Symmetrische Figuren von Prof. Dr. Frank Eckhard Großmann November 3, 2009 1 Mathematische Formeln und Darstellungen vorweggegriffen Dieses Kapitel soll nochmal alle notwendigen mathematischen Grundlagen aufgreifen und etwas genauer erklären. 1.1 Zyklenschreibweise Jede Abbildung f der Menge M {1, 2,..., n 1, n} nach M läßt sich durch Angabe ihrer Wertetabelle beschreiben: 1 2... n 1 n f(1) f(2)... f(n 1) f(n) Zum Beispiel die folgende Abbildung von h : M M mit M = {1, 2, 3, 4, 5} und mit h(1) = 4, h(2) = 3, h(3) = 5, h(4) = 2 und h(5) = 1: 1 2 3 4 5 4 3 5 2 1 Ohne die Strich sieht die Darstellung wie folgt aus: ( 1 2 3 4 5 ) 4 3 5 2 1 Bei der Zykelschreibweise, ist der Gedanke, dass die Darstellungsart gering gehalten wird und die erste Zeile erspart werden soll. Damit man die tun kann stellt man sich einfach vor, dass das nächste Element aus der Domäne das Ergebnis ist aus vorherigen Spalte. 1 f(1)... f(... f(1))) f(f(... f(1)))) f(1) f(f(1))... f(f(... f(1))) f(f(f(... f(1))))) als konkretes Beispiel mit h und ohne die vertikalen Striche: ( 1 4 2 3 5 ) 4 2 3 5 1 1
Es ist zu sehen, dass bei dieser Darstellung ein gewisse Redundanz auftritt. Aus dem Grund, kann die Darstellung auch vereinfacht werden in dem die Erste Zeile komplett weggelassen werden kann: ( 4 2 3 5 1 ) Für ein anderes Beispiel sieht die Zykelschreibweise schon anders aus: ( ) 1 2 3 4 5 f : ( 1 2 5 4 ) ( 3 ) 2 5 3 1 4 Wie man sieht, sind hier mehrere Zykeln bei der Funktion f vorhanden. Falls Einerzyklen auftretten, können diese auch ausgelassen werden. Kompositionen zweier Funktionen kann mit der Zykelschreibweise leicht umgesetzt werden. Dabei Permutiert man das erste Element mit dem Zyklus von f, nimmt das Ergebnis als Startelement für die nächste Permutation mit dem Zyklus von h. Bei der nächsten Permutation ist das letzte ermittelte Element aus dem neuen Zyklus das Startelement im ersten Zyklus. h f = ( 4 2 3 5 1 ) (( 1 2 5 4 ) ( 3 )) = (1 3 5 2) (4) = (1 3 5 2) 1.2 Matrizentransformation 1.3 Gruppen Die folgende Darstellung verdeutlicht den Zusammenhang zwischen Eigenschaften und Mengenarten. (geschlossene Menge) innere Verknüpfungen Halbgruppe Assoziativität der Verknüpfung Monoide neutrales Element Gruppe alle Elemente sind invertierbar Sie ist zugleich eine Zusammenfassung der folgenden Definitionen. Definition Sei H eine Menge. Eine Funktion : H H H heißt eine (zweistellige) innere Verknüpfung auf H. Definition Sei H eine Menge und eine innere Verknüpfung auf H. 1. Dann heißt e H eine neutrales Element bezüglich, wenn f H gilt f e = f = e f. 2
2. Man sagt, dass zwei Elemente f und g bezüglich miteinander vertauschen bzw. kommutieren, wenn gilt g f = f g. 3. Ein Element f H heißt idempotent, wenn gilt f f = f. Definition Sei H eine Menge und eine innere Verknüpung auf H. 1. Dann heißt assoziativ, wenn f, g, h H gilt h (g f) = (h g) f. 2. Dann heißt kommutativ, wenn f, g H gilt g f = f g. d.h., wenn alle f, g H bezüglich miteinander vertauschen. Definition Halbgruppe Eine Halbgruppe ist ein Paar (H, ), wobei H eine Menge und eine assoziative innere