Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore II. De Hauptsätze der Wohlfahrtstheore Fragen: (a) Führt de Martwrtschaft zu enem Zustand mt Glechgewcht auf allen Märten? (b) Ist das Glechgewcht endeutg? Stabl? (c) Ist das Glechgewcht paretooptmal? (d) Lohnt es sch für Tele der Gesellschaft, sch abzusetzen vom Rest? 0 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore Wenn Grundausstattung auf Kontraturve Kern = en Punt = Grundausstattung. Sonst besteht der Kern aus mehr als enem Punt. Welcher Punt m Kern wrd denn nun errecht? Verhandlungsgeschc? Es gbt Theoren darüber. Kommt auch auf de genaue Beschrebung der Stuaton an. 1 II.1. Enführung: Kern, Tauschurven, Tausch-Glechgewcht m - Güter-Fall Zwe Haushalte mt Grundausstattung von Gütern. Werden se tauschen? We wrd getauscht? 1. Kener wrd enen Tausch azepteren, der senen Nutzen schmälert (ndvduelle Ratonaltät).. Es wrd so getauscht, dass en paretooptmaler Zustand errecht wrd (Gruppenratonaltät). Wr haben bsher gar ncht über Prese (= Tauschverhältns) gesprochen. Das st be Zween, de mtenander verhandeln, auch ncht so snnvoll. Hnterher önnen wr Tauschverhältns feststellen. Wann snd Prese snnvoll? Wenn 1 und ene Personen (Haushalte) snd, sondern große Gruppen, z. B. Gütertausch zwschen Ländern: Dann haben wr allerdngs Schwergeten mt der Interpretaton der Indfferenzurven. Gbt es Gruppenndfferenzurven? Wr önnen de unten abgeleteten Tauschurven aber auch als Resultat (Aggregaton) von Tauschaten enzelner Haushalte ableten. 0 Kern Der Kern erfüllt bede Bedngungen! Grundausstattung 0 1
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore 3 Andere Darstellung des Tausches T 1 0 Tauschurve von 1 (offer curve) Menge Gut (Angebot) Aggregertes Angebot das erhält er Anfangsausstattung Angebot Haushalt Angebot Haushalt 1 0 1 darauf verzchtet er x Tauschverhältns = Pres auf ener Geraden durch de Anfangsausstattung st das Tauschverhältns (der Pres) glech - x Marträumender Pres Gerade = Budgetgerade für bede Gruppen Endausstattung = Walras-Glechgewcht (legt auf Kontraturve) T 1 0 neg. Angebot = Nachfrage T 0 1 Anfangsausstattung Tausch zwschen Gruppen: Noch enmal Warnung, dass Interpretaton der Indfferenzurven schwerg st! We sehen de Tauschurven aus, wenn de Anfangssausstattung auf der Kontraturve legt? Überlegen Se selbst! - Das aggregerte Angebot wrd auch Überschussangebot genannt. - Der marträumende Pres und der Austausch zu desem Pres beschrebt en Walras-Glechgewcht. - Das Überschussangebot und der marträumende Pres lassen sch auch für vele Haushalte bestmmten! Vele Güter? Ist ncht mehr so anschaulch darzustellen!
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore 4 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore 5 Allgemenes Problem: II. Das erste Wohlfahrtstheorem Modell ohne Produton (Verenfachung) - Exstert en Walras-Glechgewcht mmer? - Ist en Walras-Glechgewcht mmer paretooptmal? Haushalte 1,,..., n; Güter 1,,..., m Bedngungen? Anfangsausstattungen Y 1 = (y 1 1, y 1,...y 1 m),..., Y n = (y n 1, y n,..., y n m) Randlösungen? Presvetor p = (p 1, p,..., p m ), p = Austauschverhältns zu enem der Güter oder zu enem Aufgabe: weteren Gut = Geld. Informeren Se sch m Internet über Tauschrnge! Mt enem Presvetor st der Wert der Anfangsausstattung gegeben: py = Σ p Y = E (py = Salarprodut) Defnton: Y = (Y 1,..., Y n ) = Anfangsausstattung aller Haushalte X = (X 1,...,X n ) = Endausstattung alle Haushalte (X,Y,p) heßt Walras-Glechgewcht, wenn glt: (1) x y für alle Güter () Wenn für Haushalt glt X ~ f X ( X ~ wrd vorgezogen), dann glt p X ~ > py = E ( X ~ st zu teuer). Annahme: Jeder Haushalt st mndestens bezüglch enes Gutes unersättlch.
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore 6 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore 7 Vorberetender Satz: 1. Wenn X ene paretooptmale Alloaton st, dann gbt es X ~ mt ~ X f X für alle Haushalte.. De Budgettrestrton wrd mt Glechhet erfüllt, d.h. px = py (1) aus Def. p x~ p y Summe über p x~ p y,, Bewes: 1. x ncht paretooptmal heßt: Es gbt x mt x f x für alle Haushalte ~ und f für enen, z. B. = 1 [und es glt (1) aus Def.] Wegen Stetget der Präferenzen glt enem Gut. 1 1 ( 1 ε ) x f ~ 1 x x 1 = für genügend lenes ε. 1 x~ = x + ε x f x wegen Unersättlchet be mndestem ( n 1). Wegen Unersättlchet 1. Wohlfahrtstheorem: Wenn (X,Y,p) en Walras-Glechgewcht st, dann st X ene paretooptmale Alloaton. = p x~ = py also p x~ p y Das st en Wderspruch zur Relaton oben! Also st de Annahme am Anfang des Beweses falsch. Wussten wr das ncht schon vorher? Presvetor p, Enommen E U x U x p = p für alle Haushalte Bedngung für Paretooptmaltät erfüllt Bewes: Angenommen, x st ene paretooptmale Alloaton. Wegen dem vorberetendem Satz gbt es ~ x, das von allen Haushalten vorgezogen wrd. p x~ > py für alle [() aus Def.] p x~ > p y Aber: 1. Randlösungen!. Wr haben ncht gezegt, dass dese Bedngung hnrechend für Paretooptmaltät st.
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore Lassen Se uns das 1. Wohlfahrtstheorem anwenden auf Tauschrnge für Denstlestungen mt ftver Währung: Jeder Telnehmer stellt (mehr oder wenger spezalserte) Arbetslestung zur Verfügung z. B. Gut 1: Babysttng Gut : Gut 3: Gut 4: Auto repareren Haare schneden PC-Beratung y 1 = (5, 0, 0, 0) Anfangsausstattung Telnehmer 1 y = (3, 0, 3, 0) Anfangsausstattung Telnehmer y 3 = (0, 10, 0, 0 ) Anfangsausstattung Telnehmer 3 y 4 = (0, 0, 0, 8) Anfangsausstattung Telnehmer 4 y 5 = (10, 0, 0, 0) Anfangsausstattung Telnehmer 5 - Satz besagt, wenn es en Walras-Glechgewcht gbt, d. h. wenn es enen Presvetor gbt, be dem de Defnton des Walras-Glechgewchts erfüllt st, dann st Paretooptmum errecht! - Problem der Tauschrnge: Prese snd normalerwese festgelegt. Wenn en Zustand en Walras-Glechgewcht st, st er dann ncht paretooptmal? 8 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore B st en Walras-Glechgewcht mt Anfangsausstattung A, aber paretooptmal! C st en Walras-Glechgewcht und ncht paretooptmal Wenn der Tausch zu vorher festgelegten ( gerechten ) Presen (festen Austauschverhältnssen) durchgeführt wrd, dann errechten wr nur zufällg Marträumung! Nur zufällg en Walras-Glechgewcht. II.3 Exstenz enes Walras-Glechgewchts Budgetrestrton für den Haushalt : py = px (be Tausch zu Presen p) Defnton: Überschussnachfrage von Haushalt : Z (p,y ) = X (p,y ) Y - Be fest vorgegebenen Anfangsausstattungen schreben wr häufg Z (p) statt Z (p,y ). - X maxmert den Nutzen von Haushalt, d.h. () aus der Defnton des Walras-Glechgewchts glt. - Z (p) st homogen vom Grad 0 n den Presen (Budgetrestrton blebt unverändert) Defnton: aggregerte Überschussnachfrage: Z(p) = Σ Z (p) = (Z 1 (p),..., Z m (p) Z (p) = aggregerte Überschussnachfrage nach Gut 9 T 1 B C T A Satz (Gesetz von Walras) Für edes p glt pz(p) = 0
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore Bewes: ( p) = pz pz ( p) ( px py ) = = 0 wegen Budgetrestrton. 30 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore Annahme Begehrthet (d. h. es gbt ene freen Güter): Falls p 0 Z (p) > 0. Satz (Angebot = Nachfrage): Falls alle Güter begehrt snd und (X, Y, p) Walras-Glechgewcht, dann glt Z (p) = 0 für alle. 31 Satz (Marträumung): Wenn m-1 Märte geräumt snd, d.h. Z (p) = 0 für alle und p >0, dann st auch der -te Mart geräumt, d.h. Z (p) = 0. Bewes: Angenommen z (p) < 0 p = 0 (Satz free Güter) z (p) > 0 (wegen Begehrthet) Wderspruch, also z (p) 0 Defnton Walras-Glechgewcht z (p) 0 z (p) = 0 Bewes: Gesetz von Walras pz ( p) = 0 c p Z ( p) = 0 c ( p) = 0 p Z wel alle anderen Z = 0 c ( p) = 0 Z. Satz (free Güter): (X, Y, p) Walras-Glechgewcht Z (p) < 0 p = 0. Bewes: : Def. Walras-Gl. ( p) 0 p z( p) 0 Falls p > 0 p z( p) < 0 z für alle Satz (stetge Nachfrage): De Präferenzen von Haushalt seen strt onvex (d. h. es gbt strt onvexe Indfferenzflächen). Dann snd de Nachfrage von und de Überschussnachfrage n stetge Funtonen der Prese p mt p > 0. Bewes: p p y p y p (Enommen von ) Wegen Konvextät gbt es genau enen optmalen Punt für ede Haushaltsrestrton x p y p ( x p = y p) =.(Denn gäbe es x~ ~ x bede optmal, dann wäre wegen Konvextät 1 x~ + 1 x besser.) Also: - Güter, de m Überschuss vorhanden snd, haben enen Pres von 0 - ene Unersättlchet bezüglch deses Gutes.
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore Seen nun x ( p) und ( p) Falls x ( p) ncht gegen x ( p) x de optmalen Nachfragen be p bzw. p. 3 onvergert, dann gbt es en δ, so dass, für belebg lene ε, für unendlch vele Gleder der Folge x p x p und ( ) ( ) δ > glt. p p Satz von Bolzano/Weerstraß: Jede beschränte unendlche Menge (Folge) enthält mndestens enen Häufungspunt Es gbt ene ~ onvergente Telfolge, de gegen x x ( p) onvergert. ( x~ s mndestens δ von x ( p) entfernt.) < ε Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore Satz (Exstenz enes Walras-Glechgewchts): () Wenn de Überschussnachfrage Z(p) ene stetge Funton der Prese p P = {p mt p 0, p = 1} st und pz(p) = 0, dann gbt es en p mt Z (p ) 0 für alle. Möglches Problem p = 0; z (p) =. Dann: () Wenn de Überschussnachfrage z (p) ene stetge Funton der Prese p P = {p mt p 0, p = 1} st und 33 lm mn(z (p ), a) für alle p P p ' p und alle Folgen (p ) mt p P exstert, und pz(p) = 0, dann gbt es en p P mt z (p ) 0 für alle. Aber: x ( p) f ~ x wegen Endeutget glt auch n Umgebung beder wegen Stetget Folge x (p) ann ncht optmal gewesen sen. Satz (Brouwerscher Fxpuntsatz): A R m ompat (d. h. beschränt und abgeschlossen). f: A A stetg. Dann gbt es en a A mt f(a) = a (Fxpunt). Ohne Bewes. Bewes: Überschussnachfrage homogen von Grad 0 wr önnen Prese normeren p mplzert gleche Überschussnachfrage we (p ) p Also Beschränung auf Presvetoren p mt Σp = 1, p 0. Zusammen mt p 0 wr haben ene abgeschlossene und onvexe Menge von Presen = P Defnton ener Abbldung P P p + max( 0,z ( p) ) g ( ) = p, = 1,, m 1 + max 0,z ( p) ( ) g(p) = (g 1 (p),, g m (p))
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore - Maxmumfunton st stetg, wenn z (p) stetg: Enzges Problem p = 0; z (p) = wrd n () behandelt! - g st Abb. von P P wegen g 0 und g = 1 Es gbt den Fxpunt p, d. h. ( ( p ) ( ( ) p + = max 0,z p, = 1, m 1 + max 0,z p p max( ) = max( ) Z Z ( p ) p max( ) = Z ( p ) max( 0,z,( p ) Σ z ( p ) p max( 0,Z ( p ) = z ( p ) max( 0,z ( p ) = 0 (Walras Gesetz) 0 = 0 für z ( p 0) ( z ( p ) z ( p ) > 0 Notwendg z (p) 0 p Walras-Glechgewcht Frage: Snd onave Präferenzen (Indfferenzurven) unplausbel? Fnden Se en Bespel! 34 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore II. 4. Zweter Hauptsatz der Wohlfahrtstheore Satz: Falls de Voraussetzungen des Exstenzsatzes gelten und falls en paretooptmale Alloaton st, dann exstert en Walras-Glechgewcht (, X, p ) X. (Es gbt enen Pres II. 5. Der Kern p, be dem en Haushalt tauschen wll.) Frage: Lohnt es sch für enen Tel der Gesellschaft, sch abzuspalten, enen egenen Club aufzumachen? Antwort: Ncht, wenn en Walras-Glechgewcht realsert wrd! Defnton: Y Anfangsausstattung, X Endausstattung. X legt m Kern, wenn (0) (1) t y x für alle X f Y (Indvduelle Ratonaltät) () X st Paretooptmum (Gesellschaftlche Ratonaltät) (3) Es gbt ene Koalton (= Telmenge) C aus der Menge der Haushalte {,..., m} X ~ ( C) y C ~ X 35 X 1, verbunden mt ener Endvertelung der Koaltonsmtgleder für de glt: ( C) x~ für alle C ( C) f X für alle C (Es gbt ene Gruppe C, de sch proftabel von der Gesellschaft aboppeln ann.)
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore Satz: Falls (X, Y, p) Walras-Glechgewcht st, dann legt X m Kern. (Also m Walras-Glechgewcht ene erfolgreche Abspaltung möglch.) u.a. Konsequenz: Falls Walras-Glechgewcht exstert, st der Kern ncht leer. Bewes: sehe Güth, s. 111 ff. Weteres Ergebns: In große Öonomen stmmen Kern-Alloaton und Walras-Glechgewcht überen. (sehe Güth, S. 113-14) Tauschrnge Feste Prese! Folge? 36 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore Ist Globalserung ene gute Sache? Beachten Se: Wr argumenteren von dem Zustand der Globalserung aus (oder von ener Volswrtschaft aus). Dann st es ncht möglch, enen Club von Spezalsten zu gründen, n dem es allen besser geht. De Argumentaton vor der Globalserung st anders. Normalerwese gbt es Gewnner und Verlerer n desem Prozess! z. B. Verlerer: Bauern Gewnner: oder Verlerer: Gewnner: Konsumenten Nedrg qualfzerte Arbeter Hoch qualfzerte Arbeter, Kaptalbestzer Interessante Frage: Könnten de Verlerer ompensert werden? 37 45 o 1 Arbetszet 1 Arbetszet Nur bs herhn wrd getauscht (ncht paretooptmal) Anfangsausstattung Haben wr damt de Vortelhaftget von Tauschrngen wderlegt? Ncht unbedngt! Denn: Snd Voraussetzungen für en Walras- Glechgewcht n der Realtät erfüllt? Nen! I. a. ncht! Auch n Martöonome gbt es ene völlg flexblen Prese! (Löhne nach unten begrenzt!) Dazu ommen Überlegungen außerhalb des Modells: Englederung von Arbetslosen n de Gesellschaft, (Erlechterung von sozalen Kontaten).
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore II. 6. Stabltät Fragen: Stabltätsegenschaft des Walras-Glechgewchts: Es gbt ene onstrutven Enwände (wel m Kern). Fragen- Stabltät gegenüber Presveränderungen? om- We ommt man überhaupt zu Presen? plex Endeutges Glechgewcht? Mt dem Fragenomplex snd wr zurüc n der Dsusson der ersten Stunde: Märte sollen Informatonen verarbeten, d. h. Prese fnden. Jetzt aber statt realer Martorgansatonen Hypothetsche Organsatonen: Der Walrasansche Autonator - ruft Prese aus - sammelt Informatonen über Angebot und Nachfrage - setzt Prese fest, wen Angebot = Nachfrage Schwerget: Exstert ncht außer n Telmärten (Börsen), ann ncht exsteren. Presführer/Planwrtschaft - ener legt de Prese fest - de anderen bestmmen de Mengen Schwerget: Exstert ebenfalls nur n Telmärten (EU-Landwrtschaft) 38 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore Presanpassungshypothesen - vele Peroden, Haushalte erhalten mmer weder alte Erstausstattung (Arbetslestungen, landwrtschaftlche Produton) - Handel fndet zu Nchtglechgewchtspresen statt - Pos. Überschussnachfrage auf enem Mart p& = dp / dt > 0 - Neg. Überschussnachfrage auf enem Mart p& < 0 z. B. ( ) p& t = α x ( p) y Falls p (t) p für t dann st p (loal) stables Walras- Glechgewcht. Global stabl enzges stables Glechgewcht. Im Grunde allerdngs st ene deser und anderer Vorstellungen befredgend! Transatonsostenüberlegungen: Verluste bem Tausch mt falschen Presen. Wr wollen de Presanpassungshypothese trotzdem azepteren. Führt se mmer zum Glechgewcht? Be enem Gut? Be velen Gütern? 39
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore Überschussnachfrage Gut Dese Anpassung bedeutet: wenger Nachfrage nach Gut mehr/wenger von Gut 3? Überschussnachfrage Gut 3 Können bede Prozesse zusammen onvergeren? Pres von Gut n Enheten 40 von Gut 1 (Tauschverhältns) Pres von Gut 3 n Enheten von Gut 1 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore II.7. Glechgewcht auf allen Märten: Das totale Konurrenzglechgewcht Fragen: Gbt es enen Presvetor, be dem Angebot und Nachfrage für alle Güter überenstmmen? We werden de Enommen der Haushalte n deser Totalanalyse bestmmt? Alle Prese glechzetg ermtteln? p,, 1 K p n : n Unbeannte Pres des angebotenen Gutes Nachfrage Unternehmen x = N ( p p,.., p ) nach Fator (Gut ) 1,..., Prese anderer Inputs Angebot Unternehmen Z = Z ( p p,..., p ) von Gut 1,..., Angebot Haushalt A = A ( p,..., p ) von Fator (= Gut ) (Vor allem Angebot von Arbet, Kaptal, Land) Nachfrage Haushalt y = y ( E p,..., p ) nach Gut 1, 1 Gewnn Unternehmen = G = Z p x p Enommen Haushalt = A + p n n n n Gewnnante le 41 = α G
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore In Haushaltsnachfrage ann E durch Funton der Prese ersetzt 4 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore Bespel: Güter 43 werden: E = p A Glechgewcht ( p,..., p ) 1 n + α G y + N = Z + A, = 1,..., Nachfrage = Angebot Jede der Funtonen st homogen vom Grad 0 n den Presen. En Pres ann belebg festgelegt werden, denn n allen Glechungen önnen Prese (und damt Enommen) mt enem Fator multplzert werden. Man ann weterhn zegen, dass unter plausblen Annahmen (onvexe Indfferenzurven, Isoquanten, ene stegenden Salenerträge,...) Glechgewcht exstert, st endeutg bs auf Fator, stabl. Konsumgut, Pres p Frezet, Pres w Menge y bzw. z Menge m Unternehmen: Produtonsfunton Arbetszet 1/ A m Haushalte: Nutzenfunton U = F y z =,A = engesetzte F = Frezet m "Arbeterhaushalte" mt Enommen E 1 = 4w m "Unternehmerhaushalte mt Enommen Unternehmens. Kosten für de Produton von z K(z) = z w E = 4w + Gewnn enes (Um z herzustellen snd laut Produtonsfunton A = z Arbetsstunden nötg) Angebot der Unternehmen: p = GK = z w z = p w Gesamtangebot p = m w
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore Gewnn enes Unternehmers = Haushalte maxmeren Nutzen GRS U / F U / y Fy F y F Nachfrage der Unternehmen: A = z = Presverhältns = p w = p w w F w = y = p p pz wz p p p = = w 4w 4w Budgetrestrton Arbeter: 4w = F1 w + y1p Budgetrestrton Unternehmer: p = w p Gesamtnachfrage = m w p 4w + = Fw + y p 4w 44 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung Alloatonstheore Ensetzen der Margnalbedngung n de Budgetrestrtonen ergbt: - Jeder Arbeter arbetet A 1 = 8 Stunden 1 p - Jeder Unternehmer arbetet A = 8 Stunden 6 w - Damt ergbt sch für das Glechgewcht auf dem Arbetsmart: Reallohn p = + 1 p m m 8 m 8 w 6 w Nachfrage p w w p = 8 = 1 8 Angebot 3 5 5 3 Das Glechgewcht auf dem Gütermart ergbt dasselbe Ergebns. Zusammenfassung: Im Falle vollständger Konurrenz gbt es enen Presvetor (festgelegt bs auf enen Fator), der de Planungen der Haushalte und Unternehmen oordnert, d.h. be dem Gesamtangebot = Gesamtnachfrage für alle Güter glt. Was aber, wenn dese Voraussetzungen der vollständgen Konurrenz ncht gelten? Was st, wenn es Anbeter oder Nachfrager gbt, de ncht "len" gegenüber dem Gesamtangebot (der Gesamtnachfrage) snd? 45