. Man sagt auch : a k ist das k-te Glied der Folge. Beispiele: 1. a k = a (mit a R) (konstante Folge) 2. a k = a + (k 1)d (mit a, d R) (arithmetische Folge) (Die Differenz aufeinander folgender Folgenglieder ist konstant (= d).) lineares Wachstum der Folgenglieder 2
3. a k = aq k 1 (mit a, q R) (geometrische Folge) (Der Quotient aufeinander folgender Folgenglieder ist konstant (, falls er definiert ist).) exponentielles Wachstum der Folgenglieder 4. a k = 1 2... (k 1) k =: k! (lies: k Fakultät) Man definiert zusätzlich: 0! = 1. 9.1.3 Rechnen mit Folgen Die Summe zweier Folgen a k und b k ist die Folge c k, für die gilt: c k = a k + b k. Die Differenz zweier Folgen a k und b k ist die Folge c k, für die gilt: c k = a k b k. Folgen werden elementweise oder gliedweise addiert und subtrahiert. Das Produkt zweier Folgen a k und b k ist die Folge c k, für die gilt: c k = a k b k. Der Quotient zweier Folgen a k und b k ist die Folge c k, für die gilt: c k = a k b k. 3
Der Quotient zweier Folgen ist nur definiert, wenn die im Nenner stehende Folge nur Glieder Null enthält. Folgen werden elementweise oder gliedweise multipliziert und dividiert. Bemerkung: Manchmal dividiert man auch durch Folgen, in denen Glieder Null werden. Dann muss man sich überlegen, was man tut. 9.1.4 Bezeichnungen für Folgen Aus jeder Folge a k erhält man den Graph einer stetigen Funktion f, indem man von links nach rechts aufeinander folgende Punkte (k, a k ) geradlinig verbindet. Wenn eine der folgenden Bezeichnungen für f zutrifft, verwendet man sie auch für die Folge a k : (streng) monoton steigend, (streng) monoton wachsend (streng) monoton abnehmend, (streng) monoton fallend Ein Maximum der Folge a k ist ein globales Ma- 4
ximum von f. Ein Minimum der Folge a k ist ein globales Minimum von f. Falls der lim x f(x) definiert ist, nennt man ihn den Grenzwert oder Limes der Folge a k für k und schreibt dafür lim k a k. Falls eine Folge einen Grenzwert hat, heißt sie konvergent, andernfalls divergent. Beispiele: Die Folge 1, 1 2, 1 4, 1 8,... ist konvergent. Sie konvergiert gegen 0. Die Folge 1, -2, 3, -4, 5, -6,... ist divergent, weil sie nicht konvergiert, weil sie keinen Grenzwert besitzt. 9.1.5 Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen Der Grenzwert von Summe Differenz Produkt Quotient zweier 5
Folgen a k, b k ist Summe Differenz Produkt Quotient von a k, b k, der Grenzwerte falls die Grenzwerte von a k, b k existieren und keine auftretenden Nenner Null sind. In Zeichen: lim (a k ± b k ) = lim a k ± lim b k. k k k lim (a k b k ) = lim a k lim b k. k k k a k = lim k a k (b k 0). b k lim k b k lim k Bemerkung: Für den lim k b k endlich viele Glieder nicht an. kommt es auf Enthält die Folge b k endlich viele Glieder = 0, so gilt die Regel für Quotienten auch, wenn man in b k alle verschwindenden Glieder weglässt (und natürlich in der Folge a k die entsprechenden Glieder weglässt). Noch eine wichtige Regel: Ist a n eine Folge mit dem Grenzwert a und f eine Funktion, für die gilt: lim x a f(x) ist definiert, dann gilt: 6
lim f(a n) = f( lim a n ). n n 9.1.6 Ein Einschließungssatz Seien a k, b k und c k drei Folgen, für die gilt: (a) a k b k c k, (b) lim k a k = lim k c k. Dann gilt: lim k b k = lim k a k = lim k c k. Beispiel: b k := cos k k. Es gilt: 1 cos k 1 1 k cos k k 1 k. Da lim k 1 k = lim k 1 k = 0, gilt auch: 9.2 Reihen lim k 9.2.1 Was ist eine Reihe? cos k k = 0. Ist a 1, a 2, a 3, a 4,... eine Folge, so ist s 1 := a 1, s 2 := a 1 + a 2, s 3 := a 1 + a 2 + a 3, 7
s 4 := a 1 + a 2 + a 3 + a 4,... eine neue Folge. Eine solche Folge s 1, s 2, s 3,... von Teilsummen einer Folge heißt eine Reihe. 9.2.2 Wert einer Reihe Summen mit unendlich vielen Summanden gibt es nicht! Aber wenn die Folge s k = a 1 +...+a k einen Grenzwert s hat, dann schreibt man dafür s = a k. k=1 Das heißt nichts anderes als s = lim k (a 1 + a 2 +... + a k ) oder kürzer s = lim k k a i. i=1 Man nennt s den Wert der Reihe s 1, s 2,.... 9.2.3 Summen und Reihen, Beispiele 1. Ist a k = a+(k 1) d eine arithmetische Folge, so ist s n := a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(n 1)d) 8
die zugehörige Folge von Teilsummen. Es gilt: 2s n = a+(a+d)+...+(a+(n 2)d)+(a+(n 1)d) +(a+(n 1)d)+(a+(n 2)d)+...+(a+d)+a = (2a + (n 1)d) + (2a + (n 1)d) +... + (2a + (n 1)d) + (2a + (n 1)d) = n(2a + (n 1)d). Folglich gilt: s n = 1 2n(a + (a + (n 1)d)). Die Summe von n aufeinanderfolgenden Gliedern einer arithmetischen Folge ist n-mal das arithmetische Mittel von erstem und letztem Glied. 2. Ist a k = aq k 1 eine geometrische Folge, so ist s n = a + aq + aq 2 +... + aq n 1 die zugehörige Folge von Teilsummen. Es gilt: (q 1)s n = qs n s n = aq + aq 2 + aq 3 +... + aq n (a + aq + aq 2 +... + aq n 1 ) = aq n a = a(q n 1). Folglich ist für q 1: n k=1 aq k 1 = a qn 1 q 1. 9
Oder auch: n k=0 n k=1 Ist q < 1, so ist k=0 aq k = a qn+1 1 q 1, aq k = aq qn 1 q 1. aq k = a 1 1 q. Ist q 1 und a 0, so konvergiert die geometrische Reihe nicht, aber jede endliche Teilsumme hat einen bestimmten Wert. 10