Verknüpfung auf H ist. Definition Monoid Ein Monoid ist eine Halbgruppe (H, ) derart, dass es in H ein neutrales Element bezüglich gibt. Das Monoid wird dann auch als (H,, e) notiert, wobei e das neutrale Element in H ist. Definition Eine Halbgruppe (H, ) heißt kommutativ oder auch Abelsch, wenn die innere Verknüpfung kommutativ ist. Analog gilt das Gleich für Monoid. Definition Sei (H,, e) ein Monoid. Dann heißt ein Element a H linksinvertierbar, wenn es ein b H mit b a = e gibt, rechtsinvertierbar, wenn es ein b H mit a b = e gibt, und invertierbar, wenn es ein b H mit a b = e = b a gibt. Definition Gruppe (Kurzfassung) Ein Monoid (G,, e) heitßt Gruppe, wenn jedes Element von G invertierbar ist. 3
1.4 τ (tau) 1 1 Figure 1: Graphische Ermittlung der Konstante τ. τ = 1 ( 2 1 + ) 5 1.5 Abstandsberechnung und Winkelberechnung im R n A A-O A-0 B α O Figure 2: Darstellung eines Dreiecks. 1. Ein Vektor a = {a 1, a 2,..., a n 1, a n } hat die Länge a = a 2 1 + a2 2 +... + a2 n 1 + a2 n. Es gibt verschiedeneste Abstandsmaße (Normen). Diese Norm heißt. 2 (Euklidische Abstandsberechnung). 2. Die Strecke AB hat die Länge AB = B A. 3. Der Winkel zwischen A, O und B ist AOB = arccos a b a mit a = A O, b b = B O und für das Skalarprodukt. 4
1.6 Winkelberechnung 1.6.1 Winkelberechnung zwischen zwei benachbarten Flächen eines Platonischen Körpers 2 Symmetrische Figuren Definition Eine Symmetrie einer Figur X R n ist eine Kongruenzabbildung f des R n, welche X auf sich abbildet (d.h. f(x) = x ). (Kongruenzabbildung bedeutet, dass alle Punkte den gleichen Abstand beibehalten.) S X ˆ=Menge aller Symmetrien von X. Beispiel Rechteck R R 2 A a c P d D b g d σ g S R = {S D,180, σ a, σ b, id R 2} mit S D,180 ˆ=Drehung um 180, σ a ˆ=Spiegelung an a, σ b ˆ=Spiegelung an b und id R 2 ˆ=identische Abbildung σ c ist keine Abbildung auf sich selbst. Bei Abbildungen kommt es auf die resultierende Endlage an und nicht auf die Art der Transformation. Bsp. id = S D,180. Beobachtung (bei Symmetrischen Figuren) 1. Es gibt einen gemeinsamen Fixpunkt (D) aller Symmetrien. 5
2. Es gibt gleich viele orientierungserhaltende S + wie orientierungumkehrende Symmetrien S. kurz: S + R = S R Übersicht 1. Symmetrien von Figuren im R 2 und R 3. 2. Gruppentheorie, Satz von Burnside 3. Platonische Körper (regelmäßige 3D Körper)(physisch, zeichnerisch, rechnerisch) 4. 4D regelmäßige Figuren 2.1 Kongruenzabbildungen Definition Sie f : R n R n eine bijektive Abbildung und d : R n R n R die euklidische Abstandsfunktion. Dann gilt für eine Kongruenzabbildung Beispiele d(a, B) = d(f(a), f(b)), A, B R n. Im R 1 -Raum: S + : Verschiebung S : Punktspiegelung Punkt auf Gerade: X A S X = {σ A, id R 1} (Gerade) Unbegrenzte Punktemenge: X=Z Verschiebung als Symmetrie (unendliche viele Verschiebungen) 6
Im R 2 -Raum: S + : Verschiebung, Drehung S : Geradenspiegelung, Punktspiegelung, Schubspiegelung Schubspiegelung: A B g σ g τ AB = τ AB σ g mit τ AB für eine Translation und σ g mit einer Spiegelung an g. Im Allgemeinen nicht gültig (hier in Richtung der Geraden, daher hier gültig). Im R 3 -Raum: 7