Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Teil 8: Satz von Rolle - Mittelwertsatz - Monotoniekriterium Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik Sommersemester 2010/11 Internetseite zur Vorlesung: http://www.mathematik.hu-berlin.de/ neumann/
Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Anwendung der Differentialrechnung Aufgaben zum Satz von Rolle und zum Mittelwertsatz Beweis des Mittelwertsatzes Monotonie und Ableitung
Satz von Rolle Die Ableitung einer reellen Funktion f, die im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und im offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist und außerdem f (a) = f (b) erfüllt, nimmt an mindestens einer Stelle x 0 aus (a, b) den Wert f (x 0 ) = 0 an.
Der Mittelwertsatz Für eine reelle Funktion f, die im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und im offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist, gibt es für jedes beliebige offene Intervall (a, b), a b, mindestens ein x 0 (a, b), so dass f (x 0 ) =.
Der Mittelwertsatz Für eine reelle Funktion f, die im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und im offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist, gibt es für jedes beliebige offene Intervall (a, b), a b, mindestens ein x 0 (a, b), so. dass f (x 0 ) = Geometrische Interpretation: Die Sekantensteigung tritt an mindestens einer Stelle als Steigung der Funktion auf.
Aufgaben zum Satz von Rolle und zum Mittelwertsatz 1. Belegen Sie durch ein Beispiel, dass man im Satz von Rolle nicht formulieren kann: Es existiert genau ein x 0 mit a < x 0 < b und f (x 0 ) = 0. 2. Es sei f eine beliebige quadratische Funktion. Zeigen Sie, dass die Sekante von f in einem beliebigen Intervall [a; b] parallel zur Tangente an f an der Stelle x 0 verläuft, wobei x 0 der Mittelpunkt von [a; b] ist. 3. Untersuchen Sie für die folgenden Funktionen, ob es im Intervall [a; b] eine Stelle x 0 gibt, an der die Tangente an f parallel zur Sekante in [a; b] verläuft. a) f (x) = x, [a; b] = [1; 4] b) f (x) = x 3, [a; b] = [ 3; 3] 4. Sie wissen bereits, dass die Ableitung einer auf R konstanten Funktion f die Funktion f mit f (x) = 0 für alle x R ist. a) Formulieren Sie die Umkehrung dieser Aussage. b) Beweisen Sie diese Aussage. Wenden Sie dazu den Mittelwertsatz auf eine Funktion an, deren Ableitung überall null ist.
Aufgaben zum Satz von Rolle und zum Mittelwertsatz Aufgabe 1 Belegen Sie durch ein Beispiel, dass man im Satz von Rolle nicht formulieren kann: Es existiert genau ein x 0 mit a < x 0 < b und f (x 0 ) = 0.
Aufgaben zum Satz von Rolle und zum Mittelwertsatz Aufgabe 2 Es sei f eine beliebige quadratische Funktion. Zeigen Sie, dass die Sekante von f in einem beliebigen Intervall [a; b] parallel zur Tangente an f an der Stelle x 0 verläuft, wobei x 0 der Mittelpunkt von [a; b] ist.
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2 f ist eine quadratische Funktion mit f (x) = αx 2 + βx + γ, α, β, γ reelle Zahlen und f (x) = 2αx + β Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch: = αb2 +βb+γ (αa 2 +βa+γ) = αb2 +βb αa 2 +βa = α(b2 a 2 )+β() = α()(b+a)+β() = α(a + b) + β Die Tangentensteigung in x 0 = a+b 2 wird beschrieben durch: f (x 0 )= f ( a+b a+b 2 ) = 2α( 2 ) + β = α(a + b) + β Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich, Tangente und Sekante parallel.
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2 f ist eine quadratische Funktion mit f (x) = αx 2 + βx + γ, α, β, γ reelle Zahlen und f (x) = 2αx + β Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch: = αb2 +βb+γ (αa 2 +βa+γ) = αb2 +βb αa 2 +βa = α(b2 a 2 )+β() = α()(b+a)+β() = α(a + b) + β Die Tangentensteigung in x 0 = a+b 2 wird beschrieben durch: f (x 0 )= f ( a+b a+b 2 ) = 2α( 2 ) + β = α(a + b) + β Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich, Tangente und Sekante parallel.
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2 f ist eine quadratische Funktion mit f (x) = αx 2 + βx + γ, α, β, γ reelle Zahlen und f (x) = 2αx + β Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch: = αb2 +βb+γ (αa 2 +βa+γ) = αb2 +βb αa 2 +βa = α(b2 a 2 )+β() = α()(b+a)+β() = α(a + b) + β Die Tangentensteigung in x 0 = a+b 2 wird beschrieben durch: f (x 0 )= f ( a+b a+b 2 ) = 2α( 2 ) + β = α(a + b) + β Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich, Tangente und Sekante parallel.
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2 f ist eine quadratische Funktion mit f (x) = αx 2 + βx + γ, α, β, γ reelle Zahlen und f (x) = 2αx + β Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch: = αb2 +βb+γ (αa 2 +βa+γ) = αb2 +βb αa 2 +βa = α(b2 a 2 )+β() = α()(b+a)+β() = α(a + b) + β Die Tangentensteigung in x 0 = a+b 2 wird beschrieben durch: f (x 0 )= f ( a+b a+b 2 ) = 2α( 2 ) + β = α(a + b) + β Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich, Tangente und Sekante parallel.
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2 f ist eine quadratische Funktion mit f (x) = αx 2 + βx + γ, α, β, γ reelle Zahlen und f (x) = 2αx + β Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch: = αb2 +βb+γ (αa 2 +βa+γ) = αb2 +βb αa 2 +βa = α(b2 a 2 )+β() = α()(b+a)+β() = α(a + b) + β Die Tangentensteigung in x 0 = a+b 2 wird beschrieben durch: f (x 0 )= f ( a+b a+b 2 ) = 2α( 2 ) + β = α(a + b) + β Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich, Tangente und Sekante parallel.
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2 f ist eine quadratische Funktion mit f (x) = αx 2 + βx + γ, α, β, γ reelle Zahlen und f (x) = 2αx + β Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch: = αb2 +βb+γ (αa 2 +βa+γ) = αb2 +βb αa 2 +βa = α(b2 a 2 )+β() = α()(b+a)+β() = α(a + b) + β Die Tangentensteigung in x 0 = a+b 2 wird beschrieben durch: f (x 0 )= f ( a+b a+b 2 ) = 2α( 2 ) + β = α(a + b) + β Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich, Tangente und Sekante parallel.
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2 f ist eine quadratische Funktion mit f (x) = αx 2 + βx + γ, α, β, γ reelle Zahlen und f (x) = 2αx + β Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch: = αb2 +βb+γ (αa 2 +βa+γ) = αb2 +βb αa 2 +βa = α(b2 a 2 )+β() = α()(b+a)+β() = α(a + b) + β Die Tangentensteigung in x 0 = a+b 2 wird beschrieben durch: f (x 0 )= f ( a+b a+b 2 ) = 2α( 2 ) + β = α(a + b) + β Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich, Tangente und Sekante parallel.
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 2 f ist eine quadratische Funktion mit f (x) = αx 2 + βx + γ, α, β, γ reelle Zahlen und f (x) = 2αx + β Die Sekantensteigung in [a;b] wird beschrieben durch: = αb2 +βb+γ (αa 2 +βa+γ) = αb2 +βb αa 2 +βa = α(b2 a 2 )+β() = α()(b+a)+β() = α(a + b) + β Die Tangentensteigung in x 0 = a+b 2 wird beschrieben durch: f (x 0 )= f ( a+b a+b 2 ) = 2α( 2 ) + β = α(a + b) + β Tangenten - und Sekantensteigung sind also gleich, Tangente und Sekante parallel.
Aufgaben zum Satz von Rolle Aufgabe 3 Untersuchen Sie für die folgenden Funktionen, ob es im Intervall [a; b] eine Stelle x 0 gibt, an der die Tangente an f parallel zur Sekante in [a; b] verläuft. a) f (x) = x, [a; b] = [1; 4] b) f (x) = x 3, [a; b] = [ 3; 3]
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 3 a) f (x) = x, [a; b] = [1; 4] Sekante: = 4 1 4 1 = 1 3 Tangente: f (x) = 1 2 x = 1 3 x = 9 4 für x [1; 4] b) f (x) = x 3, [a; b] = [ 3; 3] Sekante: = 33 +3 3 3+3 = 9 Tangente: f (x) = 3x 2 = 9 x = 3 x = 3
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 4 Sie wissen bereits, dass die Ableitung einer auf R konstanten Funktion f die Funktion f mit f (x) = 0 für alle x R ist. a) Formulieren Sie die Umkehrung dieser Aussage. b) Beweisen Sie diese Aussage. Wenden Sie dazu den Mittelwertsatz auf eine Funktion an, deren Ableitung überall null ist.
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 4 a) Voraussetzung: Sei f eine Funktion mit f : R R. Behauptung: f (x 0 ) = 0 für alle x 0 R. f ist eine konstante Funktion. b) Es gelte nun f (x 0 ) = 0 für alle x 0 R. Laut Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es nun für jedes beliebige offene Intervall (a, b) R mit a b ein x 0 (a; b) mit f (x 0 ) = Also ist. = 0 f (b) f (a) = 0 f (b) = f (a) Da dies für jedes offene Intervall gilt, ist f eine konstante Funktion.
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 4 a) Voraussetzung: Sei f eine Funktion mit f : R R. Behauptung: f (x 0 ) = 0 für alle x 0 R. f ist eine konstante Funktion. b) Es gelte nun f (x 0 ) = 0 für alle x 0 R. Laut Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es nun für jedes beliebige offene Intervall (a, b) R mit a b ein x 0 (a; b) mit f (x 0 ) = Also ist. = 0 f (b) f (a) = 0 f (b) = f (a) Da dies für jedes offene Intervall gilt, ist f eine konstante Funktion.
Aufgaben zum Satz von Rolle: Aufgabe 4 a) Voraussetzung: Sei f eine Funktion mit f : R R. Behauptung: f (x 0 ) = 0 für alle x 0 R. f ist eine konstante Funktion. b) Es gelte nun f (x 0 ) = 0 für alle x 0 R. Laut Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es nun für jedes beliebige offene Intervall (a, b) R mit a b ein x 0 (a; b) mit f (x 0 ) = Also ist. = 0 f (b) f (a) = 0 f (b) = f (a) Da dies für jedes offene Intervall gilt, ist f eine konstante Funktion.
Beweis des Mittelwertsatzes 1. Stellen Sie die Gleichung für die lineare Funktion g auf, deren Graph Sekante von f in [a; b] ist. 2. Zeigen Sie, dass die Hilfsfunktion H mit H(x) = f (x) g(x) die Voraussetzungen des Satzes von Rolle erfüllt. 3. Nach dem Satz von Rolle existiert dann ein x 0 ]a; b[ mit H (x 0 ) = 0. Zeigen Sie, dass mit dieser Zahl x 0 die Behauptung des Mittelwertsatzes für f erfüllt ist. 4. Veranschaulichen Sie die Betrachtung durch Skizzieren der Funktionen f, g und H in einem Intervall [a; b].
Beweis des Mittelwertsatzes Aufgabe 1. g(x) = (x a) + f (a) oder g(x) = (x b) + f (b) Aufgabe 2. Sei f stetig in allen geschlossenen Intervallen [a; b] R und in (a; b) diff bar, g sei eine lineare Funktion. Dann ist H mit H(x) = f (x) g(x) ebenfalls stetig in allen geschlossenen Intervallen [a; b] R und in (a; b) diff bar und es ist: H(a) = H(b), denn: H(a) = f (a) g(a) = f (a) ( (a a) + f (a)) = 0 H(b) = f (b) g(b) = f (b) ( (b a) + f (a)) = 0
Beweis des Mittelwertsatzes Aufgabe 3 x 0 (a; b) mit H (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) = = 0 und das ist die Behauptung des Mittelwertsatzes.
Beweis des Mittelwertsatzes Aufgabe 3 x 0 (a; b) mit H (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) = = 0 und das ist die Behauptung des Mittelwertsatzes.
Beweis des Mittelwertsatzes Aufgabe 4
Monotonie und Ableitung Eine Funktion f sei in einem Intervall [a; b] streng monoton wachsend und an einer Stelle x 0 [a; b] differenzierbar. (x n ) sei eine beliebige gegen x 0 konvergierende Folge mit x n x 0, x n [a; b] für alle n. 1. Begründen Sie: Für alle n gilt f (x n) f (x 0 ) x n x 0 > 0. 2. Welche Folgerung erhalten Sie für den Grenzwert f (x n ) f (x 0 ) lim = f (x 0 )? n x n x 0 3. Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass die Folgerung f (x 0 ) > 0 falsch ist.
Monotonie und Ableitung Aufgabe 1 Fallunterscheidung: Näherung von links, d.h. x n < x 0 also x n x 0 < 0 Dann ist f (x n ) f (x 0 ) < 0. Insgesamt ist dann f (x n) f (x 0 ) x n x 0 > 0
Monotonie und Ableitung Näherung von rechts: x n x 0 > 0 Dann ist f (x n ) f (x 0 ) > 0. Insgesamt ist dann f (x n) f (x 0 ) x n x 0 > 0
Monotonie und Ableitung Aufgabe 2 f f (x (x 0 ) = lim n) f (x 0 ) n x n x 0 0 Aufgabe 3 Beispiel: f (x) = x 3 f ist streng monoton steigend, da f (x 1 ) < f (x 2 ) für x 1 < x 2. Aber f (0) = 0
Monotonie und Ableitung Graph zu f (x) = x 